Как найти функцию комплексной переменной
по известной действительной или мнимой части?

Рассмотрим еще одну распространенную задачу комплексного анализа: нахождение функции комплексной переменной по известной действительной или мнимой части. Для её освоения нужно ориентироваться в материалах урока Производная функции комплексной переменной, ну а если вы только приступили к изучению ТФКП – начните с азов темы.

Сначала вернёмся к задаче предыдущего занятия: дана функция комплексной переменной . Требуется найти действительную и мнимую части функции и проверить условия Коши-Римана. Найти производную , если это возможно. Опционально производную в точке, фантазия математических злодеев здесь бедновата.

Коротко повторим алгоритм решения данной задачи: на первом этапе следует выполнить подстановку . Сразу же напоминаю две наиболее ходовые формулы:

В результате функция комплексной переменной должна быть представлена в виде:

Далее идёт проверка условий Коши-Римана. Здесь нужно найти четыре частных производных и убедиться в справедливости равенств:

В практических примерах условия Коши-Римана выполняются в большинстве случаев, а значит, можно взять производную .

Зачем я всё это повторил заново? Дело в том, что сейчас нам предстоит рассмотреть обратную задачу, которая формулируется примерно так:

дана действительная часть аналитической функции . Требуется найти её мнимую часть . Найти саму функцию , используя заданное начальное условие.

Алгоритм решения будет раскручиваться в обратном направлении:

1) Используя условия Коши-Римана, находим мнимую часть . Очень хорошо, если вы разобрались с дифференциальными уравнениями в полных дифференциалах, так как хитросплетения первого этапа будут точно такими же, как в тех диффурах.

2) Теперь и действительная и мнимая части известны, поэтому составляем функцию . Дальнейшие действия будут направлены на то, чтобы все «иксы» и «игреки» превратить в «зеты». В частности, наиболее распространенные формулы будут работать в обратном направлении:

То есть из каши с помощью раскрытия скобок, перегруппировки слагаемых и т. д. следует выуживать жирные куски масла. Например, составить выражение и превратить его в .

3) На завершающем этапе будет получена функция , в которой есть только комплексная переменная «зет» и константы. Используя начальное условие, окончательно уточняем функцию . Действие несложное, более подробно вернёмся к нему в практических примерах.

Очевидно, существует и «зеркальная» задача: когда по условию дана мнимая часть , а требуется найти действительную часть . Алгоритм решения практически тот же самый – с помощью условий Коши-Римана находим действительную часть , и понеслась нелёгкая.

Обе задачи встречаются одинаково часто, и я постараюсь максимально детально разобрать оба случая.

Пример 1

Дана действительная часть функции комплексной переменной. Найти мнимую часть данной функции и составить функцию , удовлетворяющую начальному условию .

Решение:
1) Сначала найдем мнимую часть функции . В распоряжении у нас есть действительная часть. А что с неё взять, кроме частных производных?

Вспоминаем условия Коши-Римана:

В целях решения данной задачи равенства удобнее переписать в другом порядке:

В соответствии с первым условием:

В соответствии со вторым условием:
– обратите внимание на смену знака.

В результате у нас протянулся мостик к неизвестной мнимой части в виде двух её частных производных:

Следующий этап полностью совпадает с решением дифференциального уравнения в полных дифференциалах, то есть по двум частным производным необходимо восстановить общий интеграл (мнимую часть). Не сильно хочется, но хотя бы один раз вновь всё пропишу подробно:
– работаем с этой производной;
– про эту производную пока забываем.

Примечание: как вариант, можно «забыть» о первой производной, а пляску начинать со второй – получится совершенно равноценное решение. Этот момент хорошо показан в соответствующей статье (см. ссылку выше).

Поскольку , то общий интеграл восстанавливаем частным интегрированием по «игрек»:
, где – неизвестная функция, зависящая только от «икс».

Напоминаю, что при частном интегрировании по «игрек» – «икс» считается константой, поэтому можно вынести за знак интеграла. Для самопроверки всегда полезно найти частную производную: (функция зависит только от «икс», поэтому её производная по «игрек» равна нулю).

