Числовая последовательность.
Определение, виды последовательностей, примеры

Итак, после практического и гуманного теоретического урока о пределе  последовательности от вас поступил запрос на теорию. И, конечно же, да! – ещё будучи первокурсником физмата я с перепуга хорошо разобрался в матанализе, да так, что он стал моим любимым разделом вышмата. А посему материал буду разъяснять хоть и строго, но с теплотой. Для «чайников» рекомендую указанные выше статьи, впрочем, возможно лучше начать прямо тут:

Определение числовой последовательности
Как задать последовательность?
Ограниченные и неограниченные последовательности
Монотонные и немонотонные последовательности

(продолжение следует)

...

Ну что же, пупсики мои, начинаем.

Определение числовой последовательности

В широком смысле, числовая последовательность – это пронумерованное множество чисел, распложённых в порядке возрастания номеров.

По сути, это наше обывательское понимание термина – записали пару любых чисел:

–3, 5 – и пожалуйста, числовая последовательность задана, при этом «минус» три – это первый член последовательности, а пятёрка – её второй член.

Если числа поменять местами, то это уже будет другая последовательность:

5, –3 – что тоже вполне себе логично.

В более же узком смысле, который нас поджидает в начале математического анализа, количество членов последовательности – бесконечно, а сами они – есть действительные числа.

Определение:

числовая последовательность – это правило  (функция), которое каждому натуральному номеру  ставит в соответствие вещественное число .

Сии числа  называют членами последовательности, в частности:
 – энным или общим членом.

Как задать числовую последовательность?

Способы есть разные.

По-человечески естественно – прямым перечислением членов, и это может быть даже словесное описание: пятёрка, если номер понравился вождю племени, и два, если не понравился. Но мы-таки запишем:
, после чего становится понятно, что идёт дальше.

Как любила говаривать наш доцент, набросаем членов на числовую прямую:

По-научному, это называется графическим методом задания. Как вариант, можно изобразить школьную систему координат, где по оси  отмерять номера , а по оси  – соответствующие значения , что, кстати, нагляднее. Но дабы избежать в будущем путаницы мы ограничимся числовой прямой.

Однако наиболее популярен аналитический способ – задание последовательности формулой общего члена:

Это и есть та самая функция, то самое правило, которое однозначно определяет каждый член последовательности. Придавая аргументу «эн» натуральные значения , мы получаем все члены последовательности, при этом переменная «эн» играет роль своеобразного счётчика.

Приведём ряд других тривиальных примеров:

 –ну, во-первых, это само множество натуральных чисел: 1, 2, 3, 4, 5, …;

 – последовательность положительных чётных чисел: 2, 4, 6, 8, 10, …;

 – последовательность положительных нечётных чисел: 1, 3, 5, 7, 9, …;

 – последовательность одинаковых чисел, нулей, например: 0, 0, 0, 0, 0 …;

 – «мигалка»: –1, 1, –1, 1, –1, 1, … – встречается часто и повсеместно, обеспечивая знакочередование членов различных математических конструкций.

 – последовательность факториалов: 1, 2, 6, 24, 120, …

Что касаемо обозначений, то вместо «икс», конечно, могут использоваться и другие буквы:  etc, в частности, члены прогрессий стандартно обозначаются через «а» и «бэ».

Арифметические прогрессии, а-ка:

и геометрические прогрессии, типовые случаи:

Последовательность, кроме того, можно задать рекуррентно – это когда следующие члены выражаются через предыдущие.

Пусть, например, , а каждый последующий член таков: . Тогда:

Известнейшим примером рекуррентной последовательности являются числа Фибоначчи, первое число , второе , а каждое последующее – есть сумма двух предыдущих: . Распишем малость:

Эти числа имеют историческое, практическое и даже философское значение, рекомендую в качестве факультатива по ссылке выше.

Автор: Емелин Александр

Ограниченные и неограниченные последовательности

Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу сайта)