Высшая математика – просто и доступно!

Если сайт упал, используйте ЗЕРКАЛО: mathprofi.net

Наш форум, библиотека и блог: mathprofi.com

Высшая математика:

Математика для заочников

Математические формулы,
таблицы и другие материалы

Книги по математике

Математические сайты

+-*/^ Удобный калькулятор

+ «Дробовик»   

Учимся решать:

  Карта сайта

Не нашлось нужной задачи?
Сборники готовых решений!

Не получается пример?
Задайте вопрос на форуме!
>>> mathprofi

Обратная связь:

Часто задаваемые вопросы
Гостевая книга Отблагодарить автора >>>

Заметили опечатку / ошибку?
Пожалуйста, сообщите мне об этом

Карта сайта

---

Условные экстремумы и метод множителей Лагранжа

Сегодня на уроке мы научимся находить условные или, как их ещё называют, относительные экстремумы функций нескольких переменных, и, прежде всего, речь пойдёт, конечно же, об условных экстремумах функций двух и трёх переменных, которые встречаются в подавляющем большинстве тематических задач.

Что нужно знать и уметь на данный момент? Несмотря на то, что эта статья находится «на окраине» темы, для успешного усвоения материала потребуется не так уж и много. На данный момент вы должны ориентироваться в основных поверхностях пространства, уметь находить частные производные (хотя бы на среднем уровне) и, как подсказывает беспощадная логика, разбираться в безусловных экстремумах. Но даже если у вас низкий уровень подготовки, не спешите уходить – все недостающие знания/навыки реально «подобрать по пути», причём безо всяких многочасовых мучений.

Сначала проанализируем само понятие и заодно осуществим экспресс-повторение наиболее распространённых поверхностей. Итак, что же такое условный экстремум? …Логика здесь не менее беспощадна =) Условный экстремум функции – это экстремум в обычном понимании этого слова, который достигается при выполнении определённого условия (или условий).

Представьте произвольную «косую» плоскость в декартовой системе . Никакого экстремума здесь нет и в помине. Но это до поры до времени. Рассмотрим эллиптический цилиндр, для простоты – бесконечную круглую «трубу», параллельную оси . Очевидно, что эта «труба» «высечет» из нашей плоскости эллипс, в результате чего в верхней его точке будет максимум, а в нижней – минимум. Иными словами, функция, задающая плоскость, достигает экстремумов при условии, что её пересёк данный круговой цилиндр. Именно «при условии»! Другой эллиптический цилиндр, пересекающий эту плоскость, почти наверняка породит иные значения минимума и максимума.

Если не очень понятно, то ситуацию можно смоделировать реально (правда, в обратном порядке): возьмите топор, выйдите на улицу и срубите… нет, Гринпис потом не простит  – лучше порежем «болгаркой» водосточную трубу =). Условный минимум и условный максимум будут зависеть от того, на какой высоте и под каким (негоризонтальным) углом осуществлён разрез.

Настало время облачить выкладки в математическое одеяние. Рассмотрим эллиптический параболоид , который имеет безусловный минимум в точке . Теперь найдём экстремум при условии . Данная плоскость параллельна оси , а значит, «высекает» из параболоида параболу. Вершина этой параболы и будет условным минимумом. Причём плоскость  не проходит через начало координат, следовательно, точка  останется не при делах. Не представили картинку? Срочно идём по ссылкам! Потребуется ещё много-много раз.

Вопрос: как найти этот условный экстремум? Простейший способ решения состоит в том, чтобы из уравнения  (которое так и называют – условием или уравнением связи) выразить, например:  – и подставить его в функцию:

В результате получена функция одной переменной, задающая параболу, вершина которой «вычисляется» с закрытыми глазами. Найдём критические точки:

 – критическая точка.

Далее проще всего использовать второе достаточное условие экстремума:

В частности: , значит, функция достигает минимума в точке . Его можно вычислить напрямую: , но мы пойдём более академичным путём. Найдём «игрековую» координату:
,

запишем точку условного минимума , удостоверимся, что она действительно лежит в плоскости  (удовлетворяет уравнению связи):

и вычислим условный минимум функции :
 при условии  («добавка» обязательна!!!).

Рассмотренный способ без тени сомнения можно использовать на практике, однако, он обладает рядом недостатков. Во-первых, далеко не всегда понятна геометрия задачи, а во-вторых, зачастую бывает невыгодно выражать «икс» либо «игрек» из уравнения связи (если вообще есть возможность что-то выразить). И сейчас мы рассмотрим универсальный метод нахождения условных экстремумов, получивший название метод множителей Лагранжа:

Пример 1

Найти условные экстремумы функции  при указанном уравнении связи на аргументы .

Узнаёте поверхности? ;-) …Я рад видеть ваши счастливые лица =)

Кстати из формулировки данной задачи становится ясно, почему условие  называют уравнением связи – аргументы функции  связаны дополнительным условием, то есть найденные точки экстремума должны обязательно принадлежать круговому цилиндру.

Решение: на первом шаге нужно представить уравнение связи в виде  и составить функцию Лагранжа:
, где  – так называемый множитель Лагранжа.

В нашем случае  и:

Алгоритм нахождения условных экстремумов весьма похож на схему отыскания «обычных» экстремумов. Найдём частные производные функции Лагранжа, при этом с «лямбдой» следует обращаться, как с константой:

Составим и решим следующую систему:

Клубок распутывается стандартно:
из первого уравнения выразим ;
из второго уравнения выразим  .

Подставим  в уравнение связи и проведём упрощения:

В результате получаем две стационарные точки. Если , то:

если , то:

Легко видеть, что координаты обеих точек удовлетворяют уравнению . Щепетильные люди могут выполнить и полную проверку: для этого нужно подставить  в первое  и второе  уравнения системы, и затем сделать то же самое с набором . Всё должно «сойтись».

Проверим выполнение достаточного условия экстремума для найденных стационарных точек. Я разберу три подхода к решению данного вопроса:

1) Первый способ – это геометрическое обоснование.

Вычислим значения функции  в стационарных точках:

Далее записываем фразу примерно такого содержания: сечение плоскости  круговым цилиндром  представляет собой эллипс, в верхней вершине которого достигается максимум, а в нижней – минимум. Таким образом, бОльшее значение  – есть условный максимум, а меньшее  – условный минимум.

По возможности лучше применять именно этот метод – он прост, и такое решение засчитывают преподаватели (большим плюсом идёт то, что вы показали понимание геометрического смысла задачи). Однако, как уже отмечалось, далеко не всегда понятно, что с чем и где пересекается, и тогда на помощь приходит аналитическая проверка:

2) Второй способ основан на использовании дифференциала второго порядка . Если окажется, что в стационарной точке , то функция достигает там максимума, если же  – то минимума.

Найдём частные производные второго порядка:

и составим этот дифференциал:

При , значит, функция достигает максимума в точке  ;
при , значит, функция достигает минимума в точке  .

Следует отметить, что дифференциал  представляет собой квадратичную форму относительно , и мы получаем быстрый результат, если эта форма определена отрицательно или положительно; причём она может быть таковой даже в «неочевидных» случаях наподобие  – существует критерий Сильвестра, который позволяет легко установить положительность этого дифференциала.

Но что делать, когда форма знакопеременная, то есть когда знак  зависит от значений ? Например ?

В этом случае берём дифференциал от уравнения связи, проведём формальное решение для нашей задачи:

, откуда выражаем, например, , и подставляем его в полный дифференциал :

, после чего для  и точки  получаем:
;
и для :

Гуд.

И, кроме того, можно использовать «тяжёлую артиллерию» – достаточное условие в матричной форме:

3) Продифференцируем по «икс» и по «игрек» уравнение связи:

и составим следующую симметричную матрицу:

Если в стационарной точке , то функция достигает там (внимание!) минимума, если  – то максимума.

Запишем матрицу для значения  и соответствующей точки :

Вычислим её определитель:
, таким образом, функция имеет максимум в точке .

Аналогично для значения  и точки :

, таким образом, функция имеет минимум в точке .

Ответ: при условии :

После обстоятельного разбора материала просто не могу не предложить вам пару типовых задач для самопроверки:

Пример 2

Найти условный экстремум функции , если её аргументы связаны уравнением

Пример 3

Найти экстремумы функции  при условии

И вновь настоятельно рекомендую разобраться в геометрической сути заданий, особенно, это касается последнего примера, где аналитическая проверка достаточного условия – не подарок. Вспомните, какую линию 2-го порядка задаёт уравнение , и какую поверхность эта линия порождает в пространстве. Проанализируйте, по какой кривой цилиндр пересечёт плоскость и где на этой кривой будет минимум, а где – максимум.

Решения и ответы в конце урока.

Рассматриваемая задача находит широкое применение в различных областях, в частности – далеко ходить не будем, в геометрии. Решим всем понравившуюся задачу о поллитровке (см. Пример 7 статьи Экстремальные задачи) вторым способом:

Пример 4

Каковы должны быть размеры консервной банки цилиндрической формы, чтобы на изготовления банки пошло наименьшее количество материала, если объем банки равен

Решение: рассмотрим переменный радиус основания , переменную высоту  и составим функцию площади полной поверхности банки:
 (площадь двух крышек + площадь боковой поверхности)

Требуется найти минимум этой функции, при условии, что объём банки равен . Таким образом, функция Лагранжа получается прямо из словесной формулировки задачи!

Найдём частные производные по «эр» и по «аш»:

Составим и решим стандартную систему, при этом первое уравнение сразу сокращаем на , а второе – на «пи»:

Удобнее начать со второго уравнения:

Нулевой радиус   не удовлетворяет геометрическому смыслу задачи и поэтому для исследования остаётся 2-й множитель, из которого выражаем:
 – подставим в 1-е уравнение:

В результате получаем, что высота оптимальной банки должна быть в 2 раза больше радиуса основания:

Подставим  в уравнение связи:

Осталась маленькая проблемка – проверить достаточное условие экстремума. А то вдруг в найденной точке функция   наоборот – достигает максимального значения?

Возможно, здесь существует лаконичное геометрическое обоснование, но с ходу мне его отыскать не удалось, и поэтому частные производные второго порядка:

Составим полный дифференциал 2-го порядка:

Для нашей критической точки :

Легко убедиться, что данная квадратичная форма является знакопеременной, т.е. знак  зависит от значений  и .

Поэтому находим дифференциал от уравнения связи. В соответствии с правилом дифференцирования произведения:

, откуда выражаем  – и подставляем в полный дифференциал 2-го порядка:
, значит, функция площади   достигает минимума в точке  (при заданном объёме консервной банки).

Желающие могут пойти более академичным путём, а именно, продифференцировать по «эр» и по «аш» уравнение связи:

составить симметричную матрицу:

аккуратно подставить в неё   и вычислить определитель
, с тем же самым выводом об условном минимуме в критической точке.

Если честно, хотел вообще опустить 3-й способ ввиду его трудоёмкости, но мало ли кому понадобится.

Ответ: радиус основания оптимальной банки: , её высота:

На практике выбор того или иного пути решения определяется темой, которую вы проходите, и сложностью выбранного метода. Кстати, первый способ (см. Пример 7 статьи Экстремальные задачи) с технической точки зрения ничуть не приятнее. Также следует отметить, что существует много задач, в которых без метода множителей Лагранжа уже не обойтись, и с таким геометрическим примером мы встретимся в следующем параграфе:

Условные экстремумы функции трёх переменных

Переключаем внимание на функцию трёх переменных , задачи с которой не менее популярны. Принципиальный алгоритм решения остаётся прежним:

Пример 5

Найти условный экстремум функции  относительно уравнения связи

Решение: представим уравнение связи в виде  и составим функцию Лагранжа:

Найдём частные производные 1-го порядка:

Приравниваем частные производные к нулю и присоединяем к системе уравнение связи:

Из первых трёх уравнений выразим:
  – подставим в уравнение связи:

 – подставим в выражения для «икс», «игрек», «зет»:

Таким образом, стационарная точка:

Напоминаю, что в целях проверки будет не лишним подставить её координаты и значение  во все уравнения системы. Здесь это легко сделать устно.

Достаточное условие экстремума. С геометрией дела плохи и поэтому в нашем распоряжении остаются аналитические методы. Составим дифференциал второго порядка функции трёх переменных:

И перед нами не что иное, как квадратичная форма относительно .

Если в стационарной точке , то функция достигает в ней максимума, если  – то минимума; если же  окажется знакопеременным, то потребуются дополнительные действия.

Найдём частные производные 2-го порядка:

Надо сказать, большое везение чего я буду мучиться – даже подставлять ничего не пришлось:
, значит, функция  достигает условного минимума в точке :

Ответ: при условии :

Тренируемся:

Пример 6

Найти условный экстремум функции  относительно уравнения связи

Примерный образец чистового оформления задачи в  конце урока.

Рассмотренные два примера – это самые что ни есть «заезженные» типовики, но время от времени встречаются и более трудные задания. Первая трудность, состоит, как правило, в решении системы, а вторая – в проверке достаточного условия экстремума. Приглашаю всех ознакомиться с заключительными примерами, которые не только интересны, но и требуют, я бы сказал, творческого подхода:

Пример 7

Найти экстремумы функции  при условии

Казалось бы, ничто не предвещает сложностей, и решение начинается как обычно:

Запишем функцию Лагранжа  и найдём её частные производные 1-го порядка:

Составим стандартную систему:

Привлекательнее всего выглядит 1-е уравнение, из которого, очевидно, рациональнее выразить «лямбду»:
 – подставим во второе уравнение:

Примечание: если  и / или , то  и уравнение связи фактически перестаёт играть таковую роль, поэтому данные случаи исключаем из рассмотрения.

Теперь подставим  в третье уравнение:

подставим  в уравнение связи:

Таким образом:

На самом деле ещё не очень сложно, бывают куда более «плохие» системы.

Теперь найдём частные производные 2-го порядка:

и аккуратно, ВНИМАТЕЛЬНО составим соответствующий полный дифференциал:

Вычислим значение дифференциала в точке :

Используя критерий Сильвестра (да и просто анализируя слагаемые), легко убедиться, что данная квадратичная форма знакопеременна, т.е. знак  зависит от значений . Поэтому используем уже знакомую схему действий. Найдём дифференциал от уравнения связи, здесь он элементарен:

Теперь нужно выразить какой-нибудь дифференциал, в нашем случае выгоднее  – подставляем его в наше «знакопеременное недоразумение»:

после чего раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:

В результате получена квадратичная форма уже от двух переменных, запишем её матрицу:

и вычислим угловые миноры:

Таким образом, квадратичная форма определена отрицательно:
, а значит, функция  достигает условного максимума в точке :

Есть ли другой способ проверки достаточного условия? Есть.

Составляем симметрическую матрицу:

где,  – частные производные уравнения связи.

Далее рассчитываем угловые миноры 3-го и 4-го порядка в стационарной точке:

Если окажется, что , то функция  достигает условного минимума в стационарной точке; если   – то условного максимума.

В нашей задаче: ,

и для точки  получаем следующую матрицу:

Желающие могут провести вычисления, найти  (рациональнее именно в таком порядке) и сделать тот же самый вывод о наличии условного максимума.

Разумеется, матричный способ более громоздкий, но возможно, кому-то придётся по вкусу.

Ответ: при условии :

Интересно отметить, что в рассмотренном примере нам даже не потребовалось находить значение «лямбда».

Обещанная геометрическая задача:

Пример 8

Определите размеры прямоугольного параллелепипеда (длину, ширину, высоту) максимального объема, если известно, что сумма длин всех его рёбер равна .

Постарайтесь не только найти решение, но и добросовестно проверить достаточное условие экстремума.

До сих пор нам встречались задания с единственным уравнением связи, но, вообще говоря, условий может быть несколько: два, три и бОльшее количество. И иногда такие примеры не только существуют в «чистой теории», но и реально встречаются на практике:

Пример 9

Исследовать на экстремум функции  при условиях

Здесь функция Лагранжа принимает вид  и дальнейшие действия будут отличаться мало: находим частные производные 1-го порядка и приравниваем их к нулю, при этом к системе нужно присоединить оба уравнения связи. После нахождения стационарной точки проверяем достаточное условие экстремума, для которого «хватает» дифференциала 2-го порядка.

Решите этот пример самостоятельно – и вы очень удивитесь, как всё легко!

Задача отыскания условных экстремумов реализуема и для функций бОльшего числа переменных, причём условий может быть тоже сколько угодно. Общий алгоритм, думаю, понятен: находим частные производные по всем переменным, приравниваем их к нулю и добавляем в систему все уравнения связи. При проверке достаточного условия экстремума выгоднее использовать теорию квадратичных форм, при необходимости уменьшая количество входящих в неё переменных (отыскивая и выражая дифференциалы из уравнений связи). Однако существует и общая матричная форма достаточного условия, частные случаи которой мы тоже разобрали.

Надеюсь, вы отлично провели время! ...правда, не очень хорошо, что я научил вас спиливать водосточные трубы =) …но зато вдруг стало понятно, почему в стране разруха…. Потому что испокон веков на Руси были такие учителя!

Жду от вас свежих идей =)

Решения и ответы:

Автор: Емелин Александр

Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу)

Как можно отблагодарить автора?

© Copyright  Александр Емелин, mathprofi.ru, 2010-2025, сделано в Блокноте