Математика для заочников и не только

Высшая математика – просто и доступно!

Если сайт упал, используйте ЗЕРКАЛО: mathprofi.net

Наш форум, библиотека и блог mathprofi>>>

Высшая математика:

Математика для заочников
Математические формулы,
таблицы и справочные
материалы

Книги по математике
Математические сайты
>>> Удобный калькулятор

Не нашлось нужной задачи?
Сборники готовых решений!

Не получается пример?
Задайте вопрос на форуме!
>>> mathprofi.com   

Учимся решать:

Лекции-уроки по высшей математике для первого курса

Высшая математика для чайников, или с чего начать?

Аналитическая геометрия:

Векторы для чайников
Скалярное произведение
векторов

Линейная (не) зависимость
векторов. Базис векторов

Переход к новому базису
Векторное и смешанное
произведение векторов

Формулы деления отрезка
в данном отношении

Прямая на плоскости
Простейшие задачи
с прямой на плоскости

Линейные неравенства
Как научиться решать задачи
по аналитической геометрии?

Линии второго порядка. Эллипс
Гипербола и парабола
Задачи с линиями 2-го порядка
Как привести уравнение л. 2 п.
к каноническому виду?

Полярные координаты
Как построить линию
в полярной системе координат?

Уравнение плоскости
Прямая в пространстве
Задачи с прямой в пространстве
Основные задачи
на прямую и плоскость

Треугольная пирамида

Элементы высшей алгебры:

Множества и действия над ними
Основы математической логики
Формулы и законы логики
Уравнения высшей математики
Комплексные числа
Выражения, уравнения и с-мы
с комплексными числами

Действия с матрицами
Как вычислить определитель?
Свойства определителя
и понижение его порядка

Как найти обратную матрицу?
Свойства матричных операций.
Матричные выражения

Матричные уравнения
Как решить систему линейных уравнений?
Правило Крамера. Матричный метод решения системы
Метод Гаусса для чайников
Несовместные системы
и системы с общим решением

Как найти ранг матрицы?
Однородные системы
линейных уравнений

Метод Гаусса-Жордана
Решение системы уравнений
в различных базисах

Линейные преобразования
Собственные значения
и собственные векторы

Квадратичные формы
Как привести квадратичную
форму к каноническому виду?

Ортогональное преобразование
квадратичной формы

Пределы:

Пределы. Примеры решений
Замечательные пределы
Методы решения пределов
Бесконечно малые функции.
Эквивалентности

Правила Лопиталя
Сложные пределы
Пределы последовательностей
Пределы по Коши. Теория

Производные функций:

Как найти производную?
Производная сложной функции. Примеры решений
Логарифмическая производная
Производные неявной, параметрической функций
Простейшие задачи
с производной

Производные высших порядков
Что такое производная?
Производная по определению
Как найти уравнение нормали?
Приближенные вычисления
с помощью дифференциала

Метод касательных

Функции и графики:

Графики и свойства
элементарных функций

Как построить график функции
с помощью преобразований?

Непрерывность, точки разрыва
Область определения функции
Асимптоты графика функции
Интервалы знакопостоянства
Возрастание, убывание
и экстремумы функции

Выпуклость, вогнутость
и точки перегиба графика

Полное исследование функции
и построение графика

Наибольшее и наименьшее
значения функции на отрезке

Экстремальные задачи

ФНП:

Область определения функции
двух переменных. Линии уровня

Основные поверхности
Предел функции 2 переменных
Повторные пределы
Непрерывность функции 2п
Частные производные
Частные производные
функции трёх переменных

Производные сложных функций
нескольких переменных

Как проверить, удовлетворяет
ли функция уравнению?

