Высшая математика – просто и доступно!

Если сайт упал, используйте ЗЕРКАЛО: mathprofi.net

Наш форум, библиотека и блог: mathprofi.com

Высшая математика:

Математика для заочников

Математические формулы,
таблицы и другие материалы

Книги по математике

Математические сайты

+-*/^ Удобный калькулятор

+ «Дробовик»   

Учимся решать:

  Карта сайта

Не нашлось нужной задачи?
Сборники готовых решений!

Не получается пример?
Задайте вопрос на форуме!
>>> mathprofi

Обратная связь:

Часто задаваемые вопросы
Гостевая книга Отблагодарить автора >>>

Заметили опечатку / ошибку?
Пожалуйста, сообщите мне об этом

Карта сайта

---

Предел последовательности и предел функции по Коши

Сегодня на уроке мы разберём строгое определение последовательности и строгое определение предела функции, а также научимся решать соответствующие задачи теоретического характера. Статья предназначена, прежде всего, для студентов 1-го курса естественнонаучных и инженерно-технических специальностей, которые начали изучать теорию математического анализа, и столкнулись с трудностями в плане понимания этого раздела высшей математики. Кроме того, материал вполне доступен и учащимся старших классов.

За годы существования сайта я получил недобрый десяток писем примерно такого содержания: «Плохо понимаю математический анализ, что делать?», «Совсем не понимаю матан, думаю бросить учёбу» и т. п. И действительно, именно матан часто прореживает студенческую группу после первой же сессии. Почему так обстоят дела? Потому что предмет немыслимо сложен? Вовсе нет! Теория математического анализа не столь трудна, сколько своеобразна. И её нужно принять и полюбить такой, какая она есть =)

Начнём с самого тяжёлого случая. Первое и главное – не надо бросать учёбу. Поймите правильно, бросить, оно всегда успеется ;-) Безусловно, если через год-два от выбранной специальности будет тошнить, тогда да – следует задуматься (а не пороть горячку!) о смене деятельности. Но пока стОит продолжить. И, пожалуйста, забудьте фразу «Ничего не понимаю» – так не бывает, чтобы СОВСЕМ ничего не понимать.

Что делать, если с теорией плохо? Это, кстати, касается не только математического анализа. Если с теорией плохо, то сначала нужно СЕРЬЁЗНО налечь на практику. При этом решаются сразу две стратегические задачи:

– Во-первых, значительная доля теоретических знаний появилась благодаря практике. И поэтому многие люди понимают теорию через… – всё верно! Нет-нет, вы не о том подумали =)

– И, во-вторых, практические навыки с большой вероятностью «вытянут» вас на экзамене, даже если…, но не будем так настраиваться! Всё реально и всё реально «поднять» в достаточно короткие сроки. Математический анализ – это мой любимый раздел высшей математики, и поэтому я просто не мог не протянуть вам ноги руку помощи:

В начале 1-го семестра обычно проходят пределы последовательностей и пределы функций. Не понимаете, что это такое и не знаете, как их решать? Начните со статьи Пределы функций, в которой «на пальцах» рассмотрено само понятие и разобраны простейшие примеры. Далее проработайте другие уроки по теме, в том числе урок о пределах последовательностей, на котором я фактически уже сформулировал строгое определение.

На начальном этапе не рекомендую особо заглядывать в учебник по математическому анализу, да и в собственные записи тоже. Хотя давайте немного причастимся:

Какие значки помимо знаков неравенств и модуля вы знаете?

Из курса алгебры нам известны следующие обозначения:

 – квантор всеобщности обозначает– «для любого», «для всех», «для каждого», то есть запись  следует прочитать «для любого положительного эпсилон»;

 – квантор существования,  – существует значение , принадлежащее множеству натуральных чисел.

– длинная вертикальная палка читается так: «такое, что», «такая, что», «такой, что» либо «такие, что», в нашем случае, очевидно, речь идёт о номере  – поэтому «такой, что»;

 – для всех «эн», бОльших чем ;

 – знак модуля означает расстояние, т. е. эта запись сообщает нам о том, что расстояние между значениями  меньше эпсилон.

А теперь попытайтесь прочитать строку  целиком.

Ну как, убийственно сложно? =)

После освоения практики жду вас в следующем параграфе:

Определение предела последовательности

И в самом деле, немного порассуждаем – как сформулировать строгое определение последовательности? …Первое, что приходит на ум в свете практического занятия: «предел последовательности – это число, к которому бесконечно близко приближаются члены последовательности».

Хорошо, распишем последовательность :


Нетрудно уловить, что подпоследовательность  бесконечно близко приближаются к числу –1, а члены с чётными номерами  – к «единице».

