Ортогональное преобразование квадратичной формы

На этом уроке мы продолжим приводить квадратичную форму (1-е занятие) к каноническому виду (2-е занятие), и помимо нового метода приведения, рассмотрим геометрический смысл темы и важное практическое приложение – о том, как привести линию второго порядка к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования квадратичной формы.

Сначала расскажу суть метода в общем виде. Ничего страшного, если что-то будет не понятно – всё разберём на конкретных примерах.

Любую квадратичную форму с действительными (как мы оговорили) коэффициентами можно привести к каноническому виду:

, где – собственные числа матрицы (тоже действительные).

Такое приведение осуществляется с помощью линейного преобразования (замен):
, коэффициенты которого (по столбцам!) – есть координаты соответствующих ортонормированных собственных векторов матрицы :

Данные векторы нормированы (имеют единичную длину) и попарно ортогональны (грубо говоря, перпендикулярны); отсюда и название – метод ортогонального преобразования.

Напоминаю распространённую матричную запись , где:
и – матрица ортогонального преобразования.

Посмотрим, как работает метод в простейшем случае:

Пример 10

Это не опечатка – пример уже десятый!

Привести квадратичную форму к каноническому виду методом ортогонального преобразования

Найти матрицу соответствующего преобразования.

Решение: запишем матрицу формы и из уравнения найдём её собственные числа:

Очевидно, что , таким образом:

– квадратичная форма в каноническом виде.

Найдём соответствующее линейное преобразование. Для этого нужно отыскать собственные векторы матрицы :

1) Если , то получаем систему линейных уравнений:
, откуда следует, что .

Полагая , запишем первый собственный вектор: – координаты удобно записывать именно в столбец! Сразу вычислим длину вектора (скоро потребуется):

2) Если , то имеем систему:
, из которой следует, что

Пусть , тогда и – второй собственный вектор. Его длина:

Если матрица формы имеет различные собственные числа, то соответствующие собственные векторы попарно ортогональны. Убедимся в справедливости этого утверждения для нашей пары, вычислив их скалярное произведение:

Поскольку длины векторов не равны единице, то их нужно нормировать, т.е. найти коллинеарные им векторы единичной длины. Для этого каждую координату собственного вектора делим на его длину:

– координаты на ;
– координаты на .

Такую задачу мы решали в курсе аналитической геометрии на уроке… да, на уроке Уравнение плоскости (Пример 5), но сейчас речь идёт, подчёркиваю, о векторах в их алгебраическом смысле.

Проверим, что длины полученных векторов действительно равны единице:
, ч.т.п.

Теперь последовательно помещаем координаты векторов в столбцы матрицы: – это и есть матрица выполненного ортогонального преобразования, в строках которой находятся «игрековые» коэффициенты линейных замен: .

Ответ: ,

Полученный результат можно проверить:

1) непосредственной подстановкой в форму :

2) либо с помощью знакомой формулы:
– получив «каноничную» матрицу.

Справка: матрица ортогонального преобразования квадратичной формы относится к классу так называемых ортогональных матриц (Вики), которые встречаются не только в этой теме. Ортогональная матрица обладает рядом интересных свойств, в частности, её определитель равен +1 либо –1, а транспонированная матрица совпадает с обратной матрицей.

А сейчас обратим внимание на следующий момент: канонический вид и алгоритм решения никак не регламентируют порядок расположения собственных чисел, и поэтому форму можно привести к такому виду не единственным способом. Так, если в прорешанном примере перечислить собственные числа в другом порядке: (никто ж не запрещает), то получится другой, тоже канонический вид . При этом нормированные собственные векторы меняются местами: и матрица линейного преобразования будет другой: . В строках этой матрицы находятся «игрековые» коэффициенты соответствующих линейных замен:

Желающие могут выполнить прямую подстановку в и «на выходе» получить .

Теперь рассмотрим эту же квадратичную форму в геометрической «ипостаси». Для понимания следующего примера нужно ориентироваться (хотя бы в общих чертах) в линиях второго порядка:

Пример 11

С помощью теории квадратичных форм привести уравнение линии второго порядка к каноническому виду

Иными словами, нам нужно выяснить, какую линию задаёт это уравнение (эллипс, гиперболу, параболу или какую-то другую) и записать его в каноническом виде. В курсе аналитической геометрии мы рассмотрели «традиционные» методы приведения, и вот сейчас познакомимся с ещё одним способом.