Частные производные
неявно заданной функции

Производная по направлению
и градиент функции

Касательная плоскость и
нормаль к поверхности в точке

Экстремумы функций
двух и трёх переменных

Условные экстремумы
Наибольшее и наименьшее
значения функции в области

Метод наименьших квадратов

Интегралы:

Неопределенный интеграл.
Примеры решений

Метод замены переменной
в неопределенном интеграле

Интегрирование по частям
Интегралы от тригонометрических функций
Интегрирование дробей
Интегралы от дробно-рациональных функций
Интегрирование иррациональных функций
Сложные интегралы
Определенный интеграл
Как вычислить площадь
с помощью определенного интеграла?

Что такое интеграл?
Теория для чайников

Объем тела вращения
Несобственные интегралы
Эффективные методы решения
определенных и несобственных
интегралов

Как исследовать несобственный
интеграл на сходимость?

Признаки сходимости несобств.
интегралов второго рода

Абсолютная и условная
сходимость несобств. интеграла

S в полярных координатах
S и V, если линия задана
в параметрическом виде

Длина дуги кривой
S поверхности вращения
Приближенные вычисления
определенных интегралов


Метод прямоугольников

  Карта сайта

Лекции-уроки по высшей математике для второго курса

Дифференциальные уравнения:

Дифференциальные уравнения первого порядка
Однородные ДУ 1-го порядка
ДУ, сводящиеся к однородным
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
Уравнение Бернулли
Дифференциальные уравнения
с понижением порядка

Однородные ДУ 2-го порядка
Неоднородные ДУ 2-го порядка
Линейные дифференциальные
уравнения высших порядков

Метод вариации
произвольных постоянных

Как решить систему
дифференциальных уравнений

Задачи с диффурами
Методы Эйлера и Рунге-Кутты

Числовые ряды:

Ряды для чайников
Как найти сумму ряда?
Признак Даламбера.
Признаки Коши

Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница
Ряды повышенной сложности

Функциональные ряды:

Степенные ряды
Разложение функций
в степенные ряды

Сумма степенного ряда
Равномерная сходимость
Другие функциональные ряды
Приближенные вычисления
с помощью рядов

Вычисление интеграла разложением функции в ряд
Как найти частное решение ДУ
приближённо с помощью ряда?

Вычисление пределов
Ряды Фурье. Примеры решений

Кратные интегралы:

Двойные интегралы
Как вычислить двойной
интеграл? Примеры решений

Двойные интегралы
в полярных координатах

Как найти центр тяжести
плоской фигуры?

Тройные интегралы
Как вычислить произвольный
тройной интеграл?


Криволинейные интегралы
Интеграл по замкнутому контуру
Формула Грина. Работа силы

Поверхностные интегралы

Элементы векторного анализа:

Основы теории поля
Поток векторного поля
Дивергенция векторного поля
Формула Гаусса-Остроградского

Циркуляция векторного поля
и формула Стокса

Комплексный анализ:

Примеры решений типовых
задач комплексного анализа

Как найти функцию
комплексной переменной?

Решение ДУ методом
операционного исчисления

Как решить систему ДУ
операционным методом?

Теория вероятностей:

Основы теории вероятностей
Задачи по комбинаторике
Задачи на классическое
определение вероятности

Геометрическая вероятность
Задачи на теоремы сложения
и умножения вероятностей

Зависимые события
Формула полной вероятности
и формулы Байеса

Независимые испытания
и формула Бернулли

Локальная и интегральная
теоремы Лапласа

Статистическая вероятность
Случайные величины.
Математическое ожидание

Дисперсия дискретной
случайной величины

Функция распределения
Геометрическое распределение
Биномиальное распределение
Распределение Пуассона
Гипергеометрическое
распределение вероятностей

Непрерывная случайная
величина, функции F(x) и f(x)

Как вычислить математическое
ожидание и дисперсию НСВ?

