ТФКП для начинающих. Функция комплексной переменной

Не занимайтесь комплексными функциями после комплексного обеда #2

Открываем новый раздел под названием теория функции комплексной переменной (ТФКП), часто также говорят, комплексного переменного. Теории будет, как обычно, немного – больше практики, в соответствии с концепцией проекта.

Начинающим рекомендую изучать всё по порядку, к слову, вы уже далеко не «чайники», и для «самоваров» – оглавление, ибо урок задался недетский:

комплексные числа, быстрое повторение;
введение в ТФКП, рекомендуемая доступная литература;
понятие функции комплексной переменной, простейшие примеры;
комплексная экспонента;
комплексный синус и косинус, ну и тангенс с котангенсом, вестимо;
комплексные гиперболические функции;
формула Эйлера;
действительная и мнимая часть комплексной функции;
комплексный логарифм;
комплексная степеннАя и показательная функция;
комплексные обратные тригонометрические функции;
комплексные обратные гиперболические функции,

+ план дальнейшего освоения темы.

Поехали:

для изучения раздела нужно знать, что такое комплексные числа и уметь выполнять действия с ними. Но азы быстренько повторим, да и новенькая инфа сразу будет:

комплексное число – это двумерное число вида , где и – произвольные действительные числа, а – мнимая единица. Число – это действительная часть () комплексного числа , число – его мнимая часть () .

Множество комплексных чисел обозначают стилизованной, утолщённой или жирной буквой .

Комплексные числа изображают на комплексной плоскости, которая состоит из действительной оси, мнимой оси и начала координат:

Кроме того, будем рассматривать бесконечно удалённую точку . В теории строго доказано (и показано), что она единственна – в какую бы сторону комплексной плоскости мы ни уходили, то будем приближаться к этой точке. …Ну вот и повеяло матаном :)

Запись называют алгебраической формой комплексного числа, но это не единственный вариант. Любое комплексное число (кроме нуля) можно представить в тригонометрической форме , где – это модуль комплексного числа, а – его аргумент.

Модуль – это расстояние от соответствующей точки комплексной плоскости до начала координат (красный отрезок на чертеже выше), аргумент – это угол между положительной полуосью действительной оси и соответствующим отрезком (зелёная стрелка).

Если число, расположено в верхней полуплоскости либо на оси , то аргумент, очевидно, находится в пределах . Если же число лежит в нижней полуплоскости, то угол принято «откручивать» по часовой стрелке и добавлять к нему знак «минус», а посему он принимает значения из интервала . Значение из промежутка называют главным значением аргумента. Ещё есть не главные, их бесконечно много. Это когда к главному «прикручиваются» обороты, так, вместо угла можно невозбранно рассмотреть или, например, . Впрочем, за последний вариант бранить вас будут :)

Таким образом, аргумент можно записать в виде:
, где принимает все целые значения . Далее под записью будем понимать именно главное значение аргумента, когда .

Что касаемо формул, то здесь разнообразие. И чтобы не писать слишкоммногобуков:

ну а с геометрией (где какие числа лежат) разберитесь самостоятельно. И выпишите, кстати, эти формулы на листочек, будет удобно в них заглядывать.

…Что ещё? Ещё вспомним понятие сопряженного комплексного числа. Числа вида , называют сопряжёнными (по отношению друг к другу). Обратите внимание на чёрточку сверху второго числа – это общепринятое обозначение.

Теперь переходим непосредственно к теме с аббревиатурой ТФКП, которую также называют комплЕксным анализом. Не ошибайтесь в ударении – это как компАсы у матросов или дОбыча у горняков, к тому же кОмплексный анализ подразумевает нечто другое, а именно всеобъемлющий анализ чего-либо.

А анализ комплЕксный – это анализ математический с его основными понятиями: функция, предел, непрерывность, производная, интеграл, ряд и др. С той поправкой, что все эти вещи рассматриваются в комплексной области.

Сейчас, когда вы читаете эти строки, на сайте представлены далеко не все темы ТФКП, поэтому я сразу приведу рекомендуемый список доступной литературы. Для наработки практики можно использовать следующие источники:

– М. Л. Краснов, А. И. Киселёв, Г. И. Макаренко - Функции комплексного переменного. Задачи и примеры с подробными решениями;

– П. Е. Данко и КО - Высшая математика в упражнениях и задачах;

– методичка Пожарского А. А. (СПбГУ) – очень обстоятельный источник с достаточно редкими темами; также мне понравились методички мехмата и КФУ.

