Высшая математика для заочников и не только

Высшая математика – просто и доступно!

Скорая теоретическая помощь

Предел числовой последовательности. Единственность предела

С понятием предела числовой последовательности мы уже столкнулись на уровне интуиции. Так, члены последовательности , очевидно, уменьшаются и всё ближе и ближе приближаются к нулю – предельно близко. Стало быть, ноль – и есть предел этой последовательности:

Запись предела состоит из нескольких частей:

1) значок предела (от англ. limit), англицизм «лимит» не прижился в нашем языке;

2) подстрочная запись о том, что номер «эн» становится всё больше и больше, увеличиваясь до бесконечности, или, как говорят и пишут – он стремится к «плюс» бесконечности: ;

3) «начинка» предела – общий член последовательности;

4) и, наконец, значение предела, в данном случае ноль.

При этом запись означает не равенство нулю в нашем привычном понимании, а ноль в пределе – члены последовательности бесконечно близко приближаются к нулю, однако его не достигают. За исключением некоторых тривиальных случаев, а-ка (число), где имеет место строгое равенство, но это тоже считается пределом.

Общая запись предела такова:

– читается: «Предел последовательности икс энное равен пэ».

В некоторых источниках подстрочную запись опускают, поскольку «эн» по существу, никуда больше стремиться и не может. Только в сторону увеличения натуральных номеров, до бесконечности.

Предел, разумеется, не обязан равняться нулю, «пэ» может быть любым действительным числом, как мы только что видели, или «плюс» либо «минус» бесконечностью. Дежурный пример: , где совершенно понятно, что чётные натуральные числа стремятся к «плюс» бесконечности.

Более того, предела может не существовать вовсе, например, предела последовательности . Вспоминая график синуса, легко понять, что его значения бесконечно «петляют» на отрезке и не приближаются к какому-то конкретному значению.

Строгое определение числовой последовательности я уже приводил на уроке Пределы по Коши и познакомил вас со спецификой теории. Поэтому, если вам будут не очень понятны какие-то моменты, то рекомендую сначала ознакомиться с указанной статьёй. Ну а здесь материал будет изложен конспективно, впрочем, тоже со всеми оттенками серого :)

Начнём с понятия окрестности. Окрестностью точки называют любой интервал (ненулевой длины), содержащий эту точку. Чаще всего этот интервал симметричен и его размах стандартно обозначают буквой («эпсилон»):

Пожалуйста, интервал или -окрестность точки – прошу любить и жаловать. На всякий пожарный: граничные точки и окрестности не принадлежат, коль скоро интервал. Это важно.

Значение «эпсилон» положительно (само собой), при этом мы можем выбирать его произвольно, делать больше, меньше, очень мАлым, но очень важно иметь в виду, что это некоторое фиксированное значение. Таково своеобразие теории, которую ещё в 19 веке заложил Огюстен Луи Коши.

Простыми словами можно сказать, что точка – есть предел последовательности , если в любой окрестности этой точки (сколь угодно малой) оказывается бесконечное количество членов последовательности, а вне её – их конечное количество либо нисколько.
Так, для последовательности или ещё нагляднее – для последовательности весь её бесконечный «хвост» оказывается внутри любой окрестности точки «ноль»:

Каким бы мАлым мы значение ни выбрали, внутри интервала обязательно окажутся все члены последовательности, начиная с некоторого номера, а вне его – их конечное число, пусть очень большое, но конечное. Тот факт, что энный член последовательности принадлежит окрестности точки , выражается неравенством:

или, если записать его с помощью модуля:
– неформально читая эту запись, мы скажем, что расстояние между членом «икс энное» и числом «пэ» меньше, чем эпсилон. Ибо модуль разности двух чисел – означает расстояние между этими числами.

Определение: число называют пределом числовой последовательности , если для любой -окрестности этого числа (заранее выбранной и сколь угодно малой) существует натуральный номер – ТАКОЙ, что все члены последовательности с бОльшими номерам окажутся внутри этой окрестности: .

В общем случае номер «эн большое» зависит от «эпсилон», можно ещё встретить такую запись: , и чем меньшую окрестность мы рассмотрим, тем, очевидно, будет больше этот номер.

…Осилили ли? :) Стандартная краткая запись определения:

, если

Напоминаю, что – это квантор общности («для всех»), – квантор существования («существует»), – значок принадлежности, жирная буква – множество натуральных чисел, а вертикальная палка после неё читается «такой, что».