Равномерное распределение
Показательное распределение
Нормальное распределение
Система случайных величин
Зависимые и независимые
случайные величины

Двумерная непрерывная
случайная величина

Зависимость и коэффициент
ковариации непрерывных СВ

Математическая статистика:

Математическая статистика
Дискретный вариационный ряд
Интервальный ряд
Мода, медиана, средняя
Показатели вариации
Формула дисперсии, среднее
квадратическое отклонение,
коэффициент вариации

Асимметрия и эксцесс
эмпирического распределения

Отблагодарить автора >>>

Если Вы заметили опечатку, пожалуйста, сообщите мне об этом

Заказать контрольную
Часто задаваемые вопросы
Гостевая книга

Поставьте нашу кнопку:

Высшая математика – просто и доступно!

Когда нет времени:

Авторские работы на заказ

По школьным предметам.
Подготовка к ЕГЭ

По высшей математике
и физике

Онлайн курсы для всех!



  Карта сайта


Признаки сходимости несобственных интегралов второго рода


Продолжаем исследование сходимости несобственных интегралов. В первой части урока (см. по ссылке) мы рассмотрели интегралы  (1-го рода), и сейчас изучим признаки сходимости несобственных интегралов второго рода. Эти признаки аналогичны, но вот их применение – это нечто, равнодушным не оставит никого!

Напоминаю, что интеграл 2-го рода имеет вид , где подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв в точке  или , и поскольку я правша, то пусть это будет точка  :)

Признак сравнения: пусть две неотрицательные функции  непрерывны на полуинтервале  и для всех  этого промежутка выполнено неравенство . Тогда справедливы следующие утверждения:

1) если интеграл   сходится, то сходиться будет и интеграл ;
2) если интеграл  расходится, то расходится и интеграл .

Геометрия этих двух случаев очевидна. 1) Если интеграл  сходится, то «серая» площадь конечна. В силу неравенства , интегралу  соответствует «красная» часть этой конечной площади, и поэтому он тоже сходится: 
Иллюстрация признака сходимости интеграла 2-го рода с точкой разрыва справа
2) Если интеграл  расходится, то «красная» площадь бесконечна. И поскольку она является частью «серой» площади, то последняя тоже бесконечна, то есть, интеграл  будет расходиться.

Следует отметить, что в практических заданиях неравенство  может выполняться и не для всех  предложенного промежутка  – важно чтобы существовала «синяя» - окрестность точки  (пусть очень малая), в которой это неравенство справедливо. Иными словами, сходимость или расходимость интеграла зависит от верхнего бесконечного «хвоста».

Рассмотрим простенький интеграл . Прежде всего, отметим, что подынтегральная функция положительна, терпит бесконечный разрыв в точке  и непрерывна на промежутке .

! Последний факт очень важен и его проверка – совсем не пустая формальность. На промежутке интегрирования может оказаться две или даже бОльшее количество точек разрыва, и тогда интеграл придётся разделить на части.

Сходимость данного интеграла устанавливается элементарно:
,
и теперь поставим задачу исследовать сходимость похожего интеграла . Понятно, что он тоже вычисляется с пол тычка, но сейчас нам нужно отработать использование признака сравнения, а сделать это лучше на простых примерах.

Рассуждать можно двумя способами. Способ первый. Для степеней с одинаковым основанием  и показателями  справедливы следующие факты:

– если , то , например:  или  – тот, кто сомневается, может проверить на калькуляторе;
– и если , то , например,  или .

Запишите это к себе на листок!

В нашем интеграле на промежутке  подкоренное выражение принимает следующие значения: . Вы согласны? И поэтому:

, а бОльшим знаменателям соответствуют мЕньшие дроби:
, значит, по признаку сравнения исследуемый интеграл сходится вместе с интегралом .

Недостаток этого способа состоит в том, что желаемое неравенство может выполняться далеко не на всём промежутке интегрирования, так, например, для интеграла  на участке от 0 до 1 построенное выше неравенство становится неверным, и поэтому по строгости, здесь нужно разделить пациента на две части: , и сказать о том, что первый кусок сходится, т.к. является обычным определённым интегралом.

Но есть второй, более хитрый способ рассуждения – это построение неравенства для ситуации, когда «икс» стремится к двум слева: . Ибо, как я отметил выше, сходимость или расходимость интеграла зависит от поведения бесконечного «хвоста» вблизи точки разрыва.

