Высшая математика – просто и доступно!

Если сайт упал, используйте ЗЕРКАЛО: mathprofi.net

Наш форум, библиотека и блог: mathprofi.com

Высшая математика:

Математика для заочников

Математические формулы,
таблицы и другие материалы

Книги по математике

Математические сайты

+-*/^ Удобный калькулятор

+ «Дробовик»   

Учимся решать:

  Карта сайта

Не нашлось нужной задачи?
Сборники готовых решений!

Не получается пример?
Задайте вопрос на форуме!
>>> mathprofi

Обратная связь:

Часто задаваемые вопросы
Гостевая книга Отблагодарить автора >>>

Заметили опечатку / ошибку?
Пожалуйста, сообщите мне об этом

Карта сайта

---

ТФКП для начинающих. Функция комплексной переменной

Не занимайтесь комплексными функциями после комплексного обеда #2

Открываем новый раздел под названием теория функции комплексной переменной (ТФКП), часто также говорят, комплексного переменного. Теории будет, как обычно, немного – больше практики, в соответствии с концепцией проекта.

Начинающим рекомендую изучать всё по порядку, к слову, вы уже далеко не «чайники», и для «самоваров» – оглавление, ибо урок задался недетский:

• комплексные числа, быстрое повторение;
• введение в ТФКП, рекомендуемая доступная литература;
• понятие функции комплексной переменной, простейшие примеры;
• комплексная экспонента;
• комплексный синус и косинус, ну и тангенс с котангенсом, вестимо;
• комплексные гиперболические функции;
• формула Эйлера;
• действительная и мнимая часть комплексной функции;
• комплексный логарифм;
• комплексная степеннАя и показательная функция;
• комплексные обратные тригонометрические функции;
• комплексные обратные гиперболические функции,

+ план дальнейшего освоения темы.

Поехали:

для изучения раздела нужно знать, что такое комплексные числа и уметь выполнять действия с ними. Но азы быстренько повторим, да и новенькая инфа сразу будет:

комплексное число – это двумерное число вида , где  и  – произвольные действительные числа, а  – мнимая единица. Число  – это действительная часть () комплексного числа , число  – его  мнимая часть () .

Множество комплексных чисел обозначают стилизованной, утолщённой или жирной буквой .

Комплексные числа изображают на комплексной плоскости, которая состоит из действительной оси, мнимой оси и начала координат:

Кроме того, будем рассматривать бесконечно удалённую точку . В теории строго доказано (и показано), что она единственна – в какую бы сторону комплексной плоскости мы ни уходили, то будем приближаться к этой точке. …Ну вот и повеяло матаном :)

Запись  называют алгебраической формой комплексного числа, но это не единственный вариант. Любое комплексное число (кроме нуля) можно представить в тригонометрической форме , где  – это модуль комплексного числа, а  – его  аргумент.

Модуль  – это расстояние  от соответствующей точки комплексной плоскости до начала координат (красный отрезок на чертеже выше), аргумент   – это угол между положительной полуосью действительной оси  и соответствующим отрезком (зелёная стрелка).

Если число, расположено в верхней полуплоскости либо на оси , то аргумент, очевидно, находится в пределах . Если же число лежит в нижней полуплоскости, то угол принято «откручивать» по часовой стрелке и добавлять к нему знак «минус», а посему он принимает значения из интервала . Значение из промежутка  называют главным значением аргумента. Ещё есть не главные, их бесконечно много. Это когда к главному «прикручиваются» обороты, так, вместо угла  можно невозбранно рассмотреть  или, например, . Впрочем, за последний вариант бранить вас будут :)

Таким образом, аргумент можно записать в виде:
, где  принимает все целые значения . Далее под записью  будем понимать именно главное значение аргумента, когда .

Что касаемо формул, то здесь разнообразие. И чтобы не писать слишкоммногобуков:

ну а с геометрией (где какие числа лежат) разберитесь самостоятельно. И выпишите, кстати, эти формулы на листочек, будет удобно в них заглядывать.

…Что ещё? Ещё вспомним понятие сопряженного комплексного числа. Числа вида ,  называют сопряжёнными (по отношению друг к другу). Обратите внимание на чёрточку сверху второго числа – это общепринятое обозначение.

Теперь переходим непосредственно к теме с аббревиатурой ТФКП, которую также называют комплЕксным анализом. Не ошибайтесь в ударении – это как компАсы у матросов или дОбыча у горняков, к тому же кОмплексный анализ подразумевает нечто другое, а именно всеобъемлющий анализ чего-либо.

А анализ комплЕксный – это анализ математический с его основными понятиями: функция, предел, непрерывность, производная, интеграл, ряд и др. С той поправкой, что все эти вещи рассматриваются в комплексной области.

Сейчас, когда вы читаете эти строки, на сайте представлены далеко не все темы ТФКП, поэтому я сразу приведу рекомендуемый список доступной литературы. Для наработки практики можно использовать следующие источники:

– М. Л. Краснов, А. И. Киселёв, Г. И. Макаренко - Функции комплексного переменного. Задачи и примеры с подробными решениями;

– П. Е. Данко и КО - Высшая математика в упражнениях и задачах;

– методичка Пожарского А. А. (СПбГУ) – очень обстоятельный источник с достаточно редкими темами; также мне понравились методички мехмата и КФУ.

И потребителям теории:

– И. И. Привалов - Введение в теорию функции комплексного переменного – имеет статус учебника, что дорогОго стОит;

– И. Г. Араманович, Г. Л. Лунц. Л. Э. Эльсгольц - Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости.

+ конечно, стандартные кирпичи по матану, Бохан, Фихтенгольц и др.

Выражаю благодарность посетителям, которые порекомендовали некоторые из этих источников в тематическом посте нашего блога, кстати, загляните – найдёте массу полезной информации.

Начинаем. И начнём мы с основополагающего понятия:

функцией комплексной переменной называют правило (закон) , по которому каждому допустимому комплексному значению  ставится в соответствие одно или бОльшее количество значений .

В первом случае функцию называют однозначной, первое, что пришло в голову: ,  во втором – многозначной, классика жанра: – как вы помните, корень энной степени имеет ровно «эн» корней.

Рассмотрим . Очевидно, эта функция определена для всех значений , и не составляет никакого труда вычислить её значение в любой точке. Так, если , то . Геометрически это изображается с помощью двух комплексных плоскостей:

Плоскость, которая соответствует независимой переменной , обозначают , а плоскость, которая соответствует значениям  функции  –  буквами . Большие буквы тоже можно использовать: и , что привычнее.

В отличие от действительной переменной, комплексная переменная  не имеет определённого направления изменения, и мы можем двигаться по произвольной траектории в комплексной плоскости . При этом правило   разные линии плоскости  отображает в разные (в общем случае) линии плоскости . Таким образом, можно говорить о графике функции комплексной переменной. Правда, график этот специфический, у меня он ассоциируется с морозными узорами на стекле и масляными пятнами на воде. И что именно происходит – сразу понятно лишь в простых случаях, так, функция  «вытягивает» все точки плоскости  в 2 раза, отображая их на плоскость .

В некоторых источниках графики раскрашивают и даже строят трёхмерные модели, но мы не будем на этом останавливаться, важно, что у вас сложилось само понимание графика функции .

Немедленно приступаем к практике, повторяя заодно алгебраические действия с комплексными числами:

Пример 1

Вычислить значение комплексной функции в точке. Представить его в тригонометрической форме.

а)   в точке ;
б)  в точках , ;
и давайте ещё рассмотрим такой пример:
в)  в точке .

Решение: а) Если функция задана «иксами» / «игреками», то всё очень просто. Это не что иное, как действительная и мнимая часть независимой переменной . В нашем случае , стало быть , и соответствующее значение функции:

Представим результат в тригонометрической форме. Для этого нужно найти его модуль:

и аргумент, поскольку , то (см. формулы выше):

Таким образом, .

И следующие пункты более распространены:

б) если функция задана непосредственно через «зет», то выполняем обычные действия, главное, помнить знаменитый квадрат  и быть внимательным:

Вычислим значение функции  в точке , используем формулу :

Вычислим значение той же функции в точке :

Представим полученные значения в тригонометрической форме. Найдём модуль и аргумент числа :

Таким образом, .

