1.8.2. Геометрическая прогрессия

Наверняка вы слышали выражение, что что-то растёт в геометрической прогрессии. Это означает очень быстрый рост – рост в разЫ. А если это что-что в геометрической прогрессии убывает, значит, оно с кратным ускорением стремится к нулю.

Геометрическая прогрессия – это числовая последовательность, первый член которой , а каждый последующий получается умножением предыдущего на некоторое число . Это число называют знаменателем геометрической прогрессии.

Если и , то прогрессия является растущей. Например:
2, 6, 18, 54, 162, 486, 1458, … – здесь каждый следующий член получен умножением предыдущего на 3. Знаменатель прогрессии определяется элементарно – делим любой член (кроме первого) на предыдущий: .
Если же , то прогрессия убывает:: – здесь каждый следующий член получен умножением предыдущего на .
Если , то прогрессия будет знакочередующейся, например:

Любой член геометрической прогрессии легко определить по формуле . Найдём, например, 10-й член последней прогрессии: .

Сумма первых членов геометрической прогрессии рассчитывается по формуле:
, обратите внимание, что для этого не нужно знать («энный» член)

В качестве примера вычислим сумму . У этой прогрессии , и подсчитываем мы сумму членов:

Однако особый интерес представляет бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Это прогрессия с бесконечным количеством членов и основанием , примеры уже были:
– члены такой прогрессии стремятся к нулю.

Но главная «фишка» состоит в том, что сумма бесконечного количества членов… равна конечному числу! И особо приятно, что для расчёта этой суммы существует очень простая формула: . В нашем случае , и мы счастливы:
– главное, правильно упростить трёхэтажную дробь.

Символические задачки для самостоятельного решения:

Задание 5

а) Вычислить сумму арифметической прогрессии (2 штуки):

б) Вычислить сумму геометрической прогрессии (3 штуки):

Решения с комментариями в конце книги

2.1. Понятие уравнения. Простейшие примеры

1.8.1. Арифметическая прогрессия

| Оглавление |

Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу портала)