И мы оформляем решение так:

При :

, следовательно:
, значит, по признаку сравнения, интеграл  сходится вместе с интегралом .

Всё!

Хитрость здесь в том, что признак сравнения мы применили в достаточно малой окрестности точки разрыва, и этого вполне достаточно.

Теперь другой случай использования признака – когда в силу того же неравенства  из расходимости интеграла  следует расходимость . Рассмотрим интеграл , который расходится:

и поставим задачу исследовать сходимость интеграла .

На промежутке интегрирования: , и поэтому по свойству степеней:
, а мЕньшим знаменателям соответствуют бОльшие дроби:
, значит, по признаку сравнения исследуемый интеграл расходится вместе с интегралом .

Альтернативное оформление таково:

При :

, следовательно:
 – с тем же самым выводом.

Этот вариант удобен, когда неравенство выполнено не для всех «икс» из промежутка интегрирования, например, при исследовании интеграла .

Точно такой же признак сравнения можно сформулировать для «зеркальной» ситуации, когда подынтегральная функция непрерывна на полуинтервале  и терпит бесконечный разрыв в точке . Чертёж уж рисовать не буду – на нём всё так же, только бесконечный «хвост» у левого конца промежутка. Разбираемся самостоятельно, продолжаю нумерацию предыдущей статьи:

Пример 8

Вычислить интегралы  и на основании полученных результатов исследовать сходимость интегралов: а) , б)

Краткие доказательства и комментарии в конце урока.

Ну и, наверное, вы уже подметили, что интегралы вида ,  сходятся при  и расходятся, если . Заметим заодно, что при  всё хозяйство переезжает в числитель, и интеграл перестаёт быть несобственным.

Добавьте это в свой справочник!

Эта «пачка» эталонных интегралов активно используется в практических исследованиях:

Пример 9

Исследовать сходимость интеграла

Решение: подынтегральная функция положительна, непрерывна на  и терпит единственный бесконечный разрыв слева. Не забываем проверить эти важные факты! – в последующих заданиях такая проверка будет подразумеваться по умолчанию

В знаменателе находится куб и квадратный корень, и возникает вопрос, с чего начать рассуждение? Если при исследовании несобственных интегралов 1-го рода мы ориентировались на старшие степени, то здесь всё наоборот. Сравним данный интеграл со сходящимся интегралом . Если  (икс стремится к нулю справа), то:
, а бОльшим знаменателям соответствуют мЕньшие дроби:
, значит, исследуемый интеграл тоже сходится.

И ещё раз заметьте, что при таком оформлении решения, мы не озадачиваемся вопросом, выполнено ли это неравенство на всём промежутке интегрирования – важно, что оно выполняется в окрестности точки разрыва, чего вполне достаточно для обоснования факта сходимости.

Вспоминаем с предыдущего занятия, что не знаменателем единым живо исследование:

Пример 10

Исследовать сходимость интеграла

Решение: важным моментом является то, что косинус здесь положителен и убывает от  до , таким образом, на промежутке :
, значит, по признаку сравнения, исследуемый интеграл сходится вместе с «эталонным» интегралом

Решаем самостоятельно:

Пример 11

Исследовать сходимость несобственных интегралов 2-го рода

а)  – баян, и б)  – интеграл позанятнее, для его анализа посмотрИте на график синуса и выполните «прикидку» на калькуляторе.

Решения и ответы в конце урока.

Довольно часто при исследовании несобственных интегралов используют замечательные эквивалентности:

Пример 12

Исследовать сходимость интеграла  при различных значениях .

Решение: ну, во-первых, сразу отметим, что при  предложенный интеграл является обычным определённым интегралом, который равен конечному числу, т.е. сходится.