А может быть предела два? Но тогда почему у какой-нибудь последовательности их не может быть десять или двадцать? Так можно далеко зайти. В этой связи логично считать, что если у последовательности существует предел, то он единственный.

Примечание: у последовательности  нет предела, однако из неё можно выделить две подпоследовательности (см. выше), у каждой из которых существует свой предел.

Таким образом, высказанное выше определение оказывается несостоятельным. Да, оно работает для случаев вроде  (чем я не совсем корректно пользовался в упрощённых объяснениях практических примеров), но сейчас нам нужно отыскать строгое определение.

Попытка вторая: «предел последовательности – это число, к которому приближаются ВСЕ члены последовательности, за исключением, разве что их конечного количества». Вот это уже ближе к истине, но всё равно не совсем точно. Так, например, у последовательности   половина членов вовсе не приближается к нулю – они ему просто-напросто равны =) К слову, «мигалка»  вообще принимает два фиксированных значения.

Формулировку нетрудно уточнить, но тогда возникает другой вопрос: как записать определение в математических знаках? Научный мир долго бился над этой проблемой, пока ситуацию не разрешил известный маэстро, который, по существу, и оформил классический матанализ во всей его строгости. Коши предложил оперировать окрестностями, чем значительно продвинул теорию.

Рассмотрим некоторую точку  и её произвольную -окрестность:

Значение «эпсилон» всегда положительно, и, более того, мы вправе выбрать его самостоятельно. Предположим, что в данной окрестности находится множество членов (не обязательно все) некоторой последовательности . Как записать тот факт, что, например десятый член попал в окрестность? Пусть он находится в правой её части. Тогда расстояние между точками  и  должно быть меньше «эпсилон»: . Однако если «икс десятое» расположено левее точки «а», то разность будет отрицательна, и поэтому к ней нужно добавить знак модуля: .

Определение: число  называется пределом последовательности, если для любой его окрестности  (заранее выбранной) существует натуральный номер  – ТАКОЙ, что ВСЕ члены последовательности с бОльшими номерами  окажутся внутри окрестности:

Или короче: , если

Из чего следует, что какое бы малое значение «эпсилон» мы ни взяли, рано или поздно «бесконечный хвост» последовательности ПОЛНОСТЬЮ окажется в этой окрестности.

Так, например, «бесконечный хвост» последовательности  ПОЛНОСТЬЮ зайдёт в любую сколь угодно малую -окрестность точки . Таким образом, это значение является пределом последовательности  по определению. Напоминаю, что последовательность, предел которой равен нулю, называют бесконечно малой.

Следует отметить, что для последовательности  уже нельзя сказать «бесконечный хвост зайдёт» – члены с нечётными номерами по факту равны нулю и «никуда не заходят» =) Именно поэтому в определении использован глагол «окажутся». И, разумеется, члены такой последовательности, как  тоже «никуда не идут». Кстати, проверьте, будет ли число  её пределом.

Теперь покажем, что у последовательности  не существует предела. Рассмотрим, например, окрестность  точки . Совершенно понятно, что нет такого номера, после которого ВСЕ члены окажутся в данной окрестности – нечётные члены всегда будут «выскакивать» к «минус единице». По аналогичной причине не существует предела и в точке .

Начинающим рекомендую 2-3 раза перечитать вышесказанное + параграф понятие предела последовательности предыдущего урока, где я объяснил то же самое, но без математических значков.

Закрепим материал практикой:

Пример 1

Доказать что предел последовательности  равен нулю. Указать номер , после которого, все члены последовательности гарантированно окажутся внутри любой -окрестности точки .

Примечание: у многих последовательностей искомый натуральный номер  зависит от значения  –  отсюда и обозначение .

Решение: рассмотрим произвольную -окрестность точки  и проверим, найдётся ли номер  – такой, что ВСЕ члены с бОльшими номерами  окажутся внутри этой окрестности:

Чтобы показать существование искомого номера , выразим  через .

Так как при любом значении «эн» , то знак модуля можно убрать:

Используем «школьные» действия с неравенствами, которые я повторял на уроках Линейные неравенства и Область определения функции. При этом важным обстоятельством является то, что «эпсилон» и «эн» положительны:

Поскольку слева речь идёт о натуральных номерах, а правая часть в общем случае дробна, то её нужно округлить:

Примечание: иногда для перестраховки справа добавляют единицу, но на самом деле это излишество. Условно говоря, если  и мы ослабим результат округлением в меньшую сторону , то ближайший подходящий номер («тройка») всё равно будет удовлетворять первоначальному неравенству.

А теперь смотрим на неравенство  и вспоминаем, что изначально мы рассматривали произвольную -окрестность, т. е. «эпсилон» может быть равно любому положительному числу.

Если выбранная окрестность достаточно великА, то в правой части неравенства мы получим ноль или даже отрицательное значение, в этом случае все члены последовательности войдут в -окрестность с первого же номера.

Если же «эпсилон» достаточно малО, то для любой сколь угодно малой -окрестности точки  найдётся натуральное значение , такое, что для всех бОльших номеров  выполнено неравенство .

Вывод: число  является пределом последовательности  по определению. Что и требовалось доказать.

К слову, из полученного результата  хорошо просматривается естественная закономерность: чем меньше -окрестность –  тем больше номер , после которого ВСЕ члены последовательности окажутся в данной окрестности. Но каким бы малым ни было «эпсилон» – внутри всегда будет «бесконечный хвост», а снаружи – пусть даже большое, однако конечное число членов.

Как впечатления? =) Согласен, что странновато. Но строго! Пожалуйста, перечитайте и осмыслите всё ещё раз.

Рассмотрим аналогичный пример и познакомимся с другими техническими приёмами:

Пример 2

Используя определение последовательности, доказать, что

Решение: по определению последовательности нужно доказать, что  (проговариваем вслух!!!).

Рассмотрим произвольную -окрестность точки  и проверим, существует ли натуральный номер  – такой, что для всех бОльших номеров  выполнено неравенство:

Чтобы показать существование такого , нужно выразить «эн» через «эпсилон». Упрощаем выражение под знаком модуля:

Модуль уничтожает знак «минус»:

Знаменатель положителен при любом «эн», следовательно, палки можно убрать:

Перетасовка:

Теперь надо бы извлечь квадратный корень, но загвоздка состоит в том, что при достаточно больших «эпсилон» правая часть будет отрицательной. Чтобы избежать этой неприятности усилим неравенство модулем:

Почему так можно сделать? Если, условно говоря, окажется, что , то подавно будет выполнено и условие . Модуль может только увеличить разыскиваемый номер , и это нас тоже устроит! Грубо говоря, если подходит сотый, то подойдёт и двухсотый! В соответствии с определением, нужно показать сам факт существования номера (хоть какого-то), после которого все члены последовательности окажутся в -окрестности. Кстати, именно поэтому нам не страшнО финальное округление правой части неравенства в бОльшую сторону (а в предыдущем примере мы, к слову, могли заключить правую часть ещё и в модуль).

Извлекаем корень:

И округляем результат:

Вывод: т. к. значение «эпсилон» выбиралось произвольно, то для любой -окрестности точки  нашлось значение , такое, что для всех бОльших номеров  выполнено неравенство . Таким образом,  по определению. Что и требовалось доказать.

Советую особо разобраться в усилении и ослаблении неравенств – это типичные и очень распространённые приёмы математического анализа. Единственное, нужно следить за корректностью того или иного действия. Так, например, неравенство  ни в коем случае нельзя ослаблять, вычитая, скажем, единицу:

Опять же условно: если номер  точно подойдёт, то предыдущий может уже и не подойти.

Следующий пример для самостоятельного решения:

Пример 3

Используя определение последовательности, доказать, что

Краткое решение и ответ в конце урока.

Если последовательность бесконечно велика, то определение предела формулируется похожим образом: точка  называется пределом последовательности, если для любого, сколь угодно большого числа  существует номер , такой, что для всех бОльших номеров , будет выполнено неравенство . Число  называют окрестностью точки «плюс бесконечность»:

Иными словами, какое бы большое значение  мы ни взяли, «бесконечный хвост» последовательности обязательно зайдёт в -окрестность точки ,  оставив слева лишь конечное число членов.

Дежурный пример:  

И сокращённая запись: , если

Для случая  запишите определение самостоятельно. Правильная версия в конце урока.

После того, как вы «набили» руку на практических примерах и разобрались с определением предела последовательности, можно обратиться к литературе по математическому анализу и/или своей тетрадке с лекциями. Рекомендую закачать 1-й том Бохана (попроще – для заочников) и Фихтенгольца (более подробно и обстоятельно). Из других авторов советую Пискунова, курс которого ориентирован на технические ВУЗы.

Попытайтесь добросовестно изучить теоремы, которые касаются предела последовательности, их доказательства, следствия. Поначалу теория может казаться «мутной», но это нормально – просто нужно привыкнуть. И многие даже войдут во вкус!

Строгое определение предела функции

Начнём с того же самого – как сформулировать данное понятие? Словесное определение предела функции  формулируется значительно проще: «число  является пределом функции , если при «икс», стремящемся к  (и слева, и справа), соответствующие значения функции стремятся к » (см. чертёж). Всё вроде бы нормально, но слова словами, смысл смыслом, значок значком, а строгих математических обозначений маловато. И во втором параграфе мы познакомимся с двумя подходами к решению данного вопроса.

