Линейные дифференциальные уравнения высших порядков

И снова всех приветствую в разделе «Дифференциальные уравнения», а именно на странице, которая появилась по многочисленным просьбам посетителей сайта. Данная статья является закономерным продолжением уроков об однородных и неоднородных линейных ДУ 2-го порядка, и поэтому нижеследующие материалы эффективнее всего изучать «по горячим следам». Или с уже наработанными навыками решения этих уравнений. Так или иначе, на данный момент у вас должен быть более или менее приличный уровень подготовки по теме.

Наверное, многие уже представляют, как выглядят наши «подопечные». Линейное однородное дифференциальное уравнение -го порядка имеет следующий вид:

(напоминаю, что – это обозначение «энной» производной)

и, соответственно, в линейном НЕоднородном дифференциальном уравнении справа присутствует ненулевая функция:

Достаточно часто названия этих дифуров сокращают до ЛОДУ и ЛНДУ, но я противник излишних аббревиатур. Потому что ЭПСНУУМ =)

Ранее мы рассмотрели линейные ДУ 1-го и 2-го порядков, и сегодня пришло время разделаться с их старшими собратьями, обладающих степенями . Кроме того, вы узнаете несколько дополнительных приёмов решения неоднородных уравнений 2-го порядка. В большинстве практических примеров коэффициенты постоянны (являются константами), однако помимо всего прочего я коснусь и случая, когда там «затесалась» буква «икс». Надеюсь, вам всё очень понравится!

Началом этого урока можно смело считать параграф Линейные однородные уравнения высших порядков (откроется на соседней вкладке) вводной статьи, и перед дальнейшим чтением было бы неплохо пробежаться по нему взглядом. …Есть? Собственно, продолжаем:

Пример 1

Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям

Решение: перед нами линейное однородное ДУ 3-го порядка и всё начинается, как уже не раз начиналось. Составим и решим характеристическое уравнение:

– три различных действительных корня, поэтому общее решение:

Внимание! Если вам НЕ ПОНЯТЕН / ПОЗАБЫЛСЯ принцип формирования общего решения, то, пожалуйста, начните с рекомендованного выше параграфа.

Частное решение тоже разыскивается по обычному алгоритму – с той поправкой, что увеличивается длительность процесса и его техническая сложность. Сначала используем начальное условие :

Далее находим первую производную и применяем начальное условие :

И, наконец, «окучиваем» вторую производную начальным условием :

Таким образом, у нас нарисовалась система трёх линейных уравнений с тремя неизвестными:

Здесь проще всего сложить почленно 2-е и 3-е уравнения, в результате чего получаем:
– подставим по 2-е уравнение и выразим :

Надеюсь, все помнят действия со степенями, но всё же распишу их разок ОЧЕНЬ подробно:

Почти всё готово. Подставим и в 1-е уравнение системы:

И на завершающем шаге подставим найденные значения констант в общее решение:

Ответ: частное решение:

С проверкой никаких чудес – сначала проверяем начальные условия:
, ОК

, ОК

После чего берём 3-ю производную и подставляем её вместе с младшей сестрой в исходное дифференциальное уравнение :

Получено верное равенство, таким образом, частное решение найдёно верно.

…Что-что не помешает, так это небольшая разминка:

Пример 2

Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям

Краткое решение и ответ в конце урока. Желающие разогреться поосновательнее могут «взять в оборот» ещё 30 примеров из задачника Рябушко (Часть 2, ИДЗ 11.4, Задача № 1), где для особых ценителей есть и диффуры 4-го порядка. Правильные ответы прилагаются!

Кстати, повторим немного алгебру – сколько слагаемых входит в общее решение однородного уравнения ?

Так как характеристический многочлен имеет ровно комплексных корней, то таких слагаемых ровно «эн» штук: . А в случае неоднородности уравнения, понятно, больше – переходим к самому интересному:

Линейные неоднородные уравнения высших порядков

Я буду придерживаться тех же обозначений, что и на уроке о неоднородных ДУ 2-го порядка. Для диффуров порядка общее решение имеет ту же самую структуру:

, где:

– общее решение соответствующего однородного уравнения (в предыдущем параграфе обозначалось через );

– частное решение неоднородного уравнения.

Как вы помните, наиболее трудной частью задачи является отыскание , для чего мы использовали таблицу подбора частного решения. Данная справка полезна и удобна, однако составлена она только для случая . Как быть, если порядок уравнения выше? На самом деле можно вообще обойтись без таблицы! И сейчас я расскажу вам об одном удивительно простом приёме, который позволит избавиться от этого справочного балласта. Вернёмся к некоторым примерам статьи о неоднородных диффурах второго порядка:

В дифференциальном уравнении (Пример № 2) вроде бы нужно выполнить подбор в виде , но если немного присмотреться к общему решению соответствующего однородного ДУ, то легко заметить, что константа там УЖЕ ЕСТЬ: . Образно говоря, это место занято, и одинокая буква в «очевидном» подборе – лишняя. Именно поэтому мы и повышаем степень домножением на «икс»:
Что характерно, итоговый ответ можно переписать «стильно»:

Прямо таки математическое событие под названием «Воссоединение членов многочлена» =)

В Примере же 1 для уравнения проходит «штатный» подбор – по той причине, что в общем решении нет ничего подобного – ни куба, ни квадрата, ни линейного члена, ни константы.