И потребителям теории:

– И. И. Привалов - Введение в теорию функции комплексного переменного – имеет статус учебника, что дорогОго стОит;

– И. Г. Араманович, Г. Л. Лунц. Л. Э. Эльсгольц - Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости.

+ конечно, стандартные кирпичи по матану, Бохан, Фихтенгольц и др.

Выражаю благодарность посетителям, которые порекомендовали некоторые из этих источников в тематическом посте нашего блога, кстати, загляните – найдёте массу полезной информации.

Начинаем. И начнём мы с основополагающего понятия:

функцией комплексной переменной называют правило (закон) , по которому каждому допустимому комплексному значению ставится в соответствие одно или бОльшее количество значений .

В первом случае функцию называют однозначной, первое, что пришло в голову: , во втором – многозначной, классика жанра: – как вы помните, корень энной степени имеет ровно «эн» корней.

Рассмотрим . Очевидно, эта функция определена для всех значений , и не составляет никакого труда вычислить её значение в любой точке. Так, если , то . Геометрически это изображается с помощью двух комплексных плоскостей:

Плоскость, которая соответствует независимой переменной , обозначают , а плоскость, которая соответствует значениям функции – буквами . Большие буквы тоже можно использовать: и , что привычнее.

В отличие от действительной переменной, комплексная переменная не имеет определённого направления изменения, и мы можем двигаться по произвольной траектории в комплексной плоскости . При этом правило разные линии плоскости отображает в разные (в общем случае) линии плоскости . Таким образом, можно говорить о графике функции комплексной переменной. Правда, график этот специфический, у меня он ассоциируется с морозными узорами на стекле и масляными пятнами на воде. И что именно происходит – сразу понятно лишь в простых случаях, так, функция «вытягивает» все точки плоскости в 2 раза, отображая их на плоскость .

В некоторых источниках графики раскрашивают и даже строят трёхмерные модели, но мы не будем на этом останавливаться, важно, что у вас сложилось само понимание графика функции .

Немедленно приступаем к практике, повторяя заодно алгебраические действия с комплексными числами:

Пример 1

Вычислить значение комплексной функции в точке. Представить его в тригонометрической форме.

а) в точке ;
б) в точках , ;
и давайте ещё рассмотрим такой пример:
в) в точке .

Решение: а) Если функция задана «иксами» / «игреками», то всё очень просто. Это не что иное, как действительная и мнимая часть независимой переменной . В нашем случае , стало быть , и соответствующее значение функции:

Представим результат в тригонометрической форме. Для этого нужно найти его модуль:

и аргумент, поскольку , то (см. формулы выше):

Таким образом, .

И следующие пункты более распространены:

б) если функция задана непосредственно через «зет», то выполняем обычные действия, главное, помнить знаменитый квадрат и быть внимательным:

Вычислим значение функции в точке , используем формулу :

Вычислим значение той же функции в точке :

Представим полученные значения в тригонометрической форме. Найдём модуль и аргумент числа :

Таким образом, .

Теперь обратим внимание на следующую вещь: значения , получились сопряжёнными, а у таких чисел модули равны, а аргументы – противоположны по знаку. Сиё следует из элементарной геометрии.

Поэтому .

Напоминаю, что знак «минус» под косинусом ни в коем случае убирать нельзя (пользуясь чётностью косинуса). Минус из-под синуса тоже выносить не нужно. Если аргумент отрицателен, то записываем его именно так, как записано в этом примере.

в) Вычислим значение функции в точке :

Используем стандартный приём. Чтобы избавить от мнимой единицы на нижнем этаже, умножим числитель и знаменатель на сопряжённое знаменателю число, дабы воспользоваться формулой :

, модуль и аргумент находить не хочется.

А вот на счёт самой функции есть что сказать. Как вы прочувствовали, с комплексными числами можно делать многое, но на ноль всё-таки делить нельзя :) Поэтому данная функция определена для всех «зет», кроме . Запишем этот факт с помощью стандартного значка области определения функции: – все комплексные числа кроме нуля.

Таким образом, для комплексной функции в ходу те же понятия области определения и области значений функции.

