Математика для заочников и не только

Высшая математика – просто и доступно!

Если сайт упал, используйте ЗЕРКАЛО: mathprofi.net

Наш форум, библиотека и блог mathprofi>>>

Высшая математика:

Математика для заочников
Математические формулы,
таблицы и справочные
материалы

Математические сайты
>>> Удобный калькулятор

Не нашлось нужной задачи?
Сборники готовых решений!

Не получается пример?
Задайте вопрос на форуме!
>>> mathprofi.com   

Учимся решать:

Лекции-уроки по высшей математике для первого курса

Высшая математика для чайников, или с чего начать?

Аналитическая геометрия:

Векторы для чайников
Скалярное произведение
векторов

Линейная (не) зависимость
векторов. Базис векторов

Переход к новому базису
Векторное и смешанное
произведение векторов

Формулы деления отрезка
в данном отношении

Прямая на плоскости
Простейшие задачи
с прямой на плоскости

Линейные неравенства
Как научиться решать задачи
по аналитической геометрии?

Линии второго порядка. Эллипс
Гипербола и парабола
Задачи с линиями 2-го порядка
Как привести уравнение л. 2 п.
к каноническому виду?

Полярные координаты
Как построить линию
в полярной системе координат?

Уравнение плоскости
Прямая в пространстве
Задачи с прямой в пространстве
Основные задачи
на прямую и плоскость

Треугольная пирамида

Элементы высшей алгебры:

Множества и действия над ними
Основы математической логики
Формулы и законы логики
Уравнения высшей математики
Комплексные числа
Выражения, уравнения и с-мы
с комплексными числами

Действия с матрицами
Как вычислить определитель?
Свойства определителя
и понижение его порядка

Как найти обратную матрицу?
Свойства матричных операций.
Матричные выражения

Матричные уравнения
Как решить систему линейных уравнений?
Правило Крамера. Матричный метод решения системы
Метод Гаусса для чайников
Несовместные системы
и системы с общим решением

Как найти ранг матрицы?
Однородные системы
линейных уравнений

Метод Гаусса-Жордана
Решение системы уравнений
в различных базисах

Линейные преобразования
Собственные значения
и собственные векторы

Квадратичные формы
Как привести квадратичную
форму к каноническому виду?

Ортогональное преобразование
квадратичной формы

Пределы:

Пределы. Примеры решений
Замечательные пределы
Методы решения пределов
Бесконечно малые функции.
Эквивалентности

Правила Лопиталя
Сложные пределы
Пределы последовательностей
Пределы по Коши. Теория

Производные функций:

Как найти производную?
Производная сложной функции. Примеры решений
Логарифмическая производная
Производные неявной, параметрической функций
Простейшие задачи
с производной

Производные высших порядков
Что такое производная?
Производная по определению
Как найти уравнение нормали?
Приближенные вычисления
с помощью дифференциала

Метод касательных

Функции и графики:

Графики и свойства
элементарных функций

Как построить график функции
с помощью преобразований?

Непрерывность, точки разрыва
Область определения функции
Асимптоты графика функции
Интервалы знакопостоянства
Возрастание, убывание
и экстремумы функции

Выпуклость, вогнутость
и точки перегиба графика

Полное исследование функции
и построение графика

Наибольшее и наименьшее
значения функции на отрезке

Экстремальные задачи

ФНП:

Область определения функции
двух переменных. Линии уровня

Основные поверхности
Предел функции 2 переменных
Повторные пределы
Непрерывность функции 2п
Частные производные
Частные производные
функции трёх переменных

Производные сложных функций
нескольких переменных

Как проверить, удовлетворяет
ли функция уравнению?

Частные производные
неявно заданной функции

Производная по направлению
и градиент функции

Касательная плоскость и
нормаль к поверхности в точке

Экстремумы функций
двух и трёх переменных

Условные экстремумы
Наибольшее и наименьшее
значения функции в области

Метод наименьших квадратов

Интегралы:

Неопределенный интеграл.
Примеры решений

Метод замены переменной
в неопределенном интеграле

Интегрирование по частям
Интегралы от тригонометрических функций
Интегрирование дробей
Интегралы от дробно-рациональных функций
Интегрирование иррациональных функций
Сложные интегралы
Определенный интеграл
Как вычислить площадь
с помощью определенного интеграла?

