2.5. Действия с неравенствами

С неравенствами можно делать всё то же самое, что и с уравнениями, но есть пара отличий. В качестве примера решим неравенство .

В любой части неравенства можно выносить за скобки и раскрывать скобки:

Части неравенства можно менять местами, но тогда у неравенства нужно «развернуть» и значок:
– что логично, осмЫслите это действие!

Слагаемые можно переносить из части в часть, меняя у них знаки:

В обеих частях можно приводить подобные слагаемые:

Обе части неравенства можно умножить на одно и то же число, отличное от нуля, но если это число отрицательное, то значок неравенства следует сменить на противоположный (например, если было , то станет ; если было , то станет ). В нашем случае обе части неравенства умножаются на –1:
и по итогу получается:

Изобразим решение графически (что часто требуется):

и выполним проверку. Подставим в исходное неравенство какое-нибудь значение из области решения, проще всего взять :

– в результате получено верное неравенство, но на самом деле это ещё ни о чём не говорит. Ибо мы могли решить неравенство неправильно (получить, скажем, ) и тогда значение тоже бы «подошло».
Поэтому для пущей уверенности в неравенство следует подставить «пограничное» значение (см. чертёж), а именно :

– обратите внимание, что и слева и справа получилось одинаковое число, и это верный признак того, что мы правильно выполнили все преобразования. Итак, в результате получено неверное числовое неравенство, значит, значение не является решением, как оно и есть на самом деле.