Теперь обратим внимание на следующую вещь: значения ,   получились сопряжёнными, а у таких чисел модули равны, а аргументы – противоположны по знаку. Сиё следует из элементарной геометрии.

Поэтому .

Напоминаю, что знак «минус» под косинусом ни в коем случае убирать нельзя (пользуясь чётностью косинуса). Минус из-под синуса тоже выносить не нужно. Если аргумент отрицателен, то записываем его именно так, как записано в этом примере.

в) Вычислим значение функции  в точке :

Используем стандартный приём. Чтобы избавить от мнимой единицы на нижнем этаже, умножим числитель и знаменатель на сопряжённое знаменателю число, дабы воспользоваться формулой :

, модуль и аргумент находить не хочется.

А вот на счёт самой функции  есть что сказать. Как вы прочувствовали, с комплексными числами можно делать многое, но на ноль всё-таки делить нельзя :) Поэтому данная функция определена  для всех «зет», кроме . Запишем этот факт с помощью стандартного значка области определения функции:  – все комплексные числа кроме нуля.

Таким образом, для комплексной функции в ходу те же понятия области определения  и области значений  функции.

Тренируемся самостоятельно – в лучших традициях я предлагаю самые интересные задания:

Пример 2

Вычислить значение комплексной функции в точке, найти его модуль и аргумент:

а)  в точках ;
б)  в точке

Решения и ответы в конце урока.

Хорошо, то были наиболее простые функции. Но как быть с экспонентой, логарифмом, синусом, косинусом и иже с ними функциями? Существуют ли они в комплексной области? Да, существуют! Правда, теряют «действительный» («школьный») смысл.

Комплексная экспонента – есть сумма функционального ряда:
 – знакомая картинка, только раньше мы имели дело с действительной экспонентой («е в степени икс»), и теперь пришло время обобщить её на комплексный случай

Этот ряд сходится абсолютно к  на всей комплексной плоскости (при любом конечном значении «зет».). О понятии сходимости ряда я рассказал, когда мы раскладывали в ряды действительные функции, но повторюсь и сейчас. Рассмотрим произвольное конечное «зет», например, . Если мы возьмём несколько первых членов ряда, скажем, три, то получим очень грубое приближение соответствующего значения экспоненты:  Если членов взять больше, например, пять, то сумма (тоже конкретное число) уже будет лучше приближать истинное значение . И чем больше членов – тем точнее приближение. И, наконец, бесконечная сумма   –  в точности равна . Обращаю внимание, что значение  не «летает где-то в воздухе» – ему соответствует определённая точка комплексной плоскости, и чуть позже мы представим это число в алгебраической форме .

Для комплексной экспоненты справедливы привычные свойства , и, кроме того, эта функция периодическая (да, вот такая неожиданность) с мнимым периодом , то есть справедливо равенство , где  («ка» принимает все целые значения).

Комплексные синус и косинус – есть суммы следующих рядов:

которые абсолютно сходятся тоже на всей комплексной плоскости.

Это функции периодичные с привычным действительным периодом  и нулями  для синуса и  для косинуса. Однако комплексные синус с косинусом могут приниматься любые значения, в том числе действительные, причём бОльшие единицы, поэтому что-то вроде  – обычное себе дело.

Для комплексных тригонометрических функций справедливы все «действительные» тригонометрические формулы, в частности, .

Особое место в комплексном анализе занимают гиперболические функции, которые до сих пор оставались в тени. Гиперболический синус:

и гиперболический косинус:

Эти ряды элементарно получаются из разложения экспоненты для  и для , и желающие могут вывести их самостоятельно. Гиперболический тангенс с котангенсом определяются аналогично: . Для комплексных гиперболиков справедливы «действительные» формулы, самая известная из них – основное гиперболическое тождество: .

Преобразуя соответствующие ряды, несложно выразить комплексный синус и косинус через экспоненту: , откуда следует их взаимосвязь с гиперболическими собратьями: , ну или так можно записать: .

Из разложений экспоненты, синуса и косинуса следует* важнейшая, я бы даже сказал одна из ключевых – формула Эйлера:

, где   – произвольное действительное число.

* Самостоятельно подставьте  в разложение экспоненты и получИте формулу.

