Высшая математика – просто и доступно!

Если сайт упал, используйте ЗЕРКАЛО: mathprofi.net

Наш форум, библиотека и блог: mathprofi.com

Высшая математика:

Математика для заочников

Математические формулы,
таблицы и другие материалы

Книги по математике

Математические сайты

+-*/^ Удобный калькулятор

+ «Дробовик»   

Учимся решать:

  Карта сайта

Не нашлось нужной задачи?
Сборники готовых решений!

Не получается пример?
Задайте вопрос на форуме!
>>> mathprofi

Обратная связь:

Часто задаваемые вопросы
Гостевая книга Отблагодарить автора >>>

Заметили опечатку / ошибку?
Пожалуйста, сообщите мне об этом

Карта сайта

---

Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

Миниатюрная и довольно простая задача из разряда тех, которые служат спасательным кругом плавающему студенту. На природе сонное царство середины июля, поэтому самое время устроиться с ноутбуком на пляже. Ранним утром заиграл солнечный зайчик теории, чтобы в скором времени сфокусироваться на практике, которая, несмотря на заявленную лёгкость, содержит осколки стекла в песке. В этой связи рекомендую добросовестно рассмотреть немногочисленные примеры этой странички. Для решения практических заданий необходимо уметь находить производные и понимать материал статьи Интервалы монотонности и экстремумы функции.

Сначала коротко о главном. На уроке о непрерывности функции я приводил определение непрерывности в точке и непрерывности на интервале. Образцово-показательное поведение функции на отрезке формулируется похожим образом. Функция  непрерывна на отрезке  если:

1) она непрерывна на интервале ;
2) непрерывна в точке  справа и в точке  слева.

Во втором пункте речь зашла о так называемой односторонней непрерывности функции в точке. Существует несколько подходов к её определению, но я буду придерживаться начатой ранее линии:

Функция  непрерывна в точке  справа, если она определена в данной точке и её правосторонний предел совпадает со значением функции в данной точке: . Она же непрерывна в точке  слева, если определена в данной точке и её левосторонний предел равен значению в этой точке:

Представьте, что зелёные точки – это гвозди, на которых закреплена волшебная резинка:

Садимся на берег синего моря и бьём пятками по мелководью:

Пример 1

Найти наибольшее и наименьшее значения функции  на отрезке

Решение:
1) Вычислим значения функции в критических точках, принадлежащих данному отрезку:
 

Полученное квадратное уравнение имеет два действительных корня:
 – критические точки.

Ещё раз подчёркиваю, что нас не интересует, есть в них максимумы/минимумы или нет.

Первая критическая точка принадлежит данному отрезку:
А вот вторая – нет: , поэтому про неё сразу забываем.

Вычислим значение функции в нужной точке:

Итоговый результат я выделил жирным цветом, при оформлении задания в тетради его удобно обвести в кружок простым карандашом или пометить как-то по-другому.

2) Вычислим значения функции  на концах отрезка:

Результаты опять каким-либо образом выделяем.

3) Дело сделано, среди «жирных» чисел выбираем наибольшее и наименьшее.

Ответ:

Критическое значение  на поверку оказалось точкой максимума, но об этом нас никто не спрашивал. Впрочем, для саморазвития можете устно подмечать такие факты.

Пример 2

Найти наибольшее и наименьшее значения функции  на отрезке

Это пример для самостоятельного решения. Примерный образец чистового оформления в конце урока.

В рассматриваемой задаче очень важно не допускать вычислительных ошибок, так как рецензент немедленно посмотрит, сами догадываетесь куда.

Другой существенный момент касается пункта № 1.

Во-первых, критических точек может не оказаться вообще. Это очень хорошо – меньше вычислений. Просто записываем вывод: «критические точки отсутствуют» и переходим ко второму пункту алгоритма.

Во-вторых, все критические точки (одна, две или бОльшее количество) могут не принадлежать отрезку. Замечательно. Пишем следующее: «критические точки (а) не принадлежат (ит) рассматриваемому отрезку». Находить какие-то значения функции здесь, разумеется, тоже не надо.

В моей коллекции есть и те и те примеры, но они унылы как бескрайние просторы Сахары. По сути, всё задание сводится к нахождению двух значений функции на концах интервала. Гораздо интереснее снять кепки, солнечные очки и отправиться играть в пляжный футбол:

Пример 3

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке

Решение: всё опять начинается дежурной фразой:
1) Вычислим значения функции в критических точках, принадлежащих данному отрезку:
 

Да, критических точек тут и правда целая команда:

Первые две точки принадлежат нашему отрезку:

Но третья оказывается вне игры:

(надеюсь, все сумели сосчитать )

Вычислим значения функции в подходящих точках:

Чтобы не заблудиться в трёх соснах, не забываем выделять результаты,

2) Вычислим значения функции на концах отрезка:

Среди «жирных» чисел выбираем наибольшее и наименьшее значения. Максимальное значение («пятёрка») достигается сразу в двух точках, и это необходимо указать в завершающей записи:

Ответ:

Время от времени критические точки могут совпадать с одним или даже с обоими концами отрезка, и в этом случае укорачивается второй этап решения. Следующий пример для самостоятельного изучения посвящен как раз такой ситуации:

Пример 4

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке

Примерный образец решения в конце урока.

Иногда техническая трудность рассматриваемого задания состоит в замысловатой производной и громоздких вычислениях:

Пример 5

Найти максимальное и минимальное значения функции на отрезке

Решение: отрезок, надо сказать, творческий, но пример взят из конкретной контрольной работы и ни в коем случае не придуман.

1) Вычислим значения функции в критических точках, которые принадлежат данному отрезку:

Очевидный корень оказывается не в теме: .

Решаем уравнение:

Второй корень принадлежит нашему отрезку:

Если вам не понятно, почему именно такой корень, обязательно обратитесь к школьному учебнику Алгебра и начала анализа 10-11 класс и повторите, что такое логарифм, ибо плох тот студент, который не мечтает овладеть логарифмами.

Дальнейшие вычисления задачи я распишу максимально подробно, но без комментариев. Некоторую информацию о логарифмической функции и свойствах логарифма можно почерпнуть в статье Графики и свойства элементарных функций и методичке по школьным формулам.

Вычислим значение функции во второй критической точке:

2) Вычислим значения функции на концах отрезка:

3) «Жирные» результаты получены с экспонентами и логарифмами, что существенно затрудняет их сравнение. По сей причине вооружимся калькулятором либо Экселем и вычислим приближённые значения, не забывая, что :

Вот теперь всё понятно.

Ответ:

Дробно-рациональный экземпляр для самостоятельного решения:

Пример 6

Найти максимальное и минимальное значения функции на отрезке

Вычисления в данном случае не менее кропотливы и точно так же потребуют вмешательства калькулятора (если вы, конечно, не вундеркинд). Полное решение и ответ в конце урока.

Стрелки часов приближаются к 9 утра, и побережье потихоньку заполняется всё бОльшим и бОльшим количеством стройных ног. Если честно, не терпится захлопнуть ноут и похулиганить, но всё-таки мужественно разберу нетривиальную вещь:

Пример 7

Найти максимальное и минимальное значения функции на отрезке

Решение:
1) Найдём критические точки. Предварительно можно раскрыть скобки, но не особо сложнее использовать и правило дифференцирования произведения:

 – критические точки.

Обратите внимание, что точка  обращает знаменатель производной в ноль, но её следует отнести к критическим значениям, поскольку САМА ФУНКЦИЯ определена в данной точке. На этом случае я подробно останавливался в теоретической части и последнем примере урока Интервалы монотонности. Экстремумы функции.

Кроме того, данная точка совпала с правым концом отрезка, а значит, в следующем пункте будет меньше расчётов. В следующем, но не сейчас:

2) Вычислим значения функции на концах отрезка:

 уже известно.

Ответ:

Раз, два, три, четыре, пять – мне пора верстать.

Скорее всего, вы прочитали данную статью в ненастную погоду, поэтому желаю всем скорейшего летнего загара без зачётки в кармане! …ну или с дипломом на груди… …ой, что-то я не то сказал =)

Решения и ответы:

Автор: Емелин Александр

Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу)

Как можно отблагодарить автора?

© Copyright  Александр Емелин, mathprofi.ru, 2010-2025, сделано в Блокноте