Высшая математика – просто и доступно!
Наш форум, библиотека и блог: 
Повторяем школьный курс
Карта сайта
Как найти нули и интервалы знакопостоянства функции?
Примеры решений
Многие материалы по производным и исследованию функций традиционно относятся к школьной программе, и сей урок не исключение. Сегодня мы потренируемся в нахождении нулей и интервалов знакопостоянства функции, а также вспомним метод интервалов, который можно сравнить с надёжной арматурой в стенах рассматриваемой темы. Если проект вашего здания находится на стадии котлована, начните с памятки о графиках функций. Кроме того, желательно знать, что такое область определения функции и асимптоты графика; по существу, данное занятие – это логическое продолжение курса. Материал, естественно, будет полезен и старшеклассникам.
Замешиваем цемент:
что такое нули функции и что такое интервалы знакопостоянства функции?
Рассмотрим некоторую функцию 
.
1) Точки, в которых график 
пересекает ось 
, называют нулями функции. Чтобы найти нули функции нужно решить уравнение 
, то есть найти те значения «икс», при которых функция обращается в ноль. В следующем условном примере нули функции 
обозначены красными точками:
Очевидно, что 
. Заметьте, что точка 
не является нулём функции, поскольку не входит в её область определения.
2) Интервал знакопостоянства – это интервал, в каждой точке которого функция положительна либо отрицательна.
В нашем случае функция положительна на интервалах 
, то есть для любого значения «икс» любого из перечисленных интервалов справедливо строгое неравенство 
. Или совсем просто – график функции на таких интервалах расположен ВЫШЕ оси абсцисс.
На интервалах 
функция отрицательна, то есть любому значению «икс», принадлежащему этим интервалам соответствует строгое неравенство 
, и график функции расположен НИЖЕ оси 
.
Компактная запись перечисленных фактов выглядит так:
, если 
;
, если 
.
Строки можно переставить местами, это не имеет принципиального значения, лично я привык сначала указывать интервалы, на которых функция положительна.
Что можно сказать об интервале 
? Только то, что функция не определена на данном интервале, и, разумеется, о знакопостоянстве речи не идёт вообще.
Примечание: в математике более широким является термин «промежуток», который включает в себя не только интервал, но и полуинтервал либо отрезок. Полуинтервалы и отрезки знакопостоянства часто встречаются у кусочно-заданных функций. В частности, если на вышеуказанном чертеже «закрасить» точку с абсциссой 
, то получим промежуток (в данном случае – полуинтервал) знакопостоянства 
. Однако далее будут рассматриваться «обычные» функции, обладающие только интервалами знакопостоянства, поэтому в термине «промежуток знакопостоянства» нет особой нужды.
Как найти интервалы знакопостоянства функции?
Алгоритм метода интервалов прост и бесхитростен:
1) Находим область определения функции.
2) Находим нули функции (точки пересечения графика с осью абсцисс).
3) В большинстве заданий потребуется чертёж. Чертим ось 
и откладываем на ней точки разрыва (если они есть), а также нули функции (если они есть). Определяем знаки функции на интервалах, которые входят в область определения.
Пункты можете законспектировать, впрочем, алгоритм очень быстро запомнит даже полный чайник. Тут всё прозрачно и логично.
Начнём с распространённой квадратичной функции:
Пример 1
Найти интервалы знакопостоянства функции.
Решение:
1) Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой. Таким образом, точки разрыва и «нехорошие» промежутки отсутствуют.
2) Найдём нули функции. Для этого нужно решить уравнение 
. В данном случае:
Дискриминант положителен, значит, уравнение имеет два действительных корня:
3) Откладываем все найденные точки на числовой оси:
В статье Область определения функции я выполнял подобные чертежи схематически, но сейчас для бОльшей наглядности буду их масштабировать (за исключением клинических случаев). На том же уроке мы узнали, как выяснить знаки квадратичной функции – для этого нужно проанализировать расположение параболы. В данном случае ветви параболы направлены вверх, следовательно, на интервалах 
функция будет положительна: 
. Попа параболы сидит на интервале 
ниже оси абсцисс, и функция здесь отрицательна: 
.
Хорошо, параболу многие читатели представляют. Но что делать, если функция более сложная? Например, 
. Заметная часть аудитории уже затруднится сказать, как принципиально выглядит график данной функции. И это, так скажем, ещё только минимальное усложнение.
Однако и в простых и в сложных случаях работает универсальный способ:
Рассмотрим функцию 
непрерывную на некотором интервале 
, график которой не пересекает ось 
на этом интервале. Тогда:
– если функция 
положительна в какой-либо точке интервала 
, то она положительна и ВО ВСЕХ точках данного интервала;
– если функция 
отрицательна в какой-либо точке интервала 
, то она отрицательна и ВО ВСЕХ точках данного интервала.
Включите немного воображения: если на интервале нет точек разрыва, и график не пересекает ось абсцисс, то он не может по мановению волшебной палочки перескочить из нижней полуплоскости в верхнюю полуплоскость (или наоборот). Поэтому знак функции на таком интервале легко определить по одной-единственной точке.
Проведём небольшой эксперимент. Представьте, что вы совсем не знаете, как выглядит график функции 
и вам необходимо найти её интервалы знакопостоянства (кстати, если действительно не знаете, таки начертите многострадальную примадонну =)).
1) Берём произвольную точку интервала 
. С вычислительной точки зрения проще всего взять 
. Подставляем её в нашу функцию:
Следовательно, функция положительна и в каждой точке интервала 
.
2) Берём произвольную точку интервала 
, здесь по удобству вне конкуренции ноль. Снова выполняем подстановку:
А, значит, функция отрицательна и в каждой точке интервала 
.
3) И, наконец, обрабатываем наиболее простую точку интервала 
:
Поэтому функция положительна в каждой точке интервала 
.
Выполненные подстановки и вычисления почти всегда нетрудно выполнить устно, но в крайнем случае существует черновик.
Фиксируем полученные результаты на числовой оси:
Да, вы не имеете никаких представлений о параболе, но совершенно точно можете сказать, что на интервалах 
график функции 
расположен ВЫШЕ оси 
, а на интервале 
– НИЖЕ данной оси.
Ответ:
, если 
;
, если 
.
Точно так же решается целый спектр задач-«сателлитов», вот некоторые из них:
Решить квадратичное неравенство 
.
Проводим аналогичные действия и даём ответ 
.
Решить квадратичное неравенство 
.
Проводим аналогичные действия и даём ответ 
.
Найти область определения функции 
.
Проводим аналогичные действия, даём ответ 
.
И тому подобное.
Метод интервалов работает в самых примитивных случаях, например, для функции 
. Здесь прямая пересекает ось абсцисс в точке 
, при этом слева от данной точки 
(график ниже оси 
), а справа 
(график выше оси 
). Тем не менее, для тех, кто в танке, задача разрешима и методом интервалов.
Может ли функция быть положительно или отрицательной на всей числовой прямой? Конечно, в статье Область определения функции мы рассмотрели типовые примеры. В частности выяснили, что 
(парабола, полностью лежащая в верхней полуплоскости). Метод интервалов проходит и тут! Рассматриваем единственный интервал 
, берём из него самую удобную точку 
и выполняем подстановку: 
. А значит, функция положительна и в каждой точке интервала 
.
Перейдём к кубическим многочленам:
Пример 2
Найти интервалы знакопостоянства функции.
Решение: снова придерживаемся алгоритма:
1) Функция определена на всей числовой прямой.
2) Найдём нули функции, то есть решим уравнение 
. Для этого выполним разложение на множители:
Таким образом, нули функции: 
.
3) Откладываем найденные значения на числовой прямой:
Теперь в каждом из четырёх полученных интервалов берём наиболее простую точку и находим значения функции в данных точках:
Таким образом:
Ответ:
, если 
;
, если 
.
Вы можете не знать, как выглядит график функции 
, но уже, по крайне мере, понятно, где он выше оси 
, а где ниже.
Кубическая функция настолько распространена, что не удержусь от полного чертежа «молнии»:
Казалось бы, решение можно упростить: взять левый интервал 
, выяснить, что на нём функция отрицательна, а дальше знаки будут чередоваться – «плюс», «минус», «плюс». Знакочередование бывает часто, но…
ЗНАКИ ЧЕРЕДУЮТСЯ ДАЛЕКО НЕ ВСЕГДА
Поэтому не ленимся – ТЕРПЕЛИВО рассматриваем КАЖДЫЙ интервал: из КАЖДОГО интервала берём наиболее выгодную точку и выясняем знак функции в данной точке.
Вот простой пример, когда интервала два, но знакочередования нет: 
. Экспонента всегда положительна 
, квадрат неотрицателен 
, поэтому вся функция неотрицательна: 
, очевидно, достигая нуля в единственной точке 
. Такого решения будет вполне достаточно. Не обязательно чертить координатную ось! Обратите внимание, здесь есть тонкость при записи ответа:
, если 
.
То есть функция положительна везде, кроме точки ноль.
