Высшая математика – просто и доступно!

Если сайт упал, используйте ЗЕРКАЛО: mathprofi.net

Наш форум, библиотека и блог: mathprofi.com

Высшая математика:

Математика для заочников

Математические формулы,
таблицы и другие материалы

Книги по математике

Математические сайты

+-*/^ Удобный калькулятор

+ «Дробовик»   

Учимся решать:

  Карта сайта

Не нашлось нужной задачи?
Сборники готовых решений!

Не получается пример?
Задайте вопрос на форуме!
>>> mathprofi

Обратная связь:

Часто задаваемые вопросы
Гостевая книга Отблагодарить автора >>>

Заметили опечатку / ошибку?
Пожалуйста, сообщите мне об этом

Карта сайта

---

Криволинейные интегралы. Понятие и примеры решений

Жизнь такова, что из любой новой темы (не обязательно научной) пытливый человеческий ум стремится «выжать» по максимуму – все идеи и все возможности. Появилось понятие вектора, и, пожалуйста – курс аналитической геометрии не заставил себя ждать. А также дифференциальная геометрия, теории поля и прочие гранитные плиты для зубов разной крепости. Пришла наука к понятию производной – …ну, думаю, тут объяснять не нужно! …некоторые до сих пор отойти не могут =)

И интегралы тоже не стали исключением из этого правила. Давайте посмотрим на криволинейную трапецию и вспомним классическую схему интегрального исчисления:

– отрезок  дробится на части;
– составляется интегральная сумма, которая равна площади ступенчатой фигуры;
– и, наконец, количество отрезков разбиения устремляется к бесконечности – в результате чего эта фигура превращается в криволинейную трапецию площади .

Аналогично выводятся формулы объема тела вращения, длины дуги кривой и др.

Более того, наводящие ужас кратные интегралы «устроены» принципиально так же – по существу, они отличается только областью интегрирования: у двойных интегралов – это не отрезок, а плоская фигура, у тройных – пространственное тело.

И, чтобы у вас сразу отлегло от сердца – наши «сегодняшние» криволинейные интегралы далеки от «ужаса», они больше похожи на «обычные» кошмары интегралы. Уже из самого названия нетрудно догадаться, что областью интегрирования таких интегралов являются кривые линии (но иногда полностью либо частично – прямые).

На уроке о пределе функции двух переменных я придумал реалистичную модель, которая снискала большую популярность – да такую, что там каждый день собираются целые экскурсии =) Итак, паркет вашей комнаты – это координатная плоскость , в углу стоит ось , а вверху «зависло» расправленное одеяло, заданное функцией .

Возьмите в руки мел и начертите на полу под одеялом произвольную кривую . Как вариант, у неё могут быть «острые углы» – такая линия называется кусочно-гладкой. Можно изобразить даже ломаную. ВажнА спрямляемость (см. урок о методах Эйлера) и непрерывность пути интегрирования. Теперь суть:

Представьте, что от одеяла осталась всего лишь одна нитка – лежащая над кривой . Вертикальная поверхность, расположенная между кривой «эль» и этой «ниткой» представляет собой фрагмент криволинейного цилиндра. Представили? Отлично!

Криволинейный интеграл первого рода

имеет вид  и по модулю* равен площади   данного фрагмента.

* Если график  целиком или бОльшей частью расположен ниже плоскости , то площадь получится со знаком «минус».

Согласно общему принципу интегрирования, произведение бесконечно малого кусочка  кривой  на соответствующую высоту  равно бесконечно малому элементу площади данной поверхности:. А криволинейный интеграл как раз и объединяет эти элементы  вдоль всей кривой: .

! Важно: во многих источниках информации дифференциал дуги кривой  обозначают через , что, на мой взгляд, не слишком удачный выбор.

Если на плоскости  вместо кривой начертить отрезок прямой, то получится не что иное, как плоская криволинейная трапеция, параллельная оси . Соответствующий интеграл хоть и каламбурно, но с полным правом можно назвать «прямолинейным».

В частности, если подынтегральная функция задаёт плоскость , то криволинейный интеграл равен площади «ленты» единичной высоты, а также и длине самой линии интегрирования: .
…Чего только не придумаешь, чтобы не делать чертежей =)

Как вычислить криволинейный интеграл 1-го рода?

