Повторные пределы. Примеры решений

Помимо общего предела функции двух переменных, в некоторых задачах математического анализа рассматриваются так называемые повторные пределы , которым и будет посвящена эта небольшая статья. Что такое повторные пределы? Во-первых, на корню развею распространённое заблуждение начинающих: повторные пределы – это НЕ методы решения общего предела. Общий предел – это общий предел, а повторные пределы – это повторные пределы. Однако между этими понятиями существует взаимосвязь, о которой мы тоже поговорим на сегодняшнем уроке. И в этой связи я рекомендую предварительно изучить пределы функций двух переменных, если вы ещё не успели этого сделать.

В целях простоты изложения рассмотрим функцию , которая непрерывна на всей плоскости , за исключением, возможно, точки (как вы знаете, понятие предела не требует того, чтобы функция была определена в предельной точке).

Теперь задумаемся над записью и термином «повторный предел». Нетрудно догадаться, что для вычисления такого предела сначала нужно найти , а затем уже «внешний» предел от некоего полученного результата. Повторный – один за другим.

Признаюсь честно, объяснять тяжеловато, поэтому придётся привлечь на помощь не только Фредди, но и его многочисленных друзей =) В добрый путь:

«Внутренний» предел зависит только от переменной «икс», а значит, при различных значениях «игрек» мы будем бесконечно близко приближаться к прямой в разных местах (чёрные стрелки на чертеже). При этом Фредди и полчища его друзей будут бесконечно близко приближаться по поверхности к голубой кривой:
Повторный предел по икс - по игрек
Таким образом, рассматриваемый предел равен не просто числу, а целой функции, которая, очевидно, зависит только от «игрек»:

Подставим полученный результат во внешний предел:

Ну а он совсем прост. Стремление означает, что мы подходим к точке по прямой (малиновые стрелки), и соответствующие значения функции приближаются по кривой к красной точке. Пусть она расположена на высоте , тогда:

Таким образом, повторный предел существует и равен -му:

Второй повторный предел определяется «зеркальным» образом. Если , то при различных значениях «икс» мы будет подходить к прямой в разных местах (чёрные стрелки), и предел будет равен функции , которая уже зависит только от «икс» (голубая линия на поверхности):
Повторный предел по игрек - по икс
Теперь вычислим . Стремление означает, что мы приближаемся к точке по прямой (малиновые стрелки), и Фредди со своим товарищем в свою очередь приближаются по голубой кривой к той же самой красной точке (жёлтые стрелки): .

Таким образом, второй повторный предел:

Легко понять, что в точке существует и общий предел, равный тому же значению: .

Однако то был демонстрационный пример, и такая идиллическая картина не должна усыплять бдительность! В общем случае повторные пределы не равны друг другу:

И, более того, один из них или даже оба могут вовсе не существовать! Согласитесь, не всегда же и не везде можно куда-то подойти.

Освоим технику решения повторных пределов на конкретных примерах:

Пример 1

Найти повторные пределы для функции

Решение удобно разбить на 2 пункта:

1) Вычислим .

Сначала разберёмся с внутренним пределом . И главный вопрос: что делать с «игреком»? Всё очень просто – с «игреком» нужно временно обращаться, как с константой. По существу, мы решаем обычный предел функции одной переменной, причём его простейший вид:

Подставим полученный результат во внешний предел:

Таким образом:

2) Вычислим .

Как и в предыдущем пункте, начинаем с внутреннего предела: . Теперь временно «замораживается» «икс»:

Тут получилось, что «иксы» вообще сократились, и внешний предел становится чистой формальностью, ибо предел любой константы равен самой константе:

В результате:

Ответ:

Пожалуйста, посмотрите на схематический чертёж и постарайтесь ещё раз осмыслить найденные повторные пределы по образцу моих объяснений:
Повторные пределы различны, а значит, общего предела не существует
А теперь немного о взаимосвязи с общим пределом: из того, что повторные пределы различны, следует, что общего предела не существует. Желающие могут убедиться в этом с помощью стандартного алгоритма, рассмотренного на уроке Пределы функций нескольких переменных.

Но с другой стороны, если повторные пределы равны, то это ЕЩЁ НЕ ЗНАЧИТ, что существует общий предел. Так, например, для функции повторные пределы совпадают:

однако в Примере № 1 предыдущего урока мы выяснили, что предела не существует.

Интересно отметить, что если один или оба повторных предела НЕ существуют, то общий предел может существовать! И такой пример будет в конце урока.

А пока разогреваемся:

Пример 2

Найти повторные пределы , если

Примерный образец оформления задачи в конце урока.

Фактически мы имеем дело с «обычными» пределами и естественно, что в ходе их решения приходится устранять различные неопределённости:

Пример 3

Вычислить повторные пределы функции при .

Решение: бесконечности, так бесконечности:

1) Вычислим .

Поскольку во внутреннем пределе «динамической» переменной является «икс», то имеет место следующая неопределённость:

которая раскрывается по классике жанра – делением числителя и знаменателя на «икс» в старшей степени, причём делить можно прямо под синусом. Не забываем, что «игрек» на данном этапе «заморожен»:
…Mда, замёрз в вечной мерзлоте =) Если не очень понятно, почему , мысленно подставьте вместо «игрека» какое-нибудь конкретное число (хотя с содержательной точки зрения, это, конечно, не совсем корректно).

И формальная подстановка константы во внешний предел:

2) Вычислим

Этот предел ещё проще. Так как роль константы теперь выполняет «икс», то под синусом уже нет неопределённости:

Ответ:

Самая что ни на есть борода для самостоятельного решения:

Пример 4

Вычислить повторные пределы функции , если.

Краткое решение и ответ в конце урока.

Как видите, ничего особенного, главное, чётко представлять, где и какая переменная находится вне игры. В самих же методах решения какой-то новизны нет:

Пример 5

Найти повторные пределы , если

Решение шаблонно:

1) Вычислим

Во внутреннем пределе вопрос решается прямой подстановкой:

А вот на завершающем этапе возникают два бублика. Тригонометрическая формула и замечательный предел, думаю, не нуждаются в представлении:

2) Второй повторный предел «симметричен». К слову, когда внутренний предел не слишком наворочен, то решение сподручнее записать «одной строкой»:

Ответ:

Два примера для самостоятельного решения. Попроще:

Пример 6

Найти повторные пределы , если

И позабористей:

Пример 7

Найти повторные пределы , если

Пожалуй, достаточно, ни вижу смысла дублировать материал темы Предел функции одной переменной. Давайте лучше рассмотрим обещанный случай, где оба повторных предела не существуют, но общий таки живёт-здравствует. Хрестоматийный пример, который можно найти во многих источниках информации:

Для данной функции не существует повторного предела поскольку, при фиксированном значении «игрек» у множителя нет предела.

Примечание: график функции одной переменной при «петляет» вдоль оси ординат и бесконечно близко приближается к ней, при этом расстояние между «волнами» синусоиды становиться всё меньше и меньше. Таким образом, предела не существует. В нашем же примере имеет место пространственный аналог этой ситуации: т. к. значение может быть любым, то «петлять» будет уже синусоидальная поверхность вдоль плоскости , бесконечно близко приближаясь к ней.

По аналогичной причине не существует и второго повторного предела . Однако, общий предел всё же существует и равен нулю:

Кстати, не нужно думать, что в этом есть что-то удивительное: если к точке нет подхода со стороны координатных осей, то это ещё не значит, что к ней нельзя подойти по другим направлениям.

И в заключение будет небольшой оффтопик, где я расскажу ещё об одном методе решения предела функции двух переменных. Он основан на так называемой теореме о промежуточном значении. Краткая суть состоит в следующем: если для некоторой функции удаётся подобрать функцию – такую, что:
, то из того, что следует, что и .

В рассмотренном примере ввиду ограниченности тригонометрических функций , для всех «икс» и «игрек» справедливо следующее неравенство:

, и поскольку (проверьте это самостоятельно), то .

Данный метод обычно используют, чтобы избавиться от «нехороших» синусов и косинусов, вот ещё один пример такого рода: .

Так как для всех «икс» и «игрек» , то: . А из очевидного предела , следует что и наш предел .

Но иногда сравнение применяют для других функций, докажем, например, предел , который мы вычислили в Примере № 2 предыдущего урока «обычным» способом. Альтернативный путь элементарен: дробь положительна и, кроме того, при любых не превосходит единицы (проанализируйте, почему), поэтому справедливо следующее:

И, так как , то и .

Просто и корректно! Но, конечно, такую возможность нужно ещё увидеть, и для этого требуется некоторый опыт.

Возвращаясь к теме повторных пределов, сделаем следующий вывод: из существования общего предела ЕЩЁ НЕ СЛЕДУЕТ существование повторных пределов. А о том, что ещё в этом случае нужно для их существования, можно узнать из соответствующей теоремы математического анализа. Формулировки не будет…, надо же мне вас чем-то заманивать на страницы учебников по математическому анализу =)

Понятие повторных пределов распространяется и на функции бОльшего количества переменных, но из соображений практической целесообразности я ограничусь рассмотренными примерами.

Спасибо за внимание!

Решения и ответы:

Пример 2. Решение:
1) Вычислим
– подставим во внешний предел:

2) Вычислим
– подставим во внешний предел:

Ответ:

Пример 4. Решение:
1) Вычислим

Разделим числитель и знаменатель на :

2) Вычислим

Разделим числитель и знаменатель на :

Ответ:

Пример 6. Решение:
1)
Заменим бесконечно малую эквивалентной: при

2)
Ответ:

Пример 7. Решение:
1) Вычислим

Используем формулу и первый замечательный предел:

2) Вычислим

Разделим числитель и знаменатель аргумента тангенса на :

Ответ:

Автор: Емелин Александр

Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу)

Как можно отблагодарить автора?