Что такое интеграл?
Теория для чайников

Объем тела вращения
Несобственные интегралы
Эффективные методы решения
определенных и несобственных
интегралов

S в полярных координатах
S и V, если линия задана
в параметрическом виде

Длина дуги кривой
S поверхности вращения
Приближенные вычисления
определенных интегралов


Метод прямоугольников

  Карта сайта

Лекции-уроки по высшей математике для второго курса

Дифференциальные уравнения:

Дифференциальные уравнения первого порядка
Однородные ДУ 1-го порядка
ДУ, сводящиеся к однородным
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
Уравнение Бернулли
Дифференциальные уравнения
с понижением порядка

Однородные ДУ 2-го порядка
Неоднородные ДУ 2-го порядка
Линейные дифференциальные
уравнения высших порядков

Метод вариации
произвольных постоянных

Как решить систему
дифференциальных уравнений

Задачи с диффурами
Методы Эйлера и Рунге-Кутты

Числовые ряды:

Ряды для чайников
Как найти сумму ряда?
Признак Даламбера.
Признаки Коши

Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница
Ряды повышенной сложности

Функциональные ряды:

Степенные ряды
Разложение функций
в степенные ряды

Сумма степенного ряда
Равномерная сходимость
Другие функциональные ряды
Приближенные вычисления
с помощью рядов

Вычисление интеграла разложением функции в ряд
Как найти частное решение ДУ
приближённо с помощью ряда?

Вычисление пределов
Ряды Фурье. Примеры решений

Кратные интегралы:

Двойные интегралы
Как вычислить двойной
интеграл? Примеры решений

Двойные интегралы
в полярных координатах

Как найти центр тяжести
плоской фигуры?

Тройные интегралы
Как вычислить произвольный
тройной интеграл?


Криволинейные интегралы
Интеграл по замкнутому контуру
Формула Грина. Работа силы

Поверхностные интегралы

Элементы векторного анализа:

Основы теории поля
Поток векторного поля
Дивергенция векторного поля
Формула Гаусса-Остроградского

Циркуляция векторного поля
и формула Стокса

Комплексный анализ:

Примеры решений типовых
задач комплексного анализа

Как найти функцию
комплексной переменной?

Решение ДУ методом
операционного исчисления

Как решить систему ДУ
операционным методом?

Теория вероятностей:

Основы теории вероятностей
Задачи по комбинаторике
Задачи на классическое
определение вероятности

Геометрическая вероятность
Задачи на теоремы сложения
и умножения вероятностей

Зависимые события
Формула полной вероятности
и формулы Байеса

Независимые испытания
и формула Бернулли

Локальная и интегральная
теоремы Лапласа

Статистическая вероятность
Случайные величины.
Математическое ожидание

Дисперсия дискретной
случайной величины

Функция распределения
Геометрическое распределение
Биномиальное распределение
Распределение Пуассона
Гипергеометрическое
распределение вероятностей

Непрерывная случайная
величина, функции F(x) и f(x)

Как вычислить математическое
ожидание и дисперсию НСВ?

Равномерное распределение
Показательное распределение
Нормальное распределение

Отблагодарить автора >>>

Если Вы заметили опечатку, пожалуйста, сообщите мне об этом

Заказать контрольную
Часто задаваемые вопросы
Гостевая книга

Поставьте нашу кнопку:

Высшая математика – просто и доступно!

Когда нет времени:

Авторские работы на заказ

По школьным предметам.
Подготовка к ЕГЭ

По высшей математике
и физике

Помогут разобраться в теме,
подготовиться к экзамену



  Карта сайта


Как найти область сходимости сложного функционального ряда?


