Методы решения пределов. Неопределённости. Порядок роста функции. Метод замены
На уроках Пределы. Примеры решений, Замечательные пределы мы рассмотрели азы темы, и данная статья продолжает наше погружение в мир пределов. Помимо закрепления материала, будет много новой информации о методах решения пределов, и, конечно же, примеры, примеры, примеры со всеми техническими тонкостями решений. Качественная проработка урока позволит выйти на уверенный средний уровень даже полному чайнику.
Что необходимо знать и уметь на данный момент?
– Вы должны ПОНИМАТЬ, что такое предел функции. Не выучить, не зазубрить, а именно понять хотя бы на общем, интуитивном уровне. Поэтому, если пределы сродни китайской грамоте, пожалуйста, начните с базового урока Пределы. Примеры решений, а также загляните в справку Графики и свойства элементарных функций, где я проиллюстрировал геометрический смысл понятия.
– Необходимо уметь использовать основные методы решения пределов и справляться с наиболее распространёнными заданиями. Очень хорошо, если кроме примеров моих первых двух уроков, вы порешали (или попытались порешать) что-нибудь дополнительно.
Есть? Едем дальше. Начнём с пары вопросов, которые вызвали недопонимание у некоторых посетителей сайта. За 2 года в отзывах и личной переписке мне удалось выяснить те моменты, которые недостаточно подробно рассмотрены в ранних статьях. И сейчас самое время акцентировать на них внимание.
Первый вопрос затрагивает саму сущность предела. В черновой версии урока я даже процитировал Винни-Пуха: «Куда идём мы с Пятачком, большой-большой секрет». Но потом убрал… нехорошо как-то… выходит все, кто этого не понял – медведи с опилками в голове.
«Чему равен предел ?» (пример условный)
Действительно, чему?
Здесь не указано, куда стремится «икс», и такая запись не имеет смысла:
Предел функции не летает где-то по воздуху на воздушном шаре, он может существовать (или не существовать) только в определённой точке (в частности, в точке или ). Например:
Заодно вспоминаем примитивный, но важный приём – чтобы вычислить предел, сначала нужно попытаться подставить значение «икс» в функцию. В случае с бесконечностью очевидно, что:
Иными словами, если , то функция неограниченно возрастает.
Тут «икс» стремится к «минус бесконечности», и под корнем нарисуется бесконечно большое отрицательное число.
Итак, в природе не существует «просто предела». Предел может существовать (или не существовать) лишь в определённой точке, в частности, в точке «плюс бесконечность» или «минус бесконечность».
В процессе оформления практических примеров постарайтесь придерживаться следующей рекомендации: не допускайте неполной записи вроде , это одна из самых скверных оплошностей. Презумпция виновности студента утверждает, что он либо совсем не в теме, либо откуда-то впопыхах списал пример.
Второй вопрос касается путаницы с неопределённостями, которые возникают в ходе решения более сложных пределов. Систематизируем информацию:
Что в пределах функций ЯВЛЯЕТСЯ неопределённостью и НЕ ЯВЛЯЕТСЯ неопределённостью
Прежде всего, перед решением любого предела, обязательно выполняем подстановку «икса» в функцию – неопределённости может и не быть! Однако сладостей много вредно, и на первых двух уроках мы сталкивались со следующими неопределённостями:
Кроме указанных видов, существует довольно распространённая неопределённость («бесконечность минус бесконечность»), которую мы подробно разберём в этой статье, и совсем редко встречаются неопределённости .
Для того чтобы устранить неопределённость, как вы знаете, необходимо использовать некоторые правила и методы решения пределов.
Теперь о том, ЧТО НЕ ЯВЛЯЕТСЯ неопределённостью.
Неопределённостью не является:
– Любая определённость =)
– Бесконечно малое число, делённое на ненулевую константу: . Сюда же можно отнести бесконечно малое число, делённое на бесконечно большое число:
– Ненулевая константа, делённая на бесконечно малое число, например: .
