Высшая математика – просто и доступно!
Наш форум, библиотека и блог: 
Повторяем школьный курс
Карта сайта
Двумерная непрерывная случайная величина.
Функция распределения вероятностей и функция плотности
В предыдущих двух статьях (ссылки по тексту) мы рассмотрели двумерную дискретную случайную величину 
, в том числе с зависимыми компонентами 
, и теперь перейдём к двумерной непрерывной СВ. Задач запланировано немало, и поэтому сразу начинаем.
По аналогии с одномерным случаем, для системы случайных величин тоже вводится понятие функции распределения вероятностей, она определяется как 
– вероятность того, что случайная величина 
примет значение мЕньшее, чем 
и 
– мЕньшее, чем 
, при этом переменные 
«пробегают» все действительные значения от «минус» до «плюс» бесконечности. Откуда следует, что данная функция удовлетворяет неравенству 
, является неубывающей по каждому аргументу и обладает предельными свойствами 
. Таким образом, и в содержательном и в математическом смысле это пространственный аналог одномерной функции распределения вероятностей.
…всем всё понятно? … – на сайте есть всё для понимания! (ссылки в помощь). Впрочем, люди здесь собрались подготовленные («чайникам» эту тему не предлагают), и поэтому я не буду стесняться в выражениях :) И юмор тоже будет изощрённым.
Если система 
состоит из дискретных случайных величин, то 
представляет собой кусочную функцию двух переменных с графиком-«лестницей» в пространственной системе координат 
. Будете первопроходцами ;) (Пример 7)
Если же компоненты 
– непрерывны, то 
непрерывна в любой точке плоскости 
и её график представляет собой кусочно-гладкую или даже полностью гладкую поверхность, пожалуйста: 
.
Проверим, что для этой функции выполняются все свойства функции распределения. Так как арктангенс (смотрим или вспоминаем график) – есть возрастающая функция, то с увеличением «икс» и / или «игрек» наша функция тоже будет возрастать. Учитывая предельные значения 
, легко убедиться, что:
– вероятностный смысл этого результата состоит в том, что случайная величина 
достоверно примет одно из значений с конечными «координатами».
, а также:
здесь смысл тоже прост – СВ не может принять значение с «иксом» и / или «игреком», который бы был меньше, чем «минус бесконечность».
И из вышесказанного следует, что данная функция может принимать значения только из промежутка 
.
Кроме того, функция распределения обладает ещё одним свойством. Если мы устремим 
к 
, то получим:
– не что иное, как функцию распределения вероятностей случайной величины 
, которая рассматривается отдельно, без случайной величины 
.
И «зеркальный» случай. Если 
, то:
– получается функция распределения случайной величины 
без учёта компоненты 
.
Здесь 
получились одинаковыми, но в общем случае они, конечно, различны.
Едем дальше:
Помимо функции 
, для двумерной непрерывной СВ вводится понятие функции плотности распределения вероятностей, которая определяется как смешанная производная 2-го порядка от функции распределения:
График этой функции называют поверхностью распределения, и в силу свойства 
данная поверхность «висит» над координатной плоскостью 
.
Найдём плотность распределения в нашем демонстрационном примере. Для этого сначала возьмём частную производную, например, по «икс»:
и затем дифференцируем полученный результат по «игрек», получая тем самым смешанную производную 2-го порядка:
Аналогично одномерному случаю, для функции плотности справедлив следующий факт:
, который означает, что в результате испытания случайная величина 
достоверно примет одно из своих возможных значений 
.
Если все возможные пары 
образуют ограниченную область 
(как оно часто бывает), то свойство выражается через обычный двойной интеграл по этой области:
…будём проверять свойство для нашего примера? :) Ну, конечно, будем, двойной несобственный интеграл здесь очень прост:
Сначала вычислим внутренний несобственный интеграл. Ввиду чётности подынтегральной функции, интервал интегрирования удобно споловинить, а результат удвоить:
– подставляем во внешний интеграл:
, что и требовалось проверить.
Следует заметить, что самого по себе выполнения свойства 
ещё не достаточно для того, чтобы произвольная функция 
задавала плотность распределения. Всегда проверяйте, что она неотрицательна, в нашем случае – положительна:
– для ЛЮБЫХ «икс», «игрек».
Обратно: как получить функцию 
, если известна плотность 
?
По стандартной формуле:
В качестве разминки найдите 
– двойной несобственный интеграл с бесконечными нижними пределами и получИте исходную функцию распределения. Одномерный аналог этой задачи рассмотрен в Примере 6 статьи Непрерывная случайная величина.
После чего разберём более содержательное задание, узнаем новые формулы и порисуем заодно:
Пример 6
Непрерывная двумерная случайная величина 
распределена равномерно в прямоугольнике с вершинами 
. Требуется:
1) Составить функцию плотности распределения 
случайной величины 
и плотности распределений 
составляющих 
и 
.
2) Найти функцию распределения вероятностей 
.
3) Вычислить 
Построить графики 
.
Решение: из условия следует, что случайная величина 
с равной вероятностью может принять любое значение из области 
, которая ограничена прямоугольником 
:
По сути, перед нами двумерная версия равномерного распределения вероятностей, и для нахождения её плотности проще всего разделить единицу на площадь области 
. Очевидно, что эта площадь равна 
и искомая функция плотности:
Сразу изобразим график, его сподручнее построить от руки:
Здесь я символически очертил всю плоскость 
, дабы указать, что функция 
определена в любой её точке. Убедимся, что мы действительно составили функцию плотности, для этого нужно проверить её характеристическое свойство:
, что и требовалось проверить.
Легко видеть, что двойной интеграл 
численно равен объёму цилиндрического бруса, в данном случае – параллелепипеда с основанием 
и высотой 
Составим плотности распределения 
случайных величин 
и 
. Для этого есть специальные формулы:
и 
при иных значениях 
.
Примечание: поскольку компонента 
принимает значения лишь из промежутка от 1 до 3, то 
.
И «зеркальные» выкладки:
Проверим, что полученные функции действительно являются одномерными плотностями распределения вероятностей:
2) Составим функцию распределения 
– вероятностей того, что компонента 
примет значение СТРОГО меньшее, чем 
и 
– СТРОГО меньшее, чем 
, при этом нам нужно учесть все значения переменных 
– от «минус» до «плюс» бесконечности.
Так как двумерная СВ может принимать значения лишь из прямоугольника 
, то при 
или 
функция распределения будет равна нулю: 
, на чертеже ниже я заштриховал эту площадь серым цветом (логическая связка «или» подразумевает выполнение хотя бы одного неравенства). Наоборот, при 
событие 
– будет достоверным (зелёная штриховка). Теперь восстановим функцию распределения в центральной области:
– в результате получено уравнение гиперболического параболоида («седла») с вершиной в точке 
, чертёж этой поверхности можно найти в начале статьи об экстремумах ФНП.
Примечание: вне прямоугольника интеграл 
равен нулю, и поэтому мы сразу перешли к левой нижней точке: 
.
И осталось прояснить ситуацию с областями, отмеченными красной и малиновой галочками:
В области 
(красный цвет) событие 
является достоверным, и поэтому функция 
упрощается до функции распределения по компоненте 
:
– и не пренебрегаем элементарной проверкой: 
В области 
(малиновый цвет) достоверным становится событие 
и поэтому:
, контроль:
В обоих случаях получены уравнения плоскостей, и я рад представить вам свой небольшой шедевр:
…надо было заснять на веб камеру, глядишь, станет классикой постиндустриальной живописи :)
Таким образом, функция распределения вероятностей:
Обратите внимание, что в нашей задаче справедливо равенство 
, и это означает, что... скоро узнАем!
3) Вычислим 
– вероятность того, что случайная величина примет значение из указанной в скобках области. Это можно сделать двумя способами, по формуле:
в нашем случае:
Примечание: данная формула справедлива как для строгих, так и для нестрогих неравенств в различных комбинациях – в силу непрерывности функции 
, это не имеет значения. Но обратите внимание, что значения «икс», «игрек» следует подставлять в нужный «кусок» функции распределения, так, например, при нахождении 
не следует проводить вычисления 
.
Второй способ состоит в нахождении двойного интеграла от функции плотности по соответствующей области:
Вероятность 
вычислим по той же формуле (см. выше), принимая во внимание предельные значения 
:
или так:
И, наконец:
– по той причине, что этому условию удовлетворяют все точки прямоугольника 
за исключением нижней стороны 
, но с позиций геометрии её площадь равна нулю, и поэтому данный факт не принимается во внимание. О подобном парадоксе я уже рассказывал, когда мы изучали функцию распределения одномерной случайной величины.
В этой связи, кстати, задача с открытой областью 
будет решаться аналогично, с той поправкой, что придётся скорректировать строгость неравенств при записи функции плотности распределения.
Возможно, у вас возник вопрос: а почему я не разобрал построение функции распределения для двумерной дискретной СВ? Дело в том, что даже в простых случаях у такой функции получается 10-20 кусков, и поэтому такое задание, как правило, не предлагают для решения. Впрочем, в очень простом случае кусков будет всего 5, и я-то предложу вам маленькую факультативную задачку:
Пример 7
Двумерная дискретная случайная величина 
задана таблично:
Составить функцию распределения.
Эта СВ взята из демонстрационного примера статьи о зависимых случайных величинах, и если вам совсем трудно, то вспомните её содержательный смысл. Краткое решение совсем близко. Желающие могут построить график, и если он получился удачно – присылайте, опубликую!
И задача для закрепления материала:
Пример 8
Непрерывная двумерная случайная величина 
задана своей функцией распределения 
в квадрате 
и принимает значения только из этой области. Найти:
1) значение параметра 
;
2) функцию плотности распределения и проверить, что она является таковой;
3) плотности составляющих 
, выполнить аналогичную проверку;
4) вероятности 
.
Таблица значений тригонометрических функций в помощь. И на всякий случай таблица производных и интегралов, …ну а кому сейчас легко? :) …я и сам как-то опрометчиво предположил, что решение пункта 4 легче провести через интегралы, но оно оказалось явно не легче :) Поэтому, всегда анализируйте, какой способ выгоднее.
Стараемся всё решить самостоятельно – не подглядываем!
Жду вас в заключительной части темы, где мы поговорим о независимости и зависимости двумерной непрерывной случайной величины, её условных законах распределения, математических ожиданиях, дисперсиях и коэффициентах ковариации, корреляции.
Решения и ответы:
Пример 7. Решение:
Если 
или 
, то 
Если 
, то 
Если 
, то 
(вероятности просуммировали по строке)
Если 
, то 
(вероятности просуммировали по столбцу)
Если 
, то 
Пример 8. Решение:
1) Так как случайная величина принимает значения только из указанного квадрата, то значение функции распределения в его правом верхнем углу должно равняться единице:
, откуда следует:
Таким образом: 
2) Функцию плотности распределения найдём по формуле 
. В данном случае:
Таким образом, 
, если 
и 
при иных значениях аргументов.
Примечание: не забываем, проконтролировать, что 
для любых значений «икс», «игрек» из рассматриваемого квадрата.
Проверим выполнение свойства 
. В данном случае этот интеграл равен:
, что и требовалось проверить.
3) Найдём плотности распределения составляющих:
Контроль:
, что и требовалось проверить.
В силу «симметрии» функции 
относительно аргументов:
.
4) Искомые вероятности вычислим с помощью двойных интегралов от функции плотности по соответствующим областям:
Автор: Емелин Александр
Высшая математика для заочников и не только >>>
(Переход на главную страницу)
© Copyright