Начало решения практически совпадает с предыдущей задачей, с той поправкой, что там фигурировали переменные и , а в геометрии обычно используют («старые» переменные) и («новые» переменные – штрихи здесь не имеют никакого отношения к производным).

Итак, на первом шаге рассматриваем квадратичную форму , записываем её матрицу и находим её собственные числа. После чего возникает недавний вопрос – в каком порядке их следует перечислить: или ? Когда мы просто приводили форму к каноническому виду, это не имело значения. Но вот тут имеет.

В первом случае у нас получится уравнение , во втором: . Оба уравнения задают гиперболу, однако канонический вид имеет только второе уравнение. Таким образом, нас устраивает «комплект» , но НЕ ФАКТ, что подойдет найденное преобразование .

Дело в том, что ортонормированные собственные векторы можно выбрать ещё тремя способами: или , и если бы мы просто приводили форму к каноническому виду, то опять же – нас устроил бы любой из 4 вариантов. Но не сейчас.

По той причине, что линейные преобразования должны соответствовать формулам формулами поворота декартовой системы координат на угол «фи». Этот факт справедлив только в том случае, если определитель матрицы преобразования равен «плюс» единице: .

Проверяем: , таким образом, нам повезло, и преобразование действительно подходит под шаблон .

Значениям соответствует табличный угол , но привычнее, конечно, говорить об угле .

Таким образом, поворачивая систему на 45 градусов по часовой стрелке, мы переходим от уравнения в старой системе координат к каноническому уравнению в новой системе координат :

Наклоните голову вправо на 45 градусов и убедитесь, что в «красной» системе координат гипербола действительно имеет канонический вид.

Кроме того, нас устроило бы ещё одно преобразование: . Легко видеть, что его определитель равен «плюс» единице и формулам соответствует поворот системы на против часовой стрелки. В этом случае оси будут «смотреть» в противоположные стороны и гипербола тоже окажется в каноническом положении. Желающие могут повернуть голову влево на 135 градусов и приобщиться к прекрасному :)

Ответ:

Что произойдёт, если квадратичную форму приводить к каноническому виду методом Лагранжа? В общем случае будут получаться другие гиперболы. Но гиперболы! И вообще – любое невырожденное линейное преобразование данной формы будет приводить нас к уравнениям гипербол, и только к ним – как я отмечал в конце предыдущего урока, такое преобразование не меняет СУЩНОСТИ формы.

Таким образом, метод Лагранжа – это «быстрый» способ узнать, что это за линия, но вот сохранение её размеров нам гарантирует лишь ортогональное преобразование.

Ортогональное линейное преобразование переводит ортонормированный базис в другой ортонормированный базис и сохраняет размеры объектов. Это справедливо для пространства любой размерности, и, кроме того, применимо не только к квадратичным формам – ортогональному преобразованию (Вики) посвящена отдельная тема высшей алгебры, и интересующихся я отсылаю к соответствующим источникам информации.

Следующий пример для самостоятельного решения:

Пример 12

Привести квадратичную форму к каноническому виду методом ортогонального преобразования.

Решить задачу двумя способами (переставляя собственные числа) и записать матрицы соответствующих линейных преобразований.

После чего мы продолжим банкет родственной геометрической задачей:

Пример 13

Данную линию мы уже приводили к каноническому виду (Пример 1) и сейчас сделаем то же самое, используя новый метод.

Надеюсь все прорешали предыдущее задание, поскольку начало решения будет совпадать с точностью до обозначений, и нам осталось выбрать подходящее преобразование:

или

Очевидно, здесь получится уравнение эллипса , и чтобы выдерживалось неравенство полуосей, нам подойдёт МЕНЬШИЙ коэффициент при переменной «икс штрих», то есть, следует выбрать первый вариант:

В своём образце решения я сразу выбрал подходящее преобразование
, определяющее поворот на угол , но у вас мог получиться и любой другой их трёх оставшихся случаев (в зависимости от выбора собственных векторов).

