Математика для заочников и не только

Высшая математика – просто и доступно!

Если сайт упал, используйте ЗЕРКАЛО: mathprofi.net

Наш форум, библиотека и блог mathprofi>>>

Высшая математика:

Математика для заочников
Математические формулы,
таблицы и справочные
материалы

Математические сайты
>>> Удобный калькулятор

Не нашлось нужной задачи?
Сборники готовых решений!

Не получается пример?
Задайте вопрос на форуме!
>>> mathprofi.com   

Учимся решать:

Лекции-уроки по высшей математике для первого курса

Высшая математика для чайников, или с чего начать?

Аналитическая геометрия:

Векторы для чайников
Скалярное произведение
векторов

Линейная (не) зависимость
векторов. Базис векторов

Переход к новому базису
Векторное и смешанное
произведение векторов

Формулы деления отрезка
в данном отношении

Прямая на плоскости
Простейшие задачи
с прямой на плоскости

Линейные неравенства
Как научиться решать задачи
по аналитической геометрии?

Линии второго порядка. Эллипс
Гипербола и парабола
Задачи с линиями 2-го порядка
Как привести уравнение л. 2 п.
к каноническому виду?

Полярные координаты
Как построить линию
в полярной системе координат?

Уравнение плоскости
Прямая в пространстве
Задачи с прямой в пространстве
Основные задачи
на прямую и плоскость

Треугольная пирамида

Элементы высшей алгебры:

Множества и действия над ними
Основы математической логики
Формулы и законы логики
Уравнения высшей математики
Комплексные числа
Выражения, уравнения и с-мы
с комплексными числами

Действия с матрицами
Как вычислить определитель?
Свойства определителя
и понижение его порядка

Как найти обратную матрицу?
Свойства матричных операций.
Матричные выражения

Матричные уравнения
Как решить систему линейных уравнений?
Правило Крамера. Матричный метод решения системы
Метод Гаусса для чайников
Несовместные системы
и системы с общим решением

Как найти ранг матрицы?
Однородные системы
линейных уравнений

Метод Гаусса-Жордана
Решение системы уравнений
в различных базисах

Линейные преобразования
Собственные значения
и собственные векторы

Квадратичные формы
Как привести квадратичную
форму к каноническому виду?

Ортогональное преобразование
квадратичной формы

Пределы:

Пределы. Примеры решений
Замечательные пределы
Методы решения пределов
Бесконечно малые функции.
Эквивалентности

Правила Лопиталя
Сложные пределы
Пределы последовательностей
Пределы по Коши. Теория

Производные функций:

Как найти производную?
Производная сложной функции. Примеры решений
Логарифмическая производная
Производные неявной, параметрической функций
Простейшие задачи
с производной

Производные высших порядков
Что такое производная?
Производная по определению
Как найти уравнение нормали?
Приближенные вычисления
с помощью дифференциала

Метод касательных

Функции и графики:

Графики и свойства
элементарных функций

Как построить график функции
с помощью преобразований?

Непрерывность, точки разрыва
Область определения функции
Асимптоты графика функции
Интервалы знакопостоянства
Возрастание, убывание
и экстремумы функции

Выпуклость, вогнутость
и точки перегиба графика

Полное исследование функции
и построение графика

Наибольшее и наименьшее
значения функции на отрезке

Экстремальные задачи

ФНП:

Область определения функции
двух переменных. Линии уровня

Основные поверхности
Предел функции 2 переменных
Повторные пределы
Непрерывность функции 2п
Частные производные
Частные производные
функции трёх переменных

Производные сложных функций
нескольких переменных

Как проверить, удовлетворяет
ли функция уравнению?

Частные производные
неявно заданной функции

Производная по направлению
и градиент функции

Касательная плоскость и
нормаль к поверхности в точке

Экстремумы функций
двух и трёх переменных

Условные экстремумы
Наибольшее и наименьшее
значения функции в области

Метод наименьших квадратов

Интегралы:

Неопределенный интеграл.
Примеры решений

Метод замены переменной
в неопределенном интеграле

Интегрирование по частям
Интегралы от тригонометрических функций
Интегрирование дробей
Интегралы от дробно-рациональных функций
Интегрирование иррациональных функций
Сложные интегралы
Определенный интеграл
Как вычислить площадь
с помощью определенного интеграла?

Что такое интеграл?
Теория для чайников

Объем тела вращения
Несобственные интегралы
Эффективные методы решения
определенных и несобственных
интегралов

S в полярных координатах
S и V, если линия задана
в параметрическом виде

Длина дуги кривой
S поверхности вращения
Приближенные вычисления
определенных интегралов


Метод прямоугольников

  Карта сайта

Лекции-уроки по высшей математике для второго курса

Дифференциальные уравнения:

Дифференциальные уравнения первого порядка
Однородные ДУ 1-го порядка
ДУ, сводящиеся к однородным
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
Уравнение Бернулли
Дифференциальные уравнения
с понижением порядка

Однородные ДУ 2-го порядка
Неоднородные ДУ 2-го порядка
Линейные дифференциальные
уравнения высших порядков

Метод вариации
произвольных постоянных

Как решить систему
дифференциальных уравнений

Задачи с диффурами
Методы Эйлера и Рунге-Кутты

Числовые ряды:

Ряды для чайников
Как найти сумму ряда?
Признак Даламбера.
Признаки Коши

Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница
Ряды повышенной сложности

Функциональные ряды:

Степенные ряды
Разложение функций
в степенные ряды

Сумма степенного ряда
Равномерная сходимость
Другие функциональные ряды
Приближенные вычисления
с помощью рядов

Вычисление интеграла разложением функции в ряд
Как найти частное решение ДУ
приближённо с помощью ряда?

Вычисление пределов
Ряды Фурье. Примеры решений

Кратные интегралы:

Двойные интегралы
Как вычислить двойной
интеграл? Примеры решений

Двойные интегралы
в полярных координатах

Как найти центр тяжести
плоской фигуры?

Тройные интегралы
Как вычислить произвольный
тройной интеграл?


Криволинейные интегралы
Интеграл по замкнутому контуру
Формула Грина. Работа силы

Поверхностные интегралы

Элементы векторного анализа:

Основы теории поля
Поток векторного поля
Дивергенция векторного поля
Формула Гаусса-Остроградского

Циркуляция векторного поля
и формула Стокса

Комплексный анализ:

Примеры решений типовых
задач комплексного анализа

Как найти функцию
комплексной переменной?

Решение ДУ методом
операционного исчисления

Как решить систему ДУ
операционным методом?

Теория вероятностей:

Основы теории вероятностей
Задачи по комбинаторике
Задачи на классическое
определение вероятности

Геометрическая вероятность
Задачи на теоремы сложения
и умножения вероятностей

Зависимые события
Формула полной вероятности
и формулы Байеса

Независимые испытания
и формула Бернулли

Локальная и интегральная
теоремы Лапласа

Статистическая вероятность
Случайные величины.
Математическое ожидание

Дисперсия дискретной
случайной величины

Функция распределения
Геометрическое распределение
Биномиальное распределение
Распределение Пуассона
Гипергеометрическое
распределение вероятностей

Непрерывная случайная
величина, функции F(x) и f(x)

Как вычислить математическое
ожидание и дисперсию НСВ?

Равномерное распределение
Показательное распределение
Нормальное распределение

Отблагодарить автора >>>

Если Вы заметили опечатку, пожалуйста, сообщите мне об этом

Заказать контрольную
Часто задаваемые вопросы
Гостевая книга

Поставьте нашу кнопку:

Высшая математика – просто и доступно!

Когда нет времени:

Авторские работы на заказ

По школьным предметам.
Подготовка к ЕГЭ

По высшей математике
и физике

Помогут разобраться в теме,
подготовиться к экзамену



  Карта сайта


Показательное распределение вероятностей


Продолжаем изучать особые виды распределений непрерывной случайной величины. Показательным или экспоненциальным называют распределение, которое характеризуется следующей функцией плотности:
, где

Убедимся в том, что перед нами не «подделка». Поскольку  и несобственный интеграл:
, то функция  действительно задаёт закон распределения НСВ.

Большим достоинством показательного распределения является тот факт, что оно определяется всего лишь одним параметром. Всего лишь одним, Карл! …нет, лучше, конечно, вообще отсутствие параметров, но дальше их количество будет только возрастать =)

Как-то так получилось, что во всех примерах статьи о равномерном распределении мы начинали с функции , и поэтому для разнообразия зайдём в лес с другой стороны:

Задача

Непрерывная случайная величина  задана своей функцией распределения:

Требуется:

1) определить коэффициент ;
2) найти плотность распределения вероятностей ;
3) схематично построить графики функций  и ;
4) вычислить математическое ожидание и дисперсию ;
5) определить вероятность того, что  примет значение из интервала .

Одним словом, обычная задача на НСВ бессмысленная и беспощадная.

Решаем:

1) В силу непрерывности функции распределения:
 – при этом и только при этом значении предложенная функция задаёт закон распределения  непрерывной случайной величины:

Пока, кстати, мы не знаем, что это за закон, ведь вверху я привёл другое определение.

2) Найдём функцию плотности распределения:

надеюсь, все в ладах с производной сложной функции: .

Ну вот, теперь избушка повернулась к нам передом, а к лесу задом. Поскольку данная функция имеет вид , то случайная величина  распределена показательно. Даже образцово-показательно, т.к. значение  наиболее приятно.

3) Условие допускает схематическое построение графиков, но зачем занижать планку? Даже при их ручном построении не составляет никакого труда найти пару дополнительных точек и проявить маломальскую аккуратность.

Вычислим пару значений  и простенький предел . Таким образом, прямая  является горизонтальной асимптотой для графика  при :

Показательное распределение нашло широкое применение в прикладных задачах, и пока чертёж «не уехал вверх» я приведу конкретный пример. Пусть переменная «икс» обозначает время и в момент времени  начинает эксплуатироваться некий прибор, например, обычная лампочка. Случайная величина  – время  работы лампочки до перегорания. Тогда функция  описывает вероятность того, что лампочка проработает МЕНЬШЕ, чем прошедшее время . И по понятным причинам при увеличении  эта вероятность стремится к единице, что хорошо иллюстрирует вышеприведённый график.

Кстати, о чём идёт речь в 5-м пункте условия? В контексте рассматриваемого примера, нам нужно найти  – вероятность того, что лампочка проработает более 2 тыс. часов (значения, естественно, условные). Давайте сразу и вычислим эту вероятность:

Ситуацию наглядно иллюстрирует чертёж ПЛОТНОСТИ распределения вероятностей:

Площадь между графиком  и осью абсцисс равна единице (проверено в начале статьи), и значительная часть этой площади (а именно, ) сосредоточена на промежутке от 0 до 2.

Применительно к «электрическому» примеру, определённый интеграл равен вероятности того, что лампочка проработает от 0 до тыс. часов. В частности, как раз:
.

И, наверное, все поняли, что несобственный интеграл – есть вероятность того, что лампочка проработает более  тыс. часов, и Пункт 5 можно решить вторым способом:

4) Вычислим математическое ожидание и дисперсию.

Здесь есть короткий путь, и есть универсальный. Начнём с общей формулы математического ожидания, которая приводит нас к следующему несобственному интегралу:

Сначала удобно найти неопределенный интеграл:

Вспоминаем интегрирование по частям:

, произвольную константу приплюсовывать не надо, т.к. она всё равно сократится:

Дробь  по той причине, что знаменатель более высокого порядка роста, чем числитель.

…вот видите, как нам пригодился математический анализ, а вы всё говорили «зачем это нужно, зачем это нужно» =)

Дисперсию вычислим по формуле:

И из избушки на курьих ножках появляется следующий интеграл:

Как и в случае с матожиданием, сначала проясним первообразную:

По канонам жанра тут нужно дважды интегрировать по частям, но решение облегчается тем, что после 1-го применения формулы  мы сталкиваемся с только что решённым интегралом:

Таким образом, несобственный интеграл:

Здесь  по той же самой причине – порядок роста.

И, наконец, дисперсия:

«Наконец», потому что Пункт 5) уже разобран вместе с его ламповым смыслом =)

Пункты решения можно переставлять, т.к. они бывают расположены неудобно, а иногда и совершенно несуразно.

Готово.

Показательное распределение нашло широкое применение в теории надёжности, и этой теме даже посвящены отдельные главы учебного пособия В.Е. Гмурмана. Помимо лампочек и более грустных примеров существуют и другие приложения. Так, например, в простейшем потоке событий, время ожидания каждого последующего события распределено по экспоненциальному закону. Проанализируйте работу диспетчера такси самостоятельно.

И для самостоятельного решения я предлагаю вам не только интересное, но ещё и крайне полезное Задание:

1) Дать определение показательного распределения вторым способом, с помощью функции распределения.

В начале статьи я привёл формулировку через плотность , и теперь ваша очередь – найдите функцию  и запишите грамотный ответ на поставленный вопрос.

2) Вывести формулы математического ожидания и дисперсии.

Фактически тут нужно решить задачу в общем виде.

3) Записать закон распределения для  и вычислить  и .

Полученными формулами можно пользоваться и на практике, но с оглядкой. Будьте готовы к тому, что вас попросят привести подробные выкладки.

Дополнительных примеров с показательным распределением совсем немного. Впрочем, мы только что охватили все возможные случаи =) Вот она, мощь одного параметра.

В сводном справочнике по теории вероятностей, который находится в разработке, я, конечно, приведу все частные формулы, но очень важно, чтобы вы умели получать их самостоятельно, исходя из общих определений. Это один из основополагающих принципов изучения математики, который красной нитью проходит через все её разделы.

Ну а сейчас пришло время зажечь новые огни  и перейти к кульминационной статье под названием Нормальное распределение вероятностей.

Интересного чтения!

Решение задания:

1) Составим функцию :
– На интервале  и .
– На промежутке , следовательно:

Показательным называют распределение, которое характеризуется функцией:
, где

2) Вычислим математическое ожидание:
 

Сначала найдём неопределённый интеграл:

Интегрируем по частям:

Таким образом:

Дисперсию вычислим по формуле:

В данном случае:

Сначала найдём неопределенный интеграл:

Интегрируем по частям:

чтобы воспользоваться уже известным интегралом, умножим и разделим на «лямбда»:

Несобственный интеграл:

Таким образом, дисперсия:

3) Запишем показательный закон для :

Вычислим математическое ожидание и дисперсию:

Автор: Емелин Александр


 Блог Емелина Александра

Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу)

Как можно отблагодарить автора?

Качественные работы без плагиата – Zaochnik.com


© Copyright mathprofi.ru, Александр Емелин, 2010-2017. Копирование материалов сайта запрещено