Математика для заочников и не только

Высшая математика – просто и доступно!

Если сайт упал, используйте ЗЕРКАЛО: mathprofi.net

Наш форум и библиотека: + подписка на новости проекта!

Высшая математика:

Математика для заочников
Математические формулы,
таблицы и справочные
материалы

Математические сайты
>>> Удобный калькулятор

Не нашлось нужной задачи?
Сборники готовых решений!

Не получается пример?
Задайте вопрос на форуме!
>>> mathprofi.com   

Учимся решать:

Лекции-уроки по высшей математике для первого курса

Высшая математика для чайников, или с чего начать?

Аналитическая геометрия:

Векторы для чайников
Скалярное произведение
векторов

Линейная (не) зависимость
векторов. Базис векторов

Переход к новому базису
Векторное и смешанное
произведение векторов

Формулы деления отрезка
в данном отношении

Прямая на плоскости
Простейшие задачи
с прямой на плоскости

Линейные неравенства
Как научиться решать задачи
по аналитической геометрии?

Линии второго порядка. Эллипс
Гипербола и парабола
Задачи с линиями 2-го порядка
Как привести уравнение л. 2 п.
к каноническому виду?

Полярные координаты
Как построить линию
в полярной системе координат?

Уравнение плоскости
Прямая в пространстве
Задачи с прямой в пространстве
Основные задачи
на прямую и плоскость

Треугольная пирамида

Элементы высшей алгебры:

Множества и действия над ними
Основы математической логики
Формулы и законы логики
Уравнения высшей математики
Комплексные числа
Выражения, уравнения и с-мы
с комплексными числами

Действия с матрицами
Как вычислить определитель?
Свойства определителя
и понижение его порядка

Как найти обратную матрицу?
Свойства матричных операций.
Матричные выражения

Матричные уравнения
Как решить систему линейных уравнений?
Правило Крамера. Матричный метод решения системы
Метод Гаусса для чайников
Несовместные системы
и системы с общим решением

Как найти ранг матрицы?
Однородные системы
линейных уравнений

Метод Гаусса-Жордана
Решение системы уравнений
в различных базисах

Линейные преобразования
Собственные значения
и собственные векторы

Пределы:

Пределы. Примеры решений
Замечательные пределы
Методы решения пределов
Бесконечно малые функции.
Эквивалентности

Правила Лопиталя
Сложные пределы
Пределы последовательностей
Пределы по Коши. Теория

Производные функций:

Как найти производную?
Производная сложной функции. Примеры решений
Логарифмическая производная
Производные неявной, параметрической функций
Простейшие задачи
с производной

Производные высших порядков
Что такое производная?
Производная по определению
Как найти уравнение нормали?
Приближенные вычисления
с помощью дифференциала

Метод касательных

Функции и графики:

Графики и свойства
элементарных функций

Как построить график функции
с помощью преобразований?

Непрерывность, точки разрыва
Область определения функции
Асимптоты графика функции
Интервалы знакопостоянства
Возрастание, убывание
и экстремумы функции

Выпуклость, вогнутость
и точки перегиба графика

Полное исследование функции
и построение графика

Наибольшее и наименьшее
значения функции на отрезке

Экстремальные задачи

ФНП:

Область определения функции
двух переменных. Линии уровня

Основные поверхности
Предел функции 2 переменных
Повторные пределы
Непрерывность функции 2п
Частные производные
Частные производные
функции трёх переменных

Производные сложных функций
нескольких переменных

Как проверить, удовлетворяет
ли функция уравнению?

Частные производные
неявно заданной функции

Производная по направлению
и градиент функции

Касательная плоскость и
нормаль к поверхности в точке

Экстремумы функций
двух и трёх переменных

Условные экстремумы
Наибольшее и наименьшее
значения функции в области

Метод наименьших квадратов

Интегралы:

Неопределенный интеграл.
Примеры решений

Метод замены переменной
в неопределенном интеграле

Интегрирование по частям
Интегралы от тригонометрических функций
Интегрирование дробей
Интегралы от дробно-рациональных функций
Интегрирование иррациональных функций
Сложные интегралы
Определенный интеграл
Как вычислить площадь
с помощью определенного интеграла?

Что такое интеграл?
Теория для чайников

Объем тела вращения
Несобственные интегралы
Эффективные методы решения
определенных и несобственных
интегралов

S в полярных координатах
S и V, если линия задана
в параметрическом виде

Длина дуги кривой
S поверхности вращения
Приближенные вычисления
определенных интегралов


Метод прямоугольников

  Карта сайта

Лекции-уроки по высшей математике для второго курса

Дифференциальные уравнения:

Дифференциальные уравнения первого порядка
Однородные ДУ 1-го порядка
ДУ, сводящиеся к однородным
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
Уравнение Бернулли
Дифференциальные уравнения
с понижением порядка

Однородные ДУ 2-го порядка
Неоднородные ДУ 2-го порядка
Линейные дифференциальные
уравнения высших порядков

Метод вариации
произвольных постоянных

Как решить систему
дифференциальных уравнений

Задачи с диффурами
Методы Эйлера и Рунге-Кутты

Числовые ряды:

Ряды для чайников
Как найти сумму ряда?
Признак Даламбера.
Признаки Коши

Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница
Ряды повышенной сложности

Функциональные ряды:

Степенные ряды
Разложение функций
в степенные ряды

Сумма степенного ряда
Равномерная сходимость
Другие функциональные ряды
Приближенные вычисления
с помощью рядов

Вычисление интеграла разложением функции в ряд
Как найти частное решение ДУ
приближённо с помощью ряда?

Вычисление пределов
Ряды Фурье. Примеры решений

Кратные интегралы:

Двойные интегралы
Как вычислить двойной
интеграл? Примеры решений

Двойные интегралы
в полярных координатах

Как найти центр тяжести
плоской фигуры?

Тройные интегралы
Как вычислить произвольный
тройной интеграл?


Криволинейные интегралы
Интеграл по замкнутому контуру
Формула Грина. Работа силы

Поверхностные интегралы

Элементы векторного анализа:

Основы теории поля
Поток векторного поля
Дивергенция векторного поля
Формула Гаусса-Остроградского

Циркуляция векторного поля
и формула Стокса

Комплексный анализ:

Примеры решений типовых
задач комплексного анализа

Как найти функцию
комплексной переменной?

Решение ДУ методом
операционного исчисления

Как решить систему ДУ
операционным методом?

Теория вероятностей:

Основы теории вероятностей
Задачи по комбинаторике
Задачи на классическое
определение вероятности

Геометрическая вероятность
Задачи на теоремы сложения
и умножения вероятностей

Зависимые события
Формула полной вероятности
и формулы Байеса

Независимые испытания
и формула Бернулли

Локальная и интегральная
теоремы Лапласа

Статистическая вероятность
Случайные величины.
Математическое ожидание

Дисперсия дискретной
случайной величины

Функция распределения

Отблагодарить автора >>>

Если Вы заметили опечатку, пожалуйста, сообщите мне об этом

Заказать контрольную
Часто задаваемые вопросы
Гостевая книга

Кнопка для сайта: Высшая математика – просто и доступно!

Когда нет времени:

Авторские работы на заказ

По школьным предметам.
Подготовка к ЕГЭ

По высшей математике
и физике

Помогут разобраться в теме,
подготовиться к экзамену



Запости свои
учебные материалы!

  Карта сайта



Функция двух переменных.
Область определения и линии уровня


До сих пор нами рассматривалась простейшая функциональная модель, в которой функция  зависит от единственного аргумента. Но при изучении различных явлений окружающего мира мы часто сталкиваемся с одновременным изменением более чем двух величин, и многие процессы можно эффективно формализовать функцией нескольких переменных , где  – аргументы или независимые переменные.  Начнём разработку темы с наиболее распространенной на практике функции двух переменных .

Функцией двух переменных называется закон, по которому каждой паре значений независимых переменных  (аргументов) из области определения соответствует значение зависимой переменной  (функции).

Данную функцию обозначают следующим образом:

 либо , или же другой стандартной буквой:

Поскольку упорядоченная пара значений «икс» и «игрек» определяет точку на плоскости, то функцию также записывают через , где  – точка плоскости  с координатами . Такое обозначение широко используется в некоторых практических заданиях.

Геометрический смысл функции двух переменных очень прост. Если функции одной переменной  соответствует определённая линия на плоскости (например,   – всем знакомая школьная парабола), то график функции двух переменных  располагается в трёхмерном пространстве. На практике чаще всего приходится иметь дело с поверхностью, но иногда график функции может представлять собой, например, пространственную прямую (ые) либо даже единственную точку.

С элементарным примером поверхности мы хорошо знакомы ещё из курса аналитической геометрии – это плоскость . Предполагая что , уравнение легко переписать в функциональном виде:

Важнейший атрибут функции 2 переменных – это уже озвученная область определения.

Областью определения функции двух переменных  называется множество всех пар , для которых существует значение .

Графически область определения представляет собой всю плоскость  либо её часть. Так, областью определения функции  является вся координатная плоскость  – по той причине, что для любой точки  существует значение .

Но такой праздный расклад бывает, конечно же, не всегда:


Как найти область определения функции двух переменных?

Рассматривая различные понятия функции нескольких переменных, полезно проводить аналогии с соответствующими понятиями функции одной переменной. В частности, при выяснении области определения  мы обращали особое внимание на те функции, в которых есть дроби, корни чётной степени, логарифмы и т. д. Здесь всё точно так же!

Задача на нахождение области определения функции двух переменных практически со 100%-ной вероятностью встретится вам в тематической работе, поэтому я разберу приличное количество примеров:

Пример 1

Найти область определения функции

Решение: так как знаменатель не может обращаться в ноль, то:

Ответ: вся координатная плоскость  кроме точек, принадлежащих прямой

Да-да, ответ лучше записать именно в таком стиле. Область определения функции двух переменных редко обозначают каким-либо символом, гораздо чаще используют словесное описание и/или чертёж.

Если бы по условию требовалось выполнить чертёж, то следовало бы изобразить координатную плоскость  и пунктиром провести прямую . Пунктир сигнализирует о том, что линия не входит в область определения.

Как мы увидим чуть позже, в более трудных примерах без чертежа и вовсе не обойтись.

Пример 2

Найти область определения функции

Решение: подкоренное выражение должно быть неотрицательным:


Ответ: полуплоскость

Графическое изображение здесь тоже примитивно: чертим декартову систему координат, сплошной линией проводим прямую  и штрихуем верхнюю полуплоскость. Сплошная линия указывает на тот факт, что она входит в область определения.

Внимание! Если вам ХОТЬ ЧТО-ТО не понятно по второму примеру, пожалуйста, подробно изучите/повторите урок Линейные неравенства – без него придётся очень туго!

Миниатюра для самостоятельного решения:

Пример 3

Найти область определения функции

Двухстрочное решение и ответ в конце урока.

Продолжаем разминаться:

Пример 4

Найти область определения функции и изобразить её на чертеже

Решение: легко понять, что такая формулировка задачи требует выполнения чертёжа (даже если область определения очень проста). Но сначала аналитика: подкоренное выражением должно быть неотрицательным:  и, учитывая, что знаменатель не может обращаться в ноль, неравенство становится строгим:

Как определить область, которую задаёт неравенство ? Рекомендую тот же алгоритм действий, что и при решении линейных неравенств.

Сначала чертим линию, которую задаёт соответствующее равенство. Уравнение  определяет окружность с центром в начале координат радиуса , которая делит координатную плоскость на две части – «внутренность» и «внешность» круга. Так как неравенство у нас строгое, то сама окружность заведомо не войдёт в область определения и поэтому её нужно провести пунктиром.