Тренируемся самостоятельно – в лучших традициях я предлагаю самые интересные задания:

Пример 2

Вычислить значение комплексной функции в точке, найти его модуль и аргумент:

а) в точках ;
б) в точке

Решения и ответы в конце урока.

Хорошо, то были наиболее простые функции. Но как быть с экспонентой, логарифмом, синусом, косинусом и иже с ними функциями? Существуют ли они в комплексной области? Да, существуют! Правда, теряют «действительный» («школьный») смысл.

Комплексная экспонента – есть сумма функционального ряда:
– знакомая картинка, только раньше мы имели дело с действительной экспонентой («е в степени икс»), и теперь пришло время обобщить её на комплексный случай

Этот ряд сходится абсолютно к на всей комплексной плоскости (при любом конечном значении «зет».). О понятии сходимости ряда я рассказал, когда мы раскладывали в ряды действительные функции, но повторюсь и сейчас. Рассмотрим произвольное конечное «зет», например, . Если мы возьмём несколько первых членов ряда, скажем, три, то получим очень грубое приближение соответствующего значения экспоненты: Если членов взять больше, например, пять, то сумма (тоже конкретное число) уже будет лучше приближать истинное значение . И чем больше членов – тем точнее приближение. И, наконец, бесконечная сумма – в точности равна . Обращаю внимание, что значение не «летает где-то в воздухе» – ему соответствует определённая точка комплексной плоскости, и чуть позже мы представим это число в алгебраической форме .

Для комплексной экспоненты справедливы привычные свойства , и, кроме того, эта функция периодическая (да, вот такая неожиданность) с мнимым периодом , то есть справедливо равенство , где («ка» принимает все целые значения).

Комплексные синус и косинус – есть суммы следующих рядов:

которые абсолютно сходятся тоже на всей комплексной плоскости.

Это функции периодичные с привычным действительным периодом и нулями для синуса и для косинуса. Однако комплексные синус с косинусом могут приниматься любые значения, в том числе действительные, причём бОльшие единицы, поэтому что-то вроде – обычное себе дело.

Для комплексных тригонометрических функций справедливы все «действительные» тригонометрические формулы, в частности, .

Особое место в комплексном анализе занимают гиперболические функции, которые до сих пор оставались в тени. Гиперболический синус:

и гиперболический косинус:

Эти ряды элементарно получаются из разложения экспоненты для и для , и желающие могут вывести их самостоятельно. Гиперболический тангенс с котангенсом определяются аналогично: . Для комплексных гиперболиков справедливы «действительные» формулы, самая известная из них – основное гиперболическое тождество: .

Преобразуя соответствующие ряды, несложно выразить комплексный синус и косинус через экспоненту: , откуда следует их взаимосвязь с гиперболическими собратьями: , ну или так можно записать: .

Из разложений экспоненты, синуса и косинуса следует* важнейшая, я бы даже сказал одна из ключевых – формула Эйлера:

, где – произвольное действительное число.

* Самостоятельно подставьте в разложение экспоненты и получИте формулу.

В частности, если – аргумент комплексного числа , то мы можем записать его не только в тригонометрической , но ещё и в показательной форме . Таким образом, показательная форма комплексного числа – это не какая-то «надуманная» конструкция, а строгая вещь, основанная на формуле Эйлера.

Известнейший частный случай формулы соответствует значению :

– в результате чего получается экзистенциальное тождество, связывающее пять фундаментальных констант: ноль, единицу, «е», «пи» и «и». Этот факт приводил в восторг многих математиков, и мы с воодушевлением продолжаем тему.

С помощью формулы Эйлера легко представить в алгебраической форме любое значение экспоненты. Если – произвольное комплексное число, то:

В частности, для имеем:
– число в алгебраической форме. Значения и получились «плохими» (но конкретными!), поэтому так и оставляем.

Синус и косинус комплексного значения тоже можно представить в алгебраической форме, формулы приведу без вывода:

Так, для того же значения :

Ради исследовательского интереса проверьте формулы для произвольного действительного «зет», например, (учитывая, что ).

Эти три формулы (экспоненты, синуса, косинуса) перепишите себе на листок – будут постоянно требоваться на практике. Напомню также выражения , с помощью которых можно перейти от гиперболиков к «обычному» синусу и косинусу, ну а их формулы только что были выше.

