Высшая математика для чайников, или с чего начать?
Повторяем школьный курс

Аналитическая геометрия:

Векторы для чайников
Скалярное произведение
векторов
Линейная (не) зависимость
векторов. Базис векторов
Переход к новому базису
Векторное и смешанное
произведение векторов
Формулы деления отрезка
в данном отношении
Прямая на плоскости
Простейшие задачи
с прямой на плоскости
Линейные неравенства
Как научиться решать задачи
по аналитической геометрии?
Линии второго порядка. Эллипс
Гипербола и парабола
Задачи с линиями 2-го порядка
Как привести уравнение л. 2 п.
к каноническому виду?
Полярные координаты
Как построить линию
в полярной системе координат?
Уравнение плоскости
Прямая в пространстве
Задачи с прямой в пространстве
Основные задачи
на прямую и плоскость
Треугольная пирамида

Элементы высшей алгебры:

Множества и действия над ними
Основы математической логики
Формулы и законы логики
Уравнения высшей математики
Как найти рациональные корни
многочлена? Схема Горнера
Комплексные числа
Выражения, уравнения и с-мы
с комплексными числами
Действия с матрицами
Как вычислить определитель?
Свойства определителя
и понижение его порядка
Как найти обратную матрицу?
Свойства матричных операций.
Матричные выражения
Матричные уравнения
Как решить систему линейных уравнений?
Правило Крамера. Матричный метод решения системы
Метод Гаусса для чайников
Несовместные системы
и системы с общим решением
Как найти ранг матрицы?
Однородные системы
линейных уравнений
Метод Гаусса-Жордана
Решение системы уравнений
в различных базисах
Линейные преобразования
Собственные значения
и собственные векторы
Квадратичные формы
Как привести квадратичную
форму к каноническому виду?
Ортогональное преобразование
квадратичной формы

Пределы:

Пределы. Примеры решений
Замечательные пределы
Методы решения пределов
Бесконечно малые функции.
Эквивалентности
Правила Лопиталя
Сложные пределы
Пределы последовательностей
Пределы по Коши. Теория

Производные функций:

Как найти производную?
Производная сложной функции. Примеры решений
Логарифмическая производная
Производные неявной, параметрической функций
Простейшие задачи
с производной
Производные высших порядков
Что такое производная?
Производная по определению
Как найти уравнение нормали?
Приближенные вычисления
с помощью дифференциала
Метод касательных

Функции и графики:

Графики и свойства
элементарных функций
Как построить график функции
с помощью преобразований?
Непрерывность, точки разрыва
Область определения функции
Асимптоты графика функции
Интервалы знакопостоянства
Возрастание, убывание
и экстремумы функции
Выпуклость, вогнутость
и точки перегиба графика
Полное исследование функции
и построение графика
Наибольшее и наименьшее
значения функции на отрезке
Экстремальные задачи

ФНП:

Область определения функции
двух переменных. Линии уровня
Основные поверхности
Предел функции 2 переменных
Повторные пределы
Непрерывность функции 2п
Частные производные
Частные производные
функции трёх переменных
Производные сложных функций
нескольких переменных
Как проверить, удовлетворяет
ли функция уравнению?
Частные производные
неявно заданной функции
Производная по направлению
и градиент функции
Касательная плоскость и
нормаль к поверхности в точке
Экстремумы функций
двух и трёх переменных
Условные экстремумы
Наибольшее и наименьшее
значения функции в области
Метод наименьших квадратов

Интегралы:

Неопределенный интеграл.
Примеры решений
Метод замены переменной
в неопределенном интеграле
Интегрирование по частям
Интегралы от тригонометрических функций
Интегрирование дробей
Интегралы от дробно-рациональных функций
Интегрирование иррациональных функций
Сложные интегралы
Определенный интеграл
Как вычислить площадь
с помощью определенного интеграла?
Что такое интеграл?
Теория для чайников
Объем тела вращения
Несобственные интегралы
Эффективные методы решения
определенных и несобственных
интегралов
Как исследовать сходимость
несобственного интеграла?
Признаки сходимости несобств.
интегралов второго рода
Абсолютная и условная
сходимость несобств. интеграла
S в полярных координатах
S и V, если линия задана
в параметрическом виде
Длина дуги кривой
S поверхности вращения
Приближенные вычисления
определенных интегралов

Метод прямоугольников

Дифференциальные уравнения:

Дифференциальные уравнения первого порядка
Однородные ДУ 1-го порядка
ДУ, сводящиеся к однородным
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
Уравнение Бернулли
Дифференциальные уравнения
с понижением порядка
Однородные ДУ 2-го порядка
Неоднородные ДУ 2-го порядка
Линейные дифференциальные
уравнения высших порядков
Метод вариации
произвольных постоянных
Как решить систему
дифференциальных уравнений
Задачи с диффурами
Методы Эйлера и Рунге-Кутты

Числовые ряды:

Ряды для чайников
Как найти сумму ряда?
Признак Даламбера.
Признаки Коши
Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница
Ряды повышенной сложности

Функциональные ряды:

Степенные ряды
Разложение функций
в степенные ряды
Сумма степенного ряда
Равномерная сходимость
Другие функциональные ряды
Приближенные вычисления
с помощью рядов
Вычисление интеграла разложением функции в ряд
Как найти частное решение ДУ
приближённо с помощью ряда?
Вычисление пределов
Ряды Фурье. Примеры решений

Кратные интегралы:

Двойные интегралы
Как вычислить двойной
интеграл? Примеры решений
Двойные интегралы
в полярных координатах
Как найти центр тяжести
плоской фигуры?
Тройные интегралы
Как вычислить произвольный
тройной интеграл?

Криволинейные интегралы
Интеграл по замкнутому контуру
Формула Грина. Работа силы
Поверхностные интегралы

Элементы векторного анализа:

Основы теории поля
Поток векторного поля
Дивергенция векторного поля
Формула Гаусса-Остроградского
Циркуляция векторного поля
и формула Стокса

Комплексный анализ:

ТФКП для начинающих
Как построить область
на комплексной плоскости?
Линии на С. Параметрически
заданные линии
Отображение линий и областей
с помощью функции w=f(z)
Предел функции комплексной
переменной. Примеры решений
Производная комплексной
функции. Примеры решений
Как найти функцию
комплексной переменной?
Конформное отображение
Решение ДУ методом
операционного исчисления
Как решить систему ДУ
операционным методом?

Теория вероятностей:

Основы теории вероятностей
Задачи по комбинаторике
Задачи на классическое
определение вероятности
Геометрическая вероятность
Задачи на теоремы сложения
и умножения вероятностей
Зависимые события
Формула полной вероятности
и формулы Байеса
Независимые испытания
и формула Бернулли
Локальная и интегральная
теоремы Лапласа
Статистическая вероятность
Случайные величины.
Математическое ожидание
Дисперсия дискретной
случайной величины
Функция распределения
Геометрическое распределение
Биномиальное распределение
Распределение Пуассона
Гипергеометрическое
распределение вероятностей
Непрерывная случайная
величина, функции F(x) и f(x)
Как вычислить математическое
ожидание и дисперсию НСВ?
Равномерное распределение
Показательное распределение
Нормальное распределение
Система случайных величин
Зависимые и независимые
случайные величины
Двумерная непрерывная
случайная величина
Зависимость и коэффициент
ковариации непрерывных СВ

Математическая статистика:

Математическая статистика
Дискретный вариационный ряд
Интервальный ряд
Мода, медиана, средняя
Показатели вариации
Формула дисперсии, среднее
квадратическое отклонение,
коэффициент вариации
Асимметрия и эксцесс
эмпирического распределения
Статистические оценки
и доверительные интервалы
Оценка вероятности
биномиального распределения
Оценки по повторной
и бесповторной выборке
Статистические гипотезы
Проверка гипотез. Примеры
Гипотеза о виде распределения
Критерий согласия Пирсона
Группировка данных. Виды группировок. Перегруппировка
Общая, внутригрупповая
и межгрупповая дисперсия
Аналитическая группировка
Комбинационная группировка
Эмпирические показатели
Как вычислить линейный
коэффициент корреляции?
Уравнение линейной регрессии
Проверка значимости линейной
корреляционной модели
Модель пАрной регрессии.
Индекс детерминации
Нелинейная регрессия. Виды и
примеры решений
Коэффициент ранговой
корреляции Спирмена
Коэф-т корреляции Фехнера
Уравнение множественной
линейной регрессии

Циркуляция векторного поля по замкнутому контуру  равна криволинейному интегралу 2-го рода по данному контуру, и в силу свойства аддитивности:

Как говорится, разделяй и властвуй:

1) Вычислим циркуляцию по отрезку :

По точкам  и  найдём направляющий вектор прямой :
, и поскольку его «зетовая» координата равна нулю, то канонические уравнениЯ прямой принимают следующий вид: . Мысленно проверяем, что координаты точек «а» и «бэ» удовлетворяют полученным уравнениям. Так как , то у нас есть возможность свести криволинейный интеграл к определённому интегралу с интегрированием по «икс» или по «игрек». Из левой пропорции выражаем:
 и находим дифференциал:  – таким образом решение сведётся к переменной «икс», которая в соответствии с направлением интегрирования изменяется (смотрим на чертёж!) от 3 до 1:

Как вариант, из уравнений прямой можно выразить , найти  и проинтегрировать по «игрек» от 0 до 2. Не упускаем отличную возможность проверки:

2) Вычислим циркуляцию векторного поля по отрезку :

Направляющий вектор соответствующей прямой найдём по точкам :
 – и поскольку все его координаты отличны от нуля, то нам не удастся «обнулить» какую-либо переменную в криволинейном интеграле. Что делать? Запишем параметрические уравнения прямой – по точке (удобнее взять начало пути) и направляющему вектору :

Нетрудно видеть, что началу  отрезка соответствует значение , а концу  – значение . Осталось найти дифференциалы параметрических уравнений:

и АККУРАТНО подставить весь скарб:

3) И, наконец, вычислим циркуляцию поля по отрезку :

Поскольку путь лежит в плоскости , то «игрековая» координата будет равна нулю, что позволяет нам свести решение к определённому интегралу по «икс» либо по «зет». Составим канонические уравнения прямой  по точке  и направляющему вектору :
 – не забываем мысленно проверить, что координаты точек  удовлетворяют полученным уравнениям.

Из пропорции проще выразить , найти  и проинтегрировать по «зет» (внимание!) от 2 до 0 – строго по направлению обхода:

Не позволяй душе лениться – теперь выразим , найдём  и проинтегрируем по «икс» от 0 до 3:

, что и требовалось проверить.

Кстати, и в первом, и в этом пункте можно использовать и параметрические уравнения – кому как удобнее.

Таким образом, циркуляция векторного поля по замкнутому контуру:

Ответ:

Скорее всего, вам не очень понятен этот результат с точки зрения гидродинамики, и чуть позже я объясню его смысл. Но прежде ответим на старый сакраментальный вопрос: а нельзя ли проще?

Формула Стокса

Циркуляция векторного поля   по замкнутому контуру  равна потоку его ротора через поверхность , натянутую на данный контур в направлении, которое соответствует направлению обхода контура:

а именно, если смотреть на поверхность из острия её нормальных векторов (вектора), то путь по контуру должен быть ВИДЕН НАМ, как осуществляемый ПРОТИВ часовой стрелки. Посмотрите на треугольник  (чертёж выше) со стороны острия единичного нормального вектора . Обход контура осуществляется против часовой стрелки? Да*. Значит, это и есть нужный вектор нормали, и поэтому нам следует вычислить поверхностный интеграл по верхней стороне треугольника.

* Посмотрите на ситуацию и с другой стороны треугольника

По формуле Стокса:

, где  – единичный вектор нормали верхней стороны треугольника.

Примечание: по сути, в правой части записан поверхностный интеграл 2-го рода – уже сведённый к поверхностному интегралу 1-го рода

Найдём роторную функцию  поля . Чтобы не запутаться, выпишем компоненты поля, и возьмём частные производные в «роторном» порядке:

Таким образом:
, следовательно, наше поле потенциально и:

Ну ещё бы – если вспомнить физический смысл циркуляции (работа векторного поля по контуру), и вспомнить о том, что работа по замкнутому контуру в потенциальном поле равна нулю, то всё встаёт на свои места.

Таким образом, циркуляция векторного поля  равна нулю не только по треугольнику , но и вообще по любому замкнутому контуру пространства. Из чего становится понятен и гидродинамический смысл задачи: представьте, что треугольник  находится внутри замкнутой трубы. Поскольку поле скоростей потенциально, то циркуляция будет равна нулю не только по данному треугольнику, но и по любой внутренней замкнутой линии. Это говорит нам о том, что движение жидкости в трубе разнонаправлено и скомпенсировано – сколько циркулирует в одном направлении – столько проциркулирует и в другом.

На самом деле формулой Стокса мы пользовались и раньше: если контур  полностью лежит в плоскости , то получается её частный случай под названием формула Грина:

, где  – замкнутая область, ограниченная контуром . И фактически сейчас мы прорешали пространственный аналог Примера 12 урока Криволинейные интегралы по замкнутому контуру.

1) Вычислим работу векторного поля непосредственно. С «иксом», «игреком», «зет» и их дифференциалами тут всё прозрачно:

и осталось проконтролировать пределы изменения параметра:
– если , то  – белая точка контура (см. чертёж);
– если , то  – самая верхняя точка контура.
Таким образом, при изменении  окружность «прорисовывается» в противоположном направлении по отношению к нашему порядку обхода, и поэтому интеграл следует взять от  до 0:

Используем тригонометрические формулы :

Ответ:

Отрицательный знак говорит нам о том, что циркуляция осуществляется (полностью или преимущественно) против выбранного нами порядка обхода, и если бы мы обошли окружность в противоположном направлении, то получилось бы 

2) Вычислим циркуляцию по формуле Стокса:

Найдём роторную функцию:

Поскольку поверхность , натянутая на контур , представляет собой плоскую фигуру (круг), то для всех её точек единичный вектор нормали может «смотреть» лишь в две стороны. Какой вектор выбрать:  или ? Вспоминаем правило: из острия вектора обход контура должен быть ВИДЕН НАМ против часовой стрелки. Этому условию удовлетворяет вектор . Обязательно взгляните на круг и с другой стороны – с этой точки зрения контур обходится ПО часовой стрелке, и поэтому вектор  не годится.

Найдём скалярное произведение:

Теперь заряжаем формулу Стокса:

Здесь можно сослаться на то, что интеграл  равен площади -круга:  и сразу дать ответ , но мы пойдём академичным путём.

Коль скоро, поверхность  «полноценно» проецируется лишь на плоскость , то ничего не остаётся, как применить частную формулу . Особо подчёркиваю, что это частный случай, и если бы под интегралом были хоть какие-то переменные, то потребовалась бы полная версия

Но у нас всё проще:

И здесь снова можно сослаться, что полученный двойной интеграл численно равен площади круга  такого же радиуса, но я таки «добью» интеграл с помощью «экзотического» перехода к полярным координатам в плоскости . С порядком обхода тут всё ясно:

 – обратите внимание, что полярный угол изменяется в стандартном направлении, от полуоси  в сторону полуоси . Грубо говоря, роль «игрека» здесь выполняет переменная «зет», а значит :

Ответ:

Если выбрать другое направление обхода окружности , то придётся использовать противоположно направленный вектор , из-за чего, очевидно, сменится знак. Однако отрицательный знак ничем не хуже положительного и говорит лишь о том, что мы подсчитали циркуляцию полностью или преимущественно «против течения».

Пример 2: Решение: изобразим контур интегрирования на чертеже:

а) Решим задачу непосредственно:

1) Вычислим циркуляцию по отрезку . Так как , то:

Составим уравнения прямой  по точке  и направляющему вектору :
, откуда выразим:
 
При этом  изменяется от 0 до 3:

Проверьте решение другим способом!

2) Вычислим циркуляцию поля по отрезку . Так как , то:

Составим уравнения прямой  по точке  и направляющему вектору :
, откуда:
 
Найдём дифференциал:
 изменяется от 3 до 0:

Самостоятельно проведите решение по переменной «зет»

3) Вычислим циркуляцию поля по отрезку . Так как , то:

Составим уравнения прямой по точке  и направляющему вектору :

В данном случае выгоднее выразить
 изменяется от 3 до 0:

Таким образом, циркуляция по замкнутому контуру:

Ответ:

б) Вычислим циркуляцию векторного поля по формуле Стокса:

Найдём ротор векторного поля:
. В данном случае:

Таким образом:

Составим уравнение плоскости  по точке  и векторам :

Запишем вектор нормали этой плоскости:  и найдём соответствующий единичный вектор:

Примечание: из острия данного вектора обход контур виден нам против часовой стрелки, следовательно, это и есть нужный вектор нормали
Найдём скалярное произведение:

Таким образом:
Для вычисления поверхностного интеграла 1-го рода используем формулу , где  – проекция треугольника  на плоскость .
В данном случае:


Двойной интеграл  численно равен площади треугольника :

Ответ:

Пример 4: Решение: выполним чертёж:

1) Вычислим работу векторного поля непосредственно:

Таким образом:

2) Вычислим циркуляцию по формуле Стокса:
, где  – поверхность, натянутая на контур
Найдём . В данном случае:

Скалярное произведение:

Таким образом:

Спроецируем поверхность  на плоскость  и воспользуемся формулой
, где  – проекция поверхности . В данном случае :

Перейдем к полярным координатам в плоскости :

Ответ:

Пример 5: Решение: запишем параметрические уравнения цилиндра:
 (любое действительное число)
Подставим первые два уравнения в уравнение плоскости:

Таким образом, сечение цилиндра плоскостью (эллипс) определяется уравнениями:

Найдём дифференциалы:

и вычислим циркуляцию векторного поля по контуру Г в направлении, которое соответствует изменению параметра в пределах :
Выполнять упрощения и считать интегралы, конечно же, удобнее по отдельности =)

Ответ:

Постарайтесь прийти к этому же результату, используя формулу Стокса.