В уравнении (Пример 3) напрашивающийся подбор не годится, поскольку подобный член уже есть: , а значит, судьба наша . И опять же – итоговый ответ можно красиво «упаковать»:

Для уравнения (Пример 6) ситуация интереснее: в нём не срабатывает подбор и не помогает домножение на «икс» – оба «кандидата» уже присутствуют в общем решении: . И поэтому ничего не остаётся, как ещё раз приподнять степень: .

Думаю, теперь вам стал понятен неформальный смысл «аномальных» табличных случаев с домножением. И этот принцип так же работает для диффуров высших порядков! Впрочем, не будем торопиться:

Пример 3

Решить дифференциальное уравнение

Первый пункт решения пролетает на автопилоте:

– сопряжённые комплексные корни, поэтому общее решение однородного ДУ:

Но вот дальше хлопот побольше. Прежде всего, обращаем внимание, что правая часть неоднородного ДУ «разношёрстная» – в ней находятся синус с экспонентой. И возникает вопрос: как отыскать частное решение? Не спеша! В подобных ситуациях его удобно разделить на две части и «провернуть» алгоритм подбора два раза:

Примечание: эта возможность хоть и очевидна, однако строго доказывается в теории.

1) Первый кусок частного решения вроде бы надо искать в виде . Но подобные члены уже есть в общем решении , и поэтому «первоначальная версия» подлежит корректировке домножением на «икс»:

Дальнейшее – дело техники, главное, тут не запутаться:

Вторую производную для надёжности лучше взять «столбиком»:

Этот приём я рекомендую использовать везде, где есть громоздкие выкладки, в частности при вычислении сложных кратных интегралов, коэффициентов ряда Фурье.

Подставим и в левую часть неоднородного уравнения, выполним упрощения и приравняем результат к :

Таким образом:

Следует отметить, что в подобных технически сложных случаях выгоден более простой способ нахождения частного решения, связанный с применением аппарата комплексного анализа, однако в рамках данной статьи я оставлю его за кадром. Соответствующие примеры с пояснениями можно найти, например, в следующем решебнике:

Краснов М.Л., Киселёв А.И., Макаренко Г.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения

2) Теперь разбираемся с экспонентой. Здесь проходит подбор в «штатном» виде , поскольку в общем решении экспонент нет даже в помине.

Тут всё гораздо проще:

Подставим и в левую часть неоднородного ДУ, приведём подобные слагаемые и приравняем к :

«Сведём» частное решение воедино:

Разумеется, его можно было найти и «за один присест», работая с , но к быстрому способу прикладывается жирный шанс что-нибудь где-нибудь потерять.

Итак, общее решение неоднородного уравнения:

Скомпонуем «родственные» слагаемые:

Ответ:

Выполним проверку-«лайт». Во-первых, параноидально перепроверим, что числа являются корнями характеристического уравнения , а значит, слагаемые находятся в ответе совершенно заслуженно; и, во-вторых, проверим частное решение :

Подставим и в левую часть

неоднородного уравнения:

– в результате получена правая часть, следовательно, частное решение найдено верно.

Повышаем обороты:

Пример 4

Решить дифференциальное уравнение

Примерный образец чистового оформления задачи в конце урока. Ещё раз занудно остановлюсь на том, что частное решение желательно разбить на две части: – этот технический приём целесообразно применять во многих похожих случаях, за исключением совсем уж простых. Так, например, для правой части и подбора разделять решение будет скорее, наоборот – лишней тратой времени. Хотя «разбивку» здесь тоже нельзя называть неуместной.

Вторая часть урока будет посвящена наиболее распространённым на практике уравнениям, у которых в правой части находятся экспоненты и/или многочлены:

Пример 5

Найти общее решение дифференциального уравнения третьего порядка

…Мда…, бывает не только любовь, но и трудность с первого взгляда =)

Решение: найдём общее решение соответствующего однородного уравнения:

Первое, что приходит в голову, это подобрать какой-нибудь корень – здесь он обнаруживается быстро: , и разделить многочлен на . Или же воспользоваться схемой Горнера. Однако и в том, и в другом случае к нашей досаде выяснится, что .

Всего-то лишь школьная формула куба суммы:

Но многие и многие студенты проходят мимо таких возможностей. Какой здесь можно дать совет? Решайте примеров больше и…париться будете меньше!

