![]() ![]() ![]()
| |||
Математические формулы,
Высшая математика для чайников, или с чего начать? Аналитическая геометрия:
Векторы для чайников
Элементы высшей алгебры:
Множества и действия над ними
Пределы:
Пределы. Примеры решений
Производные функций:
Как найти производную?
Функции и графики:
Графики и свойства ФНП:
Область определения функции Интегралы:
Неопределенный интеграл.
Дифференциальные уравнения:
Дифференциальные уравнения первого порядка
Числовые ряды:
Ряды для чайников
Функциональные ряды:
Степенные ряды
Кратные интегралы:
Двойные интегралы
Элементы векторного анализа:
Основы теории поля
Комплексный анализ:
ТФКП для начинающих
Теория вероятностей:
Основы теории вероятностей
Математическая статистика:
Математическая статистика
Не нашлось нужной задачи? Не получается пример?
Часто задаваемые вопросы Заметили опечатку / ошибку? |
![]()
Экстремальные задачи с производнойСовершенно верно, иногда от таких задач действительно захватывает дух. Сегодня на уроке мы разберём ещё одно важное приложение производной, имеющее самое что ни на есть прикладное значение! Речь пойдёт о задачах с конкретным геометрическим, физическим, экономическим и т.д. содержанием, в которых исходя из условия, нужно самостоятельно составить функцию и найти её точку минимума либо максимума (и/или, соответственно, минимум либо максимум). Для полноценного изучения урока необходимо уметь находить производные, ПОНИМАТЬ, что такое производная и быть знакомым с понятиями возрастания, убывания и экстремума функции. Таким образом, начинающим рекомендую начать с вышеуказанных статей, чтобы не словить здесь реальный экстрим =) А уже заматеревшие студенты не должны испытать особых трудностей. Разминочная алгебраическая задача и новый материал по ходу решения: Задача 1 Известно, что сумма двух положительных чисел равна 12. Какими должны быть эти числа, чтобы произведение их квадратов было максимальным? Решение: прежде всего, хорошо осознаем, что от нас требуется: в условии фигурируют два положительных числа, причём ни то, ни другое мы не знаем. Но вот их сумма равна 12. Если это, например, 2 и 10, то произведение квадратов И нам нужно отыскать такую пару, для которой данное произведение будет наибольшим. Понятно, что с методом подбора тут замучаешься, к тому же искомые числа ведь могут оказаться и дробными. Поэтому привлечём на помощь могучий аппарат математического анализа. Но сначала вспомним школу и вспомним, как, наивно хлопая ресницами, мы что-то обозначали за «икс»…. Обозначим за Проверим, что их сумма действительно равна 12: Теперь составим функцию произведения их квадратов: Многие читатели уже понимают последующие шаги: далее нужно найти производную, критические точки и обнаружить точку (и), в которой функция И небольшой вопрос техники: производную здесь можно найти несколькими способами. На мой взгляд, удобен следующий вариант: загоняем множители под единую степень и раскрываем там скобки: Итак, По условию оба числа положительны, поэтому значения Проверка вам хорошо знакома: чертим числовую ось, выясняем знаки производной слева и справа от точки Второе достаточное условие экстремумаПусть производная функции если В нашем случае нужно найти вторую производную и вычислить Для удобства дифференцирования утрамбуем предшественницу: Подставим критическое значение Ответ: искомые числа: 6 и 6, при этом максимальное произведение квадратов: Вообще говоря, по условию не требовалось находить само произведение, но по правилам хорошо тона его лучше рассчитать и указать в ответе. К тому же это весьма любопытно. На практике в подавляющем большинстве случаев встречаются задачи с геометрическим смыслом, и поэтому основная часть урока будет посвящена именно им. Начнём с несложного типового примера, который почему-то довольно часто вызывает проблемы: Задача 2 Найти наименьшее расстояние между параболой Решение: вот, пожалуйста, самый что ни на есть практический смысл – представьте, что вам нужно пройти от дороги к дороге. Совершенно понятно, что в отсутствии препятствий это наиболее выгодно осуществить по кратчайшему пути. Поскольку условие запрашивает наименьшее расстояние, то, очевидно, нам нужно составить функцию В нашем случае Таким образом: Дифференцируем по обычным