Высшая математика – просто и доступно!

Если сайт упал, используйте ЗЕРКАЛО: mathprofi.net

Наш форум, библиотека и блог: mathprofi.com

Высшая математика:

Математика для заочников

Математические формулы,
таблицы и другие материалы

Книги по математике

Математические сайты

+-*/^ Удобный калькулятор

+ «Дробовик»   

Учимся решать:

  Карта сайта

Не нашлось нужной задачи?
Сборники готовых решений!

Не получается пример?
Задайте вопрос на форуме!
>>> mathprofi

Обратная связь:

Часто задаваемые вопросы
Гостевая книга Отблагодарить автора >>>

Заметили опечатку / ошибку?
Пожалуйста, сообщите мне об этом

Карта сайта

---

Неопределенный интеграл.
Подробные примеры решений

На данном уроке мы начнём изучение темы Неопределенный интеграл и сразу подробно разберём примеры решений простеньких интегралов. Как обычно, я ограничусь минимумом теории, наша задача – научиться решать интегралы. Ну а там видно будет.

Что нужно знать для успешного освоения материала? Для того чтобы справиться с интегралами Вам необходимо уметь находить производные, минимум, на среднем уровне. Поэтому, если с ними ах, то сначала ознакомьтесь с уроками Как найти производную? и Производная сложной функции. За плечами должно быть несколько десятков (лучше – сотня) самостоятельно найденных производных. ...Казалось бы, при чём здесь вообще производные, если речь пойдет об интегралах?! А дело вот в чём. Дело в том, что нахождение производных и нахождение неопределенных интегралов (дифференцирование и интегрирование) – это два взаимно обратных действия, как, например, сложение / вычитание или умножение / деление. Таким образом, без навыка (+ какого-никакого опыта) нахождения производных, к сожалению, дальше не продвинуться.

В этой связи нам потребуются Таблица производных и Таблица интегралов, которые должны быть постоянно под рукой, перед глазами, в сердце. Материалы лучше распечатать – так будет намного удобнее.

В чём сложность изучения неопределенных интегралов? Если в производных имеют место строго 5 правил дифференцирования, таблица производных и довольно четкий алгоритм действий, то в интегралах всё иначе. Существуют десятки способов и приёмов интегрирования. И если способ изначально подобран неверно (т. е. Вы не знаете, как решать), то интеграл можно «колоть» буквально сутками, как самый настоящий ребус, пытаясь применить различные ухищрения. Некоторым даже нравится. ...Между прочим, это не шутка, мне довольно часто приходилось слышать от студентов мнение вроде «У меня никогда не было интереса решить предел или производную, но вот интегралы – совсем другое дело, это увлекательно, всегда есть желание «взломать» сложный интеграл». ...Стоп. Хватит чёрного юмора :)

И коль скоро способов иного, то с чего же начать «чайнику»?

На мой взгляд, тема держится на трёх столпах, вокруг которых строится всё остальное: :

• Простейшие интегралы и правила интегрирования (эта статья).


• Метод замены в неопределенном интеграле. ВАЖНЕЙШИЙ ПРИЁМ. Может быть, даже самая важный урок, посвященный интегралам. После первого, конечно.


• И, наконец, метод интегрирования по частям – с помощью него интегрируется обширный класс функций.

Если Вы освоите хотя бы эти три урока, то уже «не два». Вам могут «простить» незнание интегралов от тригонометрических функций, интегралов от дробей, интегралов от дробно-рациональных функций, интегралов от иррациональных функций (корней), но вот если «сесть в лужу» на методе замены или методе интегрирования по частям – то это будет очень и очень скверно.

…Ну что же, немного вас ещё постращаю и перейдём к теме :)

 #МОТИВАТОР

Уважаемые лентяи, халявщики и другие нормальные студенты! Знания и навыки по неопределенному интегралу потребуются в дальнейшей учёбе, в частности, при изучении определенного интеграла, несобственных интегралов, дифференциальных уравнений. Необходимость взять интеграл возникает даже в теории вероятностей! Таким образом, без интегралов дальнейший путь в учёбе будет РЕАЛЬНО ЗАКРЫТ. Серьёзно.

Поэтому чем больше интегралов вы прорешаете, тем легче будет дальнейшая жизнь. Да, это займет довольно много времени, да, порой, не хочется, да, иногда «да фиг с ним, с этим интегралом, авось не попадется». Да вот как раз не авось. Качественно разобравшись в теме, вы фактически осваиваете ещё несколько разделов вышки!

#//

И поэтому я просто не мог не создать интенсивный курс по технике интегрирования, который получился на удивление коротким – желающие могут воспользоваться pdf-книгой и подготовиться ОЧЕНЬ быстро. И через некоторое время появился шикарный видеокурс практически обо всех неопределённых интегралах. И это всего 3,5 часа! Но материалы сайта ни в коем случае не хуже!

…Да, и за мотиватор, кстати, не огорчайтесь, я и сам был лентяем 7 баллов из 10, обычным студентом, короче :)

Итак, начинаем с простого. Сначала посмотрим в справку. ...Нет, не в ту :) Как и в случае с производными, там есть несколько правил и таблица. Нетрудно заметить, что любой табличный интеграл (да и вообще любой неопределенный интеграл) имеет вид:

Сразу разбираемся в обозначениях и терминах:

– значок интеграла;

 – подынтегральная функция (пишется с буквой «ы»);

 – дифференциал (читается «дэ икс»). При записи интеграла и в ходе решения важно не терять его. Заметный недочет будет.

 – подынтегральное выражение или «начинка» интеграла;

 – первообразная функция;

 – множество первообразных функций, где – константа. Говоря проще, «цэ» может быть любым действительным числом. Потому и множество. Множество всех первообразных – это и есть неопределённый интеграл от функции .

Взять интеграл от (решить его) – это значит найти соответствующее множество , пользуясь некоторыми правилами, приёмами, таблицей.

Ещё раз посмотрим на запись:

Посмотрим в таблицу интегралов.

Что происходит? Левые части  у нас превращаются в функции: .

Упростим наше определение:

решить неопределенный интеграл  – это значит ПРЕВРАТИТЬ его в определённое множество функций , пользуясь некоторыми правилами, приемами и таблицей.

Возьмем, например, табличный интеграл . Что произошло?  превратился в функции .

Как и в случае с производными, для того, чтобы научиться находить интегралы, не обязательно быть в курсе, что такое интеграл, первообразная функция с теоретической точки зрения. Достаточно просто осуществлять превращения по некоторым формальным правилам. Так, в случае  совсем не обязательно понимать, почему интеграл  превращается именно в . Пока можно принять эту и другие формулы как данность. Все пользуются электричеством, но мало кто задумывается, как там по проводам бегают электроны.

Так как дифференцирование и интегрирование – противоположные операции, то для любой первообразной, которая найдена правильно, справедливо следующее:

Иными словами, если продифференцировать правильный ответ, то обязательно должна получиться исходная подынтегральная функция.

Вернемся к тому же табличному интегралу .

Убедимся в справедливости данной формулы. Берём производную от правой части:

 – исходная подынтегральная функция.

Вот, кстати, стало понятнее, почему к функции  всегда приписывается константа . При дифференцировании константа превращается в ноль.

Решить неопределенный интеграл – это значит найти множество всех первообразных, а не какую-то одну функцию. В рассматриваемом табличном примере , , ,  и т. д. – все эти функции являются решением интеграла . Решений бесконечно много, поэтому записывают коротко:

Таким образом, любой неопределенный интеграл достаточно легко проверить (в отличие от производных, где хорошую стопудовую проверку можно осуществить разве что с помощью математических программ). Это некоторая компенсация за большое количество интегралов разных видов.

Переходим к рассмотрению конкретных примеров. Как и при изучении производной, начнём с двух «очевидных» правил, которые также называют свойством линейности:

 – постоянный множитель можно (и нужно) вынести за знак интеграла.

 – интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме двух интегралов от каждой функции в отдельности. Данное правило справедливо для любого количества слагаемых.

Заряжаем:

Пример 1

Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.

Сначала решение, затем комментарии:

Проверка. Для того чтобы выполнить проверку нужно продифференцировать полученный ответ:

Получена исходная подынтегральная функция, значит, интеграл найден правильно. От чего плясали, к тому и вернулись. Знаете, очень хорошо, когда история с интегралом заканчивается именно так.

Время от времени встречается немного другой подход к проверке неопределенного интеграла, от ответа берется не производная, а дифференциал:

Кто с первого семестра понял, тот понял, но сейчас нам важны не теоретические тонкости, а важно то, что с этим дифференциалом дальше делать. Его необходимо раскрыть, и с формально-технической точки зрения – это почти то же самое, что найти производную. Дифференциал раскрывается следующим образом: значок  убираем, справа над скобкой ставим штрих, в конце выражения приписываем множитель :

Получено исходное подынтегральное выражение, значит, интеграл найден правильно.

Второй способ более громоздкий, и на самом деле я мог вообще о нём умолчать. Но рассказал. Ибо дело не столько в способе, а в том, что мы научились раскрывать дифференциал. Ещё раз.

Дифференциал раскрывается следующим образом:

1) значок  убираем;

2) справа над скобкой ставим штрих (обозначение производной);

3) в конце выражения приписываем множитель .

Например:

Запомните это. Рассмотренный приём потребуется нам очень скоро.

Пример 2

Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.

Это пример для самостоятельно решения. Ответ и полное решение в конце урока.

Когда мы находим неопределенный интеграл, то ВСЕГДА стараемся сделать проверку, тем более, для этого есть прекрасная возможность. Далеко не все типы задач в высшей математике является подарком с этой точки зрения. Неважно, что в заданиях проверку зачастую не требуют, её никто, и ничто не мешает провести на черновике. Исключение можно сделать лишь тогда, когда не хватает времени (например, на зачете, экзамене), или когда ответ уж слишком «наворочен». Лично я всегда проверяю интегралы, а отсутствие проверки считаю халтурой и некачественно выполненным заданием.

Пример 3

Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.

Решение: анализируя интеграл, мы видим, что у нас произведение двух функций, да еще и возведение в степень целого выражения. К сожалению, на поприще интегральной битвы нет хороших и удобных формул для интегрирования произведения и частного , .

А поэтому, когда дано произведение или частное, всегда имеет смысл посмотреть, а нельзя ли преобразовать подынтегральную функцию в сумму?

Рассматриваемый пример – тот случай, когда можно. Сначала решение, затем комменты:

(1) Используем старую-добрую формулу квадрата суммы , избавляясь от степени.

(2) Раскрываем скобки, избавляясь от произведения.

(3) Используем свойство линейности интеграла (оба правила сразу).

(4) Превращаем интегралы по табличной формуле .

(5) Упрощаем ответ. Здесь следует обратить внимание на обыкновенную неправильную дробь  – она несократима и в ответ входит именно в таком виде. Не нужно делить на калькуляторе ! Не нужно представлять её в виде !

Проверка:

Получена исходная подынтегральная функция, значит, интеграл найден правильно.

В ходе проверки функцию всегда желательно «упаковать» до первоначального вида, вынося в данном случае  за скобки и применяя формулу сокращенного умножения в обратном направлении: .

Пример 4

Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.

Это пример для самостоятельно решения. Образец для сверки в конце урока.

Пример 5

Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.

В данном примере подынтегральная функция представляет собой дробь. Когда мы видим в подынтегральном выражении дробь, то первой мыслью должен быть вопрос: а нельзя ли как-нибудь от этой дроби избавиться, или хотя бы её упростить?

Замечаем, что в знаменателе находится одинокий корень из «икс». Один в поле – не воин, а значит, можно почленно разделить числитель на знаменатель:

Действия с дробными степенями я не комментирую, так как о них неоднократно шла речь в статьях о производной функции. Если Вас все-таки ставит в тупик такой пример, как , и ни в какую не получается правильный ответ , то рекомендую посетить нашу песочницу или обратиться к школьным учебникам. В высшей математике дроби и действия с ними встречаются на каждом шагу.

Также обратите внимание, что в решении пропущен один шаг, а именно, применение правил , . Обычно уже при начальном опыте решения интегралов данные свойства считают само собой разумеющимися и не расписывают подробно.

Пример 6

Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.

Это пример для самостоятельно решения.

Решаем, сверяемся и наш мегакурс Интегралы для чайников в самом разгаре! Переходим к важнейшему уроку Метод замены в неопределенном интеграле, где будет разобран, можно сказать, ключевой приём решения.

Желаю успехов!

Решения и ответы:

Пример 2. Решение:

Пример 4. Решение:

В данном примере мы использовали формулу сокращенного умножения

Пример 6. Решение:

Я выполнил проверку, а Вы? ;)

Автор: Емелин Александр

Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу)

Как можно отблагодарить автора?

Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам,

cкидкa 15% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-hihi5

© Copyright  Александр Емелин, mathprofi.ru, 2010-2025, сделано в Блокноте