Осталось рассмотреть случай . При «икс», стремящемся к нулю справа имеет место эквивалентность  , и поэтому в подынтегральной функции синус можно заменить эквивалентной бесконечно малой, то есть «иксом»:
 – если этот момент не понятен, освежаем знания по ссылке выше!

Таким образом, в плане сходимости исследуемый интеграл  ведёт себя точно так же (эквивалентно), как и интеграл , а последний является «эталонным»: при  он сходится, а при  – расходится.

Любопытно отметить, что на промежутке  интеграл  тоже является определённым. Но как же так? – ведь тогда эквивалентный ему интеграл, например,  вроде бы несобственный. А вот и нет! На самом деле перед нами определённый интеграл с точкой устранимого разрыва («выколотой» точкой) на левом конце. В этом легко убедиться, вычислив соответствующий предел подынтегральной функции, и воспользовавшись первым замечательным пределом:
, то есть, на левом конце промежутка интегрирования подынтегральная функция стремится к нулю, а вовсе не к бесконечности.

Ответ дадим лаконично: исследуемый интеграл сходится при  и расходится в остальных случаях.

И, как следует из анализа, при  он не является несобственным. Но об этом нас, собственно, никто не спрашивал.

Следующий интеграл запостил на mathprofi.com один из посетителей сайта, и сегодня я с удовольствием разъясню его самой широкой аудитории:

Пример 13

Исследовать сходимость несобственного интеграла

Счастливый номер и интереснейшее решение:

В свете предыдущего исследования, убедимся в том, что подынтегральная функция действительно терпит бесконечный разрыв на левом конце промежутка:
 – подробно показал, что неопределённости тут нет, и предел действительно бесконечен. Причём, в пределе получился знак «минус», и это не случайно – на предложенном промежутке интегрирования синус изменяется от 0 до 1, а натуральный логарифм (смотрим или вспоминаем график!) здесь отрицателен.

При  справедлива эквивалентность , и поэтому:
, таким образом, интеграл  эквивалентен исходному интегралу в плане сходимости. Последний интеграл берётся по частям, но есть более быстрый способ исследования.

Во-первых, заметим, что подынтегральная функция неположительна на , однако признак сравнения работает и в нижней полуплоскости (ну а чем она хуже?) – важно, чтобы функции были интегрируемы, и выполнялось неравенство . Тогда из сходимости интеграла «жэ» следует сходимость интеграла «эф», или из расходимости «эф» следует расходимость «жэ».

Но к чему нам лишние неудобства? – просто добавим к логарифму модуль, и картинка отобразится симметрично наверх относительно оси :
.

А теперь добавьте в свой справочник следующий факт:

При  функция   более высокого порядка роста, чем . И тут я хочу предостеречь вас от «пижонского» анализа, когда для выяснения порядка роста подставляют конкретное число. Так, если для «прикидки» взять 0,01 и вычислить:
, то легко сделать ошибочный вывод, что при  логарифм растёт быстрее. А мораль такова, что если какое-то неравенство имеет место при 0,01, то нет никакой гарантии, что оно останется справедливым при 0,001 или более малом значении «икс». Вот зачем нужна строгая теория и строгие доказательства математического анализа!

Но возвращаемся к задаче. Так как при  функция  более высокого порядка роста, чем , то:

 – всем понятны эти «школьные» преобразования?

Таким образом, интеграл  сходится вместе с «эталонным» интегралом , следовательно, сходится и «симметричный» интеграл .  Вместо модуля тут можно было составить  неравенство , и тогда, по признаку сравнения, из сходимости интеграла   следует сходимость .

И, в силу установленной выше эквивалентности, исследуемый интеграл  сходится вместе с интегралом .

Из разобранного примера следует, что интеграл вида  сходится и при любом значении .  А другой случай для самостоятельного исследования:

Пример 14

а) Исследовать интеграл  на сходимость при . В качестве «опорного» интеграла для сравнения взять интеграл , сходимость или расходимость которого установить прямым вычислением. Не забывайте, что графики всех этих подынтегральных функций лежат под осью !