Итак, характеристическое уравнение имеет три кратных корня , поэтому:

С частным решением на самом деле тоже всё просто. Смотрим на правую часть неоднородного уравнения, из которой напрашивается подбор , смотрим на «группу товарищей» из общего решения, и приходим к выводу, что ехать придётся на третьей полке: , ибо в общем решении и в подбираемом частном решении не должно быть подобных членов. Наконец-то сформулировал общее правило =) Если при «очевидном» подборе нарисовались подобные члены, то это лечится его домножением на «икс» (если нужно, 2 или бОльшее количество раз). Если не соблюсти это правило, то… проверьте сами.

Производные – почти подарок:

Подставим завоёванные трофеи в левую часть неоднородного уравнения, проведём упрощения и приравняем результат к правой части:

Если задание оформляется от руки, то подобные слагаемые удобно помечать и вычёркивать. И если после сокращений остаётся что-то «лишнее» – нужно искать ошибку: либо неправильно выбрана сама форма подбора, либо допущен огрех в производных, либо – в подстановке и финальных преобразованиях.

Таким образом:

Общее решение неоднородного уравнения:

Что называется, вся честнАя компания в одном купе:

Ответ:

Не забываем о проверке! Хотя она здесь особо не нужна – маловероятно, что мы где-то ошиблись и всё так удачно «сошлось». Впрочем, для очистки совести можно «прозвонить» частное решение .

Очередной типовой пример для самостоятельного решения:

Пример 6

Найти общее решение дифференциального уравнения 3-го порядка

Краткое решение и ответ в конце урока, который мы завершаем приятнейшими задачами. Скоро поймёте, почему:)

Пример 7

Решить дифференциальное уравнение четвёртого порядка

Решение: с характеристическим уравнением никаких проблем:

– две пары кратных корней, таким образом:

А вот с частным решением всё несколько занятнее. Исходя из содержания правой части неоднородного ДУ, выдвигаем «штатную» версию подбора: , которая, понятно, нас не устраивает, поскольку в общем решении однородного ДУ уже есть и . Домножением на «икс» вопрос не решить, так как подбор всё равно «пересекается» со слагаемым общего решения . А значит, степень нужно поднять ещё выше:

Иметь дело с такими производными – действительно одно удовольствие:)

Подставим и в левую часть неоднородного уравнения, перегруппируем
слагаемые и приравняем результат к правой части:

В результате получаем следующую систему линейных уравнений:

Дробей тушеваться не нужно – обычное дело, да и вычисления здесь устные. Из 1-го уравнения:
– подставим во 2-е уравнение:

Подставим в 3-е уравнение:

В результате:

Общее решение неоднородного уравнения:

И снова немного эстетики:

Ответ:

А почему бы и нет? – диффур пятого порядка для самостоятельного решения:

Пример 8

И коль скоро вы читаете эти строки, то, наверное, ждёте чего-нибудь особенного…. И я, конечно же, не могу обмануть этих ожиданий – пожалуйста, изящное и воздушное уравнение для полной релаксации:

Пример 9

Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям

Решения и ответы совсем близко.

Дополнительные тематические примеры с решениями можно посмотреть здесь (Задачи 12-15), а также в уже упомянутой книге Краснов М. Л., Киселёв А. И., Макаренко Г. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Там же можно ознакомиться с линейными уравнениями с НЕпостоянными коэффициентами – когда среди есть коэффициенты с «иксами». Но разрешимы такие ДУ, понятно, далеко не всегда.

...Признайтесь честно, вам понравилось?

Рекомендуйте друзьям!

Не понравилось?! …Ну что же, всяко бывает... – рекомендуйте недругам! =)

Решения и ответы:

Пример 2. Решение: составим и решим характеристическое уравнение:

– три действительных корня, среди которых есть два кратных, общее решение: .

Найдём частное решение, соответствующее заданным начальным условиям:

Составим и решим систему:

Ответ:

Пример 4. Решение: найдём общее решение соответствующего однородного уравнения:

– различные действительные корни, поэтому:

Частное решение неоднородного уравнения найдём как сумму

1) Первую часть ищем в виде
Примечание: подбор не проходит, т. к. в общем решении уже есть подобный член: .

Подставим и в левую часть:

2) Вторую часть ищем в виде

Подставим и в левую часть:

Таким образом:

Общее решение неоднородного уравнения:

Ответ:

Пример 6. Решение: найдём общее решение соответствующего однородного уравнения:

, поэтому:

Частное решение ищем в виде
Примечание: «очевидная» версия подбора не годится, поскольку в общем решении уже присутствует подобный член .
Найдём производные:

Подставим и в левую часть неоднородного уравнения:

В результате:

Ответ:

Пример 8. Решение: найдём общее решение соответствующего однородного уравнения:

, следовательно:

Частное решение неоднородного ДУ ищем в виде:

Подставим и в левую часть неоднородного уравнения:

Таким образом:

Ответ:

Пример 9. Решение: найдём общее решение соответствующего однородного уравнения:

, поэтому:

Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде:

Подставим и в левую часть неоднородного уравнения:

Общее решение неоднородного уравнения:

Найдём частное решение, соответствующее заданным начальным условиям:

Составим и решим систему:

Ответ: