Математика для заочников и не только

Высшая математика – просто и доступно!

Если сайт упал, используйте ЗЕРКАЛО: mathprofi.net

Наш форум и библиотека: + подписка на новости проекта!

Высшая математика:

Математика для заочников
Математические формулы,
таблицы и справочные
материалы

Математические сайты
>>> Удобный калькулятор

Не нашлось нужной задачи?
Сборники готовых решений!

Не получается пример?
Задайте вопрос на форуме!
>>> mathprofi.com   

Учимся решать:

Лекции-уроки по высшей математике для первого курса

Высшая математика для чайников, или с чего начать?

Аналитическая геометрия:

Векторы для чайников
Скалярное произведение
векторов

Линейная (не) зависимость
векторов. Базис векторов

Переход к новому базису
Векторное и смешанное
произведение векторов

Формулы деления отрезка
в данном отношении

Прямая на плоскости
Простейшие задачи
с прямой на плоскости

Линейные неравенства
Как научиться решать задачи
по аналитической геометрии?

Линии второго порядка. Эллипс
Гипербола и парабола
Задачи с линиями 2-го порядка
Как привести уравнение л. 2 п.
к каноническому виду?

Полярные координаты
Как построить линию
в полярной системе координат?

Уравнение плоскости
Прямая в пространстве
Задачи с прямой в пространстве
Основные задачи
на прямую и плоскость

Треугольная пирамида

Элементы высшей алгебры:

Множества и действия над ними
Основы математической логики
Формулы и законы логики
Уравнения высшей математики
Комплексные числа
Выражения, уравнения и с-мы
с комплексными числами

Действия с матрицами
Как вычислить определитель?
Свойства определителя
и понижение его порядка

Как найти обратную матрицу?
Свойства матричных операций.
Матричные выражения

Матричные уравнения
Как решить систему линейных уравнений?
Правило Крамера. Матричный метод решения системы
Метод Гаусса для чайников
Несовместные системы
и системы с общим решением

Как найти ранг матрицы?
Однородные системы
линейных уравнений

Метод Гаусса-Жордана
Решение системы уравнений
в различных базисах

Линейные преобразования
Собственные значения
и собственные векторы

Пределы:

Пределы. Примеры решений
Замечательные пределы
Методы решения пределов
Бесконечно малые функции.
Эквивалентности

Правила Лопиталя
Сложные пределы
Пределы последовательностей
Пределы по Коши. Теория

Производные функций:

Как найти производную?
Производная сложной функции. Примеры решений
Логарифмическая производная
Производные неявной, параметрической функций
Простейшие задачи
с производной

Производные высших порядков
Что такое производная?
Производная по определению
Как найти уравнение нормали?
Приближенные вычисления
с помощью дифференциала

Метод касательных

Функции и графики:

Графики и свойства
элементарных функций

Как построить график функции
с помощью преобразований?

Непрерывность, точки разрыва
Область определения функции
Асимптоты графика функции
Интервалы знакопостоянства
Возрастание, убывание
и экстремумы функции

Выпуклость, вогнутость
и точки перегиба графика

Полное исследование функции
и построение графика

Наибольшее и наименьшее
значения функции на отрезке

Экстремальные задачи

ФНП:

Область определения функции
двух переменных. Линии уровня

Основные поверхности
Предел функции 2 переменных
Повторные пределы
Непрерывность функции 2п
Частные производные
Частные производные
функции трёх переменных

Производные сложных функций
нескольких переменных

Как проверить, удовлетворяет
ли функция уравнению?

Частные производные
неявно заданной функции

Производная по направлению
и градиент функции

Касательная плоскость и
нормаль к поверхности в точке

Экстремумы функций
двух и трёх переменных

Условные экстремумы
Наибольшее и наименьшее
значения функции в области

Метод наименьших квадратов

Интегралы:

Неопределенный интеграл.
Примеры решений

Метод замены переменной
в неопределенном интеграле

Интегрирование по частям
Интегралы от тригонометрических функций
Интегрирование дробей
Интегралы от дробно-рациональных функций
Интегрирование иррациональных функций
Сложные интегралы
Определенный интеграл
Как вычислить площадь
с помощью определенного интеграла?

Что такое интеграл?
Теория для чайников

Объем тела вращения
Несобственные интегралы
Эффективные методы решения
определенных и несобственных
интегралов

S в полярных координатах
S и V, если линия задана
в параметрическом виде

Длина дуги кривой
S поверхности вращения
Приближенные вычисления
определенных интегралов


Метод прямоугольников

  Карта сайта

Лекции-уроки по высшей математике для второго курса

Дифференциальные уравнения:

Дифференциальные уравнения первого порядка
Однородные ДУ 1-го порядка
ДУ, сводящиеся к однородным
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
Уравнение Бернулли
Дифференциальные уравнения
с понижением порядка

Однородные ДУ 2-го порядка
Неоднородные ДУ 2-го порядка
Линейные дифференциальные
уравнения высших порядков

Метод вариации
произвольных постоянных

Как решить систему
дифференциальных уравнений

Задачи с диффурами
Методы Эйлера и Рунге-Кутты

Числовые ряды:

Ряды для чайников
Как найти сумму ряда?
Признак Даламбера.
Признаки Коши

Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница
Ряды повышенной сложности

Функциональные ряды:

Степенные ряды
Разложение функций
в степенные ряды

Сумма степенного ряда
Равномерная сходимость
Другие функциональные ряды
Приближенные вычисления
с помощью рядов

Вычисление интеграла разложением функции в ряд
Как найти частное решение ДУ
приближённо с помощью ряда?

Вычисление пределов
Ряды Фурье. Примеры решений

Кратные интегралы:

Двойные интегралы
Как вычислить двойной
интеграл? Примеры решений

Двойные интегралы
в полярных координатах

Как найти центр тяжести
плоской фигуры?

Тройные интегралы
Как вычислить произвольный
тройной интеграл?


Криволинейные интегралы
Интеграл по замкнутому контуру
Формула Грина. Работа силы

Поверхностные интегралы

Элементы векторного анализа:

Основы теории поля
Поток векторного поля
Дивергенция векторного поля
Формула Гаусса-Остроградского

Циркуляция векторного поля
и формула Стокса

Комплексный анализ:

Примеры решений типовых
задач комплексного анализа

Как найти функцию
комплексной переменной?

Решение ДУ методом
операционного исчисления

Как решить систему ДУ
операционным методом?

Теория вероятностей:

Основы теории вероятностей
Задачи по комбинаторике
Задачи на классическое
определение вероятности

Геометрическая вероятность
Задачи на теоремы сложения
и умножения вероятностей

Зависимые события
Формула полной вероятности
и формулы Байеса

Независимые испытания
и формула Бернулли

Локальная и интегральная
теоремы Лапласа

Статистическая вероятность
Случайные величины.
Математическое ожидание

Дисперсия дискретной
случайной величины

Функция распределения
Геометрическое распределение
Биномиальное распределение
Распределение Пуассона
Гипергеометрическое
распределение вероятностей

Непрерывная случайная
величина, функции F(x) и f(x)

Как вычислить математическое
ожидание и дисперсию НСВ?

Равномерное распределение
Показательное распределение
Нормальное распределение

Отблагодарить автора >>>

Если Вы заметили опечатку, пожалуйста, сообщите мне об этом

Заказать контрольную
Часто задаваемые вопросы
Гостевая книга

Кнопка для сайта: Высшая математика – просто и доступно!

Когда нет времени:

Авторские работы на заказ

По школьным предметам.
Подготовка к ЕГЭ

По высшей математике
и физике

Помогут разобраться в теме,
подготовиться к экзамену



  Карта сайта


Приближенное вычисление определенного интеграла
с помощью разложения подынтегральной функции в ряд Маклорена


Этот небольшой урок позволит не только освоить типовую задачу, которая довольно часто встречается на практике, но и закрепить материалы статьи Разложение функций в степенные ряды. Нам потребуется таблица разложений функций в степенные ряды, которую можно раздобыть на странице Математические формулы и таблицы. Кроме того, читатель должен понимать геометрический смысл определенного интеграла и обладать элементарными навыками интегрирования.

На уроке Определенный интеграл. Как вычислить площадь фигуры? речь шла о том, что определенный интеграл – это площадь. Но в некоторых случаях интеграл является очень трудным или неберущимся, поэтому соответствующую площадь в большинстве случаев можно вычислить только приближенно.

Например: вычислить определенный интеграл . Такой интеграл является неберущимся, но аналитически и геометрически всё хорошо:

Приближенное вычисление определенного интеграла с помощью разложения подынтегральной функции в ряд

Мы видим, что подынтегральная функция непрерывна на отрезке , а значит, площадь существует, и определенный интеграл  численно равен заштрихованной площади. Беда только в том, что данную площадь можно вычислить лишь приближенно с определенной точностью. На основании вышеизложенных фактов и  появилась типовая задача курса высшей математики.