правилам, невзирая на модуль: Проверим выполнение достаточного условия экстремума. Оцените, насколько второе достаточное условие приятнее и удобнее 1-го: Искомая «дорога» изображена малиновым отрезком на чертеже. Ответ: Физики в лирике могут найти ординату точки Следующая задача для самостоятельного решения: Задача 3 Из куска проволоки длиной 30 см требуется согнуть прямоугольник наибольшей площади. Каковы размеры этого прямоугольника? Давайте немного проанализируем условие: Что требуется найти? Очевидно, длину и ширину – это «традиционные» характеристики, определяющие прямоугольник. Какую функцию нужно составить? Наверное, многие уже поняли данную закономерность: Требуется найти минимальную/максимальную площадь? Составляем функцию площади; Напоминаю, что периметр – это длина границы фигуры, в данном случае – сумма длин сторон прямоугольника. Кстати, задачу легко переформулировать «чисто математически»: «Найти прямоугольник максимальной площади, если его периметр равен 30 см» Выполните схематический чертёж, подумайте, что обозначить за «икс» (впрочем, чего тут думать), составьте функцию площади Краткое решение и ответ в конце урока. После простых разогревающих заданий рассмотрим что-нибудь поосновательнее: Задача 4 На странице книги печатный текст должен занимать (вместе с промежутками между строк) 192 Решение: разруливаем задачу по той же логической схеме: Учитывая известные значения полей, найдём ширину всего листа: И его высоту: Составим функцию площади листа и сразу подготовим её для дифференцирования: Найдём критические точки: Точка Проверим выполнение достаточного условия экстремума: Таким образом, размеры оптимального листа: Ответ: ширина оптимальной страницы: Как видите, основная трудность состоит в том, чтобы разобраться в условии и составить нужную функцию. И в преодолении этой трудности здОрово помогает чертёж. Поэтому всегда стараемся выполнить схематический чертёж или хотя бы рисунок. Даже в таких простых случаях, как в Задаче № 3, не говоря уже о только что разобранном примере. Следующее задание для самостоятельного решения: Задача 5 В полукруг радиуса Просто и со вкусом. И снова несколько подсказок, которые полезно иметь в виду и при решении других задач: ! Во-первых, обратите внимание, что условие сформулировано в общем виде и величина ! Во-вторых, выполните схематический чертёж, который здесь очень прост: одна из сторон прямоугольника лежит на диаметре полукруга, а вершины противоположной стороны – на полуокружности. Очевидно, что в полукруг можно вписать бесконечно много прямоугольников и ваша задача найти такой, периметр которого максимален. Какую функцию нужно составлять, надеюсь, всем понятно. Подумайте, что удобнее обозначить за «икс» и, кроме того, освежите в памяти теорему Пифагора. ! В-третьих, задачу можно решить в разных стилях. Образец решения оформлен «исключительно геометрически», однако есть и такой вариант: начертить полукруг в декартовой системе координат – в верхней полуплоскости центром в точке ! И, в-четвёртых, эта задача о том, что иногда совсем не обязательно «разбивать лоб» о новый материал ;-) Если вам показался слишком сложным 2-й достаточный признак экстремума, то никто ведь не запрещает использовать 1-й достаточный признак – определите знаки первой производной слева и справа от критической точки Приятного решения! Наш урок в самом разгаре и настало время разобрать задачи, которые встречались в моей практике без преувеличения десятки раз: Задача 6 Определите размеры открытого бассейна объемом Решение: представили бассейн. Квадратное дно. Стены. Размеры бассейна однозначно определяются его длиной и шириной, которые в данном случае совпадают (по условию дно квадратное) и глубиной (высотой стенки). Требуется найти такие размеры бассейна, чтобы на облицовку его поверхности ушло наименьшее количество материала (например, плитки). Из чего следует, что нам нужно составить функцию суммарной площади дна и 4 стен. Изобразим на чертеже развёртку бассейна – его дно и 4 стенки, которые аккуратно лежат рядышком: По условию, объём бассейна равняется 32 кубическим метрам. Даже не вспоминая и не разыскивая соответствующую формулу, нетрудно сообразить, что объём прямоугольного параллелепипеда – это