Бесконечно большие функции.
Сравнение логарифмической, степенной и показательной функции

На уроке Методы решения пределов мы уже затронули эту тему и рассмотрели типовые примеры, но то была больше практика, начальный уровень, чего, конечно же, не достаточно для многих читателей. А посему дополним и систематизируем материал. Данная статья носит справочно-теоретический характер и помимо прочего содержит редкую и весьма важную информацию о сравнении логарифмической, степеннОй и показательной функции. Приступаем.

Определение:

функция  называется бесконечной большой в точке , если её предел равен «плюс» либо «минус» бесконечности в этой точке:  либо ; как вариант, это может быть и односторонний предел.

И давайте ещё одно определение, на языке окрестностей, кто в них уже разобрался:

функция  называется бесконечной большой в конечной точке , если для любого числа  (заранее выбранного и сколь угодно большого) найдётся -окрестность этой точки, ТАКАЯ, что для всех значений «икс» сей окрестности: соответствующие значения функции по модулю превзойдут «эм большое»: .

… Осилили? Под модулем  кроется интервал  (собственно, окрестность), а запись  за «один присест» учитывает оба случая бесконечной великости:   (когда ) и  (когда ).

И для точек  и концовка определения такова
 
…если найдётся отрытая -окрестность  этой точки, ТАКАЯ, что для всех «икс» данной окрестности:  (либо ) соответствующие значения функции: .

Важно отметить, что функция не может быть бесконечно большой «сама по себе», речь об этом заходит лишь в конкретных точках. Так, кубическая парабола бесконечно великА в точках «плюс» и «минус» бесконечность: , , в других точках она таковой не является. Знакомец  – бесконечно большой в точке ноль…, хотя, для некоторых это ещё незнакомец :)

 Натуральный логарифм бесконечно велИк на «плюс» бесконечности и тоже в нуле: , , как мы помним, тут существует лишь правосторонний предел. И вот этот график лучше-таки пОмните, добрый совет. Для верности помнИте :)

Следующая гипербола бесконечно великА в точке «три»:
, , так можно сказать, несмотря на то, что общего предела не существует.

Определение:

порядок роста функции – это то, насколько быстро растёт та или иная функция, обычно об этом говорят в конкретной точке , где функция бесконечно великА.

Под ростом здесь понимается, в частности, и убывание функции, можно ещё сказать это отрицательный рост или рост со знАком «минус».

В качестве примера возьмём точку  и сравним в ней две бесконечно большие функции . При этом возможны  следующие варианты:
1) Если , где  – константа, то функции имеют одинаковый порядок роста. Если , то функции называют эквивалентными, в данном случае на «плюс» бесконечности.
2) Если , то функция  более высокого порядка роста, чем . Говоря проще, числитель растёт быстрее знаменателя и отношение между ними становится всё больше и больше, увеличиваясь до бесконечности.
3) Если , то функция  более высокого порядка роста, чем . А вот здесь, наоборот, знаменатель растёт быстрее числителя и «перетягивает» предел на ноль. Несмотря на то, что и вверху и внизу числа становятся гигантскими, отношение между ними всё уменьшается и уменьшается, бесконечно близко приближаясь к нулю.

И, разумеется, вместо  мы можем рассмотреть  или произвольную конечную точку .

В качестве примеров быстренько освежим в памяти Примеры 1-4 урока Методы решения пределов.

К термину порядок роста зачастую добавляют «имя» функции: линейный порядок роста, квадратичный порядок роста, экспоненциальный порядок роста, геометрический порядок роста (геометрической прогрессии) и т. д. И когда мы слышим эти слова, то примерно представляем, насколько быстро растёт тот или иной показатель. В частности, если «что-то растёт в геометрической прогрессии», то даже далёкий от математики человек понимает интенсивность процесса.

Справочно приведу тематическое обозначение, так называемое о большое:

 – множество функций, порядок роста которых не превосходит порядка роста функции . Так,  – множество многочленов 3-й степени и более низких степеней, а также других функций с кубическим либо меньшим порядком роста.

И, наконец, обещанные плюшки.

Сравнение логарифмических, степеннЫх и показательных функций при

СтепеннАя функция любой положительной степени «альфа» растёт быстрее, чем логарифмическая функция .
А посему: , , при этом внутри логарифма может располагаться многочлен и бОльшей степени, это не повлияет на результат. Даже «очень скромная» степенная функция «одолеет» на «плюс» бесконечности «логарифмического монстра»: , ибо степенная функция более высокого порядка роста, чем логарифмическая, вне зависимости от положительного значения степени и вне зависимости от основания логарифма. Образно говоря, степени – это игроки более высокой лиги, всегда берущие верх над лигой логарифмов, может быть не сразу, но всегда.

Следует добавить, что приведённое выше утверждение далеко не очевидно при малых значениях степеней. Так, если начинающий энтузиаст будет исследовать предел    методом «пижонского» анализа (подставляя всё бОльшие и бОльшие значения «икс»), то почти наверняка придёт к неверному выводу, что этот предел равен нулю, ибо значения функции сначала очень долго убывают (впрочем, это лирическое и относительное суждение :)). Так, если мы возьмём скромную тысячу, то получим , что совсем не напоминает «плюс» бесконечность. При дальнейшем увеличении «икс» значения функции будут убывать, а затем… сломается калькулятор.

