Высшая математика – просто и доступно! Если сайт упал, используйте ЗЕРКАЛО: mathprofi.net Наш форум, библиотека и блог: mathprofi.com | |||
Математические формулы,
Высшая математика для чайников, или с чего начать? Аналитическая геометрия:
Векторы для чайников
Элементы высшей алгебры:
Множества и действия над ними
Пределы:
Пределы. Примеры решений
Производные функций:
Как найти производную?
Функции и графики:
Графики и свойства ФНП:
Область определения функции Интегралы:
Неопределенный интеграл.
Дифференциальные уравнения:
Дифференциальные уравнения первого порядка
Числовые ряды:
Ряды для чайников
Функциональные ряды:
Степенные ряды
Кратные интегралы:
Двойные интегралы
Элементы векторного анализа:
Основы теории поля
Комплексный анализ:
ТФКП для начинающих
Теория вероятностей:
Основы теории вероятностей
Математическая статистика:
Математическая статистика
Не нашлось нужной задачи? Не получается пример?
Часто задаваемые вопросы Заметили опечатку / ошибку? |
Криволинейные интегралы. Понятие и примеры решенийЖизнь такова, что из любой новой темы (не обязательно научной) пытливый человеческий ум стремится «выжать» по максимуму – все идеи и все возможности. Появилось понятие вектора, и, пожалуйста – курс аналитической геометрии не заставил себя ждать. А также дифференциальная геометрия, теории поля и прочие гранитные плиты для зубов разной крепости. Пришла наука к понятию производной – …ну, думаю, тут объяснять не нужно! …некоторые до сих пор отойти не могут =) И интегралы тоже не стали исключением из этого правила. Давайте посмотрим на криволинейную трапецию и вспомним классическую схему интегрального исчисления: Аналогично выводятся формулы объема тела вращения, длины дуги кривой и др. Более того, наводящие ужас кратные интегралы «устроены» принципиально так же – по существу, они отличается только областью интегрирования: у двойных интегралов – это не отрезок, а плоская фигура, у тройных – пространственное тело. И, чтобы у вас сразу отлегло от сердца – наши «сегодняшние» криволинейные интегралы далеки от «ужаса», они больше похожи на «обычные» На уроке о пределе функции двух переменных я придумал реалистичную модель, которая снискала большую популярность – да такую, что там каждый день собираются целые экскурсии =) Итак, паркет вашей комнаты – это координатная плоскость , в углу стоит ось , а вверху «зависло» расправленное одеяло, заданное функцией . Возьмите в руки мел и начертите на полу под одеялом произвольную кривую . Как вариант, у неё могут быть «острые углы» – такая линия называется кусочно-гладкой. Можно изобразить даже ломаную. ВажнА спрямляемость (см. урок о методах Эйлера) и непрерывность пути интегрирования. Теперь суть: Представьте, что от одеяла осталась всего лишь одна нитка – лежащая над кривой . Вертикальная поверхность, расположенная между кривой «эль» и этой «ниткой» представляет собой фрагмент криволинейного цилиндра. Представили? Отлично! Криволинейный интеграл первого родаимеет вид и по модулю* равен площади данного фрагмента. * Если график целиком или бОльшей частью расположен ниже плоскости , то площадь получится со знаком «минус». Согласно общему принципу интегрирования, произведение бесконечно малого кусочка кривой на соответствующую высоту равно бесконечно малому элементу площади данной поверхности:. А криволинейный интеграл как раз и объединяет эти элементы вдоль всей кривой: . ! Важно: во многих источниках информации дифференциал дуги кривой обозначают через , что, на мой взгляд, не слишком удачный выбор. Если на плоскости вместо кривой начертить отрезок прямой, то получится не что иное, как плоская криволинейная трапеция, параллельная оси . Соответствующий интеграл хоть и каламбурно, но с полным правом можно назвать «прямолинейным». В частности, если подынтегральная функция задаёт плоскость , то криволинейный интеграл равен площади «ленты» единичной высоты, а также и длине самой линии интегрирования: . Как вычислить криволинейный интеграл 1-го рода?Пусть точки являются концами линии , а сама она задана функцией одной переменной . Тогда криволинейный интеграл первого рода можно свести к обычному определённому интегралу по следующей формуле: Знак модуля обусловлен природой рассматриваемого интеграла: поскольку дифференциал не может быть отрицательным (это же элемент длины), то при переходе к определённому интегралу нужно соблюсти статус-кво. В случае «арабского» интегрирования справа налево (когда ) значения «икс» убывают и поэтому – в результате чего появляется побочный минус, подлежащий немедленной ликвидации. Общую формулу можно расписать подробно: В частности, при получается хорошо знакомая формула длины дуги кривой . Вот так-то оно бывает – оказывается, криволинейные интегралы мы уже решали! И теперь вам совсем не нужно решимости:) Пример 1 Вычислить интеграл от точки до точки , если кривая задана уравнением Решение: перед нами каноническое уравнение параболы, и коль скоро в условии дана точка , то речь идёт о её верхней ветке: . Желающие могут выполнить чертёж. Кстати, вне зависимости от его простоты, иногда это бывает обязательным требованием условия. В данной задаче имеет место наиболее распространённый случай , а значит, нужно использовать формулу . Сначала удобно найти производную и упростить корень: Так как и , то – грубо говоря, на данном шаге мы избавляемся от «игреков». Предварительная подготовка завершена, пользуемся формулой: Здесь можно провести замену переменной, но гораздо сподручнее подвести подкоренное выражение под знак дифференциала и обойтись без перехода к новым пределам интегрирования: Ответ: Если вычислить тот же самый интеграл от точки до точки , то результат не изменится. В этом случае «икс» будет убывать от 1 до 0, следовательно, дифференциал станет отрицательным и при переходе к определённому интегралу потребуется добавить знак «минус»: Таким образом, криволинейный интеграл 1-го рода не зависит от направления интегрирования: В этой связи типовая задача, как правило, формулируется «нейтрально»: вычислить интеграл вдоль дуги параболы , расположенной между точками . Иными словами, совершенно не важно, какая из точек является началом, а какая – концом кривой. Следует отметить, что криволинейный интеграл можно вычислить и другим способом. Поскольку буква «игрек» ничем не хуже «икса», то для вычисления криволинейного интеграла 1-го рода справедлива «зеркальная» формула (тривиальный вариант ): При переходе от к мы должны избавиться от всех «иксов», однако функция от них не зависит, а значит, делать ничего не нужно. И, учитывая, что для «игрековых» координат точек справедливо неравенство , доводим решение до того же самого результата: В чём состоит геометрический смысл разобранной задачи? На плоскости между точками и находится кусок параболы , через который проходит «одноимённый» параболический цилиндр , «высекающий» из плоскости пространственную «ниточку». Криволинейный интеграл численно равен площади фрагмента параболического цилиндра, который расположен между куском параболы и этой «ниткой». Как я уже отмечал, криволинейный интеграл может получиться отрицательным – это означает, что фрагмент полностью или бОльшей частью лежит ниже плоскости . Не удивляйтесь и нулю (в каких случаях?). То есть, «всё как у нормальных интегралов». Замысловатый пример для самостоятельного решения: Пример 2 Вычислить площадь фрагмента цилиндрической поверхности во 2-м и 6-м октантах , который высечен плоскостью и гиперболическим параболоидом . Ситуацию крайне важно представить геометрически – надеюсь, на данный момент все знают, как выглядит круговой цилиндр ; картинку же последней поверхности можно найти в начале урока об экстремумах функций двух и трёх переменных (3-й чертёж). Также будет полезно изобразить на плоскости кривую интегрирования. Краткое решение с комментариями в конце урока – тот, кто правильно во всём разберётся, может считать себя «самоваром» интегралов =) Довольно часто линия бывает задана параметрическими уравнениями , и в этом случае нужно использовать следующую формулу: В частности, при получается опять же знакомая формула длины параметрически заданной кривой: Пример 3 Вычислить криволинейный интеграл по дуге окружности при изменении параметра . Параметрические уравнения эллипса и окружности я разбирал в тематической статье о площади и объёме, и поэтому если вам не понятен их смысл (или вообще смысл