произведение площади его «дна» на высоту: В нашем случае: Составим функцию суммарной площади дна и четырёх одинаковых стен бассейна: Найдем критические точки: Проверим выполнение достаточного условия экстремума: Таким образом: Ответ: сторона оптимального бассейна: 4 м, глубина: 2 м; при этом минимальная площадь облицовки Кстати, это решение совсем не очевидно – так, например, на оптимальный вариант с успехом претендует «лягушатник» размером Аналогичная задача про суровые челябинские шпроты: Задача 7 Каковы должны быть размеры консервной банки цилиндрической формы, чтобы на её изготовление пошло наименьшее количество материала, если объем банки 0,5 литра? Но перед тем как решать, пожалуйста, ознакомьтесь с парой полезных замечаний: Во-первых, литр – это единица объёма. Я специально заострил внимание на физике, поскольку на обывательском уровне литр очень часто неверно отождествляют с килограммом (единицей массы). Ощутите разницу – пол-литровая банка кильки и та же банка, наполненная гвоздями. Один литр равен одному кубическому дециметру или тысяче кубических сантиметров: А теперь очень важный момент: так как размеры банки, очевидно, выразятся в сантиметрах, то 0,5 литра следует сразу перевести в кубические сантиметры! К слову, что это за размеры? Цилиндр стандартно определяется радиусом основания площадь круга: И в который раз остановлюсь на важном принципе эффективного изучения математики: не зубрите формулы (без крайней необходимости, конечно). В частности, позабытую площадь боковой поверхности цилиндра несложно вывести даже в уме: представьте стенку консервной банки без дна и крышки. Сделайте вертикальный разрез и расправьте боковину на столе. В результате получился прямоугольник, одна из сторон которого, понятно, равна высоте банки Решение проводится по аналогии с Задачей 6, примерный образец в конце урока. Закрепим типовик своего рода обратными задачами: Задача 8 Определить наибольшую вместимость цилиндрического бака, если его площадь поверхности (без крышки) должна равняться Решение: в данном случае всё наоборот – известна площадь поверхности От какой переменной искать функцию объёма? В соответствующей формуле наиболее «наворочен» радиус, поэтому логично попытаться составить функцию Сумма площадей дна (не забываем, что крышка отсутствует!) и боковой поверхности в точности равна известному значению: Таким образом: Найдём критические точки: Геометрическому смыслу задачи, разумеется, удовлетворяет положительный корень
При этом высота бака: Ответ: радиус основания оптимального бака: Решение в общем виде, бывает, кажется непривычным, однако оцените его универсальность – теперь достаточно лишь подставить конкретное значение площади и сразу рассчитать размеры оптимального цилиндра. Успокоительное задание для самостоятельного решения: Задача 9 Прямоугольный лист картона имеет размеры Краткое решение и ответ в конце урока. Помимо рассмотренных выше геометрических объектов, на практике также можно встретить треугольники, трапеции, шары, конусы и т.д., но это более редкие гости (что касаемо забытых формул – справочники в помощь). К сожалению, нельзя объять необяътное, и поэтому в рамках этой статьи я ограничился самыми распространёнными примерами. И действительно, задач ведь придумать можно очень много – и всех их не перерешаешь, главное, чтобы вы хорошо поняли принципы и методы решения, которые я постарался изложить максимально пОлно и качественно. Кроме того, существуют экстремальные задачи физического, химического, экономического и др. содержания, однако по причине отсутствия таковых в моей коллекции кот даже и не плакал. Но, понимая, что такое производная и обладая элементарной техникой дифференцирования, вы не должны испытать серьёзных затруднений с этими задачами, хотя для их решения, конечно, нужно разобраться и в самой физике/химии/экономике или иной предметной области. Желаю успехов! Решения и ответы: Пример 3: Решение: найдем полупериметр прямоугольника: Пример 5: Решение: выполним чертёж: Пример 7: Решение: составим функцию площади полной поверхности цилиндра Пример 9: Решение: пусть Автор: Емелин Александр Высшая математика для заочников и не только >>> (Переход на главную страницу) Как можно отблагодарить автора? ![]() |
|