Как найти область сходимости сложного функционального ряда?

Представьте ситуацию: вам требуется найти область сходимости функционального ряда. А, собственно, чего тут представлять – наверное, требуется =) Если ряд степенной – никаких проблем. В некоторых случаях помогает признак равномерной сходимости Вейерштрасса. Но вот попался такой «экземпляр», с которым не понятно, что делать. …Ну что же, поздравляю – Вы попали туда, куда нужно!

Неподготовленному читателю сначала рекомендую изучить основы темы, а также понятие равномерной сходимости – возможно, сложное окажется не таким уж и сложным ;) Да и заголовок этой статьи тоже лукавит – ряды, о которых сегодня пойдёт речь, скорее, не сложные, а «редкоземельные». Однако от них не застрахованы даже студенты-заочники, и поэтому к данному, казалось бы, дополнительному занятию следует отнестись с максимальной серьёзностью. Ведь после его проработки вы сможете расправиться практически с любым «зверем»!

Начнём с классики жанра:

Пример 1

Найти область сходимости функционального ряда

Во-первых, обратим внимание, что это НЕ степенной ряд (напоминаю, что оный имеет вид ). И, во-вторых, здесь сразу бросается в глаза значение , которое заведомо не может входить в область сходимости ряда. И это уже маленький успех исследования!

Но всё-таки, как прийти к успеху большому? Спешу вас обрадовать – подобные ряды можно решать точно так же, как и степенные – опираясь на признак Даламбера или радикальный признак Коши!

Решение: значение не входит в область сходимости ряда. Это факт существенный, и его нужно обязательно отметить!

Основной же алгоритм работает стандартно. Используя признак Даламбера, найдём интервал сходимости ряда:

Ряд сходится при . Поднимем модуль наверх:

Вспоминаем, что такое неравенство раскрывается через совокупность неравенств:

В результате мы получили ДВА интервала сходимости: и , чего, кстати, принципиально не может быть у рядов степенных.

Сразу проконтролируем «нехорошую» точку: значение не вошло в область сходимости ряда.

Исследуем сходимость ряда на «внутренних» концах интервалов:
если , то
если , то

Оба числовых ряда расходятся, так как не выполнен необходимый признак сходимости.

Ответ: область сходимости:

Выполним небольшую аналитическую проверку. Давайте подставим в функциональный ряд какое-нибудь значение из правого интервала, например, :
– сходится по признаку Даламбера.

В случае подстановки значений из левого интервала тоже получаются сходящиеся ряды:
если , то .

И, наконец, если , то ряд – действительно расходится.

Пара простеньких примера для разогрева:

Пример 2

Найти область сходимости функционального ряда

Пример 3

Найти область сходимости функционального ряда

Особенно хорошо разберитесь с «новым» модулем – он сегодня встретится 100500 раз!

Краткие решения и ответы в конце урока.

Использованные алгоритмы вроде бы универсальны и безотказны, но на самом деле это не так – для многих функциональных рядов они часто «пробуксовывают», а то и приводят к ошибочным выводам (и такие примеры я тоже рассмотрю).

Шероховатости начинаются уже на уровне интерпретации результатов: рассмотрим, например, ряд . Здесь в пределе получаем (проверьте самостоятельно), и по идее нужно дать ответ, что ряд сходится в единственной точке. Однако, точка «заиграна», а значит, наш «пациент» расходится вообще всюду!

А для ряда «очевидное» решение «по Коши» вообще ничего не даёт:
– для ЛЮБОГО значения «икс».

И возникает вопрос, что же делать? Используем метод, которому как раз будет посвящена основная часть урока! Его можно сформулировать следующим образом:

Прямой анализ числовых рядов при различных значениях

Фактически мы уже начали этим заниматься в Примере 1. Сначала исследуем какое-нибудь конкретное «икс» и соответствующий числовой ряд. Напрашивается взять значение :
– полученный числовой ряд расходится.