В частности, если  – аргумент комплексного числа , то мы можем записать его не только в тригонометрической , но ещё и в показательной форме . Таким образом, показательная форма комплексного числа – это не какая-то «надуманная» конструкция, а строгая вещь, основанная на формуле Эйлера.

Известнейший частный случай формулы соответствует значению :

 – в результате чего получается экзистенциальное тождество, связывающее пять фундаментальных констант: ноль, единицу, «е», «пи» и «и». Этот факт приводил в восторг многих математиков, и мы с воодушевлением продолжаем тему.

С помощью формулы Эйлера легко представить в алгебраической форме любое значение экспоненты. Если  – произвольное комплексное число, то:

В частности, для  имеем:
 – число  в алгебраической форме. Значения  и  получились «плохими» (но конкретными!), поэтому так и оставляем.

Синус и косинус комплексного значения  тоже можно представить в алгебраической форме, формулы приведу без вывода:

Так, для того же значения :

Ради исследовательского интереса проверьте формулы для произвольного действительного «зет», например,  (учитывая, что ).

Эти три формулы (экспоненты, синуса, косинуса) перепишите себе на листок – будут постоянно требоваться на практике. Напомню также выражения , с помощью которых можно перейти от гиперболиков к «обычному» синусу и косинусу, ну а их формулы только что были выше.

Продолжаем:

Пример 3

а) вычислить значение функции   в точке , результат представить в алгебраической форме;
б) Записать число  в алгебраической форме;
в) …нет, маньячить не будем, решаем:

а) Вычислим значение функции  в точке :

используем формулу :

б) Используем формулу :

И творческие примеры для самостоятельного решения:

Пример 4

а) решить уравнение  (используйте запись );
б) представить в алгебраической форме число  (формула есть выше!).

Сверяемся и продолжаем.

До сих пор мы находили значения функций «вручную», и возникает вопрос: а нельзя ли усовершенствовать процесс, чтобы сразу подставлять «икс» и «игрек» из  в функцию и получать результаты? Конечно, можно! И нужно, ведь это удобно.

Функцию  можно представить в виде , где  и  – это функции двух действительных переменных, которым посвящен целый раздел сайта. При этом функцию  называют действительной частью функции , а  – её мнимой частью.

Пример 5

Найти действительную и мнимую части функций, возьмём те, которые уже были:

а) ;
б) .

Решение: а) поскольку , то:

теперь нужно перегруппировать слагаемые – сначала записать те, в которых нет мнимой единицы, а потом те – где она есть, после чего вынести «и» за скобку:

Таким образом,  действительная часть функции , а  – её мнимая часть.

Как я уже отметил, запись  удобно использовать для расчёта конкретных значений функции, например, в точке . Распишу очень подробно, хотя на самом деле вычисления здесь устные:

Что и говорить, это гораздо удобнее, чем подставлять  непосредственно в . А если точек много, то без формы  обойтись вообще практически невозможно.

б) Поскольку , то:

используем формулу Эйлера :

Таким образом,  – действительная часть функции , а  – её мнимая часть.

Самостоятельно:

Пример 6

Определить действительную и мнимую часть функций:

а) , формула куба суммы в помощь;
б) ;
в) .

Этого пока достаточно, ещё успеется много раз :)

И во второй части нашего увлекательного урока кратко познакомимся с другими функциями.

Комплексный логарифм  определяется как функция, обратная к экспоненциальной, опуская выкладки:

, где  («ка» принимает все целые значения), при этом  называют главным значением логарифма, оно получается при  и представИмо в алгебраической форме следующим образом:

Таким образом, логарифм можно расписать так:
, где .

Как видите, это многозначная функция, а точнее бесконечнозначная – каждому ненулевому значению «зет» соответствует бесконечно много значений «дубльвэ».

Для комплексного логарифма справедливы привычные формулы:

и не очень привычная:
, где  – произвольное комплексное число.

Пример 7

Вычислить значения функции  в точке .

Решение: запишем функцию в виде  и вычислим её значения в точке :
 и давайте сразу разберёмся, что здесь к чему.