Пример 1

Вычислить приближенно определенный интеграл, предварительно разложив подынтегральную функцию в ряд Маклорена, с точностью до 0,001

Решение: Идея метода состоит в том, чтобы заменить подынтегральную функцию соответствующим степенным рядом (если он, конечно, сходится к ней на промежутке интегрирования).

Поэтому на первом этапе нужно разложить подынтегральную функцию в ряд Маклорена. Эту распространенную на практике задачу мы очень подробно рассмотрели на уроке Разложение функций в степенные ряды. Кстати, рекомендую всем прочитать, поскольку некоторые вещи, о которых сейчас пойдет разговор, могут показаться малопонятными.

Используем табличное разложение:

В данном случае

Обратите внимание, как я записал ряд. Специфика рассматриваемого задания требует записывать только несколько первых членов ряда. Мы не пишем общий член ряда , он здесь ни к чему.

Чем больше членов ряда мы рассматриваем – тем лучше будет точность. Сколько слагаемых рассматривать? Из практики могу сказать, что в большинстве случаев для достижения точности 0,001 достаточно записать первые 4 члена ряда. Иногда требуется меньше. А иногда больше. Если в практическом примере их не хватило, то придётся переписывать всё заново =( Поэтому целесообразно провести предварительный черновой анализ или перестраховаться, изначально записав побольше членов (собственно, такой же совет как и для приближенного вычисления значения функции с помощью ряда).

Следует также отметить, что точность до трёх знаков после запятой самая популярная. Также в ходу и другая точность вычислений, обычно 0,01 или 0,0001.

Теперь второй этап решения:
Сначала меняем подынтегральную функцию на полученный степенной ряд:

Почему это вообще можно сделать? Данный факт пояснялся ещё на уроке о разложении функций в степенные ряды – график бесконечного многочлена  в точности совпадает с графиком функции ! Причем, в данном случае утверждение справедливо для любого значения «икс», а не только для отрезка интегрования .

На следующем шаге максимально упрощаем каждое слагаемое:

Лучше это сделать сразу, чтобы на следующем шаге не путаться с лишними вычислениями.

После упрощений почленно интегрируем всю начинку – напоминаю, что эта замечательная возможность обусловлена равномерной сходимостью степенных рядов:

Интегралы здесь простейшие, на этом я не останавливаюсь.

На завершающем этапе вспоминаем школьную формулу Ньютона-Лейбница . Для тех, кто не смог устоять перед Ньютоном и Лейбницем, есть урок Определенные интегралы. Примеры решений.

Техника вычислений стандартна: сначала подставляем в каждое слагаемое 0,3, а затем ноль. Для вычислений используем калькулятор:

Сколько членов ряда нужно взять для окончательных вычислений?  Если сходящийся ряд знакочередуется, то абсолютная погрешность вычислений по модулю не превосходит последнего отброшенного члена ряда. В нашем случае уже третий член ряда меньше требуемой точности 0,001, и поэтому если мы его отбросим, то заведомо ошибёмся не более чем на 0,000972 (осознайте, почему!). Таким образом, для окончательного расчёта достаточно первых двух членов: .

Ответ: , с точностью до 0,001

Что это получилось за число с геометрической точки зрения?   – это приблизительная площадь заштрихованной фигуры (см. рисунок выше).

Пример 2

Вычислить приближенно определенный интеграл, предварительно разложив подынтегральную функцию в ряд по степеням , с точностью до 0,001

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.

Как-то незаслуженно я обошел стороной арктангенс, ни разу не разложив его в ряд. Исправим оплошность.

Пример 3

Вычислить определенный интеграл с точностью 0,01 с помощью разложения подынтегральной функции в ряд.

Решение: Есть сильное подозрение, что данный интеграл является берущимся, правда, решение не самое простое.

Разложим подынтегральную функцию в ряд Маклорена. Используем разложение:

В данном случае


Здесь повезло, что в итоге степени таки остались целыми, дробные степени было бы труднее интегрировать.

Таким образом:

Бывает и так. Члены с возу – студенту легче.

Ответ:  с точностью до 0,01.

И снова обратите внимание, что точность 0,01 здесь гарантирована лишь потому, что сходящийся ряд знакочередуется. Для ряда с положительными членами, например, ряда  такую оценку проводить нельзя, поскольку сумма отброшенного «хвоста» может запросто превысить 0,00089. Что делать в таких случаях? Расскажу в конце урока. А пока открою секрет, что во всех сегодняшних примерах ряды знакочередуются.

И, конечно, следует контролировать область сходимости ряда. В рассмотренном примере она, кстати, «урезана»: (из-за квадратного корня), однако наш отрезок интегрирования полностью лежит в данной области.

Что будет, если попытаться решить какой-нибудь нелегальный случай вроде ? Функция так же прекрасно разложится в ряд, члены ряда так же замечательно проинтегрируются. Но, когда мы начнем подставлять значение верхнего предела  по формуле Ньютона-Лейбница, то увидим, что числа будут неограниченно расти, то есть каждое следующее число будет больше, чем предыдущее. Ряд-то сходится лишь на отрезке . Это не паранойя, на практике так время от времени бывает. Причина – опечатка в сборнике задач или методичке, когда авторы недосмотрели, что промежуток интегрирования «вылезает» за область сходимости ряда.

Интеграл с арксинусом я рассматривать не буду, поскольку он занесен в красную книгу. Лучше дополнительно рассмотреть что-нибудь «бюджетное»:

Пример 4

Вычислить определенный интеграл с точностью 0,001 путем разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда.

Это пример для самостоятельного решения. Что касаемо нуля, то он здесь не помеха – подынтегральная функция терпит лишь устранимый разрыв в точке , и поэтому несобственный интеграл здесь и рядом не валялся, т.е. речь идёт по-прежнему об определённом интеграле. В ходе решения вы увидите, что полученный ряд прекрасно сходится к нулю.

В заключение рассмотрим еще пару примеров, которые несколько сложнее.

Пример 5

Вычислить определенный интеграл с точностью 0,001 с помощью разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда.

Решение: Анализирую подынтегральную функцию, приходим к выводу, что нужно использовать биномиальное разложение. Но сначала функцию надо представить в соответствующем виде:

К сожалению, ни один частный случай биномиального разложения не подходит, и нам придется использовать громоздкую общую формулу:

В данном случае: ,

Разложение уже на этом этапе лучше максимально упростить. Замечаем также, что четвертый член ряда нам, очевидно, не потребуется, так как в нём еще до интегрирования появилась дробь , которая заведомо меньше требуемой точности 0,001.

 

Не забываем, что есть еще один множитель:

Наиболее кропотливый этап пройден, вычислим интеграл:

Ответ:  с точностью до 0,001.

Нечто подобное для самостоятельного  решения:

Пример 6

Вычислить определенный интеграл с точностью 0,001 путем разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда.

И напоследок обещанный секрет – что делать, если все члены ряда положительны? Скорее всего, в этом случае от вас не потребует вычислить интеграл «с точностью до», а попросят, например, найти сумму первых трёх членов ряда и опционально округлить её до скольких-то знаков после запятой. Но это будет вовсе не «с точностью до», т.к. для положительных рядов довольно трудно оценить сумму остатка. Однако, если «тяжёлый случай» таки имеет место, то обратитесь за консультацией к преподавателю; в рамках данной статьи я не буду освещать специальные методы, которые не находят широкого практического применения.

Рассмотренная типовая задача на самом деле довольно неприятна, так как не существует простых способов проверки результата. По невнимательности легко пропустить какое-нибудь число, степень, неточно разложить функцию в ряд, неверно проинтегрировать, допустить банальную ошибку в вычислениях. Поэтому очень важно подходить к решению таких задач с ясной головой.

Желаю успехов!

Решения и ответы:

Пример 2: Решение: разложим подынтегральную функцию в ряд.
Используем частный случай биномиального разложения: 

В данном случае:

Таким образом:

Ответ:  с точностью до 0,001.

Пример 4: Решение: разложим подынтегральную функцию в ряд.
Используем  разложение:   


Таким образом:

Ответ:  с точностью до 0,001.

Пример 6: Решение:

Используем биномиальное разложение:

В данном случае: ,

Таким образом:

Ответ:  с точностью до 0,001.

Автор: Емелин Александр


Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу)

Как можно отблагодарить автора?

Качественные работы без плагиата – Zaochnik.com


© Copyright mathprofi.ru, Александр Емелин, 2010-2017. Копирование материалов сайта запрещено