Представьте ситуацию: вам требуется найти область сходимости функционального ряда. А, собственно, чего тут представлять – наверное, требуется =) Если ряд степенной – никаких проблем. В некоторых случаях помогает признак равномерной сходимости Вейерштрасса. Но вот попался такой «экземпляр», с которым не понятно, что делать. …Ну что же, поздравляю – Вы попали туда, куда нужно!

Неподготовленному читателю сначала рекомендую изучить основы темы, а также понятие равномерной сходимости – возможно, сложное окажется не таким уж и сложным ;) Да и заголовок этой статьи тоже лукавит – ряды, о которых сегодня пойдёт речь, скорее, не сложные, а «редкоземельные». Однако от них не застрахованы даже студенты-заочники, и поэтому к данному, казалось бы, дополнительному занятию следует отнестись с максимальной серьёзностью. Ведь после его проработки вы сможете расправиться практически с любым «зверем»!

Начнём с классики жанра:

Пример 1

Найти область сходимости функционального ряда

Во-первых, обратим внимание, что это НЕ степенной ряд (напоминаю, что оный имеет вид ). И, во-вторых, здесь сразу бросается в глаза значение , которое заведомо не может входить в область сходимости ряда. И это уже маленький успех исследования!

Но всё-таки, как прийти к успеху большому? Спешу вас обрадовать – подобные ряды можно решать точно так же, как и степенные – опираясь на признак Даламбера или радикальный признак Коши!

Решение: значение  не входит в область сходимости ряда. Это факт существенный, и его нужно обязательно отметить!

Основой же алгоритм работает стандартно. Используя признак Даламбера, найдём интервал сходимости ряда:

Ряд сходится при . Поднимем модуль наверх:

Вспоминаем, что такое неравенство раскрывается через совокупность неравенств:

В результате мы получили ДВА интервала сходимости:  и , чего, кстати, принципиально не может быть у рядов степенных.

Сразу проконтролируем «нехорошую» точку: значение  не вошло в область сходимости ряда.

Исследуем сходимость ряда на «внутренних» концах интервалов:
если , то
если , то

Оба числовых ряда расходятся, так как не выполнен необходимый признак сходимости.

Ответ: область сходимости:

Выполним небольшую аналитическую проверку. Давайте подставим в функциональный ряд какое-нибудь значение из правого интервала, например, :
 – сходится по признаку Даламбера.

В случае подстановки значений из левого интервала тоже получаются сходящиеся ряды:
если , то  .

И, наконец, если , то ряд  – действительно расходится.

Пара простеньких примера для разогрева:

Пример 2

Найти область сходимости функционального ряда

Пример 3

Найти область сходимости функционального ряда

Особенно хорошо разберитесь с «новым» модулем – он сегодня встретится 100500 раз!

Краткие решения и ответы в конце урока.

Использованные алгоритмы вроде бы универсальны и безотказны, но на самом деле это не так – для многих функциональных рядов они часто «пробуксовывают», а то и приводят к ошибочным выводам (и такие примеры я тоже рассмотрю).

Шероховатости начинаются уже на уровне интерпретации результатов: рассмотрим, например, ряд . Здесь в пределе получаем  (проверьте самостоятельно), и по идее нужно дать ответ, что ряд сходится в единственной точке. Однако, точка  «заиграна», а значит, наш «пациент» расходится вообще всюду!

А для ряда  «очевидное» решение «по Коши» вообще ничего не даёт:
 – для ЛЮБОГО значения «икс».

И возникает вопрос, что же делать? Используем метод, которому как раз будет посвящена основная часть урока! Его можно сформулировать следующим образом:

Прямой анализ числовых рядов при различных значениях  

Фактически мы уже начали этим заниматься в Примере 1. Сначала исследуем какое-нибудь конкретное «икс» и соответствующий числовой ряд. Напрашивается взять значение :
 – полученный числовой ряд расходится.

И это сразу наталкивает на мысль: а что, если то же самое происходит и в других точках?
Проверим-ка необходимый признак сходимости ряда для произвольного значения :

Точка  учтена выше, для всех же остальных «икс» стандартным приёмом организуем второй замечательный предел:

Вывод: ряд расходится на всей числовой прямой

И это решение – самый что ни на есть рабочий вариант!