А ситуация следующая: значению   соответствует бесконечно много значений логарифма , прежде всего, это его главное значение  (при ) и остальные значения . Можно ещё записать так:

Представим главное значение логарифма в алгебраической форме по формуле . Для этого найдём модуль и аргумент числа :

Таким образом:
, где  – значения логарифма  в алгебраической форме.

Пример 8

Вычислить  и .

Быстренько решаем самостоятельно и переходим к другим функциям.

Общая степеннАя функция , где  – произвольное комплексное число, определяется с помощью основного логарифмического тождества, справедливого и в комплексном случае:

Очевидно, эта функция многозначна, и её главное значение соответствует главному значению логарифма: .

Общая показательная функция , где  определяется аналогично:
 и имеет главное значение .

Рассмотрим «классические» примеры:

Пример 9

а) вычислить значения функции  в точке ;
б) вычислить .

Решение: а) если , то значения степеннОй функции  таковы:

Значения  только что были найдены в Примере 8:
,  – таким образом, «и» в степени «и», оказывается, равно бесконечному количеству действительных значений.

б) Логарифм  можно вычислить двумя способами.

1) Непосредственно по определению:

Поскольку (см. предыдущий пункт)  для всех , то все эти числа расположены на действительной положительной полуоси , а значит, их модули: , а аргумент . Таким образом:
, где .
Что это за конструкция? Здесь каждому целому значению «эм» соответствует бесконечно много целых значений «ка». Вот такое вот получилось множество значений .

2) Вычислим этот логарифм с помощью свойства :

ну а логарифм «и» был найден в Примере 8:
, где .

Пара примеров для самострельного решения:

Пример 10

а) записать в алгебраической форме ;
б) вычислить ;
в) найти значения функции  в точке .

Результаты представить в алгебраической форме (формула Эйлера в помощь).

И на посошок арки. Обратные тригонометрические функции в комплексной области определяются как функции, обратные к , и выражаются через комплексный логарифм:

при этом в разных источниках вы можете встретить несколько разные формулы для арктангенса и арккотангенса (кстати, не путайте их по невнимательности).

Эти функции многозначны (ибо логарифм) и их главные части, обозначаемые , , , , соответствуют главному значению логарифма.

Решим эпичное уравнение:

Пример 11

Решение: поскольку , то обратные значения:

Используем формулу , здесь, чтобы не возникло «накладок» с обозначениями вместо «зет» я использовал букву «тэ»:

квадратный корень имеет два значения, поэтому получаем две ветки решений:
 и

1) Найдём значения 
Поскольку число  лежит на мнимой оси, причём выше нуля, то:

Таким образом:

2) И со значениями  почти всё так же:
 (обратите внимание, что  тоже больше нуля и число  лежит на мнимой оси – тоже в верхней полуплоскости).
и в результате получаем:

Обе ветки решения можно записать единой строкой, используя значок «плюс-минус»:

ответ:  – корни уравнения .

И фантазии В. Ф. Чудесенко для самостоятельного решения:

Пример 12

Представить  в алгебраической форме.

Образец для сверки внизу страницу. И для справки приведу формулы обратных гиперболических функций, их творчески можно назвать ареаболиками :) Они взаимосвязаны с арками тригонометрических функций следующим образом:

ареасинус: ;
ареакосинус: ;
ареатангенс: ;
ареакотангенс: .

Ну а арки в свою очередь выражаются через логарифм. Таким образом, если вам дано что-то вроде , то сначала переходим к соответствующему арку:
, а затем – к логарифму, формулы там недалеко вверху были.

На этом первое занятие подошло к концу, хотелось короче, но получилось как всегда :) Далее по курсу разберём:

– Области на комплексной плоскости – важнейший материал, нужный во многих темах;
– Линии на комплексной плоскости. Параметрический вид;
– Отображение линий и областей с помощью комплексной функций;
– Предел и непрерывность комплексной функции;
– Производная функции комплексной переменной;
– Как найти функцию по известной действительной или мнимой части?
– Конформное отображение. Смысл производной
…

(продолжение следует)

Желаю успехов!

Решения и ответы:

Автор: Емелин Александр

Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу)

Как можно отблагодарить автора?

Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам,

cкидкa 15% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-hihi5

© Copyright  Александр Емелин, mathprofi.ru, 2010-2025, сделано в Блокноте