Теперь от нашей недоделанной мнимой части берём частную производную по «икс»:
– и результат приравниваем к «забытой» частной производной:

После сокращений получаем:

Восстанавливаем функцию интегрированием:

Подставляем найденную функцию в недоделанную мнимую часть . В итоге, после всех манипуляций:
– мнимая часть функции

2) Действие второе. Найдем функцию :

(1) Подставляем действительную часть , которая была дана в условии и найденную мнимую часть .

(2) Раскрываем скобки.

(3) Выполняем перегруппировку слагаемых, для удобства я заключил их в скобки. В целях перегруппировки нужно проанализировать, что в ближайшей перспективе может получиться? Так, например, смотрим на слагаемое , и в голову приходит мысль, что тут будет фигурировать формула , поэтому и собираем вместе слагаемые, которые очевидно будут относиться к данной формуле.

(4) Проводим вынесение за скобки некоторых множителей, учитывая, что в нашей функции всё дело явно сведётся к двум формулам: .
При этом всегда можно сделать проверку, раскрыв скобки, например:
.

(5) Используя две вышеуказанные формулы, получаем функцию

Обратите внимание, что в функции присутствует только комплексная переменная «зет» и константы. Если остался какой-нибудь мусор с «иксами», «игреками», значит, вы допустили ошибку где-то выше.

3) Третий этап короткий. Найдём значение константы . В соответствии с начальным условием :

Согласно условию, в ответ следует записать мнимую часть и саму функцию, естественно, с учётом найденного значения константы :

Да, конечно, задача не из самых простых, но с другой стороны, весьма логично – конструировать гораздо труднее, чем разрушать. И коль скоро разрушать проще, то проверка элементарна. Сначала проверяем выполнение начального условия :
– начальное условие выполнено.

Второй этап проверки – представить найденную функцию в виде , иными словами, в точности решить задачу, которая подробно разобрана на уроке Производная функции комплексной переменной.

Творческий пример для самостоятельного решения:

Пример 2

Примерный образец чистового оформления и ответ в конце урока.

И тут у вас наверняка появился вопрос: вот нам дана произвольная функция – всегда ли существует функция , такая, чтобы выполнялись условия Коши-Римана? Конечно, нет. Ведь есть туча недифференцируемых функций, для которых условия Коши-Римана не выполнены, зачастую на всей комплексной плоскости.

Хорошо, но тогда возникает ещё более интересный вопрос: а можно ли заранее узнать, что для функции существует «хорошая» функция ? (чтобы выполнялись условия Коши-Римана). Можно! Для этого действительная часть должна быть непрерывна в рассматриваемой области и удовлетворять условию:

(это частные производные второго порядка, кто запамятовал).

Такие функции называют гармоническими (загуглите самостоятельно). Проверим выполнение условия, скажем, для функции . Производные здесь устные:

Таким образом: , значит, для функции не существует функции , такой, чтобы выполнялись условия Коши-Римана. Но мнимую часть можно придумать произвольно, и будет совершенно законной функцией. Только с дифференцированием грусть.

Теперь проверим из Примера 2:

Таким образом: – для всех значений , значит, для функции заведомо существует сопряжённая («хорошая») функция , при этом условия Коши-Римана выполнены на всей комплексной плоскости, следовательно, функция дифференцируема всюду. Дело за малым, решить Пример 2, что, я надеюсь, вы успешно сделали. Решаем, разбираемся, иначе тоже грусть.

И, очевидно, справедлив «зеркальный» факт. Для функции существует сопряжённая функция только в том случае, если выполнено условие . Не отходя от кассы, рассмотрим соответствующую задачу. Алгоритм, как уже упоминалось, будет очень похожим:

Пример 3

Дана мнимая часть функции комплексной переменной. Выяснить, существует ли сопряжённая действительная часть , если – да, то найти её и функцию , удовлетворяющую начальному условию .

Так как наличие «хорошей» действительной части не гарантировано, то к решению следует добавить дополнительный пункт:

0) Проверим, существует ли для сопряжённая функция . Найдём частные производные второго порядка:

и их сумму:

, значит, существует функция , такая, что функция дифференцируема (т. е. такая, что условия Коши-Римана выполнены), причём в данном случае на всей комплексной плоскости.

1) Согласно условиям Коши-Римана:
– работаем с этой производной.
– про эту пока забываем.

Поскольку , то действительная часть восстанавливается частным интегрированием по «икс». А если интегрируем по «икс», то «игрек» считается константой:
, где – неизвестная функция, зависящая только от «игрек».

Для проверки можно мысленно или на черновике найти частную производную:
, что и требовалось проверить.

Берём недоделанную действительную часть и находим частную производную по «игрек»:
– результат приравниваем к «забытой» частной производной:

Таким образом, после сокращений:

Интегрированием восстанавливаем функцию :

В результате:
– действительная часть функции .

2) Найдем функцию :

(1) Подставляем мнимую часть и найденную действительную часть.

(2) Раскрываем скобки.

(3) Снова выполняем перегруппировку слагаемых. Анализирую слагаемые, видим, что среди них есть слагаемые с кубами, а значит, дело сведётся к формуле . Поэтому в первой скобке группируем слагаемые, которые явно относятся к данной формуле. Аналогично – замечаем среди слагаемых слагаемые с квадратами, и во второй скобке группируем слагаемые, чтобы далее воспользоваться формулой .

(4) Проводим вынесение за скобки множителей, чтобы внутри осталось, то, что нужно. При этом полезно мысленно или черновике сделать проверку, раскрыв скобки и .

(5) Запаковываем функцию.

В итоге получена функция , в которой присутствует только комплексная переменная «зет» и константы.

3) В соответствии с начальным условием :

Ответ: ,

Готово. Примеры с кубами встречаются достаточно часто, поэтому набиваем руку:

Пример 4

Дана мнимая часть функции комплексной переменной. Убедиться, что для неё существует сопряжённая действительная часть , найти её и функцию , удовлетворяющую начальному условию .

Этот пример можно решить по шаблону только что разобранного примера. Но обратите внимание на отличие от предыдущего условия – тут утверждается, что такая часть существует. Примерный образец чистового оформления задания в конце урока. И для полного счастья пример, где дана действительная часть :

Пример 5

Для заданной функции найти сопряженную функцию и функцию при известном значении .

И вновь прочувствуем оттенки вкуса. Здесь тоже «между строк» подразумевается существование сопряжённой части, но в любом случае я рекомендую вам выполнять предварительную проверку. Чтобы не было мучительно больно за напрасное решение, в котором «ничего не сошлось».

Что делать, если по вине опечатки / коварства сопряжённой функции не существует? Для начала перепроверьте все частные производные и сумму производных второго порядка – а вдруг вы сами ошиблись? Если всё гладко, то оформляем на чистовик проверку и делаем соответствующий вывод: сопряжённой части не существует, а значит, не существует и требуемой функции .

В большинстве случаев вам встретится что-нибудь из уже рассмотренных заданий с квадратами да кубами, но время от времени попадаются более занятные примеры, для решения которых нам потребуется формула Эйлера:

и её версия для «минус альфа»:

Коль скоро мы рассматриваем обратную задачу, то данные формулы тоже будут применяться в обратном направлении:

Еще два, причём, не самых простых примера из реальных контрольных работ студентов:

Пример 6

Для заданной функции найти сопряженную функцию и функцию при заданном начальном условии.

Решение: первый пункт алгоритма обкатан и стандартен:

1) Найдем мнимую часть функции . Так как , то:

И от греха подальше убедимся (хотя бы на черновике), что сопряженная функция вообще существует:

, отлично, продолжаем.

В соответствии с условиями Коши-Римана (а когда дана действительная часть, их нужно сначала переписать в другом виде – см. Примеры № 1, 2):
– работаем с этой производной;
– про эту производную пока забываем.

Поскольку , то:

Найдём частную производную по «икс»:
– результат приравниваем к «забытой» частной производной:

Сокращаем равенство и восстанавливаем функцию :

В результате:
– мнимая часть функции

2) Второй пункт будет куда веселее. Составим функцию :

(1) Подставляем действительную и мнимую части.

(2) Раскрываем скобки.

(3) Выполняем перегруппировку слагаемых, при этом выносим за скобку.

(4) В скобках нужно организовать конструкцию , чтобы воспользоваться формулой Эйлера. Немного подумав, догадываемся, что нужно вынести за скобку мнимую единицу.

(5) Используем формулу Эйлера , при этом

(6) По школьному правилу действий со степенями подводим экспоненты под единый показатель. Попутно в показателе раскрываем скобки

(7) В показателе экспоненты проводим окончательную упаковку:

В результате получена вполне симпатичная функция , в которой присутствуют только комплексная переменная «зет» и константы.

3) Найдём значение константы …, кто-нибудь ещё помнит об этом маленьком третьем этапе? =) В соответствии с начальным условием :

Таким образом:

Ответ: ,

Погорячился я со сложностью, на самом деле пример был довольно прост. Но ничего страшного, я привык исполнять обещания, держите:

Пример 7

Для заданной функции найти сопряженную функцию и функцию при заданном начальном условии.

В предложенном примере дана мнимая часть функции, поэтому придерживаемся алгоритма Примеров № 3, 4. Задание технически сложное, потребуются хорошие навыки нахождения частных производных, а на втором этапе нужно будет догадаться, как распутать клубок и применить формулу Эйлера. Однако пример взят из реальной контрольной работы студента заочного отделения. Полное решение и ответ внизу.

На первом уроке также были представлены формулы для синуса и косинуса:

Но обратной задачи по этим формулам мне ни разу не встречалось. Тем не менее, я воодушевился предыдущим примером, на лице появилась добрая улыбка, а душа прям-таки требует рассказать вам ещё какую-нибудь гадость. Поэтому в заключение разберу любопытный пример, который не так давно встретился в моей практике.

Пример 8

Восстановить функцию по известной мнимой части и значению .

Условие опять немного перефразировано, но вы уже универсальные бойцы :)

Решение: 1) Найдем действительную часть функции .

Нарезаем частные производные от :

И тут проверку что-то выполнять неохота, поэтому поверим автору задачи :)

В соответствии с условиями Коши-Римана:
– работаем с этой производной;
– про эту пока забываем.

Если , то:

…и на этом этапе стандартного алгоритма я крепко задумался. Превратил мысленно «игреки» в константы, и пришёл к выводу, что интеграл, конечно, берётся…. Но является довольно сложным с неприятным и долгим решением. Кстати, похожие штуковины рассмотрены в статье Сложные интегралы.

Что делать? Есть другая возможность!
– про эту производную пока забываем;
– работаем с этой производной.

То есть восстановление действительной части пытаемся начать с другой частой производной, вдруг интеграл проще получится?

Если , то:

И действительно, интеграл получился намного более простым! Здесь я использовал метод подведения функции под знак дифференциала (не забывайте, что «икс» – константа!).

Находим частную производную по «икс» от недоделанной действительной части:

Приравниваем результат к «забытой» частной производной:

Страшные дроби благополучно сократились и:

Таким образом: – действительная часть функции .

2) Найдем функцию :

(1) Поставляем действительную и мнимую части.

(2) Знаменатели дробей одинаковы, поэтому оформляем дроби под единым знаменателем.

(3) Раскладываем знаменатель на множители при помощи формулы разности квадратов: . Конечно, это не совсем очевидно, особенно для чайника. И для сомневающихся читателей выполню проверку:

(4) Сокращаем дробь на .

(5) Упаковываем функцию: .

Готово:

3) В соответствии с начальным условием:
Таким образом: – искомая функция.

Ответ: ,

Вот так вот иногда бывает. Казалось бы, такая простенькая функция , а сколько приключений! Никогда не нужно теряться – если дверь закрыта, пробуйте залезть в форточку! И не забывайте, я в доле =)

Желаю успехов!

Решения и ответы:

Пример 2. Решение:
1) Найдём мнимую часть . Частные производные от действительной части:

В соответствии с условиями Коши-Римана:

Поскольку , то:

Таким образом:

В результате:
– мнимая часть функции

2) Найдем функцию :

3) В соответствии с начальным условием :

Ответ: ,

Пример 4. Решение: проверим, существует ли для сопряженная функция. Найдём частные производные второго порядка:

Таким образом: , значит, сопряжённая функция существует.