На практике функциональный ряд часто приходится сопоставлять с обобщённым гармоническим рядом :

Пример 4

Исследовать сходимость функционального ряда

Решение: в первую очередь разбираемся со знаменателем:

 – таким образом, из области наших интересов сразу же следует исключить целые отрицательные значения «икс».

Очевидно, что при подстановке других значений мы будем получать условно сходящиеся ряды:  и т.п.

Это всё хорошо, это всё понятно, но остаётся ещё один немаловажный вопрос – как грамотно оформить решение? Я предлагаю схему, которую можно жаргонно назвать «перевод стрелок» на числовые ряды:

Рассмотрим произвольное значение  и исследуем сходимость числового ряда . Рутинный признак Лейбница:

1) Данный ряд является знакочередующимся.

2)  – члены ряда убывают по модулю. Каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий: , значит, убывание монотонно.

Вывод: ряд сходится по признаку Лейбница. Как уже отмечалось, сходимость тут условная – по той причине, что ряд – расходится.

Вот так вот – аккуратно и корректно! Ибо за «альфой» мы хитро спрятали все допустимые числовые ряды.

Ответ: функциональный ряд сходится условно на всей числовой прямой кроме точек

Аналогичный пример для самостоятельного решения:

Пример 5

Исследовать сходимость функционального ряда

Примерный образец чистового оформления задания в конце урока.

Обратите внимание, что признак Вейерштрасса здесь неуместен – по той причине, что неравенство  справедливо далеко не для всех . Но с другой стороны, данный признак тоже не нужно «списывать со счетов» – так, для ряда  он прекрасно срабатывает, и подобные примеры встречаются реально!

Кроме того, переменная «икс» может оказаться и в показателе:

Пример 6

Найти область сходимости функционального ряда


Решение: во-первых, сразу же отмечаем, что .

Простейшим рядом этой «категории» является ряд , область сходимости которого лежит на ладони: . Однако наш «кадр» чуть замысловатей. Поскольку в числителе находится , то функциональный ряд будет сходиться уже при . На границе   получается расходящийся ряд (эквивалентный гармоническому).

 «Одинокий» же  в знаменателе не принимаем во внимание – по существу он играет роль множителя-константы.

Ответ: область сходимости:

Думаю, следующий пример не должен вызвать у вас особых трудностей, хотя… как знать, как знать ;)

Пример 7

Найти область сходимости функционального ряда

Краткое решение и ответ в конце урока

Помимо обобщенного гармонического ряда, в широком ходу бесконечно убывающая геометрическая прогрессия: . Удачный пример, кстати, был в начале урока:  – данный ряд можно исследовать не только «по Коши», но и из тех соображений, что основание сходящейся геометрической прогрессии находится в пределах .

Или такой вот простецкий ряд:  – его целесообразно исследовать по образцу Примера 5, осуществив предельное сравнение понятно с какой прогрессией.

Однако ж многие пришли сюда за сложными рядами, и я просто не могу обмануть ваших ожиданий:)

Пример 8

Найти область сходимости функционального ряда

Проведём предварительный анализ: какие числовые ряды тут приходят на ум? Ну, например, такие:  – сходится,  – расходится и т.п.

Поведение подобных рядов зависит именно от основания  геометрической прогрессии, многочлены же уступают в порядке роста и не играют особой роли. В данном примере ряд будет гарантированно сходиться, если:

Решение: со знаменателем всё в порядке и поэтому сразу же записываем, что функциональный ряд сходится при:

Согласны? Тогда решаем (внимание!) СИСТЕМУ неравенств:

Иными словами, должно выполняться и то, и другое:

1) Решим соответствующее квадратное уравнение для 1-го неравенства:

Таким образом, парабола  не пересекает ось , и поскольку её ветви  направлены вверх, то неравенство  выполнено при любом действительном значении .

