Непрерывность функции двух переменных

После изучения предела функции двух переменных настало время рассмотреть тесно связанное с ним понятие, а именно – непрерывность. Уже из первой статьи о функциях нескольких переменных становится интуитивно понятно, что такое непрерывность функции двух переменных. Потому что всё просто и логично – ведь если есть некая поверхность в пространстве, заданная функцией или уравнением , то вполне естественно, что она может быть как «единым лоскутом», так и терпеть различные разрывы. И сегодня мы загоним эти обывательские представления в жёсткие рамки высшей математики. Но, прежде чем вплотную заняться данными вопросами, рекомендую освежить в памяти непрерывность функции одной переменной, поскольку многие термины, да и сам подход к исследованию функции на непрерывность будут очень и очень похожи.

Первое, что бросается в глаза при изучении темы – это величайшее многообразие поверхностей и их разрывов, причём некоторые из них напоминают целое произведение искусства, да такое, что иной художник и рядом не курил. В отличие от графиков функций одной переменной, поверхность может терпеть разрыв не только в отдельно взятых точках, но и вдоль целых линий; она может «стягиваться», «извиваться», «идти волнами» и принимать самые необычные формы. Пожалуйста:
Поверхности бывают самыми разнообразными
И это ещё довольно таки простая функция. Однако уроки рисования проходят в соседней аудитории, и поэтому мы не будем углубляться в художественные тонкости. Да-да, правильно предчувствуете – нас ждут теоретические выкладки и бородатые примеры =)

В теории существует несколько определений непрерывности функции в точке, но для практических целей нашего занятия я сформулирую лишь «прикладной» вариант:

функция непрерывна в точке , если её общий предел в этой точке равен значению данной функции в данной точке:

Откуда следует хорошо знакомый алгоритм проверки на непрерывность:

1) Определена ли функция в точке ? Если нет, то сразу делаем вывод о том, что функция терпит разрыв в данной точке.

2) Существует ли предел ? То же самое, на нет – и непрерывности нет.

3) И завершающий тест, если до него, конечно, дело дошло: выполнено ли равенство ? Если да, то функция непрерывна в точке .

Но перед тем как опробовать эту простую схему, немного поговорим о видах разрыва поверхностей. Да их много, да их не особо принято классифицировать, но, ИМХО, это чрезвычайно полезно для качественного усвоения темы.

В первых же примерах статьи Предел функции двух переменных мы столкнулись с простейшим разрывом поверхности – разрывом в отдельно взятой точке. Вспоминаем функции , имеющие маленькую проблемку в начале координат, из-за которой мы делаем вывод о наличии разрывов в первом же пункте алгоритма. И уже здесь имеет место принципиальная разница в характере разрыва: в первом случае разрыв является неустранимым, поскольку в точке невозможно доопределить функцию ТАК, чтобы она стала непрерывной. Этот факт обусловлен несуществованием предела – желающие могут открыть на соседней вкладке Пример № 1 предшествующего урока и вновь окинуть взглядом всю ситуацию.

Вторая же поверхность терпит разрыв устранимый, или как я его образно назвал, разрыв по типу «проколотое одеяло». Поскольку существует и равен нулю, то «подпредельную» функцию можно успешно доопределить до непрерывности в точке («залепить отверстие жвачкой»). Это делается стандартно – кусочным образом:

Проверим, что полученная функция непрерывна в точке :

1) функция определена в данной точке: ;

2) (см. Пример 2 урока Предел функции двух переменных);

3) .

Что и требовалось проверить.

Но доопределить функцию, разумеется, можно и «плохо». Кстати, в этом примере обнаружение разрыва произойдёт только в 3-м пункте алгоритма.

Помимо точечных недоразумений, поверхности часто разрываются вдоль целых линий. Рассмотрим ещё одну простую функцию: . Так как , то данная функция терпит разрыв во всех точках прямой . Для лучшего понимания ситуации повторим пройдённый материал: как изобразить на координатной плоскости область определения рассматриваемой функции? Нужно начертить пунктиром прямую .

Итак, функция терпит разрыв во всех точках прямой (на чертеже не обозначена), и соответствующая поверхность бесконечно близко приближается к «одноимённой» плоскости :
«Чисто» бесконечный разрыв
Иногда такую плоскость называют асимптотической плоскостью – по аналогии с асимптотами графика функции одной переменной.