Пусть точки  являются концами линии , а сама она задана функцией одной переменной . Тогда криволинейный интеграл первого рода можно свести к обычному определённому интегралу по следующей формуле:

Знак модуля обусловлен природой рассматриваемого интеграла: поскольку дифференциал  не может быть отрицательным (это же элемент длины), то при переходе к определённому интегралу нужно соблюсти статус-кво. В случае «арабского» интегрирования справа налево (когда ) значения «икс» убывают и поэтому  – в результате чего появляется побочный минус, подлежащий немедленной ликвидации. Общую формулу можно расписать подробно:
, если  (стандартный случай) или:
, если .

В частности, при  получается хорошо знакомая формула длины дуги кривой . Вот так-то оно бывает – оказывается, криволинейные интегралы мы уже решали! И теперь вам совсем не нужно решимости:)

Пример 1

Вычислить интеграл  от точки  до точки , если кривая  задана уравнением

Решение: перед нами каноническое уравнение параболы, и коль скоро в условии дана точка , то речь идёт о её верхней ветке: .

Желающие могут выполнить чертёж. Кстати, вне зависимости от его простоты, иногда это бывает обязательным требованием условия.

В данной задаче имеет место наиболее распространённый случай , а значит, нужно использовать формулу .

Сначала удобно найти производную и упростить корень:

Так как  и , то  – грубо говоря, на данном шаге мы избавляемся от «игреков».

Предварительная подготовка завершена, пользуемся формулой:

Здесь можно провести замену переменной, но гораздо сподручнее подвести подкоренное выражение под знак дифференциала и обойтись без перехода к новым пределам интегрирования:

Ответ:

Если вычислить тот же самый интеграл от точки  до точки , то результат не изменится. В этом случае «икс» будет убывать от 1 до 0, следовательно, дифференциал  станет отрицательным и при переходе к определённому интегралу потребуется добавить знак «минус»:

Таким образом, криволинейный интеграл 1-го рода не зависит от направления интегрирования:

В этой связи типовая задача, как правило, формулируется «нейтрально»: вычислить интеграл  вдоль дуги параболы , расположенной между точками . Иными словами, совершенно не важно, какая из точек является началом, а какая – концом кривой.

Следует отметить, что криволинейный интеграл можно вычислить и другим способом. Поскольку буква «игрек» ничем не хуже «икса», то для вычисления криволинейного интеграла 1-го рода справедлива «зеркальная» формула (тривиальный вариант ):
, где  – обратная функция, выражающая линию . В нашей задаче:

При переходе от  к   мы должны избавиться от всех «иксов», однако функция  от них не зависит, а значит, делать ничего не нужно.

И, учитывая, что для «игрековых» координат точек  справедливо неравенство , доводим решение до того же самого результата:

В чём состоит геометрический смысл разобранной задачи? На плоскости  между точками  и  находится кусок параболы , через который проходит «одноимённый» параболический цилиндр , «высекающий» из плоскости  пространственную «ниточку». Криволинейный интеграл  численно равен площади  фрагмента параболического цилиндра, который расположен между куском параболы и этой «ниткой».

Как я уже отмечал, криволинейный интеграл может получиться отрицательным – это означает, что фрагмент полностью или бОльшей частью лежит ниже плоскости . Не удивляйтесь и нулю (в каких случаях?). То есть, «всё как у нормальных интегралов».

Замысловатый пример для самостоятельного решения:

Пример 2

Вычислить площадь фрагмента цилиндрической поверхности  во 2-м и 6-м октантах , который высечен плоскостью  и гиперболическим параболоидом .

Ситуацию крайне важно представить геометрически – надеюсь, на данный момент все знают, как выглядит круговой цилиндр ; картинку же последней поверхности можно найти в начале урока об экстремумах функций двух и трёх переменных (3-й чертёж). Также будет полезно изобразить на плоскости  кривую интегрирования.

Краткое решение с комментариями в конце урока – тот, кто правильно во всём разберётся, может считать себя «самоваром» интегралов =)

Довольно часто линия  бывает задана параметрическими уравнениями , и в этом случае нужно использовать следующую формулу:
 – если значение параметра возрастает . И для убывающего параметра :

В частности, при  получается опять же знакомая формула длины параметрически заданной кривой:

Пример 3

Вычислить криволинейный интеграл  по дуге окружности   при изменении параметра .

Параметрические уравнения эллипса и окружности я разбирал в тематической статье о площади и объёме, и поэтому если вам не понятен их смысл (или вообще смысл параметрического задания функции), то милости прошу по ссылке.

Решение: указанным пределам изменения параметра соответствует левая верхняя дуга единичной окружности:

По условию, значение параметра возрастает, поэтому:

Нет, конечно, можно интегрировать и от  до  с добавочным минусом, но зачем?