Но формально можно использовать метод интервалов, который приведёт нас к такому же результату:
Если честно, не помню, как выглядит чертёж, однако совершенно точно можно сказать, что график данной функции лежит в верхней полуплоскости и касается оси абсцисс в точке 
.
Или парабола, касающаяся оси, например: 
. Такая же история. Кстати, если вы внимательно изучили геометрические преобразования графиков, то сразу поймёте, как расположена данная парабола.
Следует отметить, что ситуация касания графика оси не единственна, в ряде случаев функция не меняет знак при переходе через точку разрыва. Хороший пример встретился в статье Непрерывность функции: 
.
Пример 3
Найти интервалы знакопостоянства функции.
Это пример для самостоятельного решения. После того, как определите знаки на интервалах, попытайтесь представить, как выглядит данная «молния». Примерный образец чистового оформления задания в конце урока.
Функции с многочленами встречаются очень часто, поэтому имеет смысл рассмотреть ещё пару экземпляров:
Пример 4
Найти интервалы знакопостоянства функции.
Решение:
1) Функция определена на всей числовой прямой.
2) Находим нули функции:
Таким образом, нули функции: 
.
3) Откладываем данные значения на оси абсцисс:
Определим знаки функции на полученных интервалах:
Таким образом:
Ответ:
, если 
;
, если 
.
Читатели с высоким и средним уровнем подготовки могут укоротить процесс решения, используя чётность / нечётность функций, чайникам же рекомендую не торопиться и тщательно прорабатывать каждый пункт решения.
Функция-многочлен 4-й степени тоже достойна полного графика:
Собрат для самостоятельного решения:
Пример 5
Найти интервалы знакопостоянства функции.
В ходе выполнения задания потребуется решить так называемое биквадратное уравнение, которое также рассматривается в школьном курсе математики. В данном примере нужно провести замену 
, разобраться с уравнением 
, найти корни 
и на финише из равенств 
получить 4 корня. Полное решение и ответ в конце урока.
Перейдём к обширной группе функций, у которых есть точки разрыва:
Пример 6
Найти интервалы знакопостоянства функции.
Решение: вот здесь начинает в полную силу работать пункт № 1 алгоритма:
1) Функция определена на всей числовой прямой, кроме точки 
, которая обращает знаменатель в ноль.
2) Находим точки пресечения графика с осью 
(нули функции):
Знаменатель нулевым быть не может, поэтому приравниваем к нулю числитель и решаем уравнение счастливого первоклассника:
3) Откладываем на оси абсцисс ВСЕ найденные точки, при этом выкалываем точку 
, так как она не входит в область определения функции:
Определим знаки функции на полученных интервалах:
В результате:
Ответ:
, если 
;
, если 
.
Чем отличается данный пример от всех предыдущих? Да ничем особенным.
Напоминаю, что практически так же решается ряд смежных задач, например:
Решить неравенство 
Ответ: 
Решить неравенство 
Ответ: 
Найти область определения функции 
Ответ: 
И так далее.
Короткое разминочное задание для самостоятельного решения:
Пример 7
Найти интервалы знакопостоянства функции.
Кстати, подобные вещи вполне реально решить мысленно! Попытайтесь найти интервалы знакопостоянства «в уме», тем более, вы ничем не рискуете – в конце урока есть готовый образец.
Рассмотрим более навороченные дробно-рациональные функции:
Пример 8
Найти интервалы знакопостоянства функции.
Решение: далее пункты алгоритма нумеровать не будем.
Находим область определения функции. Проверим, обращается ли знаменатель в ноль:
Перепишем квадратное уравнение в привычном виде:
И для удобства сменим знаки у каждого слагаемого:
!!! Внимание: в САМОЙ ФУНКЦИИ так делать НЕЛЬЗЯ! В ней знак «минус» не пропадает: 
.
Дискриминант больше нуля, значит, уравнение имеет два действительных корня и в область определения не войдут две точки:
Найдём точки пересечения графика с осью абсцисс: 
. Нулевым может быть только числитель, поэтому рассматриваем уравнение 
. Решение можно провести через дискриминант, однако нетрудно заметить, что у нас квадрат разности:
Таким образом, функция обращается в ноль в единственной точке: 
Используя уже наработанный алгоритм, определим знаки функции на полученных интервалах:
Ответ:
, если 
;
, если 
.
Как выглядит график функции, знают немногие, но совершенно точно можно сказать, что на интервалах 
он расположен ВЫШЕ оси 
, а на интервалах 
– НИЖЕ данной оси. В точке 
график, кстати, только касается её.