Пусть функция  определена на некотором промежутке за исключением, возможно, точки . В учебной литературе общепринято считают, что функция там не определена:

Согласно соответствующей теореме математического анализа, определения по Гейне и по Коши эквивалентны, однако наиболее известен второй вариант (ещё бы!), который также называют «предел на языке »:

Пример 4

Используя  определение предела, доказать, что

Решение: функция определена на всей числовой прямой кроме точки . Используя определение , докажем существование предела в данной точке.

Примечание: величина «дельта»-окрестности зависит от «эпсилон», отсюда и обозначение

Рассмотрим произвольную -окрестность. Задача состоит в том, чтобы по этому значению  проверить, существует ли -окрестность, ТАКАЯ, что из неравенства  следует неравенство .

Предполагая, что , преобразуем последнее неравенство:
 (разложили квадратный трёхчлен)

После упрощений для лучшего понимания перепишем ещё раз то, что требовалось проверить: «…существует ли -окрестность, ТАКАЯ что из неравенства  следует неравенство ?»

Конечно, существует, например, . В этом случае из неравенства  следует  (формально оно же само). Следует отметить, что  в качестве примера можно привести и любую меньшую «дельта»-окрестность, например, , поскольку из неравенства  тем более следует, что  (из того, что «в кармане меньше 50 рублей» следует то, что «в кармане меньше 100 рублей»). Однако в качестве стандартного примера окрестности практически всегда берут «пограничное»  значение, в данном примере .

Вывод: для любой, сколько угодно малой -окрестности точки  нашлась окрестность  точки , такая, что из неравенства  следует неравенство . Таким образом,  по определению предела функции. Ч. т. д.

Небольшое задание для самостоятельного решения.

Пример 5

Доказать, что

Слишком просто? А вы попробуйте грамотно оформить, и, самое главное, ПОНЯТЬ, ход решения ;-)

Следует отметить, что рассмотренные задачи не дают нам каких-то способов решения пределов, они позволяют лишь доказать либо опровергнуть существование некоторых из них.

Определение бесконечного предела, в частности предела , тоже формулируется двумя способами. Приведу наиболее популярный вариант. Пусть функция определена на промежутке , который содержит сколь угодно большие значения «икс». Предел функции  равен «плюс бесконечности» при , если для любого сколь угодно большого числа (заранее заданного) найдётся окрестность , такая, что: КАК ТОЛЬКО значения аргумента войдут в данную окрестность:  (красная стрелка), ТАК СРАЗУ соответствующие значения функции зайдут в -окрестность:  (синяя стрелка):

Сокращённая запись: , если

Определения следующих двух пределов предлагаю сформулировать самостоятельно:

Изобразите на чертеже принципиальную картину, прорисуйте окрестности и постарайтесь корректно записать определения. Для обозначения закрытых окрестностей используйте буквы , для открытых к бесконечности – буквы . Ответы в конце урока.

Случаи «минус бесконечности» и обобщённый случай легко отыскать в соответствующей литературе.

Что делать дальше? После освоения теории пределов целесообразно перейти к изучению непрерывности функции, правда, в рамках сайта сформулировано лишь «прикладное» определение непрерывности, поэтому книги в помощь. Далее в 1-м семестре, как правило, проходят производные. Здесь я рекомендую придерживаться той же схемы – сначала учимся дифференцировать, затем осваиваем теоретический материал о производной, «сопутствующие» теоремы и т. д.

Ни в коем случае не расстраивайтесь, если дела «пойдут не очень», в конце концов, тут нужно принять во внимание, что учиться на «технаря» вообще непросто: что-то даётся легче, что-то труднее, а с чем-то может и помучиться придётся. Лично у меня некоторые разделы математики шли лучше, некоторые хуже, а программирование вообще переносилось с трудом (уж не знаю, почему). Нельзя идеально знать и любить всё.

Оглядываясь в прошлое, с улыбкой вспоминаю свои первый месяцы учёбы – тогда математический анализ показался мне самой трудной дисциплиной, и я с перепуга выучил ВЕСЬ материал 1-го семестра, даже сказать точнее не выучил, а почти во всём разобрался, чего и всем желаю!

Надеюсь, данная статья была полезна, а может, и послужила ключом к предмету!

Решения и ответы:

Автор: Емелин Александр

Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу)

Как можно отблагодарить автора?

© Copyright  Александр Емелин, mathprofi.ru, 2010-2025, сделано в Блокноте