Как отобразить линию и область с помощью комплексной функции?

Решение: а) Отобразим прямую , то бишь ось  с декартовым уравнением . Когда прямая параллельна координатным осям либо задаёт саму ось, удобно использовать прямое рассуждение. Так как , то , и коль скоро , то имеем функцию .

Таким образом, действительные значения «икс» (точки оси ) переходят в действительные значения  – точки действительной оси . При этом имеет место несоответствие значений, так, если , то .  Но, так или иначе, функция  отображает ось  в ось .

Как вариант (может даже лучший), ось  можно записать в параметрической форме:  и подставив эти уравнения в :
 – получаем функцию в параметрическом виде.

При изменении параметра «тэ» от  «минус» до «плюс» бесконечности точки оси  непрерывно отображаются в точки  оси .

б) При отображении прямой  (оси ) рассуждения «зеркальны»: поскольку , то:
 – в результате значения «игрек» (точки оси ) переходят во множество комплексных чисел с одинаковой действительной частью. А именно, это числа, лежащие на прямой , параллельной оси  (синяя линия на чертеже ниже).

Таким образом, ось  отображается в прямую  плоскости .

Как вариант, можно использовать параметрическое уравнение оси , получив функцию в виде  с тем же самым выводом.

То были простые случаи, теперь общее правило. Чтобы отобразить линию  плоскости  на плоскость  с помощью функции , нужно составить и решить следующую систему:

, где  – действительная часть функции , а  – её мнимая часть. Это рабочие формулы (1), пожалуйста, перепишите их к себе на листок.

Алгоритм решения состоит в том, чтобы исключить из этих уравнений «икс» и «игрек» и связать между собой переменные «у» и «вэ», получив линию  на плоскости .

Действительная и мнимая часть функции  уже найдены:


и осталось перекоцать линии, предложенные в условии:

в) Отобразим с помощью функции  прямую . Составим соответствующую систему:

Решение начинают с последнего уравнения – тут у нас готовенький «игрек» , который мы подставляем во 2-е уравнение:
 – теперь из 1-го уравнения выражаем «икс»:  – и подставляем его в то же 2-е уравнение:

Таким образом, прямая  отобразилась в прямую  (зелёный цвет на чертеже ниже). Прямую  строим привычным образом в декартовой системе координат , где роль независимой переменной играет , а роль зависимой – .

г) Отобразим каноническую параболу :

«Разворачиваем» последнее уравнение:  и подставляем в 1-е:

Из 2-го уравнения выражаем  – подставляем в 1-е:

Таким образом, парабола  отобразилась в параболу  (оранжевый  цвет на чертеже ниже).

д) И, наконец, отобразим единичную окружность  с известным декартовым уравнением:

Плясать начинаем от третьего уравнения, и тут есть выбор: выразить «икс» через «игрек» либо наоборот. При прочих равных выражать лучше то, чтобы выгоднее была подстановка. Привлекательней выглядит подстановка во 2-е уравнение, а посему выражаем «игрек»   и подставляем его в оное:
, после чего 2-е уравнение удобно сразу возвести в квадрат:

Теперь нужно исключить переменную «икс», для этого из 1-го уравнения выразим:
 – подставляем во 2-е уравнение:

 – окружность с центром в точке  , радиуса 2.

Таким образом, окружность  отобразилась в окружность   (коричневый цвет на чертеже).

Решение можно упростить, рассмотрев параметрическое уравнение окружности :

В этом случае нужно составить систему  и, исключив параметр «тэ», получить то же уравнение  плоскости . Это рабочие формулы (2) для параметрически заданной линии , добавьте их в свой справочник.

В нашей задаче:
 – и уже здесь опытный глаз сможет определить тип линии. Уравнения  задают окружность радиуса 2 с центром в начале координат, но по первой координате у нас есть вычитание тройки, что означает сдвиг графика на 3 единицы влево.

Аналитически результат можно получить с помощью основного тригонометрического тождества , из которого выгоднее выразить синус  и подставить его во 2-е уравнение системы:

Далее по аналогии с первым способом решения возводим 2-е уравнение в квадрат:
, из 1-го уравнения выражаем косинус  и подставляем его во 2-е уравнение:
, получив тот же самый результат .

Это всё из ваших контрольных работ, решаем: действительная и мнимая части данной функции уже найдены в Примере 2:  и на первом шаге напрашивается отобразить вершины области:

После чего выясняем, во что отобразятся куски границы:

1) Отрезок прямой  между точками  и .

Запишем параметрические уравнения этой прямой:  и подставим их в действительную и мнимую часть функции:
, при этом «тэ» у нас изменятся в пределах , ибо отрезок.
Теперь нужно исключить параметр. Из 2-го уравнения выражаем  и ещё сразу выразим «тэ»: . Подставим эти выражения в 1-е уравнение:

и избавимся от четырёхэтажности дроби:

возведём обе части в квадрат:

выделим полный квадрат:


Таким образом, отрезок  отобразился в дугу окружности с центром в точке  радиуса . Но в какую именно? Ведь точки  и  делят окружность на две дуги. Для прояснения этого вопроса смотрим на пределы изменения параметра , выбираем какое-нибудь промежуточное значение, проще всего взять , и подставляем его в параметрические уравнения  :
 – в результате получились координаты точки, которая лежит на меньшей дуге – её я обозначил красной линией (см. чертёж ниже).

Да, и, кстати, не лишним будет проверить, что координаты точек  удовлетворяют уравнению , а то вдруг мы вообще где-то ошиблись?

2) Отобразим отрезок прямой  между точками  и .

Алгоритм тот же самый. Записываем параметрические уравнения прямой:  и подставляем их в действительную и мнимую часть функции:
, при этом отрезку  соответствуют тот же диапазон .
Из 1-го уравнения выражаем  и  – подставляем во 2-е уравнение:

Возводим обе части в квадрат и допиливаем нашу белоснежку:

И уже тут лучше сразу устно проверить, что координаты точек  удовлетворяют полученному уравнению.
Таким образом, отрезок  отобразился в дугу окружности с центром в точке  радиуса . В какую именно дугу? Берём промежуточное значение параметра , подставляем его в систему выше и выясняем, что получена точка дуги, которую я провёл зелёным цветом (см. чертёж ниже).

3) И, наконец, третье отображение, его мы уже выполнили в Примере 2. Дуга окружности  между точками  и  отображается в дугу окружности   между точками  и  (устно проверяем, что координаты точек удовлетворяют уравнению).

Выясним, в какую именно дугу. Запишем параметрические уравнения окружности :  и подставим их в действительную и мнимую части функции:

Исходной дуге , очевидно, соответствуют следующие пределы изменения параметра: . Берём какое-нибудь промежуточное значение, например,  и подставляем его в систему выше:

 – в результате получились координаты точки, которая лежит именно на той дуге, которую я провёл синим цветом (справа):

Пример 2. Решение: найдём действительную и мнимую часть функции  . Так как , то, домножая числитель и знаменатель на сопряжённое знаменателю число, получаем:

Таким образом:
 – действительная часть функции ;
 (не теряем «минус»!) – её мнимая часть.

1) Отобразим с помощью функции прямую . Составим и решим соответствующую систему:
 – подставим  в первые два уравнения:
 – из 1-го уравнения выразим  – подставим во 2-е уравнение и избавимся от трёхэтажности дроби:

Таким образом, прямая  плоскости  отображается в прямую  плоскости  (см. рис ниже).

2) Отобразим линию  – луч, исходящий из начала координат и делящий 2-ю координатную четверть пополам, при этом начало исключается, так как для него аргумент не определён. Данный луч лежит на прямой . Запишем её уравнение в параметрической форме: если , то  , таким образом: . При этом лучу  соответствуют следующие пределы изменения параметра : от 0 (не включая ноль)  до , то есть значения параметра убывают.

Запишем  действительную и мнимую часть функции в параметрической форме :
, при этом финальному значению  соответствует предельная точка  (начало координат) плоскости , а при  («тэ» стремится к нулю слева) действительная и мнимая части функции стремятся к «минус» бесконечности: . Выясним, вдоль какой линии это всё происходит. Из 1-го уравнения системы выразим  – подставим во 2-е уравнение:  – вдоль прямой .

Таким образом, при изменении параметра  от 0 (не включая ноль) до   биссектриса 2-й координатной четверти   отображается в биссектрису 3-й координатной четверти, проходимой от «минус» бесконечности до нуля (синие линии на чертеже ниже).

Примечание: при желании можно рассмотреть возрастающий параметр , и тогда лучи будут «отрисовываться» в противоположных направлениях.

3) Отобразим окружность , которой соответствует декартово уравнение . Запишем соответствующую систему:
 – подставим  – в первые два уравнения:
 и оба уравнения удобно сразу возвести в квадрат:.
Из уравения окружности выразим  – подставим в 1-е уравнение:
, откуда выразим «игрек квадрат»:

 – и подставим его во 2-е уравнение:

Таким образом, окружность  отобразилась в окружность  (коричневые линии на чертеже).

Пример 3. Решение: так как , то

а) Запишем параметрические уравнения оси  и подставим их в функцию:

1) Рассмотрим участок . Предельному значению  соответствует точка:
 – лежащая на оси .
А если мы приближаемся к единице слева, то .
Таким образом, участок оси  от  до  отображается в аналогичный участок оси , проходимый (внимание!) справа налево от  (не включая точку) до «минус» бесконечности.

2) Рассмотрим участок . Вблизи единицы справа ситуация такова:

Предельному значению  соответствует та же точка .
Таким образом, участок оси  от  до   отображается в аналогичный участок оси , проходимый справа налево от «плюс» бесконечности до точки   (точка исключается).

б) Запишем параметрические уравнения оси  и подставим их в функцию:

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю число:

Составим систему из действительно и мнимой частей функции:

Преобразуем первое уравнение:  и выразим из него:
 и, кроме того, ещё нужно выразить «тэ»:

Подставим  и  во 2-е уравнение системы:

сокращаем числитель и знаменатель на двойку и на :

и возводим обе части в квадрат:

Таким образом, ось  отобразилась в единичную окружность   плоскости .

Ответ: а) ось , проходимая от точки  до  и от  до той же точки (точка исключается), б) .

Пример 5. Решение: найдём действительную и мнимую часть функции . Так как , то:

Таким образом:

Область  ограничена дугой окружности  сверху и прямой  снизу (см. рис. ниже). Найдём координаты вершин области:  и отобразим их с помощью функции :

1) Отобразим отрезок . Запишем параметрические уравнения прямой   и подставим их в действительную и мнимую часть функции:
, при этом .
Из 2-го уравнения выразим  – подставим в 1-е уравнение:
 – парабола с вершиной в точке  и ветвями по направлению оси .
Таким образом, отрезок , очевидно, отобразился во фрагмент параболы  между точками  (проверяем, что координаты удовлетворяют уравнению).

2) Отобразим дугу  окружности . Запишем её параметрические уравнения:   и определим пределы изменения параметра. Точке  соответствует следующее значение тангенса: (можно заглянуть в тригонометрическую таблицу). И из соображений симметрии находим конечное значение параметра: . Таким образом, параметр изменяется в пределах .

 Подставим  в действительную и мнимую часть функции:

По известным формулам перейдём к двойному аргументу:
 – в результате получены параметрические уравнения окружности .

Таким образом, дуга  окружности  отобразилась в дугу  окружности  (проверяем, что координаты точек  удовлетворяют уравнению).

Выясним, в какую именно дугу. Берём какое-нибудь промежуточное значение из диапазона , напрашивается , и подставляем его в полученные параметрические уравнения :
 – в результате получены координаты точки, которая лежит на бОльшей (левой) дуге.

В результате область  отобразилась в Пакмэна:))