б) Исследовать на сходимость интеграл  – неожиданно, но результат здесь окажется неожиданным.

Если возникли трудности, посмотрите уже, наконец, график логарифма :) Моя версия решения в конце этого «приключенческого» урока! – даже сам не ожидал, что получится так интересно. Продолжаем:

Как и в случае с интегралами 1-го рода, для интегралов 2-го рода существует аналогичный предельный признак, сформулирую его для разрыва слева:

Пусть неотрицательные подынтегральные функции интегралов  (1),  (2) непрерывны на  и терпят бесконечный разрыв в точке , и пусть существует предел . Тогда:

1) если  конечное число, отличное от нуля, то интегралы (1) и (2) сходятся или расходятся одновременно;

2) если , то из сходимости интеграла (2) следует сходимость интеграла (1);

3) если , то из расходимости (2) следует расходимость (1).

На практике обычно используют 1-й пункт признака.

Так, интеграл  Примера 9 легко сравнить с расходящимся интегралом  (помним, что ориентироваться нужно на самую маленькую степень «икса»!). Составляем предел, избавляемся от четырёхэтажности дроби и неопределенности «ноль на ноль»:
– в результате получено конечное число, отличное от нуля, значит, интеграл  сходится вместе с интегралом .

Отношение функций можно составить и наоборот, это даже технически проще:
 – с тем же самым выводом.

Но предельный признак сравнения, конечно, чаще используют в «тяжелых случаях» – когда «обычный» признак применить затруднительно. Ещё один «баян»:

Пример 15

Решение: по «общим очертаниям» данный интеграл должен расходиться, и мы начинаем стандартные рассуждения. На интервале интегрирования:
, следовательно:

и при возведении обеих частей в положительную степень «статус-кво» сохраняется:

Но тогда получается неравенство:
, которое не приносит нам полезной информации. Ведь для обоснования расходимости нужно показать противоположное неравенство!

Что делать? Используя формулу разности квадратов, разложим подынтегральную функцию на множители:
, откуда приходит идея сравнить данный интеграл с расходящимся интегралом  с помощью предела:
 – конечное число, отличное от нуля, значит, по предельному признаку сравнения, исследуемый интеграл расходится вместе с интегралом .

Следующие интегралы для самостоятельного решения:

Пример 16

а) исследовать сходимость несобственного интеграла  при различных значениях ;

б) исследовать сходимость .

Этими интегралами опять же интересовались посетители сайта, и сейчас я предлагаю вам справиться с ними самостоятельно! Подумайте, как какие функции подобрать для сравнения ;) Краткие решения в конце урока, под занавес которого забьём достойный гвоздь программы:

Пример 17

Решение: по «первой оглядке» данный интеграл расходится, но так ли это на самом деле?

Проведём замену переменной: …, да, для несобственных интегралов, точно так же, как и для определённых, работают стандартные приёмы интегрирования – замена, интегрирование по частям и другие! Со своей спецификой. Так, например, интеграл 2-го рода может превратиться в интеграл 1-го рода, и наоборот. Но это не наш случай.

Найдём новые пределы интегрирования. Поскольку , то при  новая переменная .  Верхний же предел интегрирования: .

И, учитывая, что  и  , наш интеграл превращается в интеграл:

При  справедлива эквивалентность , и поэтому в плане сходимости полученный интеграл эквивалентен интегралу:
, который сходится.

Решение можно оформить академично. Сравним интеграл  со сходящимся интегралом . Используем предельный признак сравнения и соответствующий замечательный предел:
 – конечное число, отличное от нуля, значит, интеграл  сходится, и в силу проведённой замены, исходный интеграл тоже сходится.

Продвинутые читатели могут обойтись без всяких замен:
 и воспользоваться эквивалентностью  при , но такую возможность нужно ещё увидеть.

И в заключение урока ответим на следующий важный вопрос: что делать, если подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв на обоих концах отрезка? Например:

Всё очень просто – используя свойство аддитивности, делим интеграл на 2 части:

Если сходятся обе части, то сходиться будет и весь интеграл; если хотя бы одна из частей расходится, то аминь.

Если вдруг точек разрыва больше – делим интеграл на бОльшее количество частей.

То же самое касается интегралов-«ассорти», например, . Делим его на 2 части, напрашивается так:
, и если сходятся обе части, то сходиться будет и весь интеграл

Кстати, как мы выяснили в Примере 14, интеграл  расходится, и поэтому надобность исследования интеграла  отпадает.

Для фанатов есть дополнительный материал – это то, что мне больше всего приглянулось в Сети.

Жду вас в заключительной части урока – Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов.

Решения и ответы:

Пример 8. Решение: вычислим несобственные интегралы:
 – конечное число, т.е. данный интеграл сходится;
, т.е. интеграл расходится.

а) Исследуем сходимость интеграла . Сравним данный интеграл со сходящимся интегралом . На промежутке :
, следовательно:
, значит, по признаку сравнения исследуемый интеграл сходится вместе с интегралом .

б) Сравним интеграл  с интегралом с расходящимся интегралом . Так как желаемое неравенство выполнено не на всём промежутке интегрирования, то решение удобно оформить другим способом. При :
, поэтому:
, значит, по признаку сравнения, исследуемый интеграл расходится.

Пример 11. Решение:

а) на промежутке :
, поэтому:
 (хорошо осмыслите, почему так!)
При возведении обеих частей в положительную степень (в данном случае в 1/3) знак неравенства сохраняется:
,  а бОльшим знаменателям соответствуют мЕньшие дроби:
, значит, по признаку сравнения, исследуемый интеграл сходится вместе с интегралом  («эталонный» интеграл).

б) На промежутке интегрирования синус принимает минимальное значение в точке . Поэтому на данном промежутке:
, таким образом, исследуемый интеграл расходится вместе с интегралом  (множитель-константа не влияет на сходимость или расходимость).

Пример 14. Решение:

а) Вычислим интеграл:
 , т.е. несобственный интеграл расходится.
Для любого  из полуинтервала  и для любого  справедливо неравенство:
, следовательно:

Логарифм на данном промежутке отрицателен (кроме точки ), поэтому при домножении на него обеих частей, у неравенства следует сменить знак:
, значит, по признаку сравнения, интеграл  расходится вместе с интегралом  
Геометрическое пояснение: графики функций  лежат ниже графика , и бесконечная площадь  является частью бОльшей площади .

б) Рассмотрим симметричную относительно оси  функцию и интеграл . При  функция  более высокого порядка роста, чем , поэтому:

на промежутке  справедливо неравенство , следовательно:
 – и по построенной цепочке неравенств, по признаку сравнения, интеграл  сходится вместе с интегралом .

Таким образом, в силу симметрии графиков подынтегральных функций относительно оси абсцисс, сходится и интеграл .

Пример 16. Решение:

а) Сравним предложенный интеграл с интегралом . Используем предельный признак сравнения:
 – конечное число, значит, исследуемый интеграл сходится или расходится вместе с интегралом , а последний сходится при  и расходится при .

б) При  справедлива эквивалентность , поэтому в плане сходимости исследуемый интеграл эквивалентен интегралу:

Сравним последний интеграл с расходящимся интегралом . Используем предельный признак сравнения:
 – конечное число, значит, интеграл  расходится вместе с интегралом , и в силу установленной эквивалентности, расходится и исследуемый интеграл.

Второй способ: сразу сравнить «пациента» с «эталонным» интегралом и воспользоваться первым замечательным пределом:

 – с тем же финальным выводом.

Автор: Емелин Александр


 Блог Емелина Александра

Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу)

Как можно отблагодарить автора?

Профессиональная помощь по любому предмету – Zaochnik.com


© Copyright mathprofi.ru, Александр Емелин, 2010-2018. Копирование материалов сайта запрещено