– Начинающие изучать математический анализ, часто пытаются устранить мифическую неопределённость . Но все попытки тщетны, поскольку это определённость:
представим «бесконечность делить на ноль» в виде произведения: , и, согласно предыдущему пункту: . Приведу живой пример:
Примечание: на практике значок часто записывают без «плюса»: , но, строго говоря, это две разные вещи. Для простоты я буду считать второе обозначение «плюс бесконечностью» и иногда в целях бОльшей чёткости изложения ставить знак «плюс».
– Число, не равное единице, в бесконечно большой степени не является неопределённостью. Например: . В частности: .
– Разность двух функций, каждая из которых стремится к нулю, например: . Таким образом, неопределённости «ноль минус ноль» тоже не существует – это определённость.
Многие из перечисленных неопределённостей и определённостей уже встречались и ещё неоднократно встретятся на практике.
До нового 2013 года остаются считанные дни, и в качестве подарка я принёс увесистый ящик с петардами:
Порядок роста функции
В данном параграфе будут разобраны пределы с многочленами, многочленами под корнем, когда или . Материал вам уже частично знаком, и настала пора разобраться в нём как следует. Давайте научимся находить решение в считанные секунды!
Вычислим следующий предел:
На базовом уроке Пределы. Примеры решений я рекомендовал рассуждать не совсем корректным способом: сначала «икс» равно 10, потом, 100, затем 1000, миллион и т.д. до бесконечности. В чём изъян такого подхода? Построим данную последовательность:
Исходя из полученных результатов, складывается стойкое впечатление, что предел стремится к «минус бесконечности», но на поверку впечатление кардинально ошибочно:
В этой связи необходимо знать теорию матана, а именно, некоторые выкладки о порядке роста функции.
Применительно к нашему примеру можно сказать, что слагаемое обладает более высоким порядком роста, чем сумма . Иными словами, при достаточно больших значениях «икс» слагаемое «перетянет» на «плюс бесконечность» всё остальное:
При небольших значениях «икс» – да, сладкая парочка перетягивает канат в сторону «минус бесконечности», что и привело нас к неверному первоначальному выводу. Но уже при получается гигантское положительное число .
Если сильно уменьшить первое слагаемое, то от этого ничего не изменится: , будет лишь отсрочен тот момент, когда бравая дробь «вытянет» весь предел на «плюс бесконечность». Не поможет и «усиление противовеса»:
.
Нулей можете приписать, сколько хотите (без шуток). Удивительная наука математический анализ – способна низвести любого монстра до мелочи пузатой.
Таким образом, кубическая функция имеет более высокий порядок роста, чем:
– квадратичная функция;
– линейная функция;
– функция-константа;
– сумма квадратичной функции, линейной функции и константы (в любых комбинациях).
На простейшем примере поясню геометрический смысл вышесказанного. Представьте графики линейной , квадратичной и кубической функций (см. методичку Графики и свойства функций). Легко заметить, что при увеличении значений «икс», кубическая парабола взмывает вверх гораздо быстрее и круче, чем парабола и, тем более, прямая.
Аналогичное правило можно сформулировать для любой степени:
Степенная функция данной степенирастёт быстрее, чем любая степенная функция более низкой степени. И быстрее, чем сумма любого количества степенных функций более низкой степени.
Найдём предел
Значение данного предела зависит только от слагаемого . Всё остальное МЫСЛЕННО отбрасываем: , и теперь ясно как день, что предел стремится к «минус бесконечности»:
То есть, слагаемое более высокого порядка роста, чем всё остальное.
У «хвоста» могут быть сколь угодно большие константы, другие знаки, но результат от этого НЕ ИЗМЕНИТСЯ.
Сравнение бесконечно больших функций
На первом уроке мы вычислили три предела с неопределённостью :
В перечисленных примерах используется стандартный приём деления числителя и знаменателя на «икс» в старшей степени и всё расписывается подробно. Но правильный ответ легко выяснить ещё до решения!