Теперь берём произвольную точку плоскости, не принадлежащую окружности , и подставляем её координаты в неравенство . Проще всего, конечно же, выбрать начало координат :

Получено неверное неравенство, таким образом, точка  не удовлетворяет неравенству . Более того, данному неравенству не удовлетворяет и любая точка, лежащая внутри круга, и, стало быть, искомая область определения – внешняя его часть. Область определения традиционно штрихуется:
Область определения – внешняя часть круга
Желающие могут взять любую точку, принадлежащую заштрихованной области и убедиться, что её координаты удовлетворяют неравенству . Кстати, противоположное неравенство  задаёт круг с центром в начале координат, радиуса .

Ответ: внешняя часть круга

Вернёмся к геометрическому смыслу задачи: вот мы нашли область определения и заштриховали её, что это значит? Это значит, что в каждой точке  заштрихованной области существует значение «зет» и графически функция  представляет собой следующую поверхность:
Вне области определения пространственной поверхности не существует
На схематическом чертеже хорошо видно, что данная поверхность местами расположена над плоскостью  (ближний и дальний от нас октанты),  местами – под плоскостью  (левый и правый относительно нас октанты). Также поверхность проходит через оси . Но поведение функции как таковое нам сейчас не очень интересно – важно, что всё это происходит исключительно в области определения. Если мы возьмём любую точку , принадлежащую кругу  – то никакой поверхности там не будет (т.к. не существует «зет»), о чём и говорит круглый пробел в середине рисунка.

Пожалуйста, хорошо осмыслите разобранный пример, поскольку в нём я подробнейшим образом разъяснил саму суть задачи.

Следующее задание для самостоятельного решения:

Пример 5

Найти область определения функции и изобразить её на чертеже

Краткое решение и чертёж в конце урока. Вообще, в рассматриваемой теме среди линий 2-го порядка наиболее популярна именно окружность, но, как вариант, в задачу могут «затолкать» эллипс, гиперболу или параболу.

Идём на повышение:

Пример 6

Найти область определения функции

Решение: подкоренное выражение должно быть неотрицательным:  и знаменатель не может равняться нулю: . Таким образом, область определения задаётся системой .

С первым условием разбираемся по стандартной схеме рассмотренной на уроке Линейные неравенства: чертим прямую  и определяем полуплоскость, которая соответствует неравенству . Поскольку неравенство нестрогое, то сама прямая также будет являться решением.

Со вторым условием системы тоже всё просто: уравнение  задаёт ось ординат, и коль скоро , то её следует исключить из области определения.

Выполним чертёж, не забывая, что сплошная линия обозначает её вхождение в область определения, а пунктир – исключение из этой области:
Область определения – полуплоскость с исключённой осью ординат
Следует отметить, что здесь мы уже фактически вынуждены сделать чертёж. И такая ситуация типична – во многих задачах словесное описание области затруднено, а даже если и опишите, то, скорее всего, вас плохо поймут и заставят изобразить область.   

Ответ: область определения:

К слову, такой ответ без чертежа действительно смотрится сыровато.

Ещё раз повторим геометрический смысл полученного результата: в заштрихованной области существует график функции , который представляет собой поверхность трёхмерного пространства. Эта поверхность может располагаться выше/ниже плоскости , может пересекать плоскость – в данном случае нам всё это параллельно. Важен сам факт существования поверхности, и важно правильно отыскать область, в которой она существует.

Пример 7

Найти область определения функции

Это пример для самостоятельного решения. Примерный образец чистового оформления задачи в конце урока.

Не редкость, когда вроде бы простые на вид функции вызывают далеко не скороспелое решение:

Пример 8

Найти область определения функции

Решение: используя формулу разности квадратов, разложим подкоренное выражение на множители: .

Произведение двух множителей неотрицательно , когда оба множителя неотрицательны:  ИЛИ когда оба неположительны: . Это типовая фишка. Таким образом, нужно решить две системы линейных неравенств и ОБЪЕДИНИТЬ полученные области. В похожей ситуации вместо стандартного алгоритма гораздо быстрее работает метод научного, а точнее, практического тыка =)

Чертим прямые , которые разбивают координатную плоскость на 4 «уголка». Берём какую-нибудь точку, принадлежащую верхнему «уголку», например, точку  и подставляем её координаты в уравнения 1-й системы: . Получены верные неравенства, а значит, решением системы  является весь верхний «уголок». Штрихуем.

Теперь берём точку , принадлежащую правому «уголку». Осталась 2-я система, в которую мы и подставляем координаты этой точки: . Второе неравенство неверно, следовательно, и весь правый «уголок» не является решением системы .
Область определения – два «уголка»
Аналогичная история с левым «уголком», который тоже не войдёт в область определения.

И, наконец, подставляем во 2-ю систему координаты подопытной точки  нижнего «уголка»: . Оба неравенства верны, а значит, решением системы  является и весь нижний «уголок», который тоже следует заштриховать.

В реальности так подробно расписывать, естественно, не надо – все закомментированные действия легко выполняются устно!

Ответ: область определения представляет собой объединение решений систем .

Как вы догадываетесь, без чертежа такой ответ вряд ли пройдёт, и это обстоятельство вынуждает взять в руки линейку с карандашом, хоть того и не требовало условие.

А это ваш орешек:

Пример 9

Найти область определения функции

Хороший студент всегда скучает по логарифмам:

Пример 10

Найти область определения функции

Решение: аргумент логарифма строго положителен, поэтому область определения задаётся системой .

Неравенство  указывает на правую полуплоскость и исключает ось .

Со вторым условием ситуация более затейлива, но тоже прозрачна. Вспоминаем синусоиду. В качестве аргумента выступает «игрек», но это не должно смущать – игрек, так игрек, зю, так зю. Где синус больше нуля? Синус больше нуля, например, на интервале . Поскольку функция периодична, то таких интервалов бесконечно много и в свёрнутом виде решение неравенства  запишется следующим образом:
, где  – произвольное целое число.

Бесконечное количество промежутков, понятно, не изобразить, поэтому ограничимся интервалом   и его соседями:

Выполним чертёж, не забывая, что согласно первому условию, наше поле деятельности ограничивается строго правой полуплоскостью:
Область определения – бесконечное количество полос в правой полуплоскости
мда …какой-то чертёж-призрак получился…  доброе приведение высшей математики…

Ответ:

Следующий логарифм ваш:

Пример 11

Найти область определения функции

В ходе решения придётся построить параболу, которая поделит плоскость на 2 части – «внутренность», находящуюся между ветвями, и внешнюю часть. Методика нахождения нужной части неоднократно фигурировала в статье Линейные неравенства и предыдущих примерах этого урока.

Решение, чертёж и ответ в конце урока.

Заключительные орешки параграфа посвящены «аркам»:

Пример 12

Найти область определения функции

Решение: аргумент арксинуса должен находиться в следующих пределах:

Дальше есть две технические возможности: более подготовленные читатели по аналогии с последними примерами урока Область определения функции одной переменной могут «ворочать» двойное неравенство и оставить в середине «игрек». Чайникам же рекомендую преобразовать «паровозик» в равносильную систему неравенств:

Система решается как обычно – строим прямые  и находим нужные полуплоскости. В результате:
Область определения заключена между параллельными прямыми
Обратите внимание, что здесь границы входят в область определения и прямые проводятся сплошными линиями. За этим всегда нужно тщательно следить, чтобы не допустить грубой ошибки.

Ответ: область определения представляет собой решение системы

Пример 13

Найти область определения функции

В образце решения используется продвинутая техника – преобразуется двойное неравенство.

На практике также иногда встречаются задачи на нахождение области определения функции трёх переменных . Областью определения функции трёх переменных может являться всё трёхмерное пространство, либо его часть. В первом случае функция  определена для любой точки  пространства, во втором – только для тех точек , которые принадлежат некоторому пространственному объекту, чаще всего – телу. Это может быть прямоугольный параллелепипед, эллипсоид, «внутренность» параболического цилиндра и т.д.  Задача отыскания области определения функции трёх переменных обычно состоит в нахождении этого тела и выполнении трёхмерного чертежа. Однако такие примеры довольно редкИ (нашёл у себя всего пару штук), и поэтому я ограничусь лишь этим обзорным абзацем.


Линии уровня

Для лучшего понимания этого термина будем сравнивать ось  с высотой: чем больше значение «зет» – тем больше высота, чем меньше значение «зет» – тем высота меньше. Также высота может быть и отрицательной.

Функция  в своей области определения представляет собой пространственный график, для определённости и бОльшей наглядности будем считать, что это тривиальная поверхность. Что такое линии уровня? Образно говоря, линии уровня – это горизонтальные «срезы» поверхности на различных высотах. Данные «срезы» или правильнее сказать, сечения проводятся плоскостями , после чего проецируются на плоскость .

Определение: линией уровня функции  называется линия  на плоскости , в каждой точке которой функция сохраняет постоянное значение: .

Таким образом, линии уровня помогают выяснить, как выглядит та или иная поверхность – причём помогают без построения трёхмерного чертежа! Рассмотрим конкретную задачу:

Пример 14

Найти и построить несколько линий уровня графика функции

Решение: исследуем форму данной поверхности с помощью линий уровня. Для удобства развернём запись «задом наперёд»:

Очевидно, что в данном случае «зет» (высота) заведомо не может принимать отрицательные значения (так как сумма квадратов неотрицательна). Таким образом, поверхность располагается в верхнем полупространстве (над плоскостью ).

Поскольку в условии не сказано, на каких конкретно высотах нужно «срезать» линии уровня, то мы вольнЫ выбрать несколько значений «зет» на своё усмотрение.

Исследуем поверхность на нулевой высоте, для этого поставим значение  в равенство :

Решением данного уравнения является точка . То есть, при  линия уровня представляет собой точку.

Поднимаемся на единичную высоту и «рассекаем» нашу поверхность  плоскостью   (подставляем  в уравнение поверхности):

 

Таким образом, для высоты  линия уровня представляет собой окружность с центром в точке  единичного радиуса.

Напоминаю, что все «срезы» проецируются на плоскость , и поэтому у точек я записываю две, а не три координаты!

Теперь берём, например, плоскость  и «разрезаем ей» исследуемую поверхность  (подставляем  в уравнение поверхности):

Таким образом, для высоты  линия уровня представляет собой окружность с центром в точке  радиуса .

И, давайте построим ещё одну линию уровня, скажем, для :

 – окружность с центром в точке  радиуса 3.

Линии уровня, как я уже акцентировал внимание, располагаются на плоскости , но каждая линия подписывается – какой высоте она соответствует:
Линии уровня представляют собой концентрические окружности
Нетрудно понять, что другие линии уровня рассматриваемой поверхности тоже представляют собой окружности, при этом, чем выше мы поднимаемся вверх (увеличиваем значение «зет») – тем больше становится радиус. Таким образом, сама поверхность представляет собой бесконечную чашу с яйцевидным дном, вершина которой расположена на плоскости . Эта «чаша» вместе с осью  «выходит прямо на вас» из экрана  монитора, то есть вы смотрите в её дно =)  И это неспроста! Только я так убойно наливаю на посошок =) =)

Ответ: линии уровня данной поверхности представляют собой концентрические окружности вида

Примечание: при  получается вырожденная окружность нулевого радиуса (точка)

Само понятие линии уровня пришло из картографии. Перефразируя устоявшийся математический оборот, можно сказать, что линия уровня – это географическое место точек одинаковой высоты. Рассмотрим некую гору с линиями уровня 1000, 3000 и 5000 метров:
Линии уровня горы
На рисунке хорошо видно, что левый верхний склон горы гораздо круче правого нижнего склона. Таким образом, линии уровня позволяют отразить рельеф местности на «плоской» карте. Кстати, здесь приобретают вполне конкретный смысл и отрицательные значения высоты – ведь некоторые участки поверхности Земли располагаются ниже нулевой отметки уровня мирового океана.

Заключительное задание для самостоятельного решения:

Пример 15

Найти и построить линии уровня графика функции  при . Охарактеризовать семейство  линий уровня и положение поверхности в пространстве.

Тут в отличие от предыдущей задачи даны конкретные значения «зет», для которых надо построить линии, и придумывать ничего не надо. Кажется слишком простым? Впечатление обманчиво – далеко не все читатели «гладко» оформят решение ;-) Да и на 3D-график будет взглянуть интересно!

Исследование формы поверхности с помощью линий уровня – метод эффективный, но довольно трудозатратный, поэтому крайне желательно знать, как выглядят распространённые на практике поверхности и быстро определять их по уравнению. На следующем уроке о пространственных поверхностях вы сможете не только почерпнуть много новой информации, но и научиться грамотно строить трёхмерные чертежи.

Желаю успехов!

Решения и ответы:

Пример 3: Решение: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, кроме того, знаменатель не может обращаться в ноль, таким образом: .
Ответ: полуплоскость , исключая саму прямую

Пример 5: Решение: подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

 или, «разворачивая» неравенство:
Изобразим область определения на чертеже:
Область определения – круг
Ответ:  – круг с центром в начале координат, радиуса .

Пример 7: Решение: найдём область определения:

 Выполним чертёж:
Область определения – правая «четвертинка» плоскости
Ответ: область определения представляет собой решение системы линейных неравенств

Пример 9: Решение: найдём область определения:

Неравенство  справедливо, когда  (1-я координатная четверть) или когда  (3-я координатная четверть).
Условие  выполнено для всех точек плоскости, кроме начала координат.
Изобразим область определения на чертеже:
Область определения – 1-ая и 3-я координатные четверти и оси, исключая начало координат
Ответ:

Пример 11: Решение: найдём область определения:

Неравенству соответствует «внешняя» часть плоскости относительно параболы. Условие  исключает из области определения ось абсцисс.
Выполним чертёж:
Область определения – «внешность» параболы, исключая ось абсцисс
Ответ:

Пример 13: Решение: аргумент арккосинуса находится в пределах:

Вычтем «тройку» из каждой части:

Умножим каждую часть на –1. Так как умножение проводится на отрицательное число, значки «меньше либо равно» следует поменять на «больше либо равно»:

«Развернём» неравенство в привычном направлении:

Область определения представляет собой кольцо, ограниченное концентрическими окружностями :
Область определения – кольцо
Ответ: кольцо

Пример 15: Решение: Перепишем функцию в виде  и найдём линии уровня для различных значений:
1) Если , то  – гипербола, расположенная во 2-й и 4-й координатных четвертях.
2) Если , то . Полученное равенство справедливо в двух случаях: либо  и  – любое (это ось ординат), либо  и  – любое (это ось абсцисс). Таким образом, линия уровня  представляет собой две пересекающиеся прямые (координатные оси).
3) Если , то  – гипербола, расположенная в 1-й и 3-й координатных четвертях.
4) Если , то  – гипербола, расположенная в 1-й и 3-й координатных четвертях.
Выполним чертёж:
Линии уровня представляют собой гиперболы за исключением z=0, когда линия уровня распадаются на две пересекающиеся прямые (координатные оси)
Ответ: линии уровня функции имеют вид , где . Если , то линии уровня представляют собой гиперболы, причём:
– в случае  они расположены 2-й и 4-й координатных четвертях, а сама поверхность  – ниже плоскости ;
– в случае  гиперболы расположены 1-й и 3-й координатных четвертях, а сама поверхность  – выше плоскости .
При  линия уровня распадается на две пересекающие прямые (координатные оси), то есть график функции  проходит через них.
Примечание: трёхмерный чертёж данной поверхности есть на 3-м рисунке урока Экстремумы функций нескольких переменных (откроется на соседней вкладке).

Автор: Емелин Александр


Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу)

Как можно отблагодарить автора?

Качественные работы без плагиата – Zaochnik.com


© Copyright mathprofi.ru, Александр Емелин, 2010-2017. Копирование материалов сайта запрещено