![]() ![]() ![]()
| |||
Математические формулы,
Высшая математика для чайников, или с чего начать? Аналитическая геометрия:
Векторы для чайников
Элементы высшей алгебры:
Множества и действия над ними
Пределы:
Пределы. Примеры решений
Производные функций:
Как найти производную?
Функции и графики:
Графики и свойства ФНП:
Область определения функции Интегралы:
Неопределенный интеграл.
Дифференциальные уравнения:
Дифференциальные уравнения первого порядка
Числовые ряды:
Ряды для чайников
Функциональные ряды:
Степенные ряды
Кратные интегралы:
Двойные интегралы
Элементы векторного анализа:
Основы теории поля
Комплексный анализ:
ТФКП для начинающих
Теория вероятностей:
Основы теории вероятностей
Математическая статистика:
Математическая статистика
Не нашлось нужной задачи? Не получается пример?
Часто задаваемые вопросы Заметили опечатку / ошибку? |
![]()
Криволинейные интегралы. Понятие и примеры решенийЖизнь такова, что из любой новой темы (не обязательно научной) пытливый человеческий ум стремится «выжать» по максимуму – все идеи и все возможности. Появилось понятие вектора, и, пожалуйста – курс аналитической геометрии не заставил себя ждать. А также дифференциальная геометрия, теории поля и прочие гранитные плиты для зубов разной крепости. Пришла наука к понятию производной – …ну, думаю, тут объяснять не нужно! …некоторые до сих пор отойти не могут =) И интегралы тоже не стали исключением из этого правила. Давайте посмотрим на криволинейную трапецию и вспомним классическую схему интегрального исчисления: Аналогично выводятся формулы объема тела вращения, длины дуги кривой и др. Более того, наводящие ужас кратные интегралы «устроены» принципиально так же – по существу, они отличается только областью интегрирования: у двойных интегралов – это не отрезок, а плоская фигура, у тройных – пространственное тело. И, чтобы у вас сразу отлегло от сердца – наши «сегодняшние» криволинейные интегралы далеки от «ужаса», они больше похожи на «обычные» На уроке о пределе функции двух переменных я придумал реалистичную модель, которая снискала большую популярность – да такую, что там каждый день собираются целые экскурсии =) Итак, паркет вашей комнаты – это координатная плоскость Возьмите в руки мел и начертите на полу под одеялом произвольную кривую Представьте, что от одеяла осталась всего лишь одна нитка – лежащая над кривой Криволинейный интеграл первого родаимеет вид * Если график Согласно общему принципу интегрирования, произведение бесконечно малого кусочка ! Важно: во многих источниках информации дифференциал дуги кривой Если на плоскости В частности, если подынтегральная функция задаёт плоскость Как вычислить криволинейный интеграл 1-го рода?Пусть точки Знак модуля обусловлен природой рассматриваемого интеграла: поскольку дифференциал В частности, при Пример 1 Вычислить интеграл Решение: перед нами каноническое уравнение параболы, и коль скоро в условии дана точка Желающие могут выполнить чертёж. Кстати, вне зависимости от его простоты, иногда это бывает обязательным требованием условия. В данной задаче имеет место наиболее распространённый случай Сначала удобно найти производную и упростить корень: Так как Предварительная подготовка завершена, пользуемся формулой: Здесь можно провести замену переменной, но гораздо сподручнее подвести подкоренное выражение под знак дифференциала и обойтись без перехода к новым пределам интегрирования: Ответ: Если вычислить тот же самый интеграл от точки Таким образом, криволинейный интеграл 1-го рода не зависит от направления интегрирования: В этой связи типовая задача, как правило, формулируется «нейтрально»: вычислить интеграл Следует отметить, что криволинейный интеграл можно вычислить и другим способом. Поскольку буква «игрек» ничем не хуже «икса», то для вычисления криволинейного интеграла 1-го рода справедлива «зеркальная» формула (тривиальный вариант При переходе от И, учитывая, что для «игрековых» координат точек В чём состоит геометрический смысл разобранной задачи? На плоскости Как я уже отмечал, криволинейный интеграл может получиться отрицательным – это означает, что фрагмент полностью или бОльшей частью лежит ниже плоскости Замысловатый пример для самостоятельного решения: Пример 2 Вычислить площадь фрагмента цилиндрической поверхности Ситуацию крайне важно представить геометрически – надеюсь, на данный момент все знают, как выглядит круговой цилиндр Краткое решение с комментариями в конце урока – тот, кто правильно во всём разберётся, может считать себя «самоваром» интегралов =) Довольно часто линия В частности, при Пример 3 Вычислить криволинейный интеграл Параметрические уравнения эллипса и окружности я разбирал в тематической статье о площади и объёме, и поэтому если вам не понятен их смысл (или вообще смысл параметрического задания функции), то милости прошу по ссылке. Решение: указанным пределам изменения параметра соответствует левая верхняя дуга единичной окружности: Как и в предыдущих примерах, сначала удобно найти производные и причесать корень: Итак: Ответ: Два последних примера похожи, как близкие родственники, однако между ними есть существенное различие: в Примере 2 требовалось найти площадь, и поэтому было принципиально важно проанализировать положение поверхности И, разумеется, криволинейные интегралы обладают всеми типичными свойствами «клана интегралов», в частности, для них справедливо свойство линейности: а также свойство аддитивности: если на линии Или вот такой – более практически важный пример, …сейчас что-нибудь придумаю, чтобы легко было нарисовать в уме,… предположим, нам нужно вычислить криволинейный интеграл по ломаной Да без проблем – представим его в виде суммы двух интегралов по отрезкам И на всякий пожарный формула для кривой, заданной уравнением Кроме того, у криволинейного интеграла 1-го рода существуют физические приложения, в частности, с помощью него можно вычислить массу плоской дуги Впрочем, криволинейные интегралы 1-го рода – это вообще нечастый гость в самостоятельных и контрольных работах (по крайне мере, у студентов-заочников), однако если вам этих примеров не достаточно, то загляните, например, во 2-й том К.