В первом примере в числителе и знаменателе МЫСЛЕННО отбрасываем все младшие слагаемые:
.
В таких случаях говорят, что функции числителя и знаменателя обладают одинаковым порядком роста. Или короче – числитель и знаменатель одного порядка роста. Действительно, в данном пределе и вверху, и внизу находятся квадратичные функции. Мир, равенство, братство.
Во втором примере аналогично – в числителе и знаменателе МЫСЛЕННО уберём всех малышей:
Здесь знаменатель более высокого порядка, чем числитель. Функция-многочлен 4-й степени растёт быстрее кубической функции и «перетягивает» предел на ноль.
И, наконец, в пределе карлики тоже идут лесом:
А в этом примере всё наоборот – числитель более высокого порядка, чем знаменатель. Квадратичная функция растёт быстрее линейной и «перетягивает» предел на «плюс бесконечность».
Сделаем краткую теоретическую выжимку. Рассмотрим две произвольные функции , которые определены на бесконечности.
1) Если , где – ненулевая константа, то функции имеют одинаковый порядок роста. Если , то функции называют эквивалентными на бесконечности.
2) Если , то функция более высокого порядка роста, чем .
3) Если , то функция более высокого порядка роста, чем .
! Примечание: при суть выкладок не меняется.
Подчеркиваю ещё раз, что данные факты относятся к произвольным функциям, определённым на бесконечности, а не только к многочленам. Но у нас ещё непаханое поле полиномов, поэтому, продолжаем работать с ними… да вы не грустите, для разнообразия я добавлю корней =)
Пример 1
Найти предел
В наличии неопределённость и приём решения уже знаком – нужно разделить числитель и знаменатель на «икс» в старшей степени.
Старшая степень числителя равна двум. Знаменатель…. Как определить старшую степень, если многочлен под корнем? МЫСЛЕННО отбрасываем все слагаемые, кроме самого старшего: . Константу тоже отбрасываем и выясняем старшую степень знаменателя: . Она тоже равна двум. Таким образом, числитель и знаменатель одного порядка роста, а значит, предел равен конечному числу, отличному от нуля.
Почему бы сразу не узнать ответ? В числителе и знаменателе МЫСЛЕННО отбрасываем все младшие слагаемые: . Таким образом, наши функции не только одного порядка роста, но ещё и эквивалентны на бесконечности.
Оформляем решение:
Разделим числитель и знаменатель на
В действительности пару шагов можно пропустить, просто я подробно расписал, как в знаменателе под корень вносится .
Пример 2
Найти предел
Это пример для самостоятельного решения. Постарайтесь провести рассуждения по образцу первого примера. Также заметьте, что здесь неопределённость , что необходимо отразить в решении. Примерный образец чистового оформления примера в конце урока.
Во избежание недочёта, всегда анализируйте, какая неопределённость получается в пределах рассматриваемого вида. Помимо неопределённости может встретиться неопределённость либо . Во всех четырёх случаях числитель и знаменатель необходимо разделить на «икс» в старшей степени.
Пример 3
Найти предел
Слишком трудный предел? Лёгкий испуг от хлопушки. Главное, грамотно управиться с радикалами.
Проведём предварительный анализ:
Сначала выясним старшую степень числителя. Там сумма двух корней. Под корнем отбросим младшее слагаемое: и уберём константу: . Под корнем отбросим все младшие слагаемые: .
, значит, старшая степень числителя: .
Разбираемся с нижним этажом. Под корнем отбрасываем константу: . У многочлена старшая степень равна двум.
, значит, старшая степень знаменателя: .
Кстати, заметьте, что корень более высокого порядка роста, чем , поэтому весь знаменатель будет стремиться к «плюс бесконечности».
Сравниваем старшие степени: , следовательно, числитель более высокого порядка роста, чем знаменатель, и сразу можно сказать, что предел будет равен бесконечности.