В этой связи покажем, что  – для корня любой степени (, целое), и для простоты я выбрал конкретный и традиционный натуральный логарифм. Чтобы устранить неопределённость, используем правило Лопиталя:
 – для любого конечного значения . Да, при больших значениях «эм» корень будет расти очень-очень медленно. Но неумолимо. Что и требовалось проверить.

Теперь пусть под логарифмом находится произвольный многочлен «энной» степени, опять же для простоты я запишу его с единичными коэффициентами, они не играют роли:

Порядок роста многочлена определяется его старшим слагаемым  – всё остальное можно не учитывать («отбросить»), что мы делали неоднократно. То есть при записанный выше логарифм эквивалентен логарифму . Таким образом:
 – и далее получаем тот же качественный результат по правилу Лопиталя.

Следующий факт хорошо знакОм: степенная функция  заданной степени «альфа»  растёт быстрее, чем любая аналогичная функция более низкой степени. И быстрее, чем сумма любого количества таких функций, вне зависимости от их числовых коэффициентов. Это сравнение мы разобрали ранее и вспомнили не далее, как в предыдущем абзаце. Поэтому продолжаем.

Показательная функция  с любым основанием более высокого порядка роста, чем любая степенная функция . И, по аналогии, чем сумма любого количества таких степенных функций.
Как вы думаете, чему равен предел ? Давайте применим наш умозрительный анализ и подставим десять:  – вверху получилось культовое для информатики число, а внизу – известное число «гугол» (единица со 100 нулями). И казалось бы, ну вот точно – это предел равен нуля. Но нет, , а всё потому, что показательная функция более высокого порядка роста, чем степенная. При  функция  начинает «обгонять»  и вытягивает предел на «плюс» бесконечность.

А теперь внимание!

Никогда не используйте подобные методы и обоснования в доказательствах

Такие утверждения и приёмы годны лишь для изученных функций. Если где-то кто-то кого-то «обгоняет», то это ещё ничего не значит. В новейшей истории математики известны случаи, когда численными методами получали «незыблемые» результаты, но затем теория эти результаты опровергала. И это с современной вычислительной техникой…

Излагаемые факты строго доказаны. Обоснуем в частности наш предел:

И, используя правило Лопиталя ещё 99 раз, получаем:

, в чём и требовалось убедиться.

Аналогично можно проверить общий случай , продифференцировав числитель и знаменатель нужное количество раз, пока степенная функция не растает под чарами дифференцирования.

Очевидно, к такому же результату мы придём, если внизу многочлен.

Но, пожалуй, довольно «страшилок», вот более прозрачный пример:
   – здесь  начинает очень быстро «одолевать» многочлен.

И, конечно, кони сравнимы между собой:  показательная  функция  с заданным основанием  растёт быстрее, чем любая аналогичная функция меньшего основания: , вне зависимости от числовых коэффициентов  и .

Дежурные примеры: , ибо , , т. к.  , и т. п.

«Разношёрстные» пределы, как правило, не предлагают в типовых работах по теме, но они часто возникают в других разделах вышмата, и если вы встретите подобный предел, то смело можете записывать результат, ссылаясь на порядок роста. Или же используйте правило Лопиталя в несложных случаях а-ка  – раз, два и готово!

И я бы был не я, если бы не предложил вам практику, несмотря на то, что статья носит теоретический характер:

Задание

а) Сопоставить порядок роста показательных функций  при  в зависимости от неотрицательных значений  и .

б) Сопоставить порядок роста показательной  и степенно-показательной функции

в) Содержит ли множество  следующие функции:

Решаем самостоятельно, постарайтесь не заглядывать в образец.

До скорых встреч в Стране лилипутов!

Задание. Решение:

 а) Начнём с вырожденного случая , где функции принимают вид . Функции-константы не растут и не убывают, и можно сказать, имеют нулевой порядок роста.

Пусть теперь  и . Тогда:
, то есть функции одного порядка роста.

И, наконец, случай, когда один коэффициент больше другого, для определённости положим . Тогда, по правилу действий со степенями:
  (т. к.  и )

Таким образом, при  функция более высокого порядка роста, нежели , вне зависимости от коэффициентов  и .

б) Составим и вычислим предел отношения этих функций:
 – вне зависимости от конкретного значения «а», таким образом, степенно-показательная функция более высокого порядка роста, чем показательная.

в)  – это множество всех функций, порядок роста которых не превосходит порядка роста экспоненты.
 – да, так как они одного порядка роста: .
 – нет, т. к. она более высокого порядка роста: .

 – нет, по той же причине, эта показательная функция растёт быстрее .

 – да, так как любая степенная функция более низкого порядка роста, чем показательная.

  – конечно, логарифм многочлена и подавно более низкого порядка роста.

Теперь разберёмся с функцией . Рассмотрим аргумент логарифма: его порядок роста зависит от старшего слагаемого  (обладающего наибольшим порядком роста). Всё остальное можно отбросить, иными словами, при  функция   эквивалентна исходному логарифму. А это не что иное, как линейная функция, по свойству логарифмов: .
Таким образом, функция   эквивалентна линейной (в плане порядка роста) и, конечно же, входит во множество .

Автор: Емелин Александр

Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу сайта)