А. Бохана. Там, к слову, вполне доступно разобрана и теория. Мой же урок ориентирован на реальную практику, и по этой причине значительная его часть будет посвящена криволинейным интегралам второго рода«Реалити-шоу» точно такое же. Отличие будет в способе интегрирования. Если в интеграле Но в большинстве задач приходится иметь дело с так называемой общей формой криволинейного интеграла от двух функций: С практической точки зрения будут важнЫ те же свойства линейности и аддитивности, а также тот факт, что: криволинейный интеграл 2-го рода зависит от направления интегрирования, причём: И в самом деле – здесь же интегрирование осуществляется не по длинам С чисто формальной точки зрения криволинейный интеграл 2-го рода «опознаётся» по наличию в подынтегральном выражении дифференциалов Пример 4 Вычислить криволинейный интеграл Решение: на первом шаге нам нужно найти уравнение прямой, которая содержит отрезок Несмотря на то, что линия интегрирования весьма простА, по условию требуется выполнить чертёж: Криволинейный интеграл 2-го рода тоже сводится к определённому интегралу с «избавлением» либо от всех «игреков», либо от всех «иксов». Способ первый, традиционный, где осуществляется переход к интегрированию по переменной Берём уравнение линии Подставим Ответ: Если проинтегрировать наоборот – от точки Способ второй состоит в переходе к интегрированию по переменной Перейдём к определённому интегралу от 1 до 2 («игрековые» координаты точек Второй способ оказался технически труднее, но, разумеется, бывает и наоборот. Поэтому перед решением всегда полезно «прикинуть» оба пути. И да – проверка же, не ленИтесь! Но тут есть исключение: если фрагмент или весь путь интегрирования параллелен координатной оси, то способ остаётся только один! Ибо проекция этого участка на другую ось равна нулю. Ответ: Для самостоятельного решения я всегда стараюсь подбирать наиболее интересные задачи, которые мои студенты всегда выполняют с большим энтузиазмом Пример 5 Вычислить криволинейный интеграл Краткое решение и ответ в конце урока. У многих читателей наверняка назрел вопрос: в чём смысл такого интегрирования? У криволинейных интегралов 2-го рода есть каноничный физический смысл (и не только), с которым мы непременно познакомимся на следующем уроке (Интегрирование по замкнутому контуру и формула Грина). Всё будет – и примеры, и пояснения, и ссылки. А пока нарабатываем технические навыки. Пример 6 Вычислить криволинейный интеграл Решение: для удобства выполним чертёж, не забывая подметить, что линия интегрирования не может пересекать ось ординат (т.к. 1) Вычислим Надеюсь, на данный момент все читатели понимают, как решать интеграл подведением функции под знак дифференциала. Результат, кстати, не помешает проверить интегрированием по «игрек»:
Со второй частью всё проще: 2) Контроль по «игрек»: Осталось просуммировать полученные значения: Ответ: Разделение интеграла особенно удобно в тех случаях, когда подынтегральное выражение сильно «наворочено». Очередная «бомба» для самостоятельного решения: Пример 7 Проверить, существует ли интеграл по данной кривой, и вычислить его, если это возможно Вспоминаем, как интегрируются дроби. Краткое решение и ответ в конце урока. И в заключение урока пара ласковых о параметрически заданной кривой: Пример 8 Вычислить криволинейный интеграл Решение: чертежа здесь, благо, чертить не требуется, да он и не нужен – условие таково, что снимай данные, да решай. Как решать? Объясню буквально в 7 словах:) – в подынтегральном выражении нужно всё выразить через параметр. При этом во многих случаях, и в этом в частности, «начинку» удобно обработать отдельно. Сначала разбираемся с дифференциалами: Теперь без спешки и ВНИМАТЕЛЬНО подставляем их вместе с прародителями И что приятно, тут не нужно думать над пределами изменения параметра: Ответ: Самостоятельно: Пример 9 Вычислить криволинейный интеграл Статья о площади и объёме для параметрически заданной линии в помощь (Пример 2). Краткое решение и ответ совсем рядом. Во второй части урока мы рассмотрим интереснейший случай интегрирования по замкнутому контуру, а также физический смысл криволинейного интеграла 2-го рода. Жду вас с нетерпением! Решения и ответы: Пример 2: Решение: проекцией цилиндра Пример 5: Решение: выполним чертёж: 1) На отрезке Примечание: т.к. 2) На отрезке Ответ: Пример 7: Решение: линия интегрирования спрямляема, непрерывна и не пересекает прямые 1) Вычислим 2) Вычислим Таким образом: Ответ: интеграл по данной кривой существует и равен Пример 9: Решение: запишем параметрические уравнения эллипса: Ответ: Автор: Емелин Александр Высшая математика для заочников и не только >>> (Переход на главную страницу) Как можно отблагодарить автора? ![]() |
|