Высшая математика – просто и доступно!

Если сайт упал, используйте ЗЕРКАЛО: mathprofi.net

Наш форум, библиотека и блог: mathprofi.com

Высшая математика:

Математика для заочников

Математические формулы,
таблицы и другие материалы

Книги по математике

Математические сайты

+-*/^ Удобный калькулятор

+ «Дробовик»   

Учимся решать:

  Карта сайта

Не нашлось нужной задачи?
Сборники готовых решений!

Не получается пример?
Задайте вопрос на форуме!
>>> mathprofi

Обратная связь:

Часто задаваемые вопросы
Гостевая книга Отблагодарить автора >>>

Заметили опечатку / ошибку?
Пожалуйста, сообщите мне об этом

Карта сайта

---

Разложение функций в степенные ряды.
Ряд Тейлора. Ряд Маклорена. Примеры решений

Продолжаем рассматривать теорию и практику степенных рядов. Материал несложный, но для его понимания необходимо уже более или менее хорошо ориентировать в теме. Если Вы только-только приступили к изучению рядов или чувствуйте себя чайником, пожалуйста, начните с урока Ряды для чайников. Примеры решений. Далее следует прочитать статью Степенные ряды. Область сходимости ряда, в частности, Вы должны хорошо понимать, что такое степенной ряд и его область сходимости. А для целей сегодняшнего урока потребуется методический материал Таблица разложений некоторых функций в степенные ряды, его можно раздобыть в кладовке Математические формулы и таблицы. По возможности, таблицу лучше распечатать, поскольку она потребуется не только сейчас, но и в оффлайне.

Понятие суммы степенного ряда

Начнем подходить к теме с воспоминаний. Как мы помним, любой числовой ряд может или сходиться, или расходиться. Если числовой ряд  сходится, то это значит, что сумма его членов равна некоторому конечному числу:

На уроке Степенные ряды. Область сходимости ряда мы рассматривали уже не числовые, а функциональные и степенные ряды. Возьмём тот самый подопытный степенной ряд, который всем понравился: . В ходе исследования было установлено, что этот ряд сходится при . Если числовые ряды сходятся к ЧИСЛАМ, то к чему же сходятся функциональные и степенные ряды? Правильно подумали. Функциональные ряды сходятся к ФУНКЦИЯМ. В частности, суммой ряда  в его области сходимости  является некоторая функция :

Еще раз подчеркиваю, что данный факт справедлив только для найденной области , вне этого промежутка степенной ряд  будет расходиться.

Чтобы всё стало окончательно понятно, рассмотрим примеры с картинками. Я выпишу простейшее табличное разложение синуса в степенной ряд:

Область сходимости ряда:

(По какому принципу получены сами элементарные табличные разложения, мы рассмотрим чуть позже).

Теперь вспоминаем школьный график синуса :

Вот такая симпатичная синусоида. Хмм…. Где-то я уже это видел….

Теперь фишка. Если начертить график бесконечного многочлена , то получится… та же самая синусоида! То есть, наш степенной ряд  сходится к функции . Используя признак Даламбера (см. статью Степенные ряды. Область сходимости ряда), легко проверить, что ряд  сходится при любом «икс»:  (собственно, поэтому в таблице разложений и появилась такая запись об области сходимости).

А что значит вообще «сходится»?  По смыслу глагола – что-то куда-то идёт. Если я возьму первые три члена ряда  и начерчу график многочлена пятой степени, то он лишь отдаленно будет напоминать синусоиду. А вот если составить многочлен из первых ста членов ряда:  и начертить его график, то он будет с синусоидой практически совпадать (на достаточно длинном промежутке). Чем больше членов ряда – тем лучше приближение. И, как уже отмечалось, график бесконечного многочлена – есть в точности синусоида. Иными словами, ряд  сходится к функции  при любом значении «икс».

Рассмотрим более печальный пример, табличное разложение арктангенса:

Область сходимости ряда:

Печаль заключается в том факте, что график бесконечного многочлена   существует и совпадает с графиком арктангенса  только на отрезке  (т.е. в области сходимости ряда):

Вне отрезка  разложение арктангенса в ряд  расходится, и о графике речи не идёт вообще, поскольку каждое значение бесконечного многочлена бесконечно .

Исходя из вышесказанного, можно сформулировать две взаимно обратные задачи:

– найти сумму ряда (функцию) по известному разложению;
– разложить функцию в ряд (если это возможно) и найти область сходимости ряда.

Что проще? Конечно же, разложение – с него и начнём. После чего я рекомендую не затягивать и в ближайшие часы-дни (пока свежи воспоминания) потренироваться в нахождении суммы степенного ряда.

Разложение функций в степенной ряд.
Ряд Тейлора. Ряд Маклорена

Приступим к увлекательному занятию – разложению различных функций в степенные ряды. Сначала пара формул, затем практические задания.

Если функция  в некотором интервале раскладывается в степенной ряд по степеням , то это разложение единственно и задается формулой:

Примечания: надстрочный индекс  в последнем слагаемом обозначает производную «энного» порядка. Вместо буквы «а» в литературе часто можно встретить букву .

Данная формула носит фамилию англичанина Тейлора (ударение на первый слог).

На практике процентах в 95-ти приходится иметь дело с частным случаем формулы Тейлора, когда :

Этот ряд получил известность благодаря шотландцу Маклорену (ударение на второй слог). Разложение Маклорена также называют разложением Тейлора  по степеням .

Вернемся к таблице разложений элементарных функций и выведем разложение экспоненциальной функции:

Как оно получилось? По формуле Маклорена:

Рассмотрим функцию , тогда:

Теперь начинаем находить производные в точке : первую производную, вторую производную, третью производную и т.д.  Это просто, поскольку при дифференцировании экспонента превращается в саму себя:

И так далее….

Совершенно очевидно, что

Подставляем единицы в формулу Маклорена и получаем наше табличное разложение!

Аналогично можно вывести некоторые другие табличные разложения (но далеко не все выводятся именно так).

Примеры разложения функций в ряд Маклорена

В данном параграфе мы рассмотрим типовую задачу на разложение функции в ряд Маклорена и определении области сходимости полученного ряда. Нет, мучаться с нахождением производных не придется, мы будем пользоваться таблицей.

Пример 1

Разложить функцию в ряд Маклорена. Найти область сходимости полученного ряда.

! Эквивалентная формулировка: Разложить функцию в ряд по степеням  

Решение незамысловато, главное, быть внимательным.

Конструируем наш ряд. Плясать начинают, как правило, от функции, разложение которой есть в таблице:

.

В данном случае :

Раскрываем наверху скобки:

Теперь умножаем обе части на «икс»:

В итоге искомое разложение функции в ряд:

Как определить область сходимости? Чем постоянно проводить очевидные рассуждения, проще запомнить: разложения синуса, косинуса и экспоненты сходятся при любом действительном значении (за исключением, конечно, тех случаев, когда, например,  – см. комментарии к табличным разложениям). Домножение  на «икс» не играет никакой роли в плане сходимости, поэтому область сходимости полученного ряда:

Пример 2

Разложить функцию в ряд по степеням . Найти область сходимости ряда.

Это пример для самостоятельного решения.

Я не стал рассматривать простейшие разложения вроде ,  или , поскольку это фактически задача в одно действие. В нужные табличные разложения вместо «альфы» необходимо подставить , ,  и немного причесать полученные ряды. Единственное предостережение – не теряйте по невнимательности степени и знаки.

А сейчас для разнообразия рассмотрим что-нибудь с минусами.

Пример 3

Разложить функцию в ряд по степеням . Найти область сходимости ряда.

В таблице находим похожее разложение:

Трюк прост – перепишем нашу функцию немного по-другому:

Таким образом,  и:

Окончательно:

Теперь нужно определить область сходимости. Согласно таблице, ряд сходится при .
В данном случае :

Так как квадрат неотрицателен, то при раскрытии модуля знак «минус» просто испаряется:

Исследуем сходимость ряда на концах найденного интервала. Значения ,  не входят в область определения функции , но как мы видели в Примере 2, в «проблемной» точке САМ РЯД сходиться может. И поэтому от греха подальше лучше выполнить прямую подстановку концов интервала в найденное разложение. При получаем:  – расходящийся гармонический ряд. И он же получается при

Таким образом, область сходимости ряда:

Но так бывает далеко не всегда:

Простейшее разложение из учебника  сходится ещё в одной точке: . Здесь значение  тоже вне игры, а вот при  сумма получившегося знакочередующегося ряда  в точности равна .

Интересно отметить, что разложение в ряд такого логарифма:

 – сходится уже на обоих концах интервала: (при подстановках ,  получается тот же самый сходящийся ряд )

Таким образом, с логарифмами нужно работать осмотрительно!

Пара примеров для самостоятельного решения:

Пример 4

Разложить функцию в ряд по степеням . Найти область сходимости ряда.

Пляска традиционно начинается от «главной» функции, то есть, начинать нужно с экспоненты.

Пример 5

Разложить функцию в ряд по степеням . Найти область сходимости ряда.

Здесь разложение не такое сложное, но могут возникнуть трудности с нахождением области сходимости полученного ряда.

Полные решения и ответы в конце урока.

Не редкость, когда перед разложением функции в ряд её необходимо предварительно преобразовать. Канонический случай – это разложение функции . Перед тем как ее раскладывать в ряд, необходимо понизить степень с помощью известной тригонометрической формулы: . Решать я этот пример не буду, поскольку он довольно простой, к тому же что-то подобное мы недавно рассмотрели.

Пример 6

Разложить функцию в ряд по степеням . Найти область сходимости ряда.

Смотрим в таблицу и находим наиболее похожее разложение:

Во-первых, вверху должна быть единица, поэтому представляем нашу функцию в виде произведения:
Теперь нам нужно в знаменателе устроить , для этого выносим двойку за скобки:

И сокращаем на два:

В данном случае , таким образом:

В итоге искомое разложение:

Определим область сходимости ряда. Можно пойти длинным и надежным путем – использовать признак Даламбера для полученного степенного ряда , т.е. найти интервал сходимости и т.д. Но можно поступить проще. В таблице указано, что биномиальный ряд сходится при . В данном случае , поэтому:

Умножаем все части неравенства на :
 – интервал сходимости полученного ряда.
Что происходит с рядом  на концах интервала?

При   получаем:  – данный ряд расходится, т.к. не выполнен необходимый признак сходимости,

и при: – расходится по той же причине.

Таким образом, область сходимости полученного ряда:

Пример 7

Разложить функцию в ряд по степеням . Найти область сходимости ряда.

Указание: предварительно функцию следует упростить, используя свойство логарифмов:

Это пример для самостоятельного решения.

Разложение функций в ряд Маклорена необходимо проводить и в ряде других задач, например, в задаче приближенного вычисления определенного интеграла. Кстати, там, помимо нового материала, можно посмотреть примеры других разложений, которые не поместились в этот урок.

Примеры разложения функций в ряд Тейлора по степеням , когда

Данное задание является более сложным и встречается значительно реже, но всё-таки 2-3 примера не помешают. Пригодится.

Вытащим из чулана общую формулу Тейлора:

Еще раз повторю, что вместо буквы «а» на практике часто можно встретить букву .

В чём сложность разложения функции по степеням при ненулевом значении «а»? Сложность состоит в том, что нам не удастся воспользоваться табличными разложениями, и придётся самостоятельно находить и вычислять производные. Или не придётся. Но сначала разберём универсальный «классический» метод с производными.

Очень хорошо если вы проработали урок Производные высших порядков, впрочем, я постараюсь максимально подробно закомментировать оставшиеся задачи.

И сразу небольшой Пример 8

Разложить функцию  в ряд Тейлора по степеням

В данном случае , смотрим на формулу Тейлора, и становится уже всё понятнее.
Теперь предстоит ручная работа по конструированию разложения:

, все производные, начиная с четвёртой производной, будут нулевыми.

Теперь подставляем весь найденный скарб в формулу Тейлора:

Готово. Для проверки можно раскрыть скобки:

Получен исходный многочлен, что и требовалось проверить.

Рассмотрим более содержательные примеры.

Пример 9

Разложить функцию  в ряд Тейлора по степеням . Найти область сходимости полученного ряда.

Решение: Используем  разложение функции в ряд Тейлора по степеням

Хех, опять предстоит ручная работа….

В данном случае:

Замечаем, что с такими раскладами производные можно находить до бесконечности. Поэтому необходимо уловить некоторую закономерность. Найдем ещё третью производную:

А теперь проанализируем найденные производные:

, , .

Закономерность прослеживается: знаки чередуются, в числителе накручивается факториал, а в знаменателе  растёт степень.

Теперь, исходя из выявленной закономерности, нужно составить производную «энного» порядка. В данном случае она выглядит так:

Как проверить, правильно ли составлена энная производная? Подставьте в неё значения , ,  и у вас должны получиться в точности первая, вторая и третья производные. После того, как мы убедились в том, что энная производная составлена правильно, подставляем в неё наше значение:

Теперь осталось все труды подставить в формулу Тейлора и аккуратно провести упрощения:

Далее необходимо найти область сходимости полученного степенного ряда . Это стандартная задача, которую мы многократно прорешивали на уроке Степенные ряды. Область сходимости ряда. Впрочем, из того соображения, что на концах интервала должны сократиться «двойки в степени эн», ответ нетрудно «углядеть» и устно: .

Теперь способ второй. Он основан на замене переменной. Итак, требуется разложить ту же функцию  в ряд Тейлора по степеням , и мы проводим замену:

, откуда выражаем  – и подставляем в нашу функцию:

при этом общая формула Тейлора превращается в формулу Маклорена:

и появляется возможность воспользоваться теми же табличными разложениями!

Таким образом, наша задача свелась к задаче предыдущего параграфа, представим полученную функцию в виде:
 и воспользуемся разложением:
., в данном случае :

, после чего вспоминаем о том, что  и записываем искомое разложение:

, и проверочка заодно получилась.

Возникает вопрос: а зачем тогда возиться с производными? И ответ здесь такой: замена далеко не всегда приводит к желаемому результату, так, например, она совершенно бесполезна в Примере 8, и ещё много для каких функций. Поэтому главным и основополагающим методом следует считать прямое построение ряда через производные.

Заключительный пример для самостоятельного решения:

Пример 10

Разложить функцию  в ряд Тейлора по степеням . Найти область сходимости полученного ряда.

В образце приведены оба способа решения.

Как ваш тонус? Я так и знал, что на высоте! – поэтому самое время потренироваться в нахождении сумм степенных рядов по известным разложениям. Кроме того, на следующем уроке много интересной и... неожиданной информации. Только не злоупотребляйте =)

Желаю успехов!

Решения и ответы:

Автор: Емелин Александр

Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу)

Как можно отблагодарить автора?

Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам,

cкидкa 15% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-hihi5

© Copyright  Александр Емелин, mathprofi.ru, 2010-2024, сделано в Блокноте