Восполняем пробелы, если они есть, и обязательно проговариваем краткую запись определения ВСЛУХ. Но главное, ещё раз ВНИКАЕМ в суть определения.

…Есть? Продолжаем.

Если последовательность имеет конечный предел, то её называют сходящейся. Ну, или говорят, что последовательность сходится. И вы наверняка подозреваете, куда именно :)

В частности, если предел последовательности равен нулю , то её величают бесконечно мАлой. Некоторые, по-панибратски, малОй.

Каноничные примеры: и .

Теперь бесконечные случаи: и . Бесконечности удобно тоже называть точками: точкой «плюс» бесконечность и точкой «минус» бесконечность.

Здесь мы будем оперировать -окрестностью («эпсилон большое»). Это интервал , где , если рассматривается «плюс» бесконечность либо интервал в случае «минус» бесконечности, на рисунке изображен первый вариант:

Значение мы можем выбирать произвольно и делать сколь угодно большим по модулю.

Определение: «плюс» бесконечность – есть предел последовательности , если для любого значения (заранее выбранного и сколь угодно большого) найдётся натуральный номер , зависящий от , ТАКОЙ, что для бОльших номеров все члены последовательности окажутся в окрестности точки «плюс» бесконечность:

Краткая запись: , если .

Проговариваем ВСЛУХ!

Для случая сформулируйте и запишите определение самостоятельно, такое задание, кстати, было в «чайниковской» статье Пределы по Коши, свериться можно там.

Заметим, что как и в конечном случае, здесь внутри окрестности оказывается бесконечное количество членов последовательности, а вне её – их конечное количество либо нисколько. Вспоминаем дежурный пример и схематический чертёж:

Какое бы большое «эпсилон большое» мы ни взяли, принципиальная картина не изменится.

Для примера с «минус» бесконечностью просто добавлю воды: .

Определение: если предел последовательности равен «плюс» либо «минус» бесконечности, то её называют бесконечно большой.

Это означает, что для любого значения найдётся натуральный номер , такой, что для бОльших номеров все члены последовательности . В модуль упаковано два случая: , если речь идёт о точке «минус» бесконечность, и , если это «плюс» бесконечность.

И, как уже отмечалось, есть ещё один случай – предела может не существовать вовсе, а-ка , и это, конечно же, не единтсвенный пример. Потерпите, всё будет.

С нахождением пределов по определению можно потренироваться на уже упомянутом уроке, и, кроме того, есть обширная практика, где рассмотрены различные методы вычисления пределов.

У нас же путешествие продолжается по глубокой теоретической колее с приятным и бодрящим потряхиванием.

Теорема: если предел последовательности существует, то он единственный.

И в самом деле, почему у последовательности нет двух пределов? Ведь это так напрашивается.

Доказательство, как водится в подобных случаях, от противного, нужное имя добавьте сами, в нашем поколении это был Борис Моисеев. Пусть у последовательности существует два конечных предела:

и , при этом , то есть пределы различны.

Если число – есть предел последовательности, то по определению, для любой -окрестности этого значения найдётся натуральный номер , такой, что все члены с бОльшими номерами оказываются внутри этой окрестности: .

С другой стороны, – тоже предел данной последовательности, поэтому для любой -окрестности сего числа найдётся натуральный номер , такой, что все члены с бОльшими номерами оказываются внутри соответствующей окрестности: .

По определению предела, окрестность может быть любой, сколь угодно малой. Поскольку значения и различны, то расстояние между ними больше нуля: . Выберем окрестности с размахом в половину расстояния между этими числами:

(также можно рассмотреть и любые меньшие окрестности)

Итак, начиная с номера , все члены последовательности оказываются внутри 1-й окрестности, и, начиная с номера – во второй окрестности. Выберем наибольший из этих номеров: . Таким образом, начиная с номера , все члены последовательности с бОльшими номерами оказываются и в той и другой окрестности.

Однако данные окрестности не пересекаются. Таким образом, наше допущение о двух различных конечных пределах противоречит определению предела.

Но это ещё не всё. Предлагаю вам завершить начатое.

Задание:

Доказать, что у последовательности не может быть двух пределов, один из которых бесконечен. И случай, когда один гипотетический предел равен «плюс», а другой – «минус» бесконечности.

