Высшая математика – просто и доступно!

Если сайт упал, используйте ЗЕРКАЛО: mathprofi.net

Наш форум, библиотека и блог: mathprofi.com

Высшая математика:

Математика для заочников

Математические формулы,
таблицы и другие материалы

Книги по математике

Математические сайты

+-*/^ Удобный калькулятор

+ «Дробовик»   

Учимся решать:

  Карта сайта

Не нашлось нужной задачи?
Сборники готовых решений!

Не получается пример?
Задайте вопрос на форуме!
>>> mathprofi

Обратная связь:

Часто задаваемые вопросы
Гостевая книга Отблагодарить автора >>>

Заметили опечатку / ошибку?
Пожалуйста, сообщите мне об этом

Карта сайта

---

Экстремальные задачи с производной

Совершенно верно, иногда от таких задач действительно захватывает дух. Сегодня на уроке мы разберём ещё одно важное приложение производной, имеющее самое что ни на есть прикладное значение! Речь пойдёт о задачах с конкретным геометрическим, физическим, экономическим и т.д. содержанием, в которых исходя из условия, нужно самостоятельно составить функцию и найти её точку минимума либо максимума (и/или, соответственно, минимум либо максимум).

Для полноценного изучения урока необходимо уметь находить производные, ПОНИМАТЬ, что такое производная и быть