2) Разбираемся со 2-м неравенством. Снова – находим нули соответствующей функции:

А вот это уже более содержательный результат. Здесь можно использовать метод интервалов, но проще опять проанализировать расположение графика. Парабола  пересекает ось абсцисс в двух точках и её ветви направлены вверх, поэтому неравенству  соответствует интервал .

С пересечением двух промежутков сложностей вообще никаких:
 – интервал сходимости исследуемого функционального ряда.

Исследуем сходимость ряда на концах найденного интервала:

если , то  – сходится;
если , то – такой же.

Полученный ряд настолько прост, что я не буду доказывать его сходимость. Но при оформлении задания, возможно, потребуется подробное исследование – тут всё зависит от степени придирчивости вашего рецензента.

Ответ: сходится абсолютно при

Чуть более занятный пример для самостоятельного решения:

Пример 9


…ну…, вы уже догадываетесь, что с ним нужно сделать =)

Но то были, конечно же, шутки:

Пример 10

Найти область сходимости функционального ряда

По «общим очертаниям» здесь напрашивается прямое сравнение с геометрической прогрессией . Почему бы не соорудить конструкцию ?
Правое неравенство, например,   – будет выполнено для всех «икс» и для всех «эн»….

…на самом деле этот путь ошибочен – как мы увидим ниже, несмотря на «тотальное» выполнение неравенства, сходимость ряда ещё не гарантирована! Анализ и ещё раз анализ:

Решение: сначала традиционное исследование «подозрительных» точек. А под подозрение здесь попадают значения  – вдруг там знаменатель обращается в ноль? Выполним проверку:

если , то
если , то

Нет, всё в порядке – числовые ряды существуют и расходятся. Другое значение, которое «лежит на поверхности», это ноль:
 – тривиальный сходящийся ряд.

Итак, что мы имеем? В точках  функциональный ряд расходится, а в точке  – сходится. И это наводит на мысль исследовать три интервала:

 – с рабочей гипотезой, что «посередине» ряд сходится, а «по краям» – расходится.

Используем тот же самый «перевод стрелок» на числовые ряды. Начать удобно с правого интервала:

1) Рассмотрим произвольное значение  и исследуем сходимость числового ряда .

! Если объяснения будут восприниматься трудно, мысленно подставляйте какое-нибудь конкретное число, например, .

Для всех «эн» справедливо неравенство , следовательно:
 – таким образом, по признаку сравнения ряд  сходится вместе с бесконечно убывающей геометрической прогрессией .

Примечание: как вариант, можно было применить предельный признак сравнения

Вот тебе и «рабочая гипотеза»! – на интервале  функциональный ряд сходится!

2) С симметричным интервалом  всё прозрачно, рассматриваем произвольные значения  и получаем:  – абсолютно сходящиеся числовые ряды.

3) И, наконец, «серединка» . Здесь тоже удобно выделить два промежутка.

Рассматриваем произвольное значение  из интервала  и получаем числовой ряд:

! Опять же – если трудно, подставляйте какое-нибудь конкретное число, например . Впрочем,… вы же хотели трудностей =)

Для всех значений «эн» выполнено , значит:
 – таким образом, по признаку сравнения ряд  сходится вместе с бесконечно убывающей прогрессией  .

Для всех значений «икс» из интервала  получаем  – абсолютно сходящиеся числовые ряды.

Все «иксы» исследованы, «иксов» больше нет!

Ответ: область сходимости ряда:

Надо сказать, неожиданный результат! И ещё следует добавить, что использование признаков Даламбера или Коши здесь однозначно введёт в заблуждение!

Прямая оценка – это «высший пилотаж» математического анализа, но для этого, конечно, требуется опыт, а где-то даже и интуиция.  

А может быть кто-то найдёт путь проще? Пишите! Прецеденты, кстати, есть – несколько раз читатели предлагали более рациональные решения, и я с удовольствием их публиковал.

Успешного вам приземления:)

Пример 11

Найти область сходимости функционального ряда

Моя версия решения совсем близко.

Дополнительный хардкор можно найти в соответствующем разделе сборника Кузнецова (Задачи 11-13). В Интернете (в том числе в источнике по ссылке) можно найти готовые решения, но здесь я должен вас предостеречь –  многие из них неполные, некорректные, а то и вообще ошибочные. И, к слову, это была одна из причин, по которой появилась на свет данная статья.

Давайте подведём итоги трёх уроков и систематизируем наш инструментарий. Итак:

Чтобы найти интервал(ы) сходимости функционального ряда, можно использовать:

1) Признак Даламбера или признак Коши. И если ряд не степенной – проявляем повышенную осторожность, анализируя полученный результат прямой подстановкой различных значений .

2) Признак равномерной сходимости Вейерштрасса. Не забываем!

3) Сопоставление с типовыми числовыми рядами – рулит в общем случае.

После чего исследуем концы найденных интервалов (если нужно) и получаем область сходимости ряда.

Теперь в вашем распоряжении довольно-таки серьёзный арсенал, который позволит справиться практически с любым тематическим заданием.

Желаю успехов!

Решения и ответы:

Пример 2: Решение: значение  не входит в область сходимости ряда.
Используем признак Даламбера:

Ряд сходится при:
 
Таким образом, интервалы сходимости функционального ряда: .
Исследуем сходимость ряда в конечных точках:
если , то ;
если , то .
Оба числовых ряда расходятся, т.к. не выполнен необходимый признак сходимости.

Ответ: область сходимости:

Пример 3: Решение:  (см. область определения логарифма).
Интервал сходимости ряда найдём с помощью радикального признака Коши:

Ряд сходится при:

 (применили основное логарифмическое тождество).
 – интервал сходимости ряда.
Исследуем сходимость ряда на концах найдённого интервала:
если , то  – расходится;
если , то  – расходится.

Ответ: ряд сходится при .

Пример 5: Решение: т.к. знаменатель не может обращаться в ноль, то:
 
Рассмотрим произвольное значение  и исследуем сходимость числового ряда . Сравним данный ряд со сходящимся рядом . Используем предельный признак сравнения:
 – конечное число, отличное от нуля, значит, ряд  сходится вместе с рядом .

Ответ: функциональный ряд сходится на всей числовой прямой кроме точек

Пример 7: Решение: ряд вида сходится условно при и абсолютно – при . Но в нашем случае в числителе находится ещё , и поэтому нужно сделать поправку на 1/2-ю (прибавить). Найдём всю область сходимости ряда:

Исследуем сходимость ряда в конечных точках найденных интервалов:
если , то:  – расходится.
Из аналогичного неравенства  следует, что ряд сходится абсолютно при и при .
Ответ: ряд сходится условно на промежутках  и абсолютно на интервалах .

Пример 9: Решение: проверим, обращается ли знаменатель в ноль при каких-либо действительных значениях :

Функциональный ряд сходится, если:

1) Решим неравенство :

Так как парабола  не пересекает ось абсцисс и её ветви  направлены вверх, то неравенство не имеет решений.
2) Решим неравенство :

Решение:
Таким образом:
 – интервалы сходимости исследуемого функционального ряда. Исследуем его сходимость в точках:
 – расходится;
 – расходится.

Ответ: область сходимости ряда:

Пример 11: Решение: значения  обращают знаменатель в ноль, и поэтому не могут входить в область сходимости ряда.

1) Рассмотрим произвольное значение  и исследуем сходимость числового ряда . Проверим необходимый признак сходимости:
 – не выполнен.
Таким образом, функциональный ряд расходится на .

2) Рассмотрим произвольное значение  интервала :
 – расходится по этой же причине.

3) Исследуем значения  на интервале :
 – сравним данный ряд со сходящимся рядом , используем предельный признак сравнения:
 – конечное число, отличное от нуля, значит, ряд  сходится вместе с прогрессией .

Если же , то получаем ряд  – сходится абсолютно.

Ответ: функциональный ряд сходится при

Автор: Емелин Александр


 Блог Емелина Александра

Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу)

Как можно отблагодарить автора?

Качественные работы без плагиата – Zaochnik.com


© Copyright mathprofi.ru, Александр Емелин, 2010-2017. Копирование материалов сайта запрещено