![]() ![]() ![]()
| |||
Математические формулы,
Высшая математика для чайников, или с чего начать? Аналитическая геометрия:
Векторы для чайников
Элементы высшей алгебры:
Множества и действия над ними
Пределы:
Пределы. Примеры решений
Производные функций:
Как найти производную?
Функции и графики:
Графики и свойства ФНП:
Область определения функции Интегралы:
Неопределенный интеграл.
Дифференциальные уравнения:
Дифференциальные уравнения первого порядка
Числовые ряды:
Ряды для чайников
Функциональные ряды:
Степенные ряды
Кратные интегралы:
Двойные интегралы
Элементы векторного анализа:
Основы теории поля
Комплексный анализ:
ТФКП для начинающих
Теория вероятностей:
Основы теории вероятностей
Математическая статистика:
Математическая статистика
Не нашлось нужной задачи? Не получается пример?
Часто задаваемые вопросы Заметили опечатку / ошибку? |
![]()
23. Нелинейная регрессия. Виды и примеры решенийНа предыдущем уроке мы рассмотрели общую модель однофакторной регрессии, а также изучили линейный случай. Но им, разумеется, кухня не ограничивается, а посему тема получает логичное продолжение. Прямо сейчас вы узнаете, как подобрать вид регрессии, и, конечно же, отведаете основные блюда: Экспоненциальная регрессия (наиболее подробно, рекомендую всем) Все регрессии строятся по одному шаблону, и мы начинаем: Пример 74 В результате наблюдения за размножением бактерий были получены следующие результаты: Требуется: 1) построить диаграмму рассеяния и подобрать линию, которая эффективно приближает эмпирические данные; 2) методом наименьших квадратов найти уравнение регрессии 3) вычислить индекс детерминации и индекс корреляции; 4) проверить значимость полученной модели на уровне значимости 5) найти среднюю ошибку аппроксимации; 6) оценить количество бактерий к 12-му и 24-му часу. По каждому пункту сделать выводы. Решение: 1) В Примере 73 мы не только построили диаграмму рассеяния по предложенным числовым данным, но и выполнили почти все пункты задания для линейного случая: Таким образом, задача состоит в том, чтобы подобрать линию (её тип), которая удачно приблизит эмпирические точки. Возможно, не наилучшим образом, но, по крайне мере, хорошо. Выбор подходящей линии и соответствующей записи уравнения регрессии называют спецификацией модели. Этот вопрос можно решить, исходя из содержательного условия задачи, и, естественно, математически. Так, размножение бактерий, насекомых, появление новых частиц в результате физической или химической реакции обычно носит экспоненциальный характер. То есть растёт по экспоненте С другой стороны, подходящий тип линии выявляют прямым перебором основных графиков – методом наименьших квадратов строят оптимальную прямую, параболу, гиперболу, экспоненту и т. д., и анализируют, какая функция лучше приближает эмпирические точки. Качество приближения оценивают с помощью индекса детерминации
Итак, в нашей задаче наилучшим выбором действительно является экспонента 2) Методом наименьших квадратов найдём уравнение нелинейной, в данном случае экспоненциальной регрессии Коэффициенты Откуда и из каких соображений взялась эта система, можно узнать в статье Метод наименьших квадратов, ну а мы займёмся её эксплуатацией. Заполним расчётную таблицу (в нижней строке – суммы по столбцам): ! Примечание: суммы в последних двух столбцах выглядят округлёнными, но Эксель рассчитывает их более точно, поэтому в последующих вычислениях формально будут некоторые погрешности. Кроме того, довольно часто я буду пренебрегать значком Таким образом, получаем систему: Систему решим по формулам Крамера. Вычислим главный определитель:
В результате, искомая экспонента: 3) Найдём индекс детерминации и индекс корреляции. Для этого вычислим среднее значение признака-результата
Вычислим индекс корреляции: 4) Проверим статистическую значимость построенной модели. Говоря простыми словами, нужно выяснить – а можно ли доверять полученным выборочным результатам? Или же они случайны? (по той причине, что выборка малА). Ответ на этот вопрос тут очевиден, но нужно оформить формальное решение. На уровне значимости Используем статистический критерий Для уровня значимости Вычислим наблюдаемое значение критерия: Вывод: полученный результат …Да, если вам не очень понятны эти танцы с бубном, то ознакомьтесь с общей моделью регрессии и линейным случаем в частности, где я рассказал, что к чему. 5) Вычислим среднюю ошибку аппроксимации:
6) Спрогнозируем количество бактерий к 12-му и 24-му часу:
Вот такой вот он, экспоненциальный рост. Но это не беда. Domestos, миллионы микробов умрут (с). Аналогичное задание для самостоятельного решения: Пример 75 В результате исследования получены следующие данные: 1) Методом наименьших квадратов найти уравнение 2) Вычислить индекс детерминации и корреляции. 3) Проверить значимость полученной модели на уровне 4) Найти среднюю ошибку аппроксимации. По каждому пункту сделать выводы. Система – вот: Обратите внимание, что в этой задаче сразу предложен вид регрессии, и это не случайность. Гиперболическая зависимость характерна для процессов, где есть некий предел («насыщение») – когда дальнейшее увеличение (либо уменьшение) факторной переменной практически перестаёт оказывать влияние на результат (ещё раз проанализируйте числа в таблице выше). Яркий пример есть в физике – это остывание кипятка: наиболее сильно температура падает в первый час, в течение же последующих часов она уменьшается уже незначительно. И пример с ростом: мышечная масса человека будет заметно расти с увеличением физических нагрузок, но настанет такой момент, когда этот рост практически прекратится, как ни увеличивай интенсивность и продолжительность тренировок. И здесь остаётся только «химия», к которой прибегают практически все культуристы (ни в коем случае не призыв). Рассмотрим ещё одну регрессию и ещё одну классическую задачу, снова из экономики: Пример 76 По результатам 12 лет имеются следующие данные: Требуется: 1) Методом наименьших квадратов найти функцию спроса 2) Вычислить индексы детерминации и корреляции и проверить значимость построенной модели на уровне 3) Вычислить среднюю ошибку аппроксимации. + Новинка: 4) Определить коэффициент эластичности спроса. И само собой, выводы, выводы, выводы. Выводы. Но перед тем как оформлять решение, немного порассуждаем: что происходит, когда повышается цена на какой-то товар? Это зависит от того, что это за товар и ещё от некоторых факторов. Но чаще спрос (количество проданных товаров) падает, причём, падать он может разными темпами. Приступаем: 1) Составим уравнение регрессионной зависимости спроса Коэффициенты регрессии В нашем случае объём совокупности Систему решим по формулам Крамера,… а, кстати, почему всё время Крамер да Крамер? С десятичными хвостатыми дробями это наиболее удобный способ:
И коэффициент «бэ»: Таким образом, 2) Вычислим индексы детерминации и корреляции. Для этого найдём среднее значение признака-результата
Вычислим индекс корреляции: На уровне значимости Для Наблюдаемое значение критерия: Вывод: выборочное значение 3) Вычислим среднюю ошибку аппроксимации:
4) Определим коэффициент эластичности Этот коэффициент показывает, на сколько процентов изменится значение признака результата В нашей задаче Если Понятие эластичности, естественно, относится не только к спросу, а формально вообще к любому фактору и результату, и чёткое определение эластичности дано в начале этого пункта. Он (коэффициент) может и не иметь содержательного смысла – это зависит от условия той или иной задачи. Коэффициент эластичности можно рассчитать и для других видов регрессии – по специальной формуле, которую я привёл в статье Линейный коэффициент корреляции. Но там мы вычислили средний коэффициент эластичности, ибо почти во всех случаях эластичность зависит от значения «икс». И только степеннАя регрессия И гвоздь программы! – для любителей хардкора. Завершим урок параболической регрессией: Пример 77 По результатам выборочного исследования 10 хозяйств области получены следующие данные: Требуется: 1) Методом наименьших квадратов найти уравнение параболической регрессии 2) Вычислить индексы детерминации и корреляции и проверить значимость построенной модели на уровне 3) Вычислить среднюю ошибку аппроксимации. 4) С помощью уравнения регрессии найти оптимальное количество удобрений По каждому пункту сделать выводы. Все числа уже там, и краткий мануал. 1) Для нахождения коэффициентов регрессии нужно составить и решить следующую систему: Когда используется параболическая регрессия? Этот вид регрессии уместен там, где по логике задачи должен быть экстремум (минимум или максимум). Так, в Примере 77 логичен тот факт, что при увеличении количества удобрений урожайность сначала растёт, затем достигает максимальных значений и далее падает (т. к. нарастает вред). В Сети я нашёл довольно много примеров из медицины, но смутно понял только один – эквивалентный, когда при увеличении дозировки лекарства активность рецепторов сначала увеличивается, а затем уменьшается. …Эврика! – это ж алкоголь :) Закуска, так сказать, к поданным мной блюдам. За кадром сегодняшнего урока остался пример с логарифмическое регрессией Далее по курсу коэффициент корреляции Спирмена и коэффициент корреляции Фехнера, ибо не регрессией единой живА корреляционная зависимость. Решения и ответы: Пример 75. Решение: 1) Заполним расчётную таблицу: Систему решим по формулам Крамера: Искомое уравнение: По графику хорошо видно, что себестоимость единицы продукции значительно падает при увеличении объёма выпуска до 3-4 тыс. единиц. Дальнейшее увеличение объёма имеет мЕньший эффект и в районе 9-10 тысяч практически перестаёт оказывать влияние на себестоимость. 2) Вычислим среднее значение признака-результата Вычислим индекс детерминации: Вычислим индекс корреляции: 3) На уровне значимости Для уровня значимости Наблюдаемое значение критерия Вывод: выборочный индекс детерминации 4) Вычислим среднюю ошибку аппроксимации:
Пример 77. Решение: 1) Методом наименьших квадратов найдём уравнение параболической регрессии Коэффициенты регрессии найдём как решение системы: Систему решим по формулам Крамера: Все определители считаем с помощью функции =МОПРЕД() приложения MS Excel: В результате, искомое уравнение: Изобразим на чертеже эмпирические точки и линию регрессии: 2) Вычислим среднее значение урожайности Вычислим индекс корреляции: На уровне значимости Для уровня значимости Наблюдаемое значение критерия Вывод: индекс детерминации 3) Вычислим среднюю ошибку аппроксимации:
4) С помощью уравнению регрессии определим оптимальное количество удобрений Найдём производную и приравняем её к нулю: Точка с координатами Автор: Емелин Александр Высшая математика для заочников и не только >>> (Переход на главную страницу) Как можно отблагодарить автора? ![]() |
|