Высшая математика – просто и доступно!

Если сайт упал, используйте ЗЕРКАЛО: mathprofi.net

Наш форум, библиотека и блог: mathprofi.com

Высшая математика:

Математика для заочников

Математические формулы,
таблицы и другие материалы

Книги по математике

Математические сайты

+-*/^ Удобный калькулятор

+ «Дробовик»   

Учимся решать:

  Карта сайта

Не нашлось нужной задачи?
Сборники готовых решений!

Не получается пример?
Задайте вопрос на форуме!
>>> mathprofi

Обратная связь:

Часто задаваемые вопросы
Гостевая книга Отблагодарить автора >>>

Заметили опечатку / ошибку?
Пожалуйста, сообщите мне об этом

Карта сайта

---

Производные высших порядков

На данном уроке мы научимся находить производные высших порядков, а также записывать общую формулу «энной» производной. Кроме того, будет рассмотрена формула Лейбница  таковой производной и по многочисленным просьбам – производные высших порядков от неявно заданной функции. Предлагаю сразу же пройти мини-тест:

Вот функция:  и вот её первая производная:

В том случае, если у вас возникли какие-либо трудности / недопонимание по поводу этого примера, пожалуйста, начните с двух базовых статей моего курса: Как найти производную? и Производная сложной функции. После освоения элементарных производных рекомендую ознакомиться с уроком Простейшие задачи с производной, на котором мы разобрались, в частности со второй производной.

Нетрудно даже догадаться, что вторая производная – это производная от 1-й производной:

В принципе, вторую производную уже считают производной высшего порядка.

Аналогично: третья производная – это производная от 2-й производной:

Четвёртная производная – есть производная от 3-й производной:

Пятая производная: , и очевидно, что все производные более высоких порядков тоже будут равны нулю:

Помимо римской нумерации на практике часто используют следующие обозначения:
, производную же «энного» порядка обозначают через . При этом надстрочный индекс нужно обязательно заключать в скобки – чтобы  отличать производную от «игрека» в степени.

Иногда встречается такая запись:  – третья, четвёртая, пятая, …, «энная» производные соответственно.

Вперёд без страха и сомнений:

Пример 1

Дана функция . Найти .

Решение: что тут попишешь… – вперёд за четвёртой производной :)

Четыре штриха ставить уже не принято, поэтому переходим на числовые индексы:

Ответ:

Хорошо, а теперь задумаемся над таким вопросом: что делать, если по условию требуется найти не 4-ю, а например, 20-ю производную?  Если для производной 3-4-5-го (максимум, 6-7-го) порядка решение оформляется достаточно быстро, то до производных более высоких порядков мы «доберёмся» ой как не скоро. Не записывать же, в самом деле, 20 строк! В подобной ситуации нужно проанализировать несколько найденных производных, увидеть закономерность и составить формулу «энной» производной. Так, в Примере 1 легко понять, что при каждом следующем дифференцировании перед экспонентой будет «выскакивать» дополнительная «тройка», причём на любом шаге степень «тройки» равна номеру производной, следовательно:

, где  – произвольное натуральное число.

И действительно, если , то получается в точности 1-я производная: , если  – то 2-я:  и т. д. Таким образом, двадцатая производная определяется почти мгновенно:  – и никаких «километровых простыней»!

Разогреваемся самостоятельно:

Пример 2

Найти  функции . Записать производную  порядка

Решение и ответ в конце урока.

После бодрящей разминки рассмотрим более сложные примеры, в которых отработаем вышеприведённый алгоритм решения. Тем, кто успел ознакомиться с уроком Предел последовательности, будет чуть легче:

Пример 3

Найти  для функции .

Решение: чтобы прояснить ситуацию найдём несколько производных:

Полученные числа перемножать не спешим! ;-)

Пожалуй, хватит. …Даже немного переборщил.

На следующем шаге составим формулу «энной» производной (хоть по условию и не нужно). Для этого смотрим на полученные результаты и выявляем закономерности, с которыми получается каждая следующая производная.

Во-первых, они знакочередуются. Знакочередование обеспечивает «мигалка», и поскольку 1-я производная положительна, то в общую формулу войдёт следующий множитель: . Подойдёт и эквивалентный вариант , но лично я, как оптимист, люблю знак «плюс» =)

Во-вторых, в числителе «накручивается» факториал, причём он «отстаёт» от номера производной на одну единицу:  

И в-третьих, в числителе растёт степень «двойки», которая равна номеру производной. То же самое можно сказать о степени знаменателя. Окончательно:

В целях проверки подставим парочку значений «эн», например,   и :

Замечательно, теперь допустить ошибку – просто грех:

Ответ:

Более простая функция для самостоятельного решения:

Пример 4

Найти  функции .

И задачка позанятнее:

Пример 5

Найти  функции .

Ещё раз повторим порядок действий:

1) Сначала находим несколько производных. Чтобы уловить закономерности обычно хватает трёх-четырёх.

2) Затем настоятельно рекомендую составить (хотя бы на черновике) «энную» производную – она гарантированно убережёт от ошибок. Но можно обойтись и без , т. е. мысленно прикинуть и сразу записать, например, двадцатую или восьмую производную. Более того, некоторые люди вообще способны решить рассматриваемые задачи устно. Однако следует помнить, что «быстрые» способы чреваты, и лучше перестраховаться.

3) На заключительном этапе выполняем проверку «энной» производной – берём пару значений «эн» (лучше соседних) и выполняем подстановку. А ещё надёжнее – проверить все найденные ранее производные. После чего подставляем в  нужное значение, например,  или  и аккуратно причёсываем результат.

Краткое решение 4 и 5-го примеров в конце урока.

В некоторых задачах, во избежание проблем, над функцией нужно немного поколдовать:

Пример 6

Записать формулу производной  порядка для функции

Решение: дифференцировать предложенную функцию совсем не хочется, поскольку получится «плохая» дробь, которая сильно затруднит нахождение последующих производных.

В этой связи целесообразно выполнить предварительные преобразования: используем формулу разности квадратов и свойство логарифма :

Совсем другое дело:

И старые подруги:

Думаю, всё просматривается. Обратите внимание, что 2-я дробь знакочередуется, а 1-я – нет. Конструируем производную порядка:

Контроль:

Ну и для красоты вынесем факториал за скобки,

ответ:

Интересное задание для самостоятельного решения:

Пример 7

Записать формулу производной  порядка для функции

Краткое решение и ответ в конце урока.

А сейчас о незыблемой круговой поруке, которой позавидует даже итальянская мафия:

Пример 8

Дана функция . Найти

Восемнадцатая производная в точке . Всего-то.

Решение: сначала, очевидно, нужно найти . Поехали:

С синуса начинали, к синусу и пришли. Понятно, что при дальнейшем дифференцировании этот цикл будет продолжаться до бесконечности, и возникает следующий вопрос: как лучше «добраться» до восемнадцатой производной?

Способ «любительский»: быстренько записываем справа в столбик номера последующих производных:

Таким образом:

Но это работает, если порядок производной не слишком велик. Если же надо найти, скажем, сотую производную, то следует воспользоваться делимостью на 4. Сто делится на 4 без остатка, и легко видеть, что таковые числа располагаются в нижней строке, поэтому: .

Кстати, 18-ю производную тоже можно определить из аналогичных соображений:
во второй строке находятся числа, которые делятся на 4 с остатком 2.

Другой, более академичный метод основан на периодичности синуса и формулах приведения. Пользуемся готовой формулой «энной» производной синуса , в которую просто подставляется нужный номер. Например:
 (формула приведения  );
 (формула приведения  )

В нашем случае:

(1) Поскольку синус – это периодическая функция с периодом , то у аргумента можно безболезненно «открутить» 4 периода (т. е. ).

(2) Пользуемся формулой приведения .

С сотней, к слову, вообще всё элементарно – 25 «оборотов» прочь: 

Заключительная, более лёгкая часть задания – это нахождение восемнадцатой производной в точке:

Ответ:

Аналогичная задача для самостоятельного решения.

Пример 9

Дана функция .
Найти .

Кроме того, ориентируясь по таблице формул приведения, постарайтесь самостоятельно получить общую формулу «энной» производной косинуса.

На практике при аргументе синуса либо косинуса часто встречается числовой множитель, например: . Как находить производные высших порядков в этом случае? Всё будет точно так же (периодичность, формулу приведения), но при каждом дифференцировании перед функцией будет дополнительно «выпрыгивать» «двойка»

Второй параграф посвящён

производным высших порядков от произведения функций

Материал разберём на конкретной задаче:

Пример 10

Найти  функции

Решение начнём с ключевого вопроса: как выгоднее всего найти третью производную от произведения функций?

…А почему бы, собственно, не взять три производные подряд? Тем более это представляется вполне подъёмной задачей. Используем правило дифференцирования произведения  и упрощаем результат:

Со второй производной дела обстоят похуже, но всё-таки ещё не так плохи:

С третьей немножко повезло:

Всё выглядит весьма благонадёжно, но…

В чём недостаток такого решения? Во-первых, оно длинное. А ведь предложенная функция даже без «наворотов». И, во-вторых, тут легко запутаться (особенно в знаках). Рассмотрим простой и чёткий способ решения подобных заданий:

Формула Лейбница

Пожалуйста, не путайте с более известной формулой Ньютона-Лейбница!

Производную  порядка от произведения двух функций можно найти по формуле:
 

В частности:

Примечание: здесь и далее предполагается дифференцируемость функций нужное количество раз

Специально запоминать ничего не надо, ибо, чем больше формул знаешь – тем меньше понимаешь. Гораздо полезнее ознакомиться с биномом Ньютона, поскольку формула Лейбница очень и очень на него похожа. Ну а те везунчики, которым достанется производная 7-го либо более высоких порядков (что, правда, маловероятно), будут вынуждены это сделать. Впрочем, когда черёд дойдёт до комбинаторики – то всё равно придётся =)

Найдём третью производную функции . Используем формулу Лейбница:

В данном случае: . Производные легко перещёлкать устно:

Теперь аккуратно и ВНИМАТЕЛЬНО выполняем подстановку и упрощаем результат:

Ответ:

Аналогичное задание для самостоятельного решения:

Пример 11

Найти  функции

Если в предыдущем примере решение «в лоб» ещё конкурировало с формулой Лейбница, то здесь оно уже будет действительно неприятным. И ещё неприятнее – в случае более высокого порядка производной:

Пример 12

Найти производную указанного порядка

Решение: первое и существенное замечание – решать вот так, наверное, не нужно =) =)

Запишем функции  и найдём их производные до 5-го порядка включительно. Предполагаю, что производные правого столбца стали для вас устными:

В левом же столбце «живые» производные быстро «закончились» и это очень хорошо – в формуле Лейбница обнулятся три слагаемых:

Вновь остановлюсь на дилемме, которая фигурировала в статье о сложных производных: упрощать ли результат? В принципе, можно оставить и так – преподавателю будет даже легче проверять. Но он может потребовать довести решение «до ума». С другой стороны, упрощение по собственной инициативе чревато алгебраическими ошибками. Однако у нас есть ответ, полученный «первобытным» способом =) (см. ссылку в начале решения), и я надеюсь, он правильный:

Отлично, всё сошлось.

Ответ:

Счастливое задание для самостоятельного решения:

Пример 13

Для функции :
а) найти  непосредственным дифференцированием;
б) найти  по формуле Лейбница;
в) вычислить .

Нет, я вовсе не садист – пункт «а» здесь достаточно прост =)

А если серьёзно, то «прямое» решение последовательным дифференцированием тоже имеет «право на жизнь» – в ряде случаев его сложность сопоставима со сложностью применения формулы Лейбница. Используйте, если сочтёте целесообразным – это вряд ли будет основанием для незачёта задания.

Краткое решение и ответ в конце урока.

Чтобы поднять заключительный параграф нужно уметь дифференцировать неявные функции:

Производные высших порядков от функций, заданных неявно

Многие из нас потратили долгие часы, дни и недели жизни на изучение окружностей, парабол, гипербол – а иногда это вообще казалось сущим наказанием. Так давайте же отомстим и продифференцируем их как следует!

Начнём со «школьной» параболы в её каноническом положении:

Пример 14

Дано уравнение . Найти .

Решение: первый шаг хорошо знаком:

То, что функция и её производная выражены неявно, сути дела не меняет, вторая производная – это производная от 1-й производной:

Однако свои правила игры существуют: производные 2-го и более высоких порядков принято выражать только через «икс» и «игрек». Поэтому в полученную 2-ю производную подставим и избавимся от трёхэтажности дроби:

Третья производная – есть производная от 2-й производной:

Аналогично, подставим :

Ответ:

«Школьная» гипербола в каноническом положении – для самостоятельной работы:

Пример 15

Дано уравнение . Найти .

Повторяю, что 2-ю производную и результат следует выразить только через «икс» / «игрек»!

Краткое решение и ответ в конце урока.

После детских шалостей посмотрим немецкую поpнoгр@фию рассмотрим более взрослые примеры, из которых узнаем ещё один важный приём решения:

Пример 16

Найти

Эллипс собственной персоной.

Решение: найдём 1-ю производную:

А теперь остановимся и проанализируем следующий момент: сейчас предстоит дифференцировать дробь, что совсем не радует. В данном случае она, конечно, проста, но в реально встречающихся задачах таких подарков раз два и обчёлся. Существует ли способ избежать нахождения громоздкой производной? Существует! Берём уравнение   и используем тот же самый приём, что и при нахождении 1-й производной – «навешиваем» штрихи на обе части:

Вторая производная должна быть выражена только через  и , поэтому сейчас (именно сейчас) удобно избавиться от 1-й производной. Для этого в полученное уравнение подставим :

Чтобы избежать лишних технических трудностей, умножим обе части на , избавляясь тем самым от дроби::

И только на завершающем этапе оформляем дробь:

Теперь смотрим на исходное уравнение  и замечаем, что полученный результат поддаётся упрощению:

Ответ:

Как найти значение 2-й производной в какой-либо точке (которая, понятно, принадлежит эллипсу), например, в точке ?  Очень легко! Этот мотив уже встречался или ещё встретится вам на уроке об уравнении нормали: в выражение 2-й производной нужно подставить :

Безусловно, во всех трёх случаях (Примеры 14-16) можно получить явно заданные функции и дифференцировать их, но тогда морально настройтесь работать с двумя функциями, которые содержат корни. На мой взгляд, решение удобнее провести «неявным путём».

Заключительный пример для самостоятельного решения:

Пример 17

Найти  неявно заданной функции

Краткое решение и ответ совсем близко.

Дополнительные примеры повышенной технической сложности можно найти в ИДЗ-6.2 задачника Рябушко. Время от времени меня упрекают в том, что я разбираю слишком много простых задач, однако и в этот урок я намеренно не стал включать примеры со «страшными» производными – моя цель состояла в том, чтобы рассказать о методах и приёмах решения. Главное – хоть небольшое, но понимание, а остальное приложится!

Позабытыми остались и производные высших порядков от параметрически заданных функций, которые практически не встречаются. …А если и встретятся, то, что в них сложного? Вот формулы: , которые при более или менее приличных навыках можно вывести, не заглядывая ни в какие справочники.

Успехов!

Решения и ответы:

Автор: Емелин Александр

Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу)

Как можно отблагодарить автора?

© Copyright  Александр Емелин, mathprofi.ru, 2010-2025, сделано в Блокноте