Высшая математика – просто и доступно!

Если сайт упал, используйте ЗЕРКАЛО: mathprofi.net

Наш форум, библиотека и блог: mathprofi.com

Высшая математика:

Математика для заочников

Математические формулы,
таблицы и другие материалы

Книги по математике

Математические сайты

+-*/^ Удобный калькулятор

+ «Дробовик»   

Учимся решать:

  Карта сайта

Не нашлось нужной задачи?
Сборники готовых решений!

Не получается пример?
Задайте вопрос на форуме!
>>> mathprofi

Обратная связь:

Часто задаваемые вопросы
Гостевая книга Отблагодарить автора >>>

Заметили опечатку / ошибку?
Пожалуйста, сообщите мне об этом

Карта сайта

---

Переход к новому базису и к новой системе координат

Эта небольшая статья появилась на свет значительно позже большинства моих уроков по аналитической геометрии, и предназначена она для более или менее подготовленных читателей, которые знакомы с векторами, матрицами и обладают навыками решения основных тематических задач. Впрочем, что означает «более или менее подготовленных»? …Если Вы понимаете, чем отличается базис от системы координат – тогда смело читайте дальше! Потому что будет очень интересно – сегодня мы станем очевидцами самой настоящей революции в мире векторов! Такие эпохальные события происходят не каждый день, и поэтому нет ничего удивительного в том, что задачи перехода к новому базису и перехода к новой системе координат заметно реже встречаются на практике. Однако, это как раз та тема, которая вызывает наибольшую путаницу и недопонимание у студентов. Дело осложняется ещё и тем, что в различных источниках информации используются разные схемы подачи материала и разные обозначения

Но сейчас пришло время окончательно вас запутать «расставить все точки над i» и расстановка этих точек начинается с «плоского» случая. Кстати, и буква нужная сразу вспомнилась. Рассмотрим привычный ортонормированный базис  и два подопытных вектора:

или: .

Как вы прекрасно знаете, любой другой вектор  плоскости тоже можно разложить по базисным векторам:  (причём единственным образом) и записать коэффициенты этого разложения (координаты) в скобках:

И всё бы было тихо-спокойно, но мирную жизнь векторов нарушает появление другого базиса…. Почему он появляется? Так нужно в ряде задач высшей математики. И не только математики.

В качестве демонстрационного базиса можно взять любую пару неколлинеарных векторов, но для удобства объяснений я рассмотрю следующий ортогональный базис :

Систематизируем алгоритм решения данной задачи: итак, заданы два произвольных базиса плоскости , при этом векторы 2-го базиса выражены через векторы 1-го:

! Обозначения: в данном контексте двойные подстрочные индексы имеют следующий смысл: 1-я цифра обозначает номер координаты, 2-я цифра – номер вектора:
 – 1-я координата 1-го вектора (вектора ), – 2-я координата 1-го вектора;
 – 1-я координата 2-го вектора (вектора ), – 2-я координата 2-го вектора.
Следует отметить, что в других источниках информации обозначения могут быть другими, я выбрал вариант, который мне показался наиболее понятным.

В базисе  дан вектор . Требуется найти его координаты  в базисе .

На первом шаге составляем матричное уравнение, при этом коэффициенты разложений  «укладываем» в столбцы матрицы:  (векторы  следует «перебирать» строго по порядку!):

 или, если компактнее:

Уравнение, кстати, легко преобразовать в формулы, выражающие старые координаты через новые. Выполняем матричное умножение:

Две матрицы равны, если равны их соответствующие элементы:

Читателям, углубленно изучающим математику, рекомендую вывести эти формулы самостоятельно (по аналогии конкретных рассуждений в разобранном примере).

Но возвращаемся к нашей задаче. Она элементарна! Находим обратную матрицу  и, вычисляя произведение , получаем координаты вектора  в базисе :
 

Простота простотой, но в действительности эта задача вызывает серьёзные затруднения у многих студентов. Связано это, видимо, с не наглядностью изложения материала. Как правило, в типовом источнике можно увидеть два «косых» базиса (если чертёж есть вообще), и вкупе со всеми этими штрихами (популярный стиль), непонятными индексами возникает только одно желание – захлопнуть книгу/закрыть окно. И в демонстрационном примере я специально рассмотрел два «хороших» базиса – чтобы не наглядный материал превратить в ненаглядный =)

…так чувствуется, вам уже не терпится что-нибудь порешать! Пространственный случай для самостоятельного изучения:

Задача 1

1) В трехмерном пространстве заданы базисы , причём:

Записать два матричных уравнения, которые связывают координаты  вектора  в базисе  с его координатами  в базисе .

2) .
Найти разложение вектора  по базису

Краткое решение и ответы в конце урока.

Следует отметить, что формулировка этой задачи вовсе не подразумевает, что речь идёт именно о геометрических векторах. Это могут быть векторы и другой природы. Я очень надеюсь, что на данный момент вы всё-таки почитали мои статьи по высшей алгебре и добрались до статьи о линейных преобразованиях, где я обобщил понятие вектора. Однако сейчас у нас на повестке дня аналитическая геометрия, и поэтому я перехожу к рассмотрению второго вопроса:

Переход к новой системе координат

Это не то же самое, что переход к новому базису! Хотя задача родственная.

Наверняка первый чертёж урока вызвал у вас мысль, что «чего-то здесь не хватает». И действительно, коль скоро, речь шла о базисах, то нам было вполне достаточно векторов. А вектор – это птица свободная, и на иллюстрации их вообще можно было расположить как угодно. Но во многих случаях существует потребность учесть преобразование координат точек, и по этой причине возникает необходимость «застолбить» начальную точку отсчёта (начало координат), которая в тандеме с базисными векторами порождает аффинную систему координат.

Рассмотрим две аффинные системы координат плоскости: . Первую систему по нестарой памяти назовём старой, вторую – новой, и, как водится, запишем традиционное разложение:

Не углубляясь в книжные рассуждения, я сразу приведу готовые формулы, позволяющие узнать старые координаты  произвольной точки  плоскости, если известны её новые координаты :
, где  – координаты точки  в старой системе координат.

Данные равенства называются формулами преобразования аффинной системы координат, и в них легко просматривается знакомая матрица .

Вернёмся к нашим ненаглядным базисам =), на основе которых построим две системы координат: . В качестве начала новой системы координат я выберу точку :

Рассмотренные формулы работают для произвольных аффинных систем плоскости, однако в практических задачах особую важность имеет переход от прямоугольной декартовой системы координат  к другой декартовой системе . Но перед тем, как приступить к изучению этого частного случая, я расскажу вам о том, о чём многие слышали, но стеснялись спросить:))

Ориентация плоскости

У плоскости может быть две ориентации. Левая. И правая. Первая ориентация задаётся левоориентированным базисом и, как следствие, левой системой координат, вторая – соответственно, правоориентированным базисом и правой системой.

По сложившейся традиции разбираться будем на пальцах: разверните ладони вверх и прижмите к ним все пальцы, кроме указательных и больших. Теперь совместите указательные пальцы. Большие пальцы при этом расположатся по разные стороны. Наоборот: совместите большие пальцы – тогда по разные от них стороны окажутся пальцы указательные. Это признак того, что символические базисы и порождаемые ими системы координат имеют разную ориентацию.

Если большой палец символизирует 1-й вектор базиса, а указательный палец – 2-й вектор базиса (ладони развёрнуты вверх),то базис правой руки принято считать правоориентированным, а базис левой руки – левоориентированным.

Так, например, наша «школьная» система координат  является правой.  Как в этом убедиться? Совместите большой палец правой руки с вектором  (первым вектором базиса). Тогда указательный палец будет смотреть в сторону вектора , и это признак того, что базис правоориентирован.

Вообще, рассматриваемое понятие весьма удачно характеризует осевая (зеркальная) симметрия, которая меняет ориентацию плоскости. Изобразим в прямоугольной системе брата нашего меньшего и отобразим его симметрично относительно оси ординат:

Совершенно понятно, что как ни перемещай, как ни крути изображения – совместить их не удастся. Это и есть эффект разной ориентации. Обратите внимание, что 1-й координатный вектор тоже подвергся отражению, и левая система  задала левую ориентацию плоскости – координатная ось  «развернулась» в противоположную сторону и положительные значения стали отсчитываться справа налево. И, кстати, ничто не мешает вести отсчёт именно так! Но тут нас вряд ли поймут – не зря же ориентацию назвали левой =) Хотя чисто «технически» она ничем не хуже.

Если Тузика отобразить симметрично относительно оси , то получим другую левую систему , в которой единичный вектор  смотрит вниз.

Взаимную ориентацию двух базисов (а значит и взаимную ориентацию порожденных ими систем координат) можно установить аналитически: если определитель матрицы перехода от одного базиса  к другому больше нуля, то базисы ориентированы одинаково (оба левые или оба правые), в противном случае они имеют разную ориентацию. Так, в демонстрационном примере нашего урока , значит, базисы  ориентированы одинаково. И поскольку «школьный» базис считается правым, то  – тоже правый (впрочем, это и так очевидно). В Задаче 1 (пункт 2) определитель матрицы перехода отрицателен: , следовательно, базисы  задают разную ориентацию трёхмерного пространства. С этим понятием можно ознакомиться в статье о векторном произведении векторов, ну а сейчас пришло время вернуться в основное русло урока:

Преобразование прямоугольных систем координат

На практике наиболее часто приходится осуществлять переход от одной правой декартовой системы координат  к другой правой декартовой системе , и в этом случае общие формулы преобразования координат принимают следующий вид:

, где  – угол между первыми координатными векторами (не важно, положительный или отрицательный).

Данные формулы, в частности используются в ходе приведения уравнения линии 2-го порядка к каноническому виду. И, несмотря на то, что они выражают старые координаты  точки  через новые , равенства называют формулами перехода от старой системы координат к новой. Объяснение просто: если в какое-либо уравнение вместо «икса» и «игрека» подставить правые части этих равенств, то, собственно, именно такой переход и будет осуществлён.

В том случае если новая система координат построена на тех же базисных векторах: , то речь идёт лишь о параллельном переносе начала координат, и формулы донельзя упрощаются:

Пусть, например,  – новое начало:

Тогда старые координаты  точки  легко получить из новых: ,
а новые – из старых:

Второй частный случай  – это поворот осей с сохранением начала координат:

Так как новое начало координат  совпадает со старым, то в формулах преобразования координат исчезают свободные члены:

Для самостоятельного решения:

Задача 2

Прямоугольная декартова система  координат  получена из системы  поворотом на угол .

1) С помощью матричного исчисления вывести формулы, выражающие новые координаты  точки  через её старые координаты .

2) Найти новые координаты точки , если известно, что угол поворота .

На чертеже выше изображен именно этот легендарный угол, с синуса и косинуса которого начиналось наше знакомство с тригонометрией. Впрочем, если что – тригонометрические таблицы рядом.

Краткое решение и ответ в конце урока.

В общем случае правая прямоугольная система координат  получается из системы  в два шага:

1) поворотом координатных осей;
2) параллельным переносом начала координат.

Ну, или в другом порядке.

Следует отметить, что для двух левых декартовых систем работают те же самые формулы

Но вот если одна из прямоугольных систем левая, а другая правая, то в двух местах следует поменять знаки:

Кстати, здесь уже нельзя рассуждать о «чистом повороте» координатных осей, поскольку с помощью него невозможно «совместить двух Тузиков». И как раз одна система координат получается из другой в том числе с помощью зеркальной симметрии.

Аналогичные формулы преобразования аффинных систем координат имеют место быть в трёхмерном пространстве:
, где:

где  – координаты точки  в аффинной системе ;
 – её координаты в системе ;
 – координаты начала  в системе .

Грубо говоря, здесь прибавилась одна координата и принципиальная схема рассуждений не изменилась. Но разнообразия (тех же поворотов), стало, безусловно, больше.

И, разумеется, рассмотренный математический аппарат работает для векторов произвольной природы, в том числе векторов бОльшей размерности.

Любите векторы, и векторы полюбят вас!

Решения и ответы:

Автор: Емелин Александр

Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу)

Как можно отблагодарить автора?

© Copyright  Александр Емелин, mathprofi.ru, 2010-2025, сделано в Блокноте