И это сразу наталкивает на мысль: а что, если то же самое происходит и в других точках?
Проверим-ка необходимый признак сходимости ряда для произвольного значения :

Точка учтена выше, для всех же остальных «икс» стандартным приёмом организуем второй замечательный предел:

Вывод: ряд расходится на всей числовой прямой

И это решение – самый что ни на есть рабочий вариант!

На практике функциональный ряд часто приходится сопоставлять с обобщённым гармоническим рядом :

Пример 4

Исследовать сходимость функционального ряда

Решение: прежде всего, разбираемся с областью определения: в данном случае подкоренное выражение должно быть строго положительным, и, кроме того, должны существовать все члены ряда, начиная с 1-го. Из этого следует то, что:
. При этих значениях получаются условно сходящиеся ряды:
и т. д.

Другие же «икс» не годятся, так, например, при мы получим нелегальный случай , где не существует первых двух членов ряда.

Это всё хорошо, это всё понятно, но остаётся ещё один немаловажный вопрос – как грамотно оформить решение? Я предлагаю схему, которую можно жаргонно назвать «перевод стрелок» на числовые ряды:

Рассмотрим произвольное значение и исследуем сходимость числового ряда . Рутинный признак Лейбница:

1) Данный ряд является знакочередующимся.

2) – члены ряда убывают по модулю. Каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий: , значит, убывание монотонно.

Вывод: ряд сходится по признаку Лейбница. Как уже отмечалось, сходимость тут условная – по той причине, что ряд – расходится.

Вот так вот – аккуратно и корректно! Ибо за «альфой» мы хитро спрятали все допустимые числовые ряды.

Ответ: функциональный ряд существует и сходится условно при .

Аналогичный пример для самостоятельного решения:

Пример 5

Исследовать сходимость функционального ряда

Примерный образец чистового оформления задания в конце урока.

Обратите внимание, что признак Вейерштрасса здесь неуместен – по той причине, что неравенство справедливо далеко не для всех . Но с другой стороны, данный признак тоже не нужно «списывать со счетов» – так, для ряда он прекрасно срабатывает, и подобные примеры встречаются реально!

Кроме того, переменная «икс» может оказаться и в показателе:

Пример 6

Найти область сходимости функционального ряда

Решение: во-первых, сразу же отмечаем, что .

Простейшим рядом этой «категории» является ряд , область сходимости которого лежит на ладони: . Однако наш «кадр» чуть замысловатей. Поскольку в числителе находится , то функциональный ряд будет сходиться уже при . На границе получается расходящийся ряд (эквивалентный гармоническому).

«Одинокий» же в знаменателе не принимаем во внимание – по существу он играет роль множителя-константы.

Ответ: область сходимости:

Думаю, следующий пример не должен вызвать у вас особых трудностей, хотя… как знать, как знать ;)

Пример 7

Найти область сходимости функционального ряда

Краткое решение и ответ в конце урока

Помимо обобщенного гармонического ряда, в широком ходу бесконечно убывающая геометрическая прогрессия: . Удачный пример, кстати, был в начале урока: – данный ряд можно исследовать не только «по Коши», но и из тех соображений, что основание сходящейся геометрической прогрессии находится в пределах .

Или такой вот простецкий ряд: – его целесообразно исследовать по образцу Примера 5, осуществив предельное сравнение понятно с какой прогрессией.

Однако ж многие пришли сюда за сложными рядами, и я просто не могу обмануть ваших ожиданий:)

Пример 8

Найти область сходимости функционального ряда

Проведём предварительный анализ: какие числовые ряды тут приходят на ум? Ну, например, такие: – сходится, – расходится и т. п.

Поведение подобных рядов зависит именно от основания геометрической прогрессии, многочлены же уступают в порядке роста и не играют особой роли. В данном примере ряд будет гарантированно сходиться, если:

Решение: со знаменателем всё в порядке и поэтому сразу же записываем, что функциональный ряд сходится при:

Согласны? Тогда решаем (внимание!) СИСТЕМУ неравенств:

Иными словами, должно выполняться и то, и другое:

1) Решим соответствующее квадратное уравнение для 1-го неравенства:

Таким образом, парабола не пересекает ось , и поскольку её ветви направлены вверх, то неравенство выполнено при любом действительном значении .

2) Разбираемся со 2-м неравенством. Снова – находим нули соответствующей функции:

А вот это уже более содержательный результат. Здесь можно использовать метод интервалов, но проще опять проанализировать расположение графика. Парабола пересекает ось абсцисс в двух точках и её ветви направлены вверх, поэтому неравенству соответствует интервал .

С пересечением двух промежутков сложностей вообще никаких:
– интервал сходимости исследуемого функционального ряда.

Исследуем сходимость ряда на концах найденного интервала:

если , то – сходится;
если , то – такой же.

Полученный ряд настолько прост, что я не буду доказывать его сходимость. Но при оформлении задания, возможно, потребуется подробное исследование – тут всё зависит от степени придирчивости вашего рецензента.

Ответ: сходится абсолютно при

Чуть более занятный пример для самостоятельного решения:

Пример 9

…ну…, вы уже догадываетесь, что с ним нужно сделать =)

Но то были, конечно же, шутки:

Пример 10

Найти область сходимости функционального ряда

По «общим очертаниям» здесь напрашивается прямое сравнение с геометрической прогрессией . Почему бы не соорудить конструкцию ?
Правое неравенство, например, – будет выполнено для всех «икс» и для всех «эн»….

…на самом деле этот путь ошибочен – как мы увидим ниже, несмотря на «тотальное» выполнение неравенства, сходимость ряда ещё не гарантирована! Анализ и ещё раз анализ:

Решение: сначала традиционное исследование «подозрительных» точек. А под подозрение здесь попадают значения – вдруг там знаменатель обращается в ноль? Выполним проверку:

если , то
если , то

Нет, всё в порядке – числовые ряды существуют и расходятся. Другое значение, которое «лежит на поверхности», это ноль:
– тривиальный сходящийся ряд.

Итак, что мы имеем? В точках функциональный ряд расходится, а в точке – сходится. И это наводит на мысль исследовать три интервала:

– с рабочей гипотезой, что «посередине» ряд сходится, а «по краям» – расходится.

Используем тот же самый «перевод стрелок» на числовые ряды. Начать удобно с правого интервала:

1) Рассмотрим произвольное значение и исследуем сходимость числового ряда .

! Если объяснения будут восприниматься трудно, мысленно подставляйте какое-нибудь конкретное число, например, .

Для всех «эн» справедливо неравенство , следовательно:
– таким образом, по признаку сравнения ряд сходится вместе с бесконечно убывающей геометрической прогрессией .

Примечание: как вариант, можно было применить предельный признак сравнения

Вот тебе и «рабочая гипотеза»! – на интервале функциональный ряд сходится!

2) С симметричным интервалом всё прозрачно, рассматриваем произвольные значения и получаем: – абсолютно сходящиеся числовые ряды.

3) И, наконец, «серединка» . Здесь тоже удобно выделить два промежутка.

Рассматриваем произвольное значение из интервала и получаем числовой ряд:

! Опять же – если трудно, подставляйте какое-нибудь конкретное число, например . Впрочем,… вы же хотели трудностей =)

Для всех значений «эн» выполнено , значит:
– таким образом, по признаку сравнения ряд сходится вместе с бесконечно убывающей прогрессией .

Для всех значений «икс» из интервала получаем – абсолютно сходящиеся числовые ряды.

Все «иксы» исследованы, «иксов» больше нет!

Ответ: область сходимости ряда:

Надо сказать, неожиданный результат! И ещё следует добавить, что использование признаков Даламбера или Коши здесь однозначно введёт в заблуждение!

Прямая оценка – это «высший пилотаж» математического анализа, но для этого, конечно, требуется опыт, а где-то даже и интуиция.