Преобразование тоже приемлемо (поворот примерно на ), а вот и непригодны, так как не соответствуют формулам .

Итак, в результате замен исходное уравнение преобразуется к виду:

Данное уравнение задаёт тот же самый эллипс в системе (зелёный цвет), которая получена поворотом системы на угол :

Осталось провести параллельный перенос координатных осей. Выделяем полные квадраты:

И в результате замен получаем каноническое уравнение эллипса в «красной» системе :

Ответ:

Но для решения этой задачи, конечно, выгоднее метод инвариантов.

Самостоятельно решите Пример 3 того же урока, которому была посвящена целая мыльная опера с несколькими чертежами:

Пример 14

– привести уравнение линии к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования квадратичной формы.

Следует отметить, что здесь нас устроит всего лишь одно преобразование из четырёх, поскольку перед нами парабола, и в каноническом положении она «смотрит» в одну, строго определённую сторону.

Краткое решение и ответ в конце урока. Любопытно, что тут решение, наоборот – получилось заметно проще, чем «классическим» геометрическим методом. Ну и конечно, подарок, если нужно выполнить только один поворот, как в Примере 11.

Кстати, как быстро и даже устно определить тип линии? Если определитель матрицы формы , то перед нами линия эллиптического типа (эллипс, мнимый эллипс или пара мнимых пересекающихся прямых), если – то гиперболического (гипербола или пара пересекающихся прямых), и если – то параболического (парабола, пара параллельных (мнимых или обычных) или пара совпавших прямых).

На этой позитивной ноте перейдём к квадратичным формам трёх переменных:

Пример 15

Привести квадратичную форму к каноническому виду методом ортогонального преобразования

Найти соответствующее преобразование

Решение начинается точно так же: запишем матрицу формы и найдём её собственные числа:

определитель раскрою по 1-й строке:

напоминаю полезный технический приём – в первом слагаемом, где нам светит «лямбда в кубе», не нужно спешить раскрывать скобки:

решив квадратное уравнение, раскладываем трёхчлен на множители:

таким образом, нам удалось избавиться от многочлена 3-й степени, отыскание корней которого – есть непростая задача. И теперь такой задачи нет:

Порядок собственных чисел не имеет значения, и поэтому я выберу вариант:
– чтобы красивее записать канонический вид:

Найдём ортогональное линейное преобразование. Сложность задачи состоит в том, что если среди собственных чисел есть кратные, то ортогональность найденных собственных векторов не гарантирована, и в «неудачном» случае нам придётся предпринять меры по их ортогонализации. Впрочем, не будем торопить события:

1-2) Если , то получаем систему:
, которая фактически состоит из одного уравнения.

Выберем в качестве базисной переменную «альфа» и выразим её через свободные переменные: . Запишем общее решение в столбец:

Теперь нам нужно найти векторы фундаментальной системы. Для значений получаем:
– первый вектор фундаментальной системы;
и для :
– второй вектор.

Легко видеть, что оба вектора удовлетворяют системе (уравнению ) и, естественно, являются собственными. Вычислим их скалярное произведение:

, значит, данные векторы НЕ ортогональны, что нас не устраивает.

Поэтому эту пару векторов следует ортогонализовать. Поскольку любая линейная комбинация векторов фундаментальной системы тоже является решением системы (уравнения ), то рассмотрим вектор , где – пока ёщё неизвестный числовой коэффициент, и составим следующее скалярное произведение, которое должно быть равно нулю:

по свойствам скалярного произведения:

откуда выражаем и находим:

Таким образом, в качестве первого собственного вектора выбираем:

и в качестве второго:

Как на ладони видно:
– что полученные векторы действительно ортогональны

С третьим собственным вектором всё прозрачно:

3) Если , то получаем систему:
из 2-го уравнения выразим – подставим в 1-е и 3-е уравнения:

Пусть
Таким образом, третий собственный вектор: . Не забываем о проверке – устно или на черновике подставляем его координаты в каждое уравнение системы.

