Высшая математика – просто и доступно!

Если сайт упал, используйте ЗЕРКАЛО: mathprofi.net

Наш форум, библиотека и блог: mathprofi.com

Высшая математика:

Математика для заочников

Математические формулы,
таблицы и другие материалы

Книги по математике

Математические сайты

+-*/^ Удобный калькулятор

+ «Дробовик»   

Учимся решать:

  Карта сайта

Не нашлось нужной задачи?
Сборники готовых решений!

Не получается пример?
Задайте вопрос на форуме!
>>> mathprofi

Обратная связь:

Часто задаваемые вопросы
Гостевая книга Отблагодарить автора >>>

Заметили опечатку / ошибку?
Пожалуйста, сообщите мне об этом

Карта сайта

---

Односторонние пределы и общий (двусторонний) предел.
Как вычислить односторонний предел?

Открывая тему, мы начали с интуитивного понятия предела функции и по итогу пришли к его строгому определению. Но на этом пути остались в тени некоторые моменты, которые-таки следует осветить более ярко. Кроме того, настоящая статья позволит окончательно устранить типовое недопонимание предела. С него и начнём.

Знакомая запись  – гласит нам о том, что предел функции  в точке  равен . И ряд учащихся думает, что это равенство в привычном смысле. Вовсе нет!

Суть предела состоит в том, что если значения «икс» бесконечно близко приближаются к точке , то соответствующие значения функции  (грубо говоря, «игреки») бесконечно близко приближаются к . Именно значение  в пределе, а не строгое равенство  в нашем обычном понимании!  При этом не имеет значения, определена ли функция  в точке  или нет.

Вспоминаем определение предела по Коши: число  называют пределом функции  в точке , если для любой окрестности  точки  (заранее выбранной и сколь угодно малой), существует -окрестность точки , ТАКАЯ, что как только значения  входят в данную окрестность:  (зелёная и красная стрелки), так сразу соответствующие значения функции заходят в -окрестность:  (синие стрелки):

Общий предел, в частности, может быть бесконечным и равняться, например, «плюс» бесконечности:

В этом случае на языке окрестностей определение примет следующую формулировку:

значение  – есть предел функции  в точке , если для любой окрестности  точки  (заранее выбранной и сколь угодно большой), существует -окрестность точки , ТАКАЯ, что как только значения  входят в данную окрестность: , так сразу соответствующие значения функции зайдут в окрестность точки «плюс» бесконечность: .

Коротко: , если .

И «классический» можно сказать пример: .  Под буквой , кто не до конца понял, подразумевается открытая окрестность точки «плюс» бесконечность:

Аналогично конечному случаю, можно сформулировать строгие определения односторонних пределов, ну а в нашем конкретном примере односторонние пределы существуют и равны:
, стало быть, существует и общий предел.

Но так бывает, конечно, не всегда. У некоторых функций в некоторых точках может существовать только левосторонний или только правосторонний предел. Продолжаем повторять элементарные функции, график корня из «икс»:

Очевидно, здесь всё дело ограничивается правой стороной:
 – знак «плюс» в пределе означает, что к предельному значению (нулю в данном случае) мы приближаемся сверху.

Для бесконечного случая напрашивается привести легендарный логарифм:

…До сих пор не помните его графика? Ай-яй-яй. Обязательно пройдите по ссылке, следующая будет вести в деканат :)

В качестве примера одиночного левостороннего предела можно привести те же функции, отображённые симметрично относительно оси :

Кроме того, оба односторонних предела могут существовать, но быть различными. Рассмотрим кусочную функцию  из Примера 4 урока о непрерывности функции и соответствующий чертёж:

Очевидно, что в точке  как раз имеет место такой случай, и в том задании мы «грубо» рассчитали односторонние пределы прямой подстановкой:
,
в том числе подставив «минус» один и в правый кусок, хотя функция там не определена:

Этот вариант здесь годится, но есть более тонкое и точное решение, которое состоит в учёте бесконечно малых добавок:
 – «минус ноль» символизирует, что мы подбираемся к предельному значению снизу (зелёная стрелка на чертеже).

 – и здесь с той же стороны (красная стрелка).

Пояснение: в результате возведения в квадрат , очевидно, получается значение чуть меньшее единицы: .

Таким образом, односторонние пределы различны, следовательно, общего предела не существует.

Ну а в другой «стыковой» точке всё хорошо: , поэтому общий предел  существует. В данном примере к двойке мы с обеих сторон подбираемся снизу, но для существования общего предела это совпадение не имеет принципиального значения.

Так, для кубической функции  направления разные:
 (снизу);
 (сверху),
но общий предел, несмотря на эту тонкость, незыблем:
, ибо обе дороги ведут в Рим.

И я так вижу, вы что-то заскучали, решаем самостоятельно:

Задание 1

а) Сформулировать на языке окрестностей строгие определения следующих односторонних пределов:

б) Детализировать определения для гиперболы  в точке .

В той справочкой статье (см. по ссылке) мы разобрали односторонние пределы «на пальцах», и теперь пришло время поднять свой уровень. Свериться можно в конце урока и, конечно же, постарайтесь хорошо понять смысл всей этой кухни. Ничего страшного, если ваши варианты будут несколько отличаться от образца, важно, чтобы совпадала суть.

Как вычислить односторонний предел?

Для односторонних пределов работают те же принципы решения, что и для «полноценного» предела. Но в реальных практических задачах почти всегда встречается прямая подстановка предельного значения «икс», и этот метод мы уже вовсю начали использовать. Применим сей приём для недавнего демонстрационного примера:

 – бесконечно малое отрицательное значение в квадрате – это есть бесконечно малое положительное значение, а единица, делённая на оное – есть бесконечно большое положительное значение.

Ну и правосторонним пределом всё прозрачнее:

Коль скоро односторонние пределы существуют и совпадают, то можно записать общий предел:

Однако, несмотря на кажущуюся простоту, при таких подстановках следуют проявлять повышенное внимание и не проводить «очевидные» аналогии.

Рассмотрим вроде бы похожую функцию  и вычислим её односторонние пределы в точке . При этом рассуждать и решать можно разными способами:

 – здесь логика такова, что значение  по модулю чуть больше двух, а поэтому при возведении его в квадрат, получается значение чуть большее четырёх: .

Но, как вариант, можно использовать формулу разности квадратов и уже затем провести подстановку:

Теперь правосторонний предел:
 
– значение  по модулю чуть меньше двух, поэтому при возведении его в квадрат получаем значение чуть меньшее четырёх: .

И аналогичный альтернативный способ:

Таким образом, односторонние пределы существует, но различны, поэтому общего предела не существует. Вот тебе и «похожая» функция!

Однако «под одной гребёнкой» можно записать односторонние пределы, лучше всего так:
, то есть добавке  соответствует , а добавке  соответствует .

И у этой функции есть ещё одна «нехорошая» точка, но её уже можно не исследовать, а воспользоваться чётностью и симметрией графика относительно оси :
 – тут, к слову, тоже нужно проявить аккуратность, чтобы не допустить машинальную ошибку.

Тренируемся:

Задание 2

Вычислить односторонние пределы в точке и сделать вывод о существовании общего предела:
а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) .

Графики косинуса, экспоненты, котангенса в помощь, не спешим, сверяемся, продолжаем.

Необходимость рассчитать подобный предел возникает в ходе исследования функции, в частности, на непрерывность, при вычислении несобственных интегралов и в ряде других задач вышмата.

«Сами по себе» односторонние пределы на практике встречаются крайне редко. Но в таких случаях не тушуемся и используем обычные методы. Начиная с классики:
 – здесь преспокойно пользуемся первым замечательным пределом.

И при отсутствии  критической необходимости лучше не уточнять, с какой именно стороны мы приближаемся к предельному значению (сверху или снизу). Дело в том, что прямой анализ бесконечно малых добавок  и  может оказаться неэффективным, а то и вовсе привести к неверному выводу.

Так, в нашем примере к единице в обоих пределах приближение идёт снизу: , что далеко не очевидно и требует дополнительного исследования. При  и при числитель по модулю будет всегда чуть меньше знаменателя, а посему отношение всю дорогу будет чуть меньше единицы. Проще всего это обосновать графически, рассмотрев прямоугольный треугольник с вершиной в начале координат, катетом  и воспользовавшись геометрическим определением синуса.

Предлагаю это задание в качестве факультатива, оно весьма простое. Кто пришлёт корректное и подробное обоснование, даже рукописное – опубликую!

Но в «массовых» практических работах по пределам, повторюсь, это крайне редкий гость. Порой, составители задачников, методичек вообще не указывают, что предел лишь односторонний:

Здесь существует только правосторонний предел, ибо квадратный корень, но автор не удосужился, а то и вовсе «просмотрел» добавку . И решать, в принципе, можно в таком же стиле, ничего не уточняя (см. Пример 2 урока о бесконечно малых функциях).

Или Пример 12 статьи Правила Лопиталя:

 – здесь можно рассматривать только правосторонний предел, так как степенно-показательная функция не определена для отрицательного основания.

Но это не должно смущать, решаем подобный предел «обычными» методами, невзирая на его односторонность.

Более того, иногда встречаются «нехорошести», а-ка:
, то ли из-за недосмотра автора, то ли специально для супер-пупер технарей.

Общего предела тут не существует и эта запись, строго говоря, некорректна. Но разрулить такое задание вполне можно. Используем первый замечательный предел и ставим развилку:

Как вариант, можно вычислить односторонние пределы по отдельности или оформить решение «единой» записью:

В моей практике встречались и более «навороченные» пределы такого жанра, но это всё же редкость, большинство преподов бдят. И вы тоже – будьте внимательны! Отслеживайте данный момент.

Желаю успехов!

Решения и ответы:

Задание 1. Решение:

а) Дадим определение предела :
значение  является левосторонним пределом функции  в точке , если для любого значения  (заранее выбранного и сколь угодно большого), существует левосторонняя -окрестность точки  , такая, что как только значения  входят в эту окрестность: , так сразу соответствующие значения функции попадают в окрестность точки «минус» бесконечность: .

Краткая запись: , если .

Теперь определение :
значение  – есть правосторонний предел функции  в точке , если для любого значения  найдётся правосторонняя -окрестность точки , такая, что как только значения  входят в данную окрестность: , так сразу соответствующие значения функции зайдут в окрестность точки «плюс» бесконечность: .

Кратко: , если .

б) Детализуем определения для функции  в точке :

,  ибо для любого значения  (заранее выбранного и сколь угодно большого), найдётся окрестность , такая, что как только значения  заходят в эту окрестность, так сразу .

И с правосторонним пределом чуть проще, запишем его коротко:
, поскольку .

! Примечание: поскольку общего предела в точке  не существует, то вообще говоря, ошибочной будет следующая запись, решительно её зачеркну:

В принципе, допустимо записать так: , но ещё более корректно:
, подразумевая, что стремлению справа  соответствует , а стремлению слева  соответствует .

Задание 2. Решение: а) При  функция  (сверху), а при  (снизу). Таким образом:

Односторонние пределы различны, значит, общего предела не существует.

б) Вычислим левосторонний предел:

Вычислим правосторонний предел:
 – не существует.

Общего предела не существует.

в) Вычислим левосторонний предел:
 (стремится к 1 снизу);

Правосторонний предел:
 (стремится к 1 сверху).

С обеих сторон функция стремится к одному и тому же значению, поэтому общий предел существует: .

г) Вычислим односторонние пределы:

Односторонние пределы различны, следовательно, общего предела не существует.

д) Вычислим односторонние пределы:

Односторонние пределы равны, общий предел существует: .

Автор: Емелин Александр

Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу)

Как можно отблагодарить автора?

© Copyright  Александр Емелин, mathprofi.ru, 2010-2026, сделано в Блокноте