Продолжаем:

Пример 3

а) вычислить значение функции в точке , результат представить в алгебраической форме;
б) Записать число в алгебраической форме;
в) …нет, маньячить не будем, решаем:

а) Вычислим значение функции в точке :

используем формулу :

б) Используем формулу :

И творческие примеры для самостоятельного решения:

Пример 4

а) решить уравнение (используйте запись );
б) представить в алгебраической форме число (формула есть выше!).

Сверяемся и продолжаем.

До сих пор мы находили значения функций «вручную», и возникает вопрос: а нельзя ли усовершенствовать процесс, чтобы сразу подставлять «икс» и «игрек» из в функцию и получать результаты? Конечно, можно! И нужно, ведь это удобно.

Функцию можно представить в виде , где и – это функции двух действительных переменных, которым посвящен целый раздел сайта. При этом функцию называют действительной частью функции , а – её мнимой частью.

Пример 5

Найти действительную и мнимую части функций, возьмём те, которые уже были:

а) ;
б) .

Решение: а) поскольку , то:

теперь нужно перегруппировать слагаемые – сначала записать те, в которых нет мнимой единицы, а потом те – где она есть, после чего вынести «и» за скобку:

Таким образом, действительная часть функции , а – её мнимая часть.

Как я уже отметил, запись удобно использовать для расчёта конкретных значений функции, например, в точке . Распишу очень подробно, хотя на самом деле вычисления здесь устные:

Что и говорить, это гораздо удобнее, чем подставлять непосредственно в . А если точек много, то без формы обойтись вообще практически невозможно.

б) Поскольку , то:

используем формулу Эйлера :

Таким образом, – действительная часть функции , а – её мнимая часть.

Самостоятельно:

Пример 6

Определить действительную и мнимую часть функций:

а) , формула куба суммы в помощь;
б) ;
в) .

Этого пока достаточно, ещё успеется много раз :)

И во второй части нашего увлекательного урока кратко познакомимся с другими функциями.

Комплексный логарифм определяется как функция, обратная к экспоненциальной, опуская выкладки:

, где («ка» принимает все целые значения), при этом называют главным значением логарифма, оно получается при и представИмо в алгебраической форме следующим образом:

Таким образом, логарифм можно расписать так:
, где .

Как видите, это многозначная функция, а точнее бесконечнозначная – каждому ненулевому значению «зет» соответствует бесконечно много значений «дубльвэ».

Для комплексного логарифма справедливы привычные формулы:

и не очень привычная:
, где – произвольное комплексное число.

Пример 7

Вычислить значения функции в точке .

Решение: запишем функцию в виде и вычислим её значения в точке :
и давайте сразу разберёмся, что здесь к чему.

А ситуация следующая: значению соответствует бесконечно много значений логарифма , прежде всего, это его главное значение (при ) и остальные значения . Можно ещё записать так:

Представим главное значение логарифма в алгебраической форме по формуле . Для этого найдём модуль и аргумент числа :

Таким образом:
, где – значения логарифма в алгебраической форме.

Пример 8

Вычислить и .

Быстренько решаем самостоятельно и переходим к другим функциям.

Общая степеннАя функция , где – произвольное комплексное число, определяется с помощью основного логарифмического тождества, справедливого и в комплексном случае:

Очевидно, эта функция многозначна, и её главное значение соответствует главному значению логарифма: .

Общая показательная функция , где определяется аналогично:
и имеет главное значение .

Рассмотрим «классические» примеры:

Пример 9

а) вычислить значения функции в точке ;
б) вычислить .

Решение: а) если , то значения степеннОй функции таковы:

Значения только что были найдены в Примере 8:
, – таким образом, «и» в степени «и», оказывается, равно бесконечному количеству действительных значений.

б) Логарифм можно вычислить двумя способами.

1) Непосредственно по определению:

Поскольку (см. предыдущий пункт) для всех , то все эти числа расположены на действительной положительной полуоси , а значит, их модули: , а аргумент . Таким образом:
, где .
Что это за конструкция? Здесь каждому целому значению «эм» соответствует бесконечно много целых значений «ка». Вот такое вот получилось множество значений .

2) Вычислим этот логарифм с помощью свойства :

ну а логарифм «и» был найден в Примере 8:
, где .

Пара примеров для самострельного решения:

Пример 10

а) записать в алгебраической форме ;
б) вычислить ;
в) найти значения функции в точке .