И проверяем, ортогонален ли он ранее найденным векторам :

Отлично. Осталось вычислить длины векторов и при необходимости их нормировать:

Таким образом, матрица ортогонального преобразования:

Запишем ответ: и преобразование в виде прямых замен:

Но подставлять всё это в что-то не хочется :) Однако, проверка нужна, и мне проще воспользоваться матричным калькулятором:

Засёк для интереса время, «забивка» матриц и вычисления заняли ровно 2 минуты.

И здесь есть ещё один интересный момент. В рассмотренной задаче векторы фундаментальной системы можно выбрать бесчисленным количеством способов, и поэтому мы можем построить бесконечно много ортогональных преобразований, которые приводят форму к виду . Но так бывает, конечно, не всегда.

В заключение статьи кратко расскажу о геометрическом смысле ортогонального преобразования формы трёх переменных. Даже добавлять константу не буду:

– данное уравнение определяет некоторую поверхность второго порядка в «школьном» базисе . Что это за поверхность – скажет разве что вундеркинд.

Проведённое ортогональное преобразование осуществляет переход к другому ортонормированному базису – ТАКОМУ, в котором данная поверхность имеет канонический вид:

– откуда сразу понятно, что это коническая поверхность, причём, ортогональное преобразование сохранило её размеры. Кстати, перед нами конус вращения, и теперь стало ясно, почему существует бесконечно много пригодных ортогональных преобразований: связку векторов мы можем «повернуть в горизонтальной плоскости» как угодно, и во всех полученных базисах коническая поверхность будет иметь канонический вид.

Саму же разновидность поверхности можно выяснить быстрее – методом Лагранжа, но он в общем случае будет «показывать» нам конусы других размеров.

И задача для самостоятельного решения, тоже с кратными собственными числами, ибо с разными получится как-то совсем скучно:

Пример 16

Найти ортогональные линейные замены, приводящие форму к каноническому виду

Не пропускайте, это несколько другой тип ;) Да и вычислений заметно меньше.

Для квадратичных форм четырёх и бОльшего количества переменных задача ортогонального преобразования решается по аналогии. Но в учебной практике такие примеры редкость ввиду их вычислительной сложности, и поэтому я завершаю эту увлекательную тему.

Квадратичные формы – держат нас в форме!

Решения и ответы:

Пример 12. Решение: запишем матрицу формы и найдём её собственные числа:

Решим квадратное уравнение:

– собственные числа, таким образом:
– форма – в каноническом виде.

Найдём собственные векторы, их длины и при необходимости выполним нормирование:

1) Если , то:
, пусть
Таким образом:
.
Разделим каждую координату на длину:

2) Если , то:
, пусть
Таким образом:

Таким образом, матрица линейного преобразования:

Выполним проверку прямой подстановкой в :

, что и требовалось проверить.

Ответ: , , в случае перестановки собственных чисел:
,

Пример 14. Решение: запишем матрицу квадратичной формы и найдём её собственные числа:

так как каноничная парабола определяется уравнением , то нам нужно перечислить собственные числа в следующем порядке:

Таким образом, квадратичная форма преобразуется к виду:
.

Найдём собственные векторы и при необходимости выполним их нормирование:

1) Если , то:
, пусть

2) Если , то:
, пусть
Примечание: вектор в пару к не годится, т.к. линейное преобразование не будет соответствовать формулам поворота.

Таким образом, матрица линейного преобразования:
, которое по формулам приводит уравнение к виду:

Однако, после раскрытия скобок, выясняется, что знак при переменной не приведёт нас каноническому виду .

И поэтому нужно выбрать другое преобразование, определитель которого . Этому критерию подходит пара ортонормированных векторов , , задающая преобразование с поворотом на рад. (–135 градусов) (это угол табличный: значениям соответствует или рад.)

Таким образом, данное преобразование приводит нас к уравнению:

избавимся от иррациональности в знаменателях, домножив числители и знаменатели на :

«собираем» полный квадрат при переменной :
и проводим замены .

Ответ:

Пример 16. Решение запишем матрицу формы и найдём её собственные числа:

определитель выгодно раскрыть по 3-й строке или 3-му столбцу:

– собственные числа, таким образом: