Математика для заочников и не только

Высшая математика – просто и доступно!

Если сайт упал, используйте ЗЕРКАЛО: mathprofi.net

Наш форум и библиотека: + подписка на новости проекта!

Высшая математика:

Математика для заочников
Математические формулы,
таблицы и справочные
материалы

Математические сайты
>>> Удобный калькулятор

Не нашлось нужной задачи?
Сборники готовых решений!

Не получается пример?
Задайте вопрос на форуме!
>>> mathprofi.com   

Учимся решать:

Лекции-уроки по высшей математике для первого курса

Высшая математика для чайников, или с чего начать?

Аналитическая геометрия:

Векторы для чайников
Скалярное произведение
векторов

Линейная (не) зависимость
векторов. Базис векторов

Переход к новому базису
Векторное и смешанное
произведение векторов

Формулы деления отрезка
в данном отношении

Прямая на плоскости
Простейшие задачи
с прямой на плоскости

Линейные неравенства
Как научиться решать задачи
по аналитической геометрии?

Линии второго порядка. Эллипс
Гипербола и парабола
Задачи с линиями 2-го порядка
Как привести уравнение л. 2 п.
к каноническому виду?

Полярные координаты
Как построить линию
в полярной системе координат?

Уравнение плоскости
Прямая в пространстве
Задачи с прямой в пространстве
Основные задачи
на прямую и плоскость

Треугольная пирамида

Элементы высшей алгебры:

Множества и действия над ними
Основы математической логики
Формулы и законы логики
Уравнения высшей математики
Комплексные числа
Выражения, уравнения и с-мы
с комплексными числами

Действия с матрицами
Как вычислить определитель?
Свойства определителя
и понижение его порядка

Как найти обратную матрицу?
Свойства матричных операций.
Матричные выражения

Матричные уравнения
Как решить систему линейных уравнений?
Правило Крамера. Матричный метод решения системы
Метод Гаусса для чайников
Несовместные системы
и системы с общим решением

Как найти ранг матрицы?
Однородные системы
линейных уравнений

Метод Гаусса-Жордана
Решение системы уравнений
в различных базисах

Линейные преобразования
Собственные значения
и собственные векторы

Пределы:

Пределы. Примеры решений
Замечательные пределы
Методы решения пределов
Бесконечно малые функции.
Эквивалентности

Правила Лопиталя
Сложные пределы
Пределы последовательностей
Пределы по Коши. Теория

Производные функций:

Как найти производную?
Производная сложной функции. Примеры решений
Логарифмическая производная
Производные неявной, параметрической функций
Простейшие задачи
с производной

Производные высших порядков
Что такое производная?
Производная по определению
Как найти уравнение нормали?
Приближенные вычисления
с помощью дифференциала

Метод касательных

Функции и графики:

Графики и свойства
элементарных функций

Как построить график функции
с помощью преобразований?

Непрерывность, точки разрыва
Область определения функции
Асимптоты графика функции
Интервалы знакопостоянства
Возрастание, убывание
и экстремумы функции

Выпуклость, вогнутость
и точки перегиба графика

Полное исследование функции
и построение графика

Наибольшее и наименьшее
значения функции на отрезке

Экстремальные задачи

ФНП:

Область определения функции
двух переменных. Линии уровня

Основные поверхности
Предел функции 2 переменных
Повторные пределы
Непрерывность функции 2п
Частные производные
Частные производные
функции трёх переменных

Производные сложных функций
нескольких переменных

Как проверить, удовлетворяет
ли функция уравнению?

Частные производные
неявно заданной функции

Производная по направлению
и градиент функции

Касательная плоскость и
нормаль к поверхности в точке

Экстремумы функций
двух и трёх переменных

Условные экстремумы
Наибольшее и наименьшее
значения функции в области

Метод наименьших квадратов

Интегралы:

Неопределенный интеграл.
Примеры решений

Метод замены переменной
в неопределенном интеграле

Интегрирование по частям
Интегралы от тригонометрических функций
Интегрирование дробей
Интегралы от дробно-рациональных функций
Интегрирование иррациональных функций
Сложные интегралы
Определенный интеграл
Как вычислить площадь
с помощью определенного интеграла?

Что такое интеграл?
Теория для чайников

Объем тела вращения
Несобственные интегралы
Эффективные методы решения
определенных и несобственных
интегралов

S в полярных координатах
S и V, если линия задана
в параметрическом виде

Длина дуги кривой
S поверхности вращения
Приближенные вычисления
определенных интегралов


Метод прямоугольников

  Карта сайта

Лекции-уроки по высшей математике для второго курса

Дифференциальные уравнения:

Дифференциальные уравнения первого порядка
Однородные ДУ 1-го порядка
ДУ, сводящиеся к однородным
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
Уравнение Бернулли
Дифференциальные уравнения
с понижением порядка

Однородные ДУ 2-го порядка
Неоднородные ДУ 2-го порядка
Линейные дифференциальные
уравнения высших порядков

Метод вариации
произвольных постоянных

Как решить систему
дифференциальных уравнений

Задачи с диффурами
Методы Эйлера и Рунге-Кутты

Числовые ряды:

Ряды для чайников
Как найти сумму ряда?
Признак Даламбера.
Признаки Коши

Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница
Ряды повышенной сложности

Функциональные ряды:

Степенные ряды
Разложение функций
в степенные ряды

Сумма степенного ряда
Равномерная сходимость
Другие функциональные ряды
Приближенные вычисления
с помощью рядов

Вычисление интеграла разложением функции в ряд
Как найти частное решение ДУ
приближённо с помощью ряда?

Вычисление пределов
Ряды Фурье. Примеры решений

Кратные интегралы:

Двойные интегралы
Как вычислить двойной
интеграл? Примеры решений

Двойные интегралы
в полярных координатах

Как найти центр тяжести
плоской фигуры?

Тройные интегралы
Как вычислить произвольный
тройной интеграл?


Криволинейные интегралы
Интеграл по замкнутому контуру
Формула Грина. Работа силы

Поверхностные интегралы

Элементы векторного анализа:

Основы теории поля
Поток векторного поля
Дивергенция векторного поля
Формула Гаусса-Остроградского

Циркуляция векторного поля
и формула Стокса

Комплексный анализ:

Примеры решений типовых
задач комплексного анализа

Как найти функцию
комплексной переменной?

Решение ДУ методом
операционного исчисления

Как решить систему ДУ
операционным методом?

Теория вероятностей:

Основы теории вероятностей
Задачи по комбинаторике
Задачи на классическое
определение вероятности

Геометрическая вероятность
Задачи на теоремы сложения
и умножения вероятностей

Зависимые события
Формула полной вероятности
и формулы Байеса

Независимые испытания
и формула Бернулли

Локальная и интегральная
теоремы Лапласа

Статистическая вероятность
Случайные величины.
Математическое ожидание

Дисперсия дискретной
случайной величины

Функция распределения
Геометрическое распределение
Биномиальное распределение
Распределение Пуассона
Гипергеометрическое
распределение вероятностей

Отблагодарить автора >>>

Если Вы заметили опечатку, пожалуйста, сообщите мне об этом

Заказать контрольную
Часто задаваемые вопросы
Гостевая книга

Кнопка для сайта: Высшая математика – просто и доступно!

Когда нет времени:

Авторские работы на заказ

По школьным предметам.
Подготовка к ЕГЭ

По высшей математике
и физике

Помогут разобраться в теме,
подготовиться к экзамену



  Карта сайта


Выпуклость, вогнутость и точки перегиба графика


Локомотив исследования функции методами дифференциального исчисления неумолимо приближает нас к конечной станции, и после изучения непрерывности, области определения, интервалов знакопостоянства, асимптот, интервалов монотонности и экстремумов функции осталось рассмотреть выпуклость, вогнутость и перегибы графика. Начнём с так полюбившихся посетителям сайта физических упражнений. Пожалуйста, встаньте и наклонитесь вперёд либо назад. Это выпуклость. Теперь вытяните руки перед собой ладонями вверх и представьте, что держите на груди большое бревно… …ну, если не нравится бревно, пусть будет ещё что/кто-нибудь =) Это вогнутость. В ряде источников встречаются синонимичные термины выпуклость вверх и выпуклость вниз, но я сторонник коротких названий.

! Внимание: некоторые авторы определяют выпуклость и вогнутость с точностью до наоборот. Это математически и логически тоже верно, но зачастую совершенно некорректно с содержательной точки зрения, в том числе на уровне нашего обывательского понимания терминов. Так, например, двояковыпуклой линзой называют линзу именно «с бугорками», но никак не со «вдавленностями» (двояковогнутость).
А, скажем, «вогнутая» кровать – она всё-таки явно не «торчит вверх» =) (однако если под неё залезть, то речь уже зайдёт о выпуклости ;=)) Я придерживаюсь подхода, который соответствует естественным человеческим ассоциациям.

Формальное определение выпуклости и вогнутости графика достаточно труднО для чайника, поэтому ограничимся геометрической интерпретацией понятия на конкретных примерах. Рассмотрим график функции , которая непрерывна на всей числовой прямой:
Определение выпуклости, вогнутости и точек перегиба графика через хорды
Его легко построить с помощью геометрических преобразований, и, наверное, многие читатели в курсе, как он получен из кубической параболы.

Назовём хордой отрезок, соединяющий две различные точки графика. 

График функции является выпуклым на некотором интервале, если он расположен не ниже любой хорды данного интервала. Подопытная линия выпукла на , и, очевидно, что здесь любая часть графика расположена НАД своей хордой. Иллюстрируя определение, я провёл три чёрных отрезка.

График функции являются вогнутым на интервале, если он расположен не выше любой хорды этого интервала. В рассматриваемом примере пациент вогнут на промежутке . Пара коричневых отрезков убедительно демонстрирует, что тут и любой кусок графика расположен ПОД своей хордой.

Точка графика, в которой он меняет выпуклость на вогнутость или вогнутость на выпуклость, называется точкой перегиба. У нас она в единственном экземпляре (первый случай), причём, на практике под точкой перегиба можно подразумевать как зелёную точку , принадлежащую самой линии, так и «иксовое» значение .

ВАЖНО! Перегибы графика следует изображать аккуратно и очень плавно. Недопустимы всевозможные «неровности» и «шероховатости». Дело за небольшой тренировкой.

Второй подход к определению выпуклости/вогнутости в теории даётся через касательные:

Выпуклый на интервале график расположен не выше касательной, проведённой к нему в произвольной точке данного интервала. Вогнутый же на интервале график – не ниже любой касательной на этом интервале.

Гипербола  вогнута на интервале  и выпукла на :
Интервалы выпуклости и вогнутости графика также характеризуют касательные
При переходе через начало координат вогнутость меняется на выпуклость, однако точку НЕ СЧИТАЮТ точкой перегиба, так как функция  не определена в ней.

Более строгие утверждения и теоремы по теме можно найти в учебнике, а мы переходим к насыщенной практической части:


Как найти интервалы выпуклости, интервалы вогнутости
и точки перегиба графика?

Материал прост, трафаретен и структурно повторяет исследование функции на экстремум.

Выпуклость/вогнутость графика характеризует вторая производная функции.

Пусть функция  дважды дифференцируема на некотором интервале. Тогда:

– если вторая производная  на интервале, то график функции  является выпуклым на данном интервале;

– если вторая производная  на интервале, то график функции  является вогнутым на данном интервале.

На счёт знаков второй производной по просторам учебных заведений гуляет доисторическая ассоциация: «–» показывает, что «в график функции нельзя налить воду» (выпуклость),
а «+» – «даёт такую возможность» (вогнутость).

Необходимое условие перегиба

Если в точке  есть перегиб графика функции , то:
 либо значения  не существует (разберём, читайте!).

Данная фраза подразумевает, что функция  непрерывна в точке  и в случае   – дважды дифференцируема в некоторой её окрестности.

Необходимость условия говорит о том, что обратное справедливо не всегда. То есть из равенства  (либо небытия значения  ) ещё не следует существования перегиба графика функции  в точке . Но и в той, и в другой ситуации  называют критической точкой второй производной.

Достаточное условие перегиба

Если вторая производная  при переходе через точку  меняет знак, то в данной точке существует перегиб графика функции .  

Логично.

Точек перегиба (встретился уже пример) может не быть вовсе, и в этом смысле показательны некоторые элементарные образцы. Проанализируем вторую производную функции :

Получена положительная функция-константа,  то есть для любого значения «икс» . Факты, лежащие на поверхности: парабола  вогнута на всей области определения, точки перегиба отсутствуют. Легко заметить, что отрицательный коэффициент при  «переворачивает» параболу и делает её выпуклой (о чём нам сообщит вторая производная – отрицательная функция-константа).

Экспоненциальная функция  также вогнута на :

 для любого значения «икс».

Точек перегиба у графика , разумеется, нет.

Исследуем на выпуклость/вогнутость график логарифмической функции :

Таким образом, ветка логарифма является выпуклой на интервале . Вторая производная  определена и на промежутке , но рассматривать его НЕЛЬЗЯ, поскольку данный интервал не входит в область определения функции . Требование очевидно – коль скоро там нет графика логарифма, то ни о какой выпуклости/вогнутости/перегибах речи, естественно, не заходит.

Как видите, всё действительно очень напоминает историю с возрастанием, убыванием и экстремумами функции. Похож и сам алгоритм исследования графика функции  на выпуклость, вогнутость и наличие перегибов:

1) На первом шаге находим область определения функции  и точки разрыва.

2) Разыскиваем критические значения. Для этого берём вторую производную  и решаем уравнение . Точки, в которых не существует 2-й производной, но которые входят в область определения самой функции – тоже считаются критическими!

3) Отмечаем на числовой прямой все найденные точки разрыва и критические точки (ни тех, ни других может не оказаться – тогда чертить ничего не надо (как и в слишком простом случае), достаточно ограничиться письменным комментарием). Методом интервалов определяем знаки  на полученных интервалах. Как только что пояснялось, рассматривать следует только те промежутки, которые входят в область определения функции . Делаем выводы о выпуклости/вогнутости и точках перегиба графика функции . Даём ответ.

Попытайтесь устно применить алгоритм для функций . Во втором случае, кстати, пример, когда в критической точке не существует перегиба графика. Впрочем, начнём с ненамного более сложных заданий:

Пример 1

Найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика

Решение:
1) Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой. Очень хорошо.

2) Найдём вторую производную. Можно предварительно выполнить возведение в куб, но значительно выгоднее использовать правило дифференцирование сложной функции:

Заметьте, что , а значит, функция является неубывающей. Хоть это и не относится к заданию, но на такие факты всегда желательно обращать внимание.

Найдём критические точки второй производной:

 – критическая точка

3) Проверим выполнение достаточного условия перегиба. Определим знаки второй производной на полученных интервалах .

Внимание! Сейчас работаем со второй производной (а не с функцией!)

Используем метод интервалов. Повторим его ещё разок.

Выберем наиболее выгодную точку  интервала  и вычислим в ней значение второй производной:
, следовательно,  в любой точке интервала .

Из интервала  возьмём значение  и проведём аналогичное действие:
, а значит,  и на всём интервале .

В результате получены следующие знаки второй производной:

Таким образом, график САМОЙ ФУНКЦИИ  является выпуклым на интервале   и вогнутым на . При переходе через  вторая производная меняет знак, поэтому в данной точке существует перегиб графика.

Найдём ординату:

Ответ: график функции выпукл на интервале   и вогнут на , в точке  существует перегиб графика.

Как вариант, пойдёт и запись «…в точке  существует перегиб графика».

Пример 2

Найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика

Это пример для самостоятельного решения. Примерный образец оформления задания в конце урока. А чертежи – в начале =)

Рассмотрим более интересных представителей мира функций:

Пример 3

Найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика

Решение:
1) Функция определена и непрерывна на .

2) Найдём критические точки второй производной:

Так как , то корни могут появиться только из решения квадратного уравнения:

Дискриминант положителен, и на подходе две критические точки:

Как и в ситуации с экстремумами функции, критические точки рациональнее не нумеровать подстрочными индексами. Ну а то, что они получились с радикалами – обычное дело.

3) Определим знаки второй производной. Можно использовать стандартный метод интервалов, но здесь , и учитывая, что  – парабола, ветви которой направлены вверх, получаем:

Таким образом, график функции  является выпуклым на интервале  и вогнутым на . В обеих критических точках существуют перегибы графика (так как 2-я производная при переходе через них меняет знак).

Найдём ординаты данных точек:

(в целях вычислений подставлять, конечно, удобнее приближенные значения)

Ответ: график функции выпуклый на интервале  и вогнутый на . В точках  существуют перегибы графика.

Чтобы закомментировать некоторые важные моменты нарисую его полностью:
Особо аккуратно следует изображать на чертеже точки перегиба графика
Прежде всего, ещё раз подчёркиваю необходимость аккуратно выполнять чертежи: слева график вогнут. Кстати, обратите внимание, что там он не может быть выпуклым, поскольку линия бесконечно близко приближается к своей горизонтальной асимптоте. Когда аналитически получается подобный противоречивый результат, приходится перепроверять асимптоты, интервалы возрастания/убывания, выпуклости/вогнутости. При переходе через левую зелёную точку график начинает плавно выгибаться вверх – и до второй точки
у нас интервал выпуклости. Затем снова следует плавный прогиб вниз и на крайнем правом интервале имеет место вогнутость графика.

Более простое задание для самостоятельного решения:

Пример 4

Найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика

Особенность предложенной функции состоит в её чётности, а это значит, что интервалы выпуклости/вогнутости и точки перегибы графика (если они существуют) симметричны относительно оси . И если, например, на крайнем левом интервале получится выпуклость, а на крайнем правом вогнутость, следовательно, где-то допущена ошибка. Примерный образец решения + чертёж для наглядности – в конце урока.

Читателям со средним и высоким уровнем подготовки (да и чайникам тоже) рекомендую попутно исследовать возрастание/убывание и экстремумы функций – ведь в рассматриваемых заданиях вынужденно фигурируют первые производные! Комплексный подход быстрее научит проводить полное исследование функций и понимать, как выглядят их графики.

Настал черёд популярных…, правильно догадались,  дробно-рациональных:

Пример 5

Исследовать график функции  на выпуклость, вогнутость и перегибы.

Решение:
1) Функция терпит бесконечные разрывы в точках , и это обстоятельство крайне важно для решения задачи.

2) Найдём критические точки второй производной.

Пополните свой арсенал рациональной методикой упрощения второй производной: числитель и знаменатель сокращаем на , множитель  выносим за скобки. А в случае возникновения трудностей с нахождением самих производных, целесообразно перебазироваться в соседний раздел сайта и поднять свою технику дифференцирования.

В результате получена одна критическая точка: .

3) Отметим на числовой прямой две точки разрыва, критическую точку и определим знаки второй производной на полученных интервалах:

Напоминаю важный приём метода интервалов, позволяющий значительно ускорить решение. Вторая производная  получилась весьма громоздкой, поэтому не обязательно рассчитывать её значения, достаточно сделать «прикидку» на каждом интервале. Выберем, например, точку , принадлежащее левому промежутку,
и выполним подстановку:

Теперь анализируем множители:

Два «минуса» и «плюс» дают «плюс», поэтому , а значит, вторая производная положительна и на всём интервале .

Закомментированные действия несложно выполнить устно. Кроме того, множитель выгодно игнорировать вообще – он положителен при любом «икс» и не оказывает влияния на знаки нашей второй производной.

Итак, какую информацию нам предоставила ?

Ответ: график функции  является вогнутым на  и выпуклым на . В начале координат (ясно, что ) существует перегиб графика.

При переходе через точки  вторая производная тоже меняет знак, но они не считаются точками перегиба, так как функция  терпит в них бесконечные разрывы.

В разобранном примере первая производная  сообщает нам о росте функции на всей области определения. Всегда бы такая халява =) Кроме того, очевидно наличие трёх асимптот . Данных получено много, что позволяет с высокой степенью достоверности представить внешний вид графика. До кучи, функция ещё и нечётная. Исходя из установленных фактов, попытайтесь выполнить набросок на черновике. Картинка в конце урока.

Задание для самостоятельного решения:

Пример 6

Исследовать график функции  на выпуклость, вогнутость и найти точки перегиба графика, если они существует.

Чертежа в образце нет, но гипотезу выдвинуть не возбраняется ;)

Шлифуем материал, не нумеруя пункты алгоритма:

Пример 7

Исследовать график функции  на выпуклость, вогнутость и найти точки перегиба, если они существует.

Решение: функция терпит бесконечный разрыв в точке .

У нас как обычно, всё отлично:

Производные не самые трудные, главное быть внимательным с их «причёской».
В наведённом марафете обнаруживаются две критические точки второй производной:
 

Определим знаки  на полученных интервалах:

В точке  существует перегиб графика, найдём ординату точки:

При переходе через точку  вторая производная не меняет знак, следовательно, в ней НЕТ перегиба графика.

Ответ: интервалы выпуклости: ; интервал вогнутости: ; точка перегиба: .

Рассмотрим заключительные примеры с дополнительными примочками:

Пример 8

Найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика
 

Решение: с нахождением области определения особых проблем не возникает:
, при этом в точках  функция терпит разрывы.

Идём проторенной дорогой:

 – критическая точка.

Определим знаки , при этом рассматриваем интервалы только из области определения функции:

В точке  существует перегиб графика, вычислим ординату:

Ответ: график  является выпуклым на  и вогнутым на , в точке  существует перегиб.

Пример 9

Сильно маньячить не будем – то же задание для функции .

Рекомендую следующий порядок действий:

– В методичке Графики элементарных функций ищем график арккосинуса. Думаю, интервалы выпуклости/вогнутости и точку перегиба видно неплохо.

 – Анализируя геометрические преобразования, выясняем, как сдвинется график, если к аргументу функции добавлена «двойка».

– В принципе, понятна и , но её академичнее найти аналитическим путём. Похожие примеры разобраны в конце урока Область определения функции.

– На завершающем этапе, собственно, выполняем задание, при этом поведение второй производной нужно изучить только в найденной области определения функции .

Полное решение и ответ в конце урока.

Как отмечалось в теоретической части статьи, бывает ситуация, когда функция определена в некоторой точке, однако вторая производная в ней не определена. Такая точка считается критической (но только один этот факт и здесь не гарантирует наличие перегиба!).

Например, график функции  терпит перегиб в начале координат, хотя второй производной там не существует. Тем не менее, в точке  строго выполнено и необходимое и достаточное условие перегиба. Желающие могут убедиться в этом самостоятельно.

Похожий случай с более трудной функцией  и её первой производной  рассмотрен в Примере 8 урока об экстремумах функции (откройте на соседней вкладке – там есть график). Не поленился, прямо сейчас нашёл (вроде как правильно). На числовой прямой откладываем выколотые критические точки  второй производной. Анализ  на полученных интервалах показывает, что при переходе через точку  (остриё) знак 2-й производной не меняется (перегиба нет), а вот в точке  есть перегиб графика (хотя  и не существует).

Теперь у вас есть всё необходимое оружие и доспехи для генерального сражения с графиками функций!

Решения и ответы:

Пример 2: Решение:
1) Функция терпит бесконечный разрыв в точке
2) Найдём критические точки второй производной:

Критические точки отсутствуют.
3) Определим знаки второй производной на полученных интервалах:

Ответ: график функции  является вогнутым на интервале  и выпуклым на , точки перегиба отсутствуют.

Пример 4: Решение:
1) Функция определена и непрерывна на .
2) Найдём критические точки второй производной:

 – критические точки
3) Определим знаки второй производной на полученных интервалах:

В точках  существуют перегибы графика.

Ответ: график функции  является вогнутым на интервале  и выпуклым на , точки перегиба: .
Выпуклость, вогнутость и перегибы графика чётной функции

График Примера 5:
Информация об асимптотах, интервалах монотонности и выпуклости/вогнутости позволяет достаточно точно представить, как выглядит график

Пример 6: Решение: найдём критические точки второй производной:

 – критические точки:
Определим знаки второй производной на полученных интервалах:

Во всех трёх точках существуют перегибы графика.

Ответ: график функции выпуклый на  и вогнутый на . В точках  существуют перегибы графика.

Пример 9: Решение: найдём область определения функции. Составим и решим двойное неравенство:

Таким образом, .
Найдём критические точки второй производной:

  – критическая точка.
Учитывая область определения функции, определим знаки :

В точке  существует перегиб графика.

Ответ: интервал вогнутости графика: , выпуклости: , точка перегиба: .

Автор: Емелин Александр


Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу)

Как можно отблагодарить автора?

Качественные работы без плагиата – Zaochnik.com


© Copyright mathprofi.ru, Александр Емелин, 2010-2017. Копирование материалов сайта запрещено