Порисуйте эти окрестности, если трудно, да и если легко – тоже порисуйте.

После чего с чистой совестью можно сделать вывод, что у последовательности не может быть двух различных пределов. Как, очевидно, трёх, четырёх и бОльшего количество пределов тоже не может быть.

Следовательно, предел (если он существует) – единтсвенный. Ч. т. д.

Упражнение:

Доказать, что следующие последовательности не имеют предела:

а)

б)

в)

Да, возможно эти задания кажутся «очевидными», но удастся ли вам корректно провести рассуждения? ;) Решаем письменно, от руки, не ленимся! Ибо с «маленьких» доказательств начинаются «большие», начинается понимание теории матанализа.

И, да, ваше решение может несколько отличаться от образца, однако важно, чтобы чётко была выдержана суть.

Задание (продолжение доказательства): предположим, что у последовательности один предел конечен , а другой равен «плюс» бесконечности: .
Тогда, по определению предела, для любой -окрестности точки найдётся натуральный номер , такой, что все члены с бОльшими номерами оказываются внутри этой окрестности: .
С другой стороны, – тоже предел последовательности, поэтому для любого найдётся натуральный номер , такой, что все члены с бОльшими номерами оказываются в окрестности точки «плюс» бесконечность: .
Выберем значение , что соответствует ситуации, когда окрестности не пересекаются. Однако, начиная с наибольшего номера , все члены последовательности с бОльшими номерами должны оказаться и в той и в другой окрестности. Полученное противоречие опровергает исходное допущение.

Случай, когда один гипотетический предел конечен , а другой – «зеркален». Здесь мы рассмотрим окрестность точки «минус» бесконечность , такую, чтобы она не пересекала окрестность конечной точки: , и придём к аналогичному опровержению.

И, наконец, покажем, что у последовательности не может быть двух бесконечных пределов разных знаков.
Если , то по определению предела, для любого найдётся натуральный номер , такой, что все члены с бОльшими номерами оказываются в окрестности точки «минус» бесконечность: .
С другой стороны, , поэтому для любого найдётся натуральный номер , такой, что все члены с бОльшими номерами оказываются в окрестности точки «плюс» бесконечность: .
И тут можно выбрать вообще любое положительное «эпсилон большое» – окрестности и пересекаться не будут. Однако, начиная с наибольшего номера , все члены последовательности с бОльшими номерами должны оказаться и в той и в другой окрестности. То есть и двух бесконечных пределов тоже быть не может.

Упражнение. Решение: а) Это провокационный пункт. Предложенная формула вовсе не задаёт последовательность, т. к. члены с нечётными номерами не определены.

б) «Мигалка» принимает лишь два значения. Предположим, что – есть предел данной последовательности. Тогда, по определению предела, для любой -окрестности данного значения должен существовать натуральный номер , такой, что все члены с большими номерами оказываются внутри этой окрестности. Выберем окрестность , то бишь интервал . Очевидно, что все члены с чётными номерами (коих бесконечное количество) в эту окрестность не войдут. Таким образом, нашлась -окрестность, для которой искомого номера не существует. Стало быть, не является пределом последовательности по определению.

Примечание: в качестве «эпсилон» можно было взять любое меньшее положительное значение или даже большее вплоть до , так как единица интервалу не принадлежит. При этом не важно, какую именно конкретную окрестность мы привели, важно, что такая окрестность нашлась (которая противоречит определению предела).

Аналогично доказывается, что значение тоже не может быть пределом.

Таким образом, ни 1, ни -1 не являются пределом последовательности. Следовательно, предела не существует.

в) Распишем данную последовательность:
и «кандидатов» на предел здесь два: это «плюс» и «минус» бесконечность.

Предположим, что – есть предел данной последовательность. Это означает, что для любого значения (заранее выбранного и сколь угодно большого), найдётся номер , такой, что все члены с большими номерами окажутся в окрестности точки «плюс» бесконечность: . Однако это не выполнено даже для небольших значений «Е», так, если , то 1-й член последовательности в окрестность войдёт, а уже 2-й – из неё «выскочит». Но, может быть, всё же существует такой номер , после которого все члены оказываются внутри окрестности? Увы, нет. Какой бы большой натуральный номер «эн» мы ни рассмотрели – член с ближайшим бОльшим чётным номером в данную окрестность не войдёт. То есть искомого значения не существует.