Ограниченные и неограниченные последовательности

Ограниченность множества – это одно из ключевых понятий математики, и сейчас мы его применим к числовым последовательностям.

Определения

Последовательность  ограничена снизу, если существует действительное число , такое, что ВСЕ члены этой последовательности .  Это число называют нижней гранью данной последовательности.

Последовательность  ограничена сверху, если существует действительное число , такое, что ВСЕ члены этой последовательности . Это число называют верхней гранью.

Если последовательность ограничена и сверху и снизу, то её называют ограниченной; все члены такой последовательности, очевидно, удовлетворяют неравенству .

Так, множество чётных натуральных чисел  ограничено снизу, причём, не только «естественным» значением , но и любым меньшим действительным числом, согласно данному выше определению. То есть в качестве нижней грани можно выбрать любое число из промежутка  и этого будет достаточно для обоснования ограниченности снизу.

Сверху же данная последовательность не ограничена – какое бы гигантское значение  мы ни рассмотрели, всегда найдутся чётные числа, бОльшие этого значения. То есть равенство  будет выполнено не для всех членов последовательности.

Пример второй, последовательность отрицательных целых чисел:

Она, очевидно, ограничена сверху значением , а также любым бОльшим числом, и не ограничена снизу – как бы далеко влево мы ни ушли по оси , всегда найдутся отрицательные целые числа, которые ещё левее (меньше).

Последовательность  («мигалка») ограничена и сверху и снизу, то бишь просто ограничена. И не только отрезком , но и любым другим более широким промежутком.

Ну, и конечно, существует вовсе неограниченные последовательности, такой пример тоже был:

Здесь, какое бы большое действительное число мы ни взяли – всегда найдутся члены последовательности ещё бОльшие. В другую сторону аналогично: можно рассмотреть сколь угодно гигантское (по модулю) отрицательное число, но есть члены последовательности ещё меньшие. Таким образом, у данной последовательности нет ни нижних, ни верхних граней, а значит, она не ограничена.

И следующее определение стучится в двери:

наибольшая из всех нижних граней последовательности   называется её точной нижней гранью и обозначается   (инфимум). По латыни infimum – «самый низкий».

…Осилили? :)

Наименьшая из всех верхних граней последовательности   называется её точной верхней гранью и обозначается   (супремум). От лат. supremum – «наивысший».

Совершенно ясно, что:

,

,

, .

Но не всё так просто:

Здесь с верхней точной гранью никаких вопросов, но вот где точная нижняя грань? Интуитивно представляется, что это ноль, но так ли это? А может быть, её вовсе не существует или она не единственна?

Теорема о существовании точных граней

у ограниченной снизу последовательности существует точная нижняя грань;
у ограниченной сверху последовательности существует точная верхняя грань,

с очевидным следствием, что у ограниченной последовательности существуют обе точные грани.

Доказательство основано на свойстве непрерывности (полноты) действительных чисел. Разделим их на два класса:  – множество нижних граней последовательности (синие границы) и множество  остальных чисел (зелёные границы), которое содержит в том числе все члены данной последовательности (оранжевые точки):

Очевидно, что любое число левого множества меньше либо равно любого числа правого множества (что, кстати, можно строго доказать от противного). Тогда, в силу непрерывности действительных чисел (по теореме Дедекинда о сечениях), существует число «альфа»  – такое, что:

 – для всех значений  множества  и для всех членов последовательности .

Неравенство  означает, что значение «альфа» ограничивает последовательность снизу, а неравенство  – тот факт, что «альфа» наибольшая из нижних граней. Стало быть, это точная нижняя грань: .

При этом пограничная точка может, как принадлежать последовательности, так и не принадлежать ей. На чертеже выше она отмечена чёрным цветом, то есть это тот случай, когда «альфа» не является членом последовательности .

И доказательство второй части теоремы аналогично: между множеством  всех верхних граней ограниченной сверху последовательности  и множеством остальных действительных чисел , содержащих в том числе эту последовательность, существует значение «бета», такое, что:

 – для всех членов последовательности и для всех верхних граней.

Следовательно, это есть точная верхняя грань: . #

Точная грань, как отмечалось недавно, может не являться членом последовательности, яркий тому пример как раз последовательность .
Её точная верхняя грань – это первый член, наибольший: , а вот точная нижняя грань  – сей последовательности не принадлежит.

Важным свойством точных граней является следующее: если к точной нижней грани последовательности  прибавить сколь угодно малое число  («эпсилон»), то полученное значение  уже не будет нижней гранью этой последовательности. Аналогично, если из точной верхней грани вычесть такое число, то разность  не будет верхней гранью.

Применительно к последовательности :

Если к  прибавить сколь угодно малое число , то очевидно, найдутся члены последовательности, которые будут меньше него: , то есть значение  уже не является нижней гранью последовательности. И ещё проще с точной верхней гранью: если из  вычесть такое «эпсилон», то полученная разность  будет меньше первого члена , а посему она не есть верхняя грань.

Задание:

Исследовать на ограниченность следующие последовательности, и если последовательность ограничена сверху и / или снизу, указать её точные грани / грань

а) ,
б) ,
в)
г) , тригонометрическая таблица и периодичность синуса в помощь,
д)

Как исследовать? Расписываем члены последовательности, улавливаем закономерность и делаем выводы, некоторые из них будут в известной степени интуитивными, на данный момент. Можно даже порисовать.

Решаем письменно! – постарайтесь грамотно оформить примеры в соответствии с условием ;-) и не заглядывать в образец ниже

Задание. Решение: распишем последовательности и сделаем выводы:

а)

Последовательность ограничена снизу, , и не ограничена сверху.

б) 
Последовательность ограничена, .

в) Распишем члены:

Последовательность не ограничена снизу и, очевидно, ограничена сверху, , причём, это значение не принадлежит последовательности.

г) Распишем члены;

и далее, в силу периодичности синуса, этот цикл будет бесконечно повторяться.

Последовательность ограничена, .

д)

Последовательность ограничена сверху, , и снизу, представляется, тоже. Возможно, вы догадались, чему равна точная нижняя грань, но пока оставим этот вопрос открытым.

Автор: Емелин Александр

Монотонные и немонотонные последовательности

Числовая последовательность. Определение, виды, примеры

Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу сайта)