Это был «чисто» бесконечный разрыв поверхности. Но, кроме такового, встречаются разрывы, где функцию всё же можно доопределить до непрерывности в некоторых, многих или даже во всех точках. Так, например, функция терпит разрыв по той же прямой , однако бесконечен он не везде. При любом допустимом маршруте к точке в плоскости поверхность «скручивается» к значению :
В начале координат есть возможность устранить разрыв
И действительно, легко убедиться, что , следовательно, в начале координат разрыв можно устранить.

А сейчас наступил удачный момент для обещанного разбора интересной функции из Примера 8 урока Предел функции двух переменных. Данная функция представима в виде и сократить на здесь можно лишь со следующей оговоркой:

С геометрической точки зрения это означает, что из области определения функции «выпадает» прямая , и «одноимённая» плоскость , проходящая через ось , «разрезает наше одеяло» (белая линия на чертеже):
Поверхность с разрезом
Функцию можно доопределить до непрерывности в любой точке разреза, за исключением значения , которое «наглухо убито» асимптотической плоскостью.

Во избежание недосказанности следует отметить, что роль «асимптот» могут выполнять и другие поверхности, как правило, это различного рода цилиндры. Так, например, функция терпит разрыв по окружности и «одноимённый» круговой цилиндр как раз и играет такую роль:
Разрывная поверхность и её асимптотический цилиндр
Здесь «чисто» бесконечный разрыв.

И в завершение нашего увлекательного обзора коротко о композиции: если некоторую функцию, возьмём ту же , «вложить» под всюду непрерывную функцию (косинус, синус, экспоненту и т. д.), то полученная сложная функция будет непрерывна/разрывна в тех же самых точках, что и «первоисточник» – так, функции непрерывны везде, кроме точек окружности .

…Никогда не думал, что о теореме непрерывности сложной функции можно рассказать одним предложением =)

Ну а теперь перейдём к практическим задачам:

Пример 1

Исследовать функцию на непрерывность в точке

Решение проводится в три, а если повезёт, то и в меньшее количество шагов:

1) Координаты точки удовлетворяют условию , поэтому .

2) Проверим, существует ли общий предел в данной точке:

Используем тригонометрическую формулу и первый замечательный предел:

Да, общий предел существует, и на очереди завершающий пункт:

3) – предел функции в точке не равен значению данной функции в данной точке

Ответ: функция терпит разрыв в точке

Этот разрыв является устранимым, и если функцию переопределить «правильным» образом: , то она станет непрерывной в точке .

Отрабатываем алгоритм:

Пример 2

Исследовать функцию на непрерывность в точке

Краткое решение и ответ в конце урока.

Непрерывность функции также иногда называют непрерывностью по совокупному аргументу. Но кроме общей непрерывности, в теории и на практике рассматривается и частная непрерывность, а именно – непрерывность по переменной «икс» и непрерывность по переменной «игрек». Давайте разберёмся, что это такое и с чем это едят:

Пример 3

Исследовать функцию на непрерывность в точке :
а) по переменной ;
б) по переменной ;
в) по совокупному аргументу.

Решение: координаты точки (внимание!) НЕ удовлетворяют условию , поэтому:

Функция определена в рассматриваемой точке, что включает зелёный свет к дальнейшему исследованию:

а) Как исследовать функцию на непрерывность в точке по переменной «икс»? Всё очень просто: в функцию нужно подставить конкретное значение и вычислить самый что ни на есть обычный предел функции одной переменной . Если окажется, что , то функция непрерывна по в данной точке.

В нашем случае , таким образом:
– неопределённости тут не было, и предел разрешился прямой подстановкой.

Внимание! Вычисленный предел не надо путать с повторным пределом. В повторном пределе значение «игрек» до поры до времени «заморожено» и не определено, здесь же мы сразу подставляем конкретное число . Геометрически это означает, что мы приближаемся к точке параллельно оси (красные линии и стрелки на чертеже ниже).

По итогу: , значит, рассматриваемая функция непрерывна по «икс» в точке .

б) Аналогично, чтобы исследовать функцию на непрерывность в точке по переменной «игрек», нужно взять конкретное значение и вычислить предел . Если , то функция непрерывна по в данной точке.

Подставим в функцию и найдём ещё один предел от одной переменной, на этот раз – от переменной «игрек»:
, значит, рассматриваемая функция непрерывна по «игрек» в точке .

Геометрически это означает, что мы приближаемся к точке параллельно оси (синие линии и стрелки):
Непрерывность по «икс», по «игрек» и по совокупному аргументу
в) Уже из иллюстрации становится ясно, что функция непрерывна в точке и по совокупному аргументу, т. е. при произвольном к ней подходе. И в самом деле:

Ответ: а)-б)-в) непрерывна

Какова взаимосвязь частной и общей непрерывности? Если функция терпит разрыв по либо по в точке , то, понятно, что она является разрывной данной точке. НО из непрерывности функции по «икс» и по «игрек» ещё не следует её непрерывность по совокупному аргументу. Рассмотрим ту же функцию и точку . Функция определена в данной точке и при этом непрерывна, как по «икс», так и по «игрек»:

Однако общего предела не существует (проверьте самостоятельно), а значит, и о непрерывности по совокупному аргументу речи не идёт.

Геометрически ситуация очень проста: непрерывность по «икс» (красный цвет) и по «игрек» (синий цвет) реализуется по частным маршрутам к точке (зелёная точка), к которой мы продвигаемся прямо по координатным осям. При этом соответствующие значения функции даже не приближаются, а непосредственно равны нулю (т. к. график проходит через оси ):
Из непрерывности по «икс» и по «игрек» ещё не следует непрерывность по совокупному аргументу
Но при любом другом подходе к началу координат, поверхность будет приближаться к оси на различных ненулевых высотах. Разрыв здесь неустраним, и, кстати, его природа точь-в-точь такая же, как и в Примере № 1 статьи Предел функции двух переменных.

Следующие два примера для самостоятельного решения. Как повелось, попроще:

Пример 4

И посложнее:

Пример 5

Те же задания для функции и точки .

Решения и ответы совсем близко.

На протяжении всего урока речь преимущественно шла о непрерывности функции в отдельно взятой точке, и возникает вопрос, а как сформулировать это понятие для целой области (множества точек плоскости )? Данный подход уже неоднократно встречался в курсе высшей математики, он прост и гениален: функция непрерывна в некоторой области, если она непрерывна в каждой точке данной области.

Понятие непрерывности распространяется и на функции бОльшего количества переменных, и если вам нужна соответствующая информация, пожалуйста, обратитесь к учебной литературе – теоретические и практические выкладки будут родственны, но геометрический смысл, естественно, пропадёт.

На этом основные моменты темы раскрыты, и прямо по курсу дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.

Семь футов под килем!

Решения и ответы:

Пример 2. Решение:
1) – функция определена в данной точке.
2) Вычислим предел по прямой :

Вычислим предел по параболе :

Значение предела зависит от пути интегрирования, значит, общего предела не существует.

Вывод: функция терпит неустранимый разрыв в точке .

Примечание: переход к полярным координатам может привести к ошибочному выводу: – при любом значении «фи», но, тем не менее, двойного предела не существует! Ибо этого условия не достаточно.

Пример 4. Решение: координаты точки удовлетворяют условию , поэтому:
– функция определена в данной точке.

а) Исследуем функцию на непрерывность по :
, значит, рассматриваемая функция непрерывна по в данной точке.

б) Исследуем функцию на непрерывность по :
, значит, рассматриваемая функция не является непрерывной по в данной точке.

в) Из предыдущего пункта следует, что функция не является непрерывной по совокупному аргументу.
Примечание: здесь также можно показать, что предела не существует (см. Пример № 3 урока Предел функции двух переменных).

Ответ: а) непрерывна, б)-в) не является непрерывной

Пример 5. Решение: координаты точки удовлетворяют условию , поэтому – функция определена в данной точке.
а) Непрерывность по .

Проведём замену:
Если , то
Далее используем тригонометрическую формулу и первый замечательный предел:

Таким образом, функция непрерывна по в данной точке.

б) Непрерывность по .

Проведём замену:
Если , то
Используем тригонометрическую формулу и первый замечательный предел:

Таким образом, функция непрерывна по в данной точке.

в) Непрерывность по совокупному аргументу.

Используем формулу и первый замечательный предел , где :

Таким образом, функция непрерывна и по совокупному аргументу в данной точке.

Ответ: а)-б)-в) непрерывна

Автор: Емелин Александр

Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу)

Как можно отблагодарить автора?