Пример 9
Найти интервалы знакопостоянства функции.
Это пример для самостоятельного решения.
Заключительные примеры посвящены функциям, в которые входит натуральный логарифм:
Пример 10
Найти интервалы знакопостоянства функции.
Просто и со вкусом.
Решение: функция определена и непрерывна на интервале 
. Найдём точки пересечения графика с осью абсцисс:
Нулю может быть равен только числитель:
Согласно определению логарифма (которое нужно бы уже хорошо усвоить):
Отметим найденные точки на числовой прямой:
На промежутке 
функция не определена вообще. Об этом можно сделать пометку на чертеже либо просто оставить полуинтервал без внимания. Я обычно не ставлю никаких знаков.
Определим знаки на интервалах, которые входят в область определения функции:
Таким образом:
Ответ:
, если 
;
, если 
.
На практике под логарифмом часто находится квадратный дву- или трёхчлен. Пожалуйста, ВНИМАТЕЛЬНО изучите оставшиеся примеры, в которых метод интервалов используется ДВАЖДЫ: первый раз для нахождения области определения, а второй раз для нахождения интервалов знакопостоянства.
Пример 11
Найти интервалы знакопостоянства функции.
Решение: сначала найдём область определения функции. Выражение под знаком логарифма должно быть положительным:
Квадратичное неравенство решим методом интервалов. Проверим, существуют ли действительные корни соответствующего уравнения:
Да, уравнение имеет два действительных перца. Не нужно удивляться, что дискриминант получился «плохой», это довольно распространённый инцидент в ходе исследовании функций. Невозмутимо находим корни:
Откладываем найденные точки на числовой прямой. Их следует выколоть, поскольку неравенство строгое. Далее стандартно из каждого интервала выбираем наиболее простую точку, и определяем знаки функции 
на полученных интервалах:
Таким образом, область определения:
Что теперь? Теперь ЗАБЫВАЕМ про найденные знаки и интервалы знакопостоянства. Самый важный факт состоит в том, что отрезок 
не входит в область определения функции 
.
На втором шаге находим точки пересечения графика с осью абсцисс (нули функции):
Решаем ещё одно квадратное уравнение:
Снова используем метод интервалов. Откладываем на числовой прямой ВСЕ найденные ранее точки:
Тесновато получилось, но что делать, зато масштаб выдержан.
Определяем знаки функции на интервалах, при этом не забываем, что отрезок посередине не входит в область определения, и возиться с ним не надо! Но от этого, увы, не легче, так как подстановка будет брутальной. Придётся тыкать по клавишам калькулятора, ну или куда там теперь современные ученики тыкают:)
Таким образом:
Ответ:
, если 
;
, если 
.
Что можно сказать о графике функции 
? На отрезке 
его не существует вообще, на крайних интервалах он расположен выше оси 
, на маленьких интервалах – ниже данной оси, точки пересечения с осью: 
.
Пример 12
Найти интервалы знакопостоянства функции.
Это пример для самостоятельного изучения. На первом шаге решение можно ускорить – неравенство 
значительно выгоднее решить аналитически, нежели использовать метод интервалов. Данный способ подробно рассмотрен на уроке Область определения функции.
Вот, пожалуй, и все основные задания по теме, которые встречаются на практике в ходе полного исследования функции. Хочется привести примеры сложнее, но они будут в известной степени надуманы.
Желаю успехов!
Решения и ответы:
Пример 3. Решение:
1) Функция определена на всей числовой прямой.
2) Найдём нули функции:
Таким образом: 
.
3) Определим знаки функции методом интервалов:
Ответ:
, если 
;
, если 
.
Пример 5. Решение:
1) Функция определена на всей числовой прямой
2) Найдём нули функции:
Проведём замену: 
3) Выполним чертёж и определим знаки функции на найденных интервалах:
Ответ:
, если 
;
, если 
.
Пример 7. Решение:
1) Функция определена на всей числовой прямой, кроме точки 
.
2) Найдём нули функции:
3) Определим знаки функции на полученных интервалах:
Ответ:
, если 
;
, если 
.
Пример 9. Решение: точки 
не входят в область определения функции.
График функции не пересекает ось 
, т. к. 
Методом интервалов определим знаки функции:
Ответ:
, если 
;
, если 
.
Пример 12. Решение: найдём область определения:
Таким образом, 
Найдём точки пересечения графика с осью абсцисс:
Определим знаки функции на полученных интервалах:
Ответ:
, если 
;
, если 
.
Автор: Емелин Александр
Высшая математика для заочников и не только >>>
(Переход на главную страницу)
© Copyright