Как и в предыдущих примерах, сначала удобно найти производные и причесать корень:

…мда, тут вообще стрижка наголо получилась =)

Итак:

Ответ:

Два последних примера похожи, как близкие родственники, однако между ними есть существенное различие: в Примере 2 требовалось найти площадь, и поэтому было принципиально важно проанализировать положение поверхности  относительно плоскости . В третьем же примере нужно было вычислить интеграл формально. Как видите, различие здесь точно такое же, как и между вычислением площади с помощью определённого интеграла и «просто» вычислением определённого интеграла.

И, разумеется, криволинейные интегралы обладают всеми типичными свойствами «клана интегралов», в частности, для них справедливо свойство линейности:

а также свойство аддитивности: если на линии  выбрать промежуточную точку , то интеграл можно разделить на две части:

Или вот такой – более практически важный пример, …сейчас что-нибудь придумаю, чтобы легко было нарисовать в уме,… предположим, нам нужно вычислить криволинейный интеграл по ломаной :
, где .

Да без проблем – представим его в виде суммы двух интегралов по отрезкам :
  – и вперёд с песнями.

И на всякий пожарный формула для кривой, заданной уравнением  в полярных координатах:

Кроме того, у криволинейного интеграла 1-го рода существуют физические приложения, в частности, с помощью него можно вычислить массу плоской дуги , если  – функция её плотности.

Впрочем, криволинейные интегралы 1-го рода – это вообще нечастый гость в самостоятельных и контрольных работах (по крайне мере, у студентов-заочников), однако если вам этих примеров не достаточно, то загляните, например, во 2-й том К.А. Бохана. Там, к слову, вполне доступно разобрана и теория.

Мой же урок ориентирован на реальную практику, и по этой причине значительная его часть будет посвящена

криволинейным интегралам второго рода

«Реалити-шоу» точно такое же. Отличие будет в способе интегрирования. Если в интеграле  мы объединяли бесконечно малые кусочки  самой линии , то сейчас интегрирование пойдёт по проекциям  этих кусочков на ось  абсцисс:
,
либо по их проекциям  на ось ординат:
,
Следует заметить, что это два разных интеграла.и в общем случае .

Но в большинстве задач приходится иметь дело с так называемой общей формой криволинейного интеграла от двух функций:

С практической точки зрения будут важнЫ те же свойства линейности и аддитивности, а также тот факт, что:

криволинейный интеграл 2-го рода зависит от направления интегрирования, причём:

И в самом деле – здесь же интегрирование осуществляется не по длинам  (которые беспрекословно положительны), а по их безразмерным проекциям, которые могут быть и отрицательными.

С чисто формальной точки зрения криволинейный интеграл 2-го рода «опознаётся» по наличию в подынтегральном выражении дифференциалов  (намного реже – какого-то одного), и алгоритм его решения гораздо бесхитростнее, нежели «разборки» со «старшим братом»:

Пример 4

Вычислить криволинейный интеграл , где  – отрезок прямой от точки  до точки . Выполнить чертёж.

Решение: на первом шаге нам нужно найти уравнение прямой, которая содержит отрезок . Составим его по двум точкам:

Несмотря на то, что линия интегрирования весьма простА, по условию требуется выполнить чертёж:

Обязательно указываем направление интегрирования! – здесь оно имеет принципиальное значение. Также обратите внимание на область определения подынтегральных функций – в данном примере , и поэтому линия интегрирования не должна пересекать координатные оси! Иногда авторы задачников и методичек недоглядывают за этим моментом, в результате чего получается невразумительное решение, где ответ, например, может оказаться бесконечным. Нет, конечно, мы вправе рассмотреть и несобственный криволинейный интеграл, но обычно задумка совсем не такая.

Криволинейный интеграл 2-го рода тоже сводится к определённому интегралу с «избавлением» либо от всех «игреков», либо от всех «иксов».

Способ первый, традиционный, где осуществляется переход к интегрированию по переменной . Пределы интегрирования, как нетрудно догадаться, соответствуют «иксовым» координатам точек , при этом не имеет значения, какой из них больше, а какой меньше; НО, принципиально важен порядок – интегрировать нужно строго по заданному направлению: от 1 до 3.

Берём уравнение линии  и находим дифференциал:

Подставим  и  в подынтегральное выражение – всё настолько прозрачно, что я даже формулу записывать не буду:

Ответ:

Если проинтегрировать наоборот – от точки  до точки , то получится то же самое, только с другим знаком:  – в силу известного свойства определённого интеграла.

Способ второй состоит в переходе к интегрированию по переменной . Для этого из уравнения  выразим обратную функцию:

и найдём дифференциал .

Перейдём к определённому интегралу от 1 до 2 («игрековые» координаты точек  и ), подставив при этом в подынтегральное выражение  и :

Второй способ оказался технически труднее, но, разумеется, бывает и наоборот. Поэтому перед решением всегда полезно «прикинуть» оба пути. И да – проверка же, не ленИтесь!

Но тут есть исключение: если фрагмент или весь путь интегрирования параллелен координатной оси, то способ остаётся только один! Ибо проекция этого участка на другую ось равна нулю.

Ответ:

Для самостоятельного решения я всегда стараюсь подбирать наиболее интересные задачи, которые мои студенты всегда выполняют с большим энтузиазмом иначе ни хрена не сдадут:);-)

Пример 5

Вычислить криволинейный интеграл  от точки  до точки  вдоль ломаной, состоящей из отрезков прямых . Выполнить чертёж.

Краткое решение и ответ в конце урока.

У многих читателей наверняка назрел вопрос: в чём смысл такого интегрирования? У криволинейных интегралов 2-го рода есть каноничный физический смысл (и не только), с которым мы непременно познакомимся на следующем уроке (Интегрирование по замкнутому контуру и формула Грина). Всё будет – и примеры, и пояснения, и ссылки. А пока нарабатываем технические навыки.

Пример 6

Вычислить криволинейный интеграл , где  – дуга кривой  от точки  до точки .

Решение: для удобства выполним чертёж, не забывая подметить, что линия интегрирования не может пересекать ось ординат (т.к. ), впрочем, она здесь заведомо не может – ибо логарифм:

И сейчас я вас познакомлю с ещё одним приёмом решения. По причине той же аддитивности, интеграл можно разделить на две части:
 – и с каждым из них разделаться по отдельности:

1) Вычислим . Так как , то  (впрочем, дифференциал нам потребует только в пункте 2),  изменяется от 1 до :

Надеюсь, на данный момент все читатели понимают, как решать интеграл подведением функции под знак дифференциала. Результат, кстати,  не помешает проверить интегрированием по «игрек»:

 изменяется от 0 до 1 (см. чертёж):

, что и требовалось проверить. Напоминаю, что второй путь можно смело выбирать и за основной.

Со второй частью всё проще:

2)

Контроль по «игрек»:

Осталось просуммировать полученные значения:

Ответ:

Разделение интеграла особенно удобно в тех случаях, когда подынтегральное выражение сильно «наворочено». Очередная «бомба» для самостоятельного решения:

Пример 7

Проверить, существует ли интеграл по данной кривой, и вычислить его, если это возможно
 – по дуге параболы  от точки  до начала координат.
Выполнить чертёж.

Вспоминаем, как интегрируются дроби. Краткое решение и ответ в конце урока.

И в заключение урока пара ласковых о параметрически заданной кривой:

Пример 8

Вычислить криволинейный интеграл  по кривой

Решение: чертежа здесь, благо, чертить не требуется, да он и не нужен – условие таково, что снимай данные, да решай.

Как решать?  Объясню буквально в 7 словах:)

– в подынтегральном выражении нужно всё выразить через параметр.

При этом во многих случаях, и в этом в частности, «начинку» удобно обработать отдельно. Сначала разбираемся с дифференциалами:

Теперь без спешки и ВНИМАТЕЛЬНО подставляем их вместе с прародителями  в подынтегральное выражение, после чего аккуратно проводим упрощения:

 И что приятно, тут не нужно думать над пределами изменения параметра:

Ответ:

Самостоятельно:

Пример 9

Вычислить криволинейный интеграл  по верхней половине эллипса . Интегрировать против часовой стрелки.

Статья о площади и объёме для параметрически заданной линии в помощь (Пример 2). Краткое решение и ответ совсем рядом.

Во второй части урока мы рассмотрим интереснейший случай интегрирования по замкнутому контуру, а также физический смысл криволинейного интеграла 2-го рода.

Жду вас с нетерпением!

Решения и ответы:

Автор: Емелин Александр

Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу)

Как можно отблагодарить автора?

Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам,

cкидкa 15% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-hihi5

© Copyright  Александр Емелин, mathprofi.ru, 2010-2024, сделано в Блокноте