А может быть кто-то найдёт путь проще? Пишите! Прецеденты, кстати, есть – несколько раз читатели предлагали более рациональные решения, и я с удовольствием их публиковал.

Успешного вам приземления:)

Пример 11

Найти область сходимости функционального ряда

Моя версия решения совсем близко.

Дополнительный хардкор можно найти в Разделе VI (Ряды) сборника Кузнецова (Задачи 11-13). В Интернете есть готовые решения, но здесь я должен вас предостеречь – многие из них неполные, некорректные, а то и вообще ошибочные. И, к слову, это была одна из причин, по которой появилась на свет данная статья.

Давайте подведём итоги трёх уроков и систематизируем наш инструментарий. Итак:

Чтобы найти интервал(ы) сходимости функционального ряда, можно использовать:

1) Признак Даламбера или признак Коши. И если ряд не степенной – проявляем повышенную осторожность, анализируя полученный результат прямой подстановкой различных значений .

2) Признак равномерной сходимости Вейерштрасса. Не забываем!

3) Сопоставление с типовыми числовыми рядами – рулит в общем случае.

После чего исследуем концы найденных интервалов (если нужно) и получаем область сходимости ряда.

Теперь в вашем распоряжении довольно-таки серьёзный арсенал, который позволит справиться практически с любым тематическим заданием.

Желаю успехов!

Решения и ответы:

Пример 2. Решение: значение не входит в область сходимости ряда.
Используем признак Даламбера:

Ряд сходится при:

Таким образом, интервалы сходимости функционального ряда: .
Исследуем сходимость ряда в конечных точках:
если , то ;
если , то .
Оба числовых ряда расходятся, т. к. не выполнен необходимый признак сходимости.

Ответ: область сходимости:

Пример 3. Решение: (см. область определения логарифма).
Интервал сходимости ряда найдём с помощью радикального признака Коши:

Ряд сходится при:

(применили основное логарифмическое тождество).
– интервал сходимости ряда.
Исследуем сходимость ряда на концах найдённого интервала:
если , то – расходится;
если , то – расходится.

Ответ: ряд сходится при .

Пример 5. Решение: т. к. знаменатель не может обращаться в ноль, то:

Рассмотрим произвольное значение и исследуем сходимость числового ряда . Сравним данный ряд со сходящимся рядом . Используем предельный признак сравнения:
– конечное число, отличное от нуля, значит, ряд сходится вместе с рядом .

Ответ: функциональный ряд сходится на всей числовой прямой кроме точек

Пример 7. Решение: ряд вида сходится условно при и абсолютно – при . Но в нашем случае в числителе находится ещё , и поэтому нужно сделать поправку на 1/2-ю (прибавить). Найдём всю область сходимости ряда:

Исследуем сходимость ряда в конечных точках найденных интервалов:
если , то: – расходится.
Из аналогичного неравенства следует, что ряд сходится абсолютно при и при .
Ответ: ряд сходится условно на промежутках и абсолютно на интервалах .

Пример 9. Решение: проверим, обращается ли знаменатель в ноль при каких-либо действительных значениях :

Функциональный ряд сходится, если:

1) Решим неравенство :

Так как парабола не пересекает ось абсцисс и её ветви направлены вверх, то неравенство не имеет решений.
2) Решим неравенство :

Решение:
Таким образом:
– интервалы сходимости исследуемого функционального ряда. Исследуем его сходимость в точках:
– расходится;
– расходится.

Ответ: область сходимости ряда:

Пример 11. Решение: значения обращают знаменатель в ноль, и поэтому не могут входить в область сходимости ряда.

1) Рассмотрим произвольное значение и исследуем сходимость числового ряда . Проверим необходимый признак сходимости:
– не выполнен.
Таким образом, функциональный ряд расходится на .

2) Рассмотрим произвольное значение интервала :
– расходится по этой же причине.

3) Исследуем значения на интервале :
– сравним данный ряд со сходящимся рядом , используем предельный признак сравнения:
– конечное число, отличное от нуля, значит, ряд сходится вместе с прогрессией .