параметрического задания функции), то милости прошу по ссылке. Решение: указанным пределам изменения параметра соответствует левая верхняя дуга единичной окружности: Как и в предыдущих примерах, сначала удобно найти производные и причесать корень: Итак: Ответ: Два последних примера похожи, как близкие родственники, однако между ними есть существенное различие: в Примере 2 требовалось найти площадь, и поэтому было принципиально важно проанализировать положение поверхности относительно плоскости . В третьем же примере нужно было вычислить интеграл формально. Как видите, различие здесь точно такое же, как и между вычислением площади с помощью определённого интеграла и «просто» вычислением определённого интеграла. И, разумеется, криволинейные интегралы обладают всеми типичными свойствами «клана интегралов», в частности, для них справедливо свойство линейности: а также свойство аддитивности: если на линии выбрать промежуточную точку , то интеграл можно разделить на две части: Или вот такой – более практически важный пример, …сейчас что-нибудь придумаю, чтобы легко было нарисовать в уме,… предположим, нам нужно вычислить криволинейный интеграл по ломаной : Да без проблем – представим его в виде суммы двух интегралов по отрезкам : И на всякий пожарный формула для кривой, заданной уравнением в полярных координатах: Кроме того, у криволинейного интеграла 1-го рода существуют физические приложения, в частности, с помощью него можно вычислить массу плоской дуги , если – функция её плотности. Впрочем, криволинейные интегралы 1-го рода – это вообще нечастый гость в самостоятельных и контрольных работах (по крайне мере, у студентов-заочников), однако если вам этих примеров не достаточно, то загляните, например, во 2-й том К.А. Бохана. Там, к слову, вполне доступно разобрана и теория. Мой же урок ориентирован на реальную практику, и по этой причине значительная его часть будет посвящена криволинейным интегралам второго рода«Реалити-шоу» точно такое же. Отличие будет в способе интегрирования. Если в интеграле мы объединяли бесконечно малые кусочки самой линии , то сейчас интегрирование пойдёт по проекциям этих кусочков на ось абсцисс: Но в большинстве задач приходится иметь дело с так называемой общей формой криволинейного интеграла от двух функций: С практической точки зрения будут важнЫ те же свойства линейности и аддитивности, а также тот факт, что: криволинейный интеграл 2-го рода зависит от направления интегрирования, причём: И в самом деле – здесь же интегрирование осуществляется не по длинам (которые беспрекословно положительны), а по их безразмерным проекциям, которые могут быть и отрицательными. С чисто формальной точки зрения криволинейный интеграл 2-го рода «опознаётся» по наличию в подынтегральном выражении дифференциалов (намного реже – какого-то одного), и алгоритм его решения гораздо бесхитростнее, нежели «разборки» со «старшим братом»: Пример 4 Вычислить криволинейный интеграл , где – отрезок прямой от точки до точки . Выполнить чертёж. Решение: на первом шаге нам нужно найти уравнение прямой, которая содержит отрезок . Составим его по двум точкам: Несмотря на то, что линия интегрирования весьма простА, по условию требуется выполнить чертёж: Криволинейный интеграл 2-го рода тоже сводится к определённому интегралу с «избавлением» либо от всех «игреков», либо от всех «иксов». Способ первый, традиционный, где осуществляется переход к интегрированию по переменной . Пределы интегрирования, как нетрудно догадаться, соответствуют «иксовым» координатам точек , при этом не имеет значения, какой из них больше, а какой меньше; НО, принципиально важен порядок – интегрировать нужно строго по заданному направлению: от 1 до 3. Берём уравнение линии и находим дифференциал: Подставим и в подынтегральное выражение – всё настолько прозрачно, что я даже формулу записывать не буду: Ответ: Если проинтегрировать наоборот – от точки до точки , то получится то же самое, только с другим знаком: – в силу известного свойства определённого интеграла. Способ второй состоит в переходе к интегрированию по переменной . Для этого из уравнения выразим обратную функцию: Перейдём к определённому интегралу от 1 до 2 («игрековые» координаты точек и ), подставив при этом в подынтегральное выражение и : Второй способ оказался технически труднее, но, разумеется, бывает и наоборот. Поэтому перед решением всегда полезно «прикинуть» оба пути. И да – проверка же, не ленИтесь! Но тут есть исключение: если фрагмент или весь путь интегрирования параллелен координатной оси, то способ остаётся только один! Ибо проекция этого участка на другую ось равна нулю. Ответ: Для самостоятельного решения я всегда стараюсь подбирать наиболее интересные задачи, которые мои студенты всегда выполняют с большим энтузиазмом Пример 5 Вычислить криволинейный интеграл от точки до точки вдоль ломаной, состоящей из отрезков прямых . Выполнить чертёж. Краткое решение и ответ в конце урока. У многих читателей наверняка назрел вопрос: в чём смысл такого интегрирования? У криволинейных интегралов 2-го рода есть каноничный физический смысл (и не только), с которым мы непременно познакомимся на следующем уроке (Интегрирование по замкнутому контуру и формула Грина). Всё будет – и примеры, и пояснения, и ссылки. А пока нарабатываем технические навыки. Пример 6 Вычислить криволинейный интеграл , где – дуга кривой от точки до точки . Решение: для удобства выполним чертёж, не забывая подметить, что линия интегрирования не может пересекать ось ординат (т.к. ), впрочем, она здесь заведомо не может – ибо логарифм: 1) Вычислим . Так как , то (впрочем, дифференциал нам потребует только в пункте 2), изменяется от 1 до : Надеюсь, на данный момент все читатели понимают, как решать интеграл подведением функции под знак дифференциала. Результат, кстати, не помешает проверить интегрированием по «игрек»: , что и требовалось проверить. Напоминаю, что второй путь можно смело выбирать и за основной. Со второй частью всё проще: 2) Контроль по «игрек»: Осталось просуммировать полученные значения: Ответ: Разделение интеграла особенно удобно в тех случаях, когда подынтегральное выражение сильно «наворочено». Очередная «бомба» для самостоятельного решения: Пример 7 Проверить, существует ли интеграл по данной кривой, и вычислить его, если это возможно Вспоминаем, как интегрируются дроби. Краткое решение и ответ в конце урока. И в заключение урока пара ласковых о параметрически заданной кривой: Пример 8 Вычислить криволинейный интеграл по кривой Решение: чертежа здесь, благо, чертить не требуется, да он и не нужен – условие таково, что снимай данные, да решай. Как решать? Объясню буквально в 7 словах:) – в подынтегральном выражении нужно всё выразить через параметр. При этом во многих случаях, и в этом в частности, «начинку» удобно обработать отдельно. Сначала разбираемся с дифференциалами: Теперь без спешки и ВНИМАТЕЛЬНО подставляем их вместе с прародителями в подынтегральное выражение, после чего аккуратно проводим упрощения: И что приятно, тут не нужно думать над пределами изменения параметра: Ответ: Самостоятельно: Пример 9 Вычислить криволинейный интеграл по верхней половине эллипса . Интегрировать против часовой стрелки. Статья о площади и объёме для параметрически заданной линии в помощь (Пример 2). Краткое решение и ответ совсем рядом. Во второй части урока мы рассмотрим интереснейший случай интегрирования по замкнутому контуру, а также физический смысл криволинейного интеграла 2-го рода. Жду вас с нетерпением! Решения и ответы: Пример 2: Решение: проекцией цилиндра на плоскость является «одноимённая» окружность единичного радиуса: Пример 5: Решение: выполним чертёж: 1) На отрезке : изменяется от 1 до 3: Примечание: т.к. параллелен оси абсцисс, то 2-й способ применить нельзя! 2) На отрезке : изменяется от 3 до 4: Ответ: Пример 7: Решение: линия интегрирования спрямляема, непрерывна и не пересекает прямые , значит, данный криволинейный интеграл существует. Выполним чертёж: 1) Вычислим . 2) Вычислим . Таким образом: Ответ: интеграл по данной кривой существует и равен Пример 9: Решение: запишем параметрические уравнения эллипса: Ответ: Автор: Емелин Александр Высшая математика для заочников и не только >>> (Переход на главную страницу) Как можно отблагодарить автора? |
© Copyright Александр Емелин, mathprofi.ru, 2010-2024, сделано в Блокноте |