Оформляем решение, я распишу его максимально подробно:
Разделим числитель и знаменатель на «икс» в старшей степени: :
Действия в числителе прозрачны, закомментирую знаменатель. У дроби «разнокалиберные» корни, и квадратный корень необходимо «подогнать» под кубический корень . Составим и решим уравнение: . Таким образом: .
Ну и на всякий случай напоминаю формулу , по которой выполняется деление:
Другие члены знаменателя:
Правила действий с корнями можно найти на странице Математические формулы и таблицы в методичке Горячие формулы школьного курса математики. Также на действиях с радикалами я подробно останавливался при нахождении производных.
Пример 4
Найти предел
Это более простой пример для самостоятельного решения. В предложенном примере снова неопределённость ( более высокого порядка роста, чем корень ).
Если «икс» стремится к «минус бесконечности»
Призрак «минус бесконечности» уже давно витал в этой статье. Рассмотрим пределы с многочленами, в которых . Принципы и методы решения будут точно такими же, что и в первой части урока, за исключением ряда нюансов.
Рассмотрим 4 фишки, которые потребуются для решения практических заданий:
1) Вычислим предел
Значение предела зависит только от слагаемого , поскольку оно обладает самым высоким порядком роста. Если , то бесконечно большое по модулю отрицательное число в ЧЁТНОЙ степени, в данном случае – в четвёртой, равно «плюс бесконечности»: . Константа («двойка») положительна, поэтому:
2) Вычислим предел
Здесь старшая степень опять чётная, поэтому: . Но перед расположился «минус» (отрицательная константа –1), следовательно:
3) Вычислим предел
Значение предела зависит только от . Как вы помните из школы, «минус» «выскакивает» из-под нечётной степени, поэтому бесконечно большое по модулю отрицательное число в НЕЧЁТНОЙ степени равно «минус бесконечности», в данном случае: .
Константа («четвёрка») положительна, значит:
4) Вычислим предел
Первый парень на деревне снова обладает нечётной степенью, кроме того, за пазухой отрицательная константа, а значит: Таким образом:
.
Пример 5
Найти предел
Используя вышеизложенные пункты, приходим к выводу, что здесь неопределённость . Числитель и знаменатель одного порядка роста, значит, в пределе получится конечное число. Узнаем ответ, отбросив всех мальков:
Решение тривиально:
Разделим числитель и знаменатель на
Пример 6
Найти предел
Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.
А сейчас, пожалуй, самый тонкий из случаев:
Пример 7
Найти предел
Рассматривая старшие слагаемые, приходим к выводу, что здесь неопределённость . Числитель более высокого порядка роста, чем знаменатель, поэтому сразу можно сказать, что предел равен бесконечности. Но какой бесконечности, «плюс» или «минус»? Приём тот же – в числителе и знаменателе избавимся от мелочи:
Если , то слагаемые с чётными степенями будут стремиться к бесконечно малым положительным числам (обозначаются через ), а слагаемые с нечётными степенями будут стремиться к бесконечно малым отрицательным числам (обозначаются через ).
Теперь зададимся вопросом, какое из этих четырёх слагаемых будет стремиться к нулю (неважно с каким знаком) медленнее всего? Вспомним наивный приём: сначала «икс» равно –10, потом –100, затем –1000 и т.д. Медленнее всего к нулю будет приближаться слагаемое . Образно говоря, это самый «жирный» ноль, который «поглощает» все остальные нули. По этой причине на завершающем этапе и появилась запись .
Следует отметить, что знаки бесконечно малых слагаемых числителя нас не интересуют, поскольку там нарисовалась осязаемая добротная единичка. Поэтому в числителе я поставил «просто нули». К слову, знаки при нулях не имеют значения и во всех примерах, где в пределе получается конечное число (Примеры №№5,6).