Результаты представить в алгебраической форме (формула Эйлера в помощь).

И на посошок арки. Обратные тригонометрические функции в комплексной области определяются как функции, обратные к , и выражаются через комплексный логарифм:

при этом в разных источниках вы можете встретить несколько разные формулы для арктангенса и арккотангенса (кстати, не путайте их по невнимательности).

Эти функции многозначны (ибо логарифм) и их главные части, обозначаемые , , , , соответствуют главному значению логарифма.

Решим эпичное уравнение:

Пример 11

Решение: поскольку , то обратные значения:

Используем формулу , здесь, чтобы не возникло «накладок» с обозначениями вместо «зет» я использовал букву «тэ»:

квадратный корень имеет два значения, поэтому получаем две ветки решений:
и

1) Найдём значения
Поскольку число лежит на мнимой оси, причём выше нуля, то:

Таким образом:

2) И со значениями почти всё так же:
(обратите внимание, что тоже больше нуля и число лежит на мнимой оси – тоже в верхней полуплоскости).
и в результате получаем:

Обе ветки решения можно записать единой строкой, используя значок «плюс-минус»:

ответ: – корни уравнения .

И фантазии В. Ф. Чудесенко для самостоятельного решения:

Пример 12

Представить в алгебраической форме.

Образец для сверки внизу страницу. И для справки приведу формулы обратных гиперболических функций, их творчески можно назвать ареаболиками :) Они взаимосвязаны с арками тригонометрических функций следующим образом:

ареасинус: ;
ареакосинус: ;
ареатангенс: ;
ареакотангенс: .

Ну а арки в свою очередь выражаются через логарифм. Таким образом, если вам дано что-то вроде , то сначала переходим к соответствующему арку:
, а затем – к логарифму, формулы там недалеко вверху были.

На этом первое занятие подошло к концу, хотелось короче, но получилось как всегда :) Далее по курсу разберём:

– Области на комплексной плоскости – важнейший материал, нужный во многих темах;
– Линии на комплексной плоскости. Параметрический вид;
– Отображение линий и областей с помощью комплексной функций;
– Предел и непрерывность комплексной функции;
– Производная функции комплексной переменной;
– Как найти функцию по известной действительной или мнимой части?
– Конформное отображение. Смысл производной
…

(продолжение следует)

Желаю успехов!

Решения и ответы:

Пример 2. Решение: а) вычислим значение функции в точке :

Вычислим значение функции в точке :

Модуль обоих значений равен нулю, аргумент – не определён.

Примечание: значение является корнем многочленного уравнения . Из основной теоремы алгебры следует, что коль скоро так, то и сопряженное комплексное число ( в нашем примере) тоже обязательно является корнем этого уравнения.

б) Вычислим значение в точке :

Чтобы избавиться от мнимой единицы в знаменателе домножим числитель и знаменатель на оную:

Найдём модуль и аргумент полученного значения:

так как , то по соответствующей формуле:
.

Пример 4. Решение: а) поскольку , то:

используем формулу Эйлера :

Два комплексных числа равны, если равны их действительные и мнимые части, таким образом, получаем систему:

Так как , то первое уравнение обращается в ноль, только если , следовательно, . Синус же в этих точках равен либо +1, либо –1:
, тогда из второго уравнения получаем ;
, тогда из второго уравнения получаем – не имеет решений (так как – действительное число).

Стало быть, корни уравнения: .

Ответ: уравнение имеет бесконечно много корней: .

б) Используем формулу :

используем формулу :

Пример 6. Решение: а) так как , то:

Таким образом, – действительная часть функции, а – её мнимая часть.

б) Так как , то:

используем формулу :

Таким образом, – действительная часть функции, – её мнимая часть.

в) Так как , то:

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю число:

Таким образом, .

Пример 8. Решение:
,
,

Пример 10. Решение: а) Используем основное логарифмическое тождество:

б) Используем основное логарифмическое тождество:

по определению логарифма, , таким образом:

используем формулу Эйлера :
, где .

в)
Найдём модуль и аргумент числа :

По определению логарифма:

Таким образом:

используем формулу Эйлера :
– значения в алгебраической форме.

Пример 12. Решение: используем формулу . В данном случае и вычисления удобно провести по пунктам:
1) ;
2) ;
3)
умножим числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю число:
.
4) Найдём модуль и аргумент числа :