Математика для заочников и не только

Высшая математика – просто и доступно!

Если сайт упал, используйте ЗЕРКАЛО: mathprofi.net

Наш форум и библиотека: + подписка на новости проекта!

Высшая математика:

Математика для заочников
Математические формулы,
таблицы и справочные
материалы

Математические сайты
>>> Удобный калькулятор

Не нашлось нужной задачи?
Сборники готовых решений!

Не получается пример?
Задайте вопрос на форуме!
>>> mathprofi.com   

Учимся решать:

Лекции-уроки по высшей математике для первого курса

Высшая математика для чайников, или с чего начать?

Аналитическая геометрия:

Векторы для чайников
Скалярное произведение
векторов

Линейная (не) зависимость
векторов. Базис векторов

Переход к новому базису
Векторное и смешанное
произведение векторов

Формулы деления отрезка
в данном отношении

Прямая на плоскости
Простейшие задачи
с прямой на плоскости

Линейные неравенства
Как научиться решать задачи
по аналитической геометрии?

Линии второго порядка. Эллипс
Гипербола и парабола
Задачи с линиями 2-го порядка
Как привести уравнение л. 2 п.
к каноническому виду?

Полярные координаты
Как построить линию
в полярной системе координат?

Уравнение плоскости
Прямая в пространстве
Задачи с прямой в пространстве
Основные задачи
на прямую и плоскость

Треугольная пирамида

Элементы высшей алгебры:

Множества и действия над ними
Основы математической логики
Формулы и законы логики
Уравнения высшей математики
Комплексные числа
Выражения, уравнения и с-мы
с комплексными числами

Действия с матрицами
Как вычислить определитель?
Свойства определителя
и понижение его порядка

Как найти обратную матрицу?
Свойства матричных операций.
Матричные выражения

Матричные уравнения
Как решить систему линейных уравнений?
Правило Крамера. Матричный метод решения системы
Метод Гаусса для чайников
Несовместные системы
и системы с общим решением

Как найти ранг матрицы?
Однородные системы
линейных уравнений

Метод Гаусса-Жордана
Решение системы уравнений
в различных базисах

Линейные преобразования
Собственные значения
и собственные векторы

Пределы:

Пределы. Примеры решений
Замечательные пределы
Методы решения пределов
Бесконечно малые функции.
Эквивалентности

Правила Лопиталя
Сложные пределы
Пределы последовательностей
Пределы по Коши. Теория

Производные функций:

Как найти производную?
Производная сложной функции. Примеры решений
Логарифмическая производная
Производные неявной, параметрической функций
Простейшие задачи
с производной

Производные высших порядков
Что такое производная?
Производная по определению
Как найти уравнение нормали?
Приближенные вычисления
с помощью дифференциала

Метод касательных

Функции и графики:

Графики и свойства
элементарных функций

Как построить график функции
с помощью преобразований?

Непрерывность, точки разрыва
Область определения функции
Асимптоты графика функции
Интервалы знакопостоянства
Возрастание, убывание
и экстремумы функции

Выпуклость, вогнутость
и точки перегиба графика

Полное исследование функции
и построение графика

Наибольшее и наименьшее
значения функции на отрезке

Экстремальные задачи

ФНП:

Область определения функции
двух переменных. Линии уровня

Основные поверхности
Предел функции 2 переменных
Повторные пределы
Непрерывность функции 2п
Частные производные
Частные производные
функции трёх переменных

Производные сложных функций
нескольких переменных

Как проверить, удовлетворяет
ли функция уравнению?

Частные производные
неявно заданной функции

Производная по направлению
и градиент функции

Касательная плоскость и
нормаль к поверхности в точке

Экстремумы функций
двух и трёх переменных

Условные экстремумы
Наибольшее и наименьшее
значения функции в области

Метод наименьших квадратов

Интегралы:

Неопределенный интеграл.
Примеры решений

Метод замены переменной
в неопределенном интеграле

Интегрирование по частям
Интегралы от тригонометрических функций
Интегрирование дробей
Интегралы от дробно-рациональных функций
Интегрирование иррациональных функций
Сложные интегралы
Определенный интеграл
Как вычислить площадь
с помощью определенного интеграла?

Что такое интеграл?
Теория для чайников

Объем тела вращения
Несобственные интегралы
Эффективные методы решения
определенных и несобственных
интегралов

S в полярных координатах
S и V, если линия задана
в параметрическом виде

Длина дуги кривой
S поверхности вращения
Приближенные вычисления
определенных интегралов


Метод прямоугольников

  Карта сайта

Лекции-уроки по высшей математике для второго курса

Дифференциальные уравнения:

Дифференциальные уравнения первого порядка
Однородные ДУ 1-го порядка
ДУ, сводящиеся к однородным
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
Уравнение Бернулли
Дифференциальные уравнения
с понижением порядка

Однородные ДУ 2-го порядка
Неоднородные ДУ 2-го порядка
Линейные дифференциальные
уравнения высших порядков

Метод вариации
произвольных постоянных

Как решить систему
дифференциальных уравнений

Задачи с диффурами
Методы Эйлера и Рунге-Кутты

Числовые ряды:

Ряды для чайников
Как найти сумму ряда?
Признак Даламбера.
Признаки Коши

Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница
Ряды повышенной сложности

Функциональные ряды:

Степенные ряды
Разложение функций
в степенные ряды

Сумма степенного ряда
Равномерная сходимость
Другие функциональные ряды
Приближенные вычисления
с помощью рядов

Вычисление интеграла разложением функции в ряд
Как найти частное решение ДУ
приближённо с помощью ряда?

Вычисление пределов
Ряды Фурье. Примеры решений

Кратные интегралы:

Двойные интегралы
Как вычислить двойной
интеграл? Примеры решений

Двойные интегралы
в полярных координатах

Как найти центр тяжести
плоской фигуры?

Тройные интегралы
Как вычислить произвольный
тройной интеграл?


Криволинейные интегралы
Интеграл по замкнутому контуру
Формула Грина. Работа силы

Поверхностные интегралы

Элементы векторного анализа:

Основы теории поля
Поток векторного поля
Дивергенция векторного поля
Формула Гаусса-Остроградского

Циркуляция векторного поля
и формула Стокса

Комплексный анализ:

Примеры решений типовых
задач комплексного анализа

Как найти функцию
комплексной переменной?

Решение ДУ методом
операционного исчисления

Как решить систему ДУ
операционным методом?

Теория вероятностей:

Основы теории вероятностей
Задачи по комбинаторике
Задачи на классическое
определение вероятности

Геометрическая вероятность
Задачи на теоремы сложения
и умножения вероятностей

Зависимые события
Формула полной вероятности
и формулы Байеса

Независимые испытания
и формула Бернулли

Локальная и интегральная
теоремы Лапласа

Статистическая вероятность
Случайные величины

Отблагодарить автора >>>

Если Вы заметили опечатку, пожалуйста, сообщите мне об этом

Заказать контрольную
Часто задаваемые вопросы
Гостевая книга

Кнопка для сайта: Высшая математика – просто и доступно!

Когда нет времени:

Авторские работы на заказ

По школьным предметам.
Подготовка к ЕГЭ

По высшей математике
и физике

Помогут разобраться в теме,
подготовиться к экзамену



  Карта сайта



Поток векторного поля.
Поток через замкнутую поверхность


На втором уроке по основам векторного анализа мы узнаем, что такое поток векторного поля и научимся его находить. Впрочем, некоторые читатели уже знают и умеют ;-)

Начнём с привычного вопроса – а с чем у вас ассоциируется само слово «поток»? …Поток воздуха, поток жидкости…, собственно, он них в частности и пойдёт речь. Откройте окно и вытяните руку в небо. Это будет направление оси . Другие же оси декартовой системы  пусть находятся где-то тут, в комнате.

Теперь открытое окно мысленно «перекроем» непрерывной -поверхностью. Проще всего выбрать прямоугольный фрагмент плоскости:
Поток векторного поля скоростей воздуха через открытое окно

Имеет ли значение сторона поверхности? Конечно. По одну сторону улица, по другую – комната =) Поэтому мы будем рассматривать ориентированную поверхность  с двумя сторонами, которые принято определять с помощью…, ну вы догадываетесь:)

Сторону, нормальные векторы которой образует с полуосью  острые углы, будем называть положительной стороной и обозначать через , и соответственно, противоположную называть отрицательной и обозначать через .

Примечание: очень хочется сказать «внешняя» и «внутренняя» сторона, но это приведёт к смысловому противоречию – ведь ось  можно развернуть и наоборот. Более того, на её место можно поставить другую координатную ось и определить стороны  из аналогичных соображений.

Для определённости выберем уличную (положительную сторону), и поскольку наша поверхность плоская, то у ВСЕХ её точек будет один и тот же вектор нормали . Этот вектор свободен, и его можно начертить где угодно.

Что характерно? В окно дует ветер. Или из окна (мало ли, сквозняк). Рассмотрим поле скоростей воздуха и каждой точке поверхности  поставим в соответствие исходящий из неё несвободный вектор , который указывает направление и скорость движения воздуха в данной точке. Чем сильнее ветер, тем длиннее вектор. Один из них я изобразил на чертеже.

Всё очень просто: поток (обозначается буквой ) – это количество воздуха, прошедшее через ориентированную поверхность  в единицу времени (предполагается, что поле скоростей измениться не успело). Причём:

– если , то воздух движется (полностью или преимущественно) по направлению векторов нормали выбранной «уличной» стороны   («уходит» из комнаты)

– если , то воздух движется (полностью или преимущественно) против вектора  (поступает в комнату).

Чем больше поток по модулю, тем больше воздуха прошло через поверхность (в определённую единицу времени), и тем, понятно, сильнее дует ветер.

– и, наконец, значению  соответствуют практически невероятные ситуации:

1) абсолютный штиль (ветер не дует вообще);
2) ветер дует строго в самой плоскости «сигма» (все векторы «эф» лежат в ней);
3) равновесие – сколько воздуха «пришло» через поверхность, столько и «ушло».

Что изменится, если рассмотреть «комнатную» сторону  поверхности? Поскольку её нормальный вектор направлен в противоположную сторону, то изменится знак потока:

– он станет отрицательным, когда воздух «уходит» на улицу, и положительным, когда ветер дует в окно. Образно говоря, здесь мы будем смотреть на ту же самую ситуацию, только с другой стороны.

Вообще, чтобы учащиеся лучше прочувствовали эти тонны потока, во многих источниках информации приводится аналогичный пример с жидкостью. Но уж «Титаник» мы устраивать не будем, это грустный фильм – лучше откройте водопроводный кран, задайте координатную ось и проанализируйте поток воды через сечение водопроводной трубы. Хорошего вам напора!

Но кроме шуток, классический пример с жидкостью не случаен – по той причине, что понятие потока пришло именно из гидродинамики, после чего распространилось на произвольное векторное поле, где зачастую «дуть» или «течь» в прямом смысле нечему.

Теперь абстрагируемся от конкретных примеров и перейдём к общим формулировкам:

Поток векторного поля  через ориентированную поверхность  в единицу времени численно равен поверхностному интегралу 2-го рода по этой поверхности:

Если объяснять просто, то из каждой точки поверхности  торчит вектор  поля, и, согласно общему принципу интегрирования, данный интеграл объединяет бесконечно малые проекции всех этих векторов на координатные плоскости, что и является мерилом суммарного потока.

И во 2-й части урока Поверхностные интегралы (Примеры №№5-8), мы только и занимались тем, что находили поток векторного поля. А если не занимались, то таки придётся, ибо без техники решения никуда. Дальнейшее изложение материала предполагает, что вы умеете решать поверхностные интегралы.

Так, например, вспомним Пример 5:

«Вычислить интеграл , где  – верхняя сторона плоскости , расположенная в 1 октанте»

Скопирую оттуда чертёж:

Условие этой задачи можно сформулировать эквивалентно:

«Найти поток векторного поля  через часть плоскости , ограниченную координатными плоскостями, в направлении вектора нормали, образующего с положительной полуосью острый угол»:

В том примере мы получили ответ  – это и есть поток векторного поля через верхнюю сторону треугольника.

Что означает этот результат в гидродинамическом смысле? Он означает, что за единицу времени в направлении вектора  протекло 5 единиц жидкости. Если бы результат получился отрицательным, то это бы означало, что «утечка» произошла в противоположном направлении.

Если вычислить поверхностный интеграл по нижней стороне треугольника, то поток сменит знак:
 

Здесь мы «посмотрели на ситуацию» с другой стороны – по направлению противоположно направленного нормального вектора . Само же векторное поле (направление и скорость течения воды) нисколько не изменилось.

Я снова воздержусь от секунд, килограммов и прочих физических величин, чтобы сосредоточиться на математической стороне вопроса. Скажу только, что поверхностные интегралы нашли широкое применение в различных разделах физики, и на самом деле – это отдельная большая тема для разговора.

Как найти поток векторного поля?

Начинающим, да и всем остальным рекомендую по возможности сводить решение к вычислению поверхностного интеграла 1-го рода:


Просто чтобы не запутаться.

В основе этого перехода лежит известная формула скалярного произведения , и тут будет полезно проанализировать её содержательный смысл. Пусть  – это единичный вектор нормали «комнатой» стороны нашего «сигма-окна» и пусть в рассматриваемых ниже ситуациях дует ветер некоторой постоянной скорости.

Теперь ответим на вопрос: когда поток будут максимальным? Математически максимум достигается при , то есть когда углы между «полевыми» и нормальным вектором равны нулю. Что это значит?  Это значит, что ветер дует «прямо в окно» – строго по направлению нормалей. Логично, что именно в этом случае в комнату и попадёт максимальное количество воздуха.

Если «угол задува» увеличивать от 0 до 90 градусов, то косинус (а значит, и поток) будет уменьшаться до нуля. Тоже логично. В частности, если ветер (такой же силы!) дует в окно под углом в 60 градусов, то поток воздуха по абсолютной величине будет уже в два раза меньше .Случаю  соответствует «невероятная ситуация», когда воздух перемещается в «плоскости окна». И, наконец, отрицательным значениям косинуса (углы от 90 до 180 градусов) соответствуют случаи, когда ветер дует против вектора нормали (т.е. из окна).

Ещё раз призываю научиться решать поверхностные интегралы тех, кто не успел этого сделать, поскольку сейчас мы фактически продолжаем тему:


Поток векторного поля через замкнутую поверхность

Наверное, все интуитивно понимают, что это за поверхность. К простейшим замкнутым поверхностям можно отнести сферу и треугольную пирамиду.

Вычисление потока через замкнутую поверхность имеет свои особенности, с которыми мы познакомимся в ходе решения следующего каноничного примера:

Пример 1

Найти поток векторного поля  через замкнутую поверхность, ограниченную плоскостью  и координатными плоскостями, в направлении внешней нормали

Решение, как повелось, начинаем с чертежа. Перепишем уравнение плоскости в отрезках  и изобразим предложенную поверхность, которая представляет собой треугольную пирамиду:
Поток векторного поля через замкнутую поверхность пирамиды

По условию, поверхность ориентирована в направлении внешней нормали, и поэтому к обозначению пирамиды я добавлю условную стрелочку: .

Поток векторного поля вычислим с помощью того же поверхностного интеграла 2-го рода, и так как поверхность замкнута, то к его обозначению обычно добавляют символический кружочек:

Если совсем тяжко, используйте привычную «сигму»:
, подразумевая под чёрточкой внешнее направление. Заметьте также, что здесь крайне нежелательно ставить «плюсик»:  – по той причине, что три грани пирамиды «смотрят» против координатных осей!

Несмотря на «страшный вид», смысл задачи опять же прост: представьте, что пирамида ограничивает фрагмент нЕкоего водного русла. Требуется выяснить, сколько жидкости туда поступило/вытекло в единицу времени.

И, очевидно, что здесь придётся воспользоваться свойством аддитивности поверхностного интеграла, а конкретнее, представить его в виде суммы четырёх поверхностных интегралов по ориентированным граням пирамиды:

, где:

Здесь можно тоже использовать короткие обозначения , но чтобы всё было понятнее, я предпочёл пусть громоздкие, но зато «говорящие» названия поверхностей.

…что-то не вижу энтузиазма в ваших глазах:)) …и напрасно – с каждым экраном будет всё интереснее и интереснее ;)

1) Вычислим поток векторного поля через ориентированный треугольник  в направлении нормального вектора . По сути дела, это Пример 5 урока Поверхностные интегралы.

Поскольку внешняя нормаль образует с полуосью  острый угол, то для нахождения единичного нормального вектора используем формулу:

Запишем функцию плоскости :

и найдём частные производные 1-го порядка:

Таким образом:

Убедимся, что его длина действительно равна единице:
, ч.т.п. На чертеже он выглядит коротеньким, но что поделать – такой уж наклон плоскости.

Вычислим скалярное произведение:

и сведём решение к вычислению поверхностного интеграла 1-го рода:

Теперь используем  формулу , где  – проекция поверхности «сигма» на плоскость . Напоминаю, что интеграл 1-го рода можно вычислить ещё двумя способами, но во избежание путаницы (опять же) лучше пойти привычным путём:

Осталось разрулить двойной интеграл. Найдём прямую, по которой по пересекаются плоскости  и :

и изобразим проекцию  на двумерном чертеже (не ленимся!!!):
Чтобы не запутаться, обязательно выполняем чертежи проекций
Очевидно, что с порядком обхода я уже определился чуть ранее:

Продолжаем:

Повторные интегралы удобнее вычислить по порядку. Сначала внутренний:

затем внешний:

Готово. Обратите внимание на рациональную технику вычисления и оформления.

Для лучшего понимания задачи продолжим вкладывать в решение гидродинамический смысл. Что означает полученный результат ? Он означает, что за единицу времени через треугольник  в направлении вектора  прошло 26 единиц жидкости. Кстати, это не значит, что она движется ИСКЛЮЧИТЕЛЬНО в данном направлении. Вполне возможно, что здесь «водоворот»: попробуйте поподставлять в функцию  различные точки треугольника , и если окажется, что векторы поля торчат из него в разные стороны, то дело обстоит именно так.

Оставшиеся три интеграла, благо, проще:

2) Найдём поток векторного поля через ориентированный треугольник . Единичный вектор нормали тут очевиден:  или . Вычислим скалярное произведение:

и перейдём к поверхностному интегралу 1-го рода

Так как поверхность лежит непосредственно в плоскости , то формула
 сильно упрощается – ведь «зет» и её производные равны нулю. Двойной интеграл возьмём по тем же пределам интегрирования:

Отрицательное значение  означает, что за единицу времени через треугольник  по итогу прошло 9 единиц жидкости против вектора  (то есть, поступило внутрь пирамиды). Любопытные читатели могут снова поподставлять точки треугольника в функцию  и проанализировать характер течения.

3) Вычислим поток векторного поля через ориентированный треугольник . Внешняя нормаль здесь тоже как на ладони:  или . Скалярное произведение:

и стандартный переход:

Поскольку треугольник  лежит в плоскости , то используем формулу , в которой поверхность  совпадает со своей проекцией  на плоскость , а функция  вместе со своими производными равна нулю:

Найдём прямую, по которой пересекаются плоскости:

и выполним двумерный чертёж:
Проекция пирамида на плоскость XOZ
По размерам треугольник равен предыдущему, но это только размеры. Выберем следующий порядок обхода области:

и перейдём к повторным интегралам:

Внутренний:

и внешний:

Результат  означает, что за единицу времени через плоскость  протекла 1 единица жидкости в направлении вектора  (убыла из пирамиды). Может быть, здесь очень слабое течение, но не исключено, что и бурный водоворот. Исследуете вопрос методом научного тыка!

4) И, наконец, поток векторного поля через грань  по внешнему направлению . Скалярное произведение:

 

и ещё раз переход:

Поскольку треугольник находится в плоскости , то пускаем в ход формулу , где функция  и её производные равны нулю:

Найдём линию пересечения плоскостей и выполним двумерный чертёж:

Проекция пирамида на плоскость YOZ
Выберем следующий порядок обхода области:

Отрицательное значение  означает, что за единицу времени через треугольник  по итогу протекло 18 единиц жидкости против направления вектора  (т.е. внутрь пирамиды).

Ну что же, вот и настал этот знаменательный момент. Вычислим поток векторного поля через всю пирамиду по направлению внешних нормалей:

Ответ:

Что это значит? Это значит, что в единицу времени – сколько поступило жидкости внутрь пирамиды – столько и вытекло.

Да, решение длинное, да решение непростое, но задачи на вычисление потока векторного поля встречаются даже у студентов-заочников, причём, довольно часто. И поэтому обязательно потренируйтесь на небольшой призмочке:

Пример 2

Вычислить поток векторного поля  через замкнутую поверхность  в направлении внешней нормали

Будьте ОЧЕНЬ внимательны!

В ходе решения заметьте, что плоскости  параллельны оси , а точнее проходят через неё, и поэтому проецирование на плоскость  не годится; плоскость же  параллельна плоскости  и здесь вообще один вариант.

Кроме того, нормальные векторы плоскостей  ортогональны к оси , и до сих пор нам не встречалась эта ситуация. Как их найти? Здесь можно обойтись стандартными формулами (см. по ссылке выше), после чего проверить, куда они «смотрят» (графически или вычислив скалярное произведение с вектором  либо).

Но что делать, если дана произвольная поверхность? И вообще – нужно ли исследовать всю поверхность? Перейдём ко 2-й части статьи, где нас ждёт множество удивительных открытий:

Дивергенция векторного поля >>>

! Перейдите к ней ПРЯМО СЕЙЧАС и прочитайте по «горячим мыслям» хотя бы начало!

Автор: Емелин Александр


Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу)

Как можно отблагодарить автора?

Качественные работы без плагиата – Zaochnik.com


© Copyright mathprofi.ru, Александр Емелин, 2010-2017. Копирование материалов сайта запрещено