Без измен, на то он и математический анализ, чтобы анализировать =)
Популярная неопределённость устраняется тремя распространёнными способами:
– приведением выражения под знаком предела к общему знаменателю;
– умножением/делением на сопряжённое выражение;
– преобразованием логарифмов.
Рассмотрим первый случай, о котором я ещё не рассказывал:
Пример 9
Вычислить предел
В данном пределе имеет место неопределённость , и общий алгоритм решения незамысловат: необходимо привести выражение к общему знаменателю, а затем попытаться что-нибудь сократить:
(1) Раскладываем знаменатели на множители: в первом знаменателе выносим «икс» за скобки, во втором знаменателе используем формулу разности кубов . Данный шаг можно было пропустить, но этим пришлось бы заниматься потом, и, на мой взгляд, разложение на множители удобнее провести сразу же.
(2) Приводим выражение к общему знаменателю.
(3) Приводим подобные слагаемые в числителе. Неопределённость трансформировалась в неопределённость , которая стандартно раскрывается разложением числителя и знаменателя на множители.
(4) Знаменатель уже разложен на множители. Раскладываем на множители числитель, в данном случае использована формула .
(5) Сокращаем числитель и знаменатель на , устраняя неопределённость.
Как видите, новизны-то особой и нет.
Аналогичное задание для самостоятельного решения:
Пример 10
Вычислить предел
Решение и ответ в конце урока
Второй вид пределов с неопределённостью представляет собой разность, в которой присутствуют два или один корень:
Пример 11
Вычислить предел
Каноничный образец. Метод решения подробно разобран на уроке Пределы. Примеры решений. Необходимо умножить и разделить на сопряженное выражение, чтобы потом воспользоваться формулой
Умножим и разделим на сопряженное выражение:
Неопределённость превратилась в неопределённость . Узнаёте? Такие семечки мы грызли в первом разделе данного урока.
Числитель и знаменатель одного порядка роста, а значит, предел равен конечному числу. Разделим числитель и знаменатель на :
Не редкость, когда в разности всего один корень, но это не меняет алгоритма решения:
Пример 12
Вычислить предел
Пример 13
Вычислить предел
Это пара коротких примеров для самостоятельного решения.
Следует отметить, что пределы рассмотренного типа не обязаны равняться конечному числу, вполне может получиться и бесконечность, причём, как «плюс», так и «минус». Кстати, в примере №13 можно посмотреть на порядок роста членов, чтобы сразу выяснить ответ ;-)
Иногда на практике встречаются пределы-«обманки», в которых неопределённости «бесконечность минус бесконечность» нет вообще, вот простейший пример:
Таким образом, будьте предельно внимательны: перед решением предела необходимо убедиться, что неопределённость действительно есть!
В заключительной части статьи вернёмся к незаслуженно забытым замечательным пределам, где рассмотрим, в том числе, третий тип пределов с неопределённостью .
Метод замены переменной в пределе
Весьма ходовой приём решения. Метод замены переменной применяют чаще всего для того, чтобы свести решение к первому замечательному пределу, намного реже – к другому замечательному пределу. Рассмотрим пару типовых образцов:
Пример 14
Найти предел
Решаем:
В пределе находится арктангенс, от которого хорошо бы избавиться. Логично и очень удобно превратить «арк» в одну единственную букву. Проведём замену переменной: .
Теперь в пределе нужно выразить всё остальное через «тэ».
Во-первых, выясним, куда будет стремиться новая переменная «тэ»:
Если , то , иными словами, новоиспеченная переменная тоже будет стремиться к нулю:
Осталось в знаменателе выразить «икс» через «тэ». Для этого на обе части равенства «навешиваем» тангенсы:
В правой части две взаимно обратные функции уничтожаются:
, откуда:
Используемые формулы и приёмы решения завершающего этапа очень подробно разобраны в первой части урока Замечательные пределы.
Пример 15
Найти предел
Это пример для самостоятельного решения. Примерный образец чистового оформления в конце урока.
Ещё пара занятных примеров на тему замены переменной:
Пример 16
Найти предел
При подстановке единицы в предел получается неопределённость . Замена переменной уже напрашивается, но сначала преобразуем тангенс по формуле . Действительно, зачем нам тангенс?
Заметьте, что , поэтому . Если не совсем понятно, посмотрите значения синуса в тригонометрической таблице. Таким образом, мы сразу избавляемся от множителя , кроме того, получаем более привычную неопределённость 0:0. Хорошо бы ещё и предел у нас стремился к нулю.
Проведем замену:
Если , то
Под косинусом у нас находится «икс», который тоже необходимо выразить через «тэ».
Из замены выражаем: .
Это были несложные задачи в своём классе, на практике всё бывает хуже, и, помимо формул приведения, приходится использовать самые разные тригонометрические формулы, а также прочие ухищрения. В статье Сложные пределы я разобрал пару настоящих примеров =)
В канун праздника окончательно проясним ситуацию ещё с одной распространённой неопределённостью:
Устранение неопределённости «единица в степени бесконечность»
Данную неопределённость «обслуживает» второй замечательный предел, и во второй части того урока мы очень подробно рассмотрели стандартные примеры решений, которые в большинстве случаев встречаются на практике. Сейчас картина с экспонентами будет завершена, кроме того, заключительные задания урока будут посвящены пределам-«обманкам», в которых КАЖЕТСЯ, что необходимо применить 2-й замечательный предел, хотя это вовсе не так.
Недостаток двух рабочих формул 2-го замечательного предела состоит в том, что аргумент должен стремиться к «плюс бесконечности» либо к нулю. Но что делать, если аргумент стремится к другому числу?
На помощь приходит универсальная формула (которая на самом деле является следствием второго замечательного предела):
Неопределённость можно устранить по формуле:
Где-то вроде уже пояснял, что обозначают квадратные скобки. Ничего особенного, скобки как скобки. Обычно их используют, чтобы чётче выделить математическую запись.
Выделим существенные моменты формулы:
1) Речь идёт только о неопределённости и никакой другой.
2) Аргумент «икс» может стремиться к произвольному значению (а не только к нулю или ), в частности, к «минус бесконечности» либо к любому конечному числу.
С помощью данной формулы можно решить все примеры урока Замечательные пределы, которые относятся ко 2-му замечательному пределу. Например, вычислим предел :
В данном случае , и по формуле :
Правда, делать так не советую, в традициях всё-таки применять «обычное» оформление решения, если его можно применить. Однако с помощью формулы очень удобно выполнять проверку «классических» примеров на 2-й замечательный предел.
Всё это хорошо, правильно, но сейчас в кадре более любопытные кадры:
Пример 18
Вычислить предел
На первом шаге, не устану повторять, подставляем значение «икс» в выражение под знаком предела. А вдруг никакой неопределённости вообще нет? Так бывает! Но не в этот раз. Подставляя «тройку», приходим к выводу, что здесь неопределённость
Используем формулу
Чтобы не таскать за собой букву «е» и не мельчить, показатель удобнее вычислить отдельно:
В данном случае:
Таким образом:
С точки зрения техники вычислений всё рутинно: сначала приводим первое слагаемое к общему знаменателю, затем выносим константы и проводим сокращения, избавляясь от неопределённости 0:0.
В результате:
Готово.
Обещанный подарок с разностью логарифмов и неопределённостью :
Пример 19
Вычислить предел
Сначала полное решение, потом комменты:
(1)-(2) На первых двух шагах используем формулы . У сложных производных мы «разваливаем» логарифмы, а здесь, наоборот – их нужно «собрать».
(3) Значок предела перемещаем под логарифм. Это можно сделать, поскольку данный логарифм непрерывен на «минус бесконечности». Кроме того, предел же относится к «начинке» логарифма.
(4)-(5) Стандартным приёмом, рассмотренным на базовом уроке про замечательные пределы, преобразуем неопределённость к виду .
(6) Используем формулу .
(7) Экспоненциальная и логарифмическая функция – взаимно обратные функции, поэтому и «е» и логарифм можно убрать. Действительно, согласно свойству логарифма: . Минус перед дробью вносим в знаменатель:
(8) Без комментариев =)
Рассмотренный тип предела не такой редкий, примеров 30-40 у себя нашёл.
Пример 20
Вычислить предел
Это пример для самостоятельного решения. Помимо использования формулы, можно представить предел в виде и заменой свести решение к случаю .
В заключение рассмотрим пределы-«фальшивки».
Вернёмся к неопределённости . Данную неопределённость далеко не всегда можно свести к неопределённости и воспользоваться 2-м замечательным пределом либо формулой-следствием. Преобразование осуществимо в том случае, если числитель и знаменатель основания степени – эквивалентные бесконечно большие функции. На пример: .
Отвлечёмся от показателя и вычислим предел основания:
В пределе получена единица, значит, числитель и знаменатель не просто одного порядка роста, а ещё и эквивалентны. На уроке Замечательные пределы. Примеры решений мы без проблем свели данный пример к неопределённости и получили ответ.
Аналогичных пределов можно придумать очень много:
и т.д.
Дроби данных примеров объединяет вышеуказанная особенность: . В других случаях при неопределённости 2-й замечательный предел не применим.
Пример 21
Найти пределы
Как ни старайся, а неопределённость не удастся преобразовать в неопределённость
Здесь числители и знаменатели оснований одного порядка роста, но не эквиваленты: .
Таким образом, 2-й замечательный предел и, тем более формулу, ПРИМЕНИТЬ НЕЛЬЗЯ.
! Примечание: не путайте с Примером №18, в котором числитель и знаменатель основания не эквивалентны. Там готовая неопределённость , здесь же речь идёт о неопределённости .
Метод решения пределов-«подделок» прост и знакОм: нужно числитель и знаменатель основания разделить на «икс» в старшей степени (невзирая на показатель):
Если числитель и знаменатель основания разного порядка роста, то приём решения точно такой же:
Пример 22
Найти пределы
Это короткие примеры для самостоятельного изучения
Иногда неопределённости может не быть вообще:
Подобные фокусы особенно любимы составителями сборника Кузнецова. Вот почему очень важно ВСЕГДА на первом шаге выполнять подстановку «икса» в выражение под знаком предела!
Завершая тотальное разоблачение пределов, я хочу поздравить всех посетителей сайта с новым 2013 годом! С подарком я успел, и постинг данной статьи осуществлен 31 декабря 2012 года. Вы спросите, а как же моя личная подготовка к празднику? Давно готов =) На протяжении многих лет я занимаюсь стратегическим планированием – чтобы не толкаться в очередях до и не пересекаться с краснокожими после =)
Берегите печень!
Решения и ответы:
Пример 2
Старшая степень числителя: 2; старшая степень знаменателя: 3. Разделим числитель и знаменатель на :
Пример 4
Разделим числитель и знаменатель на :
Примечание: самым последним действием умножили числитель и знаменатель на , чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе.
Пример 6
Разделим числитель и знаменатель на :
Пример 8
Разделим числитель и знаменатель на :
Примечание: слагаемое стремится к нулю медленнее, чем , поэтому является «главным» нулём знаменателя.
Пример 10
Пример 12
Умножим и разделим на сопряженное выражение:
Пример 13
Умножим и разделим на сопряженное выражение:
Разделим числитель и знаменатель на :
Пример 15
Проведём замену: Если , то .
Пример 17
Проведём замену: Если , то . Далее используем формулу приведения , тригонометрическую формулу и первый замечательный предел:
Пример 20
Используем формулу
Пример 22
Примечание: бесконечно малая функция стремится к нулю медленнее, чем , поэтому «более большой» ноль знаменателя играет определяющую роль: