![]() ![]() ![]()
| |||
Математические формулы,
Высшая математика для чайников, или с чего начать? Аналитическая геометрия:
Векторы для чайников
Элементы высшей алгебры:
Множества и действия над ними
Пределы:
Пределы. Примеры решений
Производные функций:
Как найти производную?
Функции и графики:
Графики и свойства ФНП:
Область определения функции Интегралы:
Неопределенный интеграл.
Дифференциальные уравнения:
Дифференциальные уравнения первого порядка
Числовые ряды:
Ряды для чайников
Функциональные ряды:
Степенные ряды
Кратные интегралы:
Двойные интегралы
Элементы векторного анализа:
Основы теории поля
Комплексный анализ:
ТФКП для начинающих
Теория вероятностей:
Основы теории вероятностей
Математическая статистика:
Математическая статистика
Не нашлось нужной задачи? Не получается пример?
Часто задаваемые вопросы Заметили опечатку / ошибку? |
![]()
Циркуляция векторного поля. Формула СтоксаЗаключительный урок по основам векторного анализа будет посвящён ещё одной характеристике векторного поля под названием циркуляция. С чем у нас ассоциируется этот термин на обывательском уровне? Циркуляция воздуха, циркуляция жидкости в некоторой системе; причём латинский корень данного слова (circulare) говорит нам, о том, что процесс идёт «по кругу». Всё верно, понятие циркуляции пришло в теорию поля из гидродинамической задачи, где нужно было оценить движение жидкости по замкнутому контуру. Построим простейшую модель: пусть в некой замкнутой трубе циркулирует жидкость, и её движение описывается полем скоростей Циркуляция ( Согласно общему принципу интегрирования, данный интеграл объёдиняет проекции «торчащих» из контура векторов – длины самого контура (чем длиннее, тем больше циркуляция); – скорости течения * (чем длиннее векторы «эф», тем больше их бесконечно малые проекции и тем больше значение * Со временем понятие циркуляции распространилось на произвольное векторное поле, где циркулировать в прямом смысле нечему При этом контур, очевидно, можно обойти двумя способами: в одном направлении или в противоположном. В обоих случаях получится одно и то же абсолютное значение циркуляции с разными знаками (если, конечно, Следует также заметить, что требование замкнутости контура не является обязательным – циркуляцию можно вычислить и по произвольной кусочно-гладкой линии, которая позволяет беспроблемно интегрировать. Однако исторически и методически сложилось так, что в практических задачах контур, как правило, замкнут. И, если расписать криволинейный интеграл циркуляции для векторного поля А именно, циркуляция равна работе векторного поля по замкнутому контуру Таким образом, сегодня у нас будет две задачи «в одном флаконе»! К тому же криволинейных интегралов по пространственным контурам мы почти не решали, и сейчас самое время наверстать упущенное: Пример 1 Вычислить циркуляцию векторного поля Решение: изобразим треугольник Циркуляция векторного поля по замкнутому контуру Как говорится, разделяй и властвуй: 1) Вычислим циркуляцию по отрезку По точкам Как вариант, из уравнений прямой можно выразить 2) Вычислим циркуляцию векторного поля по отрезку Направляющий вектор соответствующей прямой найдём по точкам 3) И, наконец, вычислим циркуляцию поля по отрезку Поскольку путь лежит в плоскости Из пропорции проще выразить Не позволяй душе лениться – теперь выразим Кстати, и в первом, и в этом пункте можно использовать и параметрические уравнения – кому как удобнее. Таким образом, циркуляция векторного поля по замкнутому контуру: Ответ: Скорее всего, вам не очень понятен этот результат с точки зрения гидродинамики, и чуть позже я объясню его смысл. Но прежде ответим на старый сакраментальный вопрос: а нельзя ли проще? Формула СтоксаЦиркуляция векторного поля а именно, если смотреть на поверхность из острия её нормальных векторов (вектора), то путь по контуру должен быть ВИДЕН НАМ, как осуществляемый ПРОТИВ часовой стрелки. Посмотрите на треугольник * Посмотрите на ситуацию и с другой стороны треугольника По формуле Стокса:
Примечание: по сути, в правой части записан поверхностный интеграл 2-го рода – уже сведённый к поверхностному интегралу 1-го рода Найдём роторную функцию Таким образом: Ну ещё бы – если вспомнить физический смысл циркуляции (работа векторного поля по контуру), и вспомнить о том, что работа по замкнутому контуру в потенциальном поле равна нулю, то всё встаёт на свои места. Таким образом, циркуляция векторного поля На самом деле формулой Стокса мы пользовались и раньше: если контур
Интересно отметить, что рассмотренное в задаче поле является не только потенциальным, но ещё и соленоидальным: Такие поля (одновременно потенциальные и соленоидальные) называют гармоническими. И под этот термин мне всегда представляется полноводная широкая река с ровным течением, по которой величественно, без малейшего отклонения от прямого курса плывёт В курсе векторного анализа существует целый раздел, посвящённый гармоническим полям, но сейчас мы возвращаемся к делам практическим, и для самостоятельного решения я предлагаю вам аналогичную задачу: Пример 2 Вычислить циркуляцию векторного поля Это более распространённый случай, где все отрезки лежат в координатных плоскостях, и поэтому здесь можно обойтись исключительно декартовыми координатами. Впрочем, параметрические уравнения тоже неплохой вариант, ибо буковка там всего одна =) – главное, правильно разобраться с пределами изменения параметра. При использовании формулы Стокса не путаемся – в ней вычисляется поток НЕ САМОГО поля НЕ ЛЕНИМСЯ и обязательно решаем это задание! Оно, может быть, не слишком интересно с точки зрения содержания, но крайне полезно для отработки техники решения криволинейных интегралов. В конце урока можно ознакомиться с образцом решения и некоторыми рациональными приёмами вычислений, позволяющими минимизировать трудозатраты и уменьшить риск ошибок. Помимо контура-треугольника, пожалуй, популярнее только окружность: Пример 3 Вычислить циркуляцию векторного поля Решение: предложенные уравнения задают окружность, лежащую в плоскости 1) Вычислим работу векторного поля непосредственно. С «иксом», «игреком», «зет» и их дифференциалами тут всё прозрачно: Используем тригонометрические формулы Ответ: Отрицательный знак говорит нам о том, что циркуляция осуществляется (полностью или преимущественно) против выбранного нами порядка обхода, и если бы мы обошли окружность в противоположном направлении, то получилось бы 2) Вычислим циркуляцию по формуле Стокса: Найдём роторную функцию: Поскольку поверхность Найдём скалярное произведение: Теперь заряжаем формулу Стокса: Здесь можно сослаться на то, что интеграл Коль скоро, поверхность Но у нас всё проще: И здесь снова можно сослаться, что полученный двойной интеграл численно равен площади круга Ответ: Если выбрать другое направление обхода окружности Пара задач для самостоятельного решения. Попроще: Пример 4 Вычислить циркуляцию векторного поля В образце я привёл скрупулезное решение, но на практике можно пользоваться и геометрическим смыслом интегралов, обычно преподаватели к этому относятся лояльно. И задачка позанятнее: Пример 5 Найти модуль циркуляции векторного поля Контур здесь представляет собой линию пересечения цилиндра и плоскости, а именно, эллипс; и, кстати, на уроке о тройных интегралах в Примере 7 я рассказывал, как построить такое сечение. Интересно отметить, что тут можно легко обойтись без чертежа, поскольку требуется найти абсолютное значение циркуляции, то направление обхода не имеет значения – просто тупо интегрируем по «тэ» от 0 до Существует и более сложные задачи, однако в рамках данного урока этого будет достаточно, ибо лучше проще – да понятнее. Кроме того, я далеко не всё рассказал по теме, в частности о том, что само понятие ротора определяется через циркуляцию и поверхность, натянутую на контур + ещё один интересный момент, который касается поверхности. Читайте, например, 3-й том Фихтенгольца. Ну а я поздравляю вас с успешным прохождением занимательного курса по теории поля. Надеюсь, он был понятен, интересен и полезен, и теперь никому не будут страшнЫ, по крайне мере, навороченные обозначения в учебниках. Всё что осталось сделать – это вручить вам в руки лопату и отправить на обширное поле векторного анализа =) Дополнительные задачи с решениями есть в соответствующем архиве банка решений, библиотеке mathprofi.com, или в этом решебнике. Только будьте осторожны и критичны – недочёты и ошибки могут быть где угодно. Желаю успехов! Решения и ответы: Пример 2: Решение: изобразим контур интегрирования на чертеже: 1) Вычислим циркуляцию по отрезку 2) Вычислим циркуляцию поля по отрезку 3) Вычислим циркуляцию поля по отрезку Таким образом, циркуляция по замкнутому контуру: Ответ: б) Вычислим циркуляцию векторного поля по формуле Стокса: Ответ: Пример 4: Решение: выполним чертёж: 2) Вычислим циркуляцию по формуле Стокса: Ответ: Пример 5: Решение: запишем параметрические уравнения цилиндра: Ответ: Постарайтесь прийти к этому же результату, используя формулу Стокса. Автор: Емелин Александр Высшая математика для заочников и не только >>> (Переход на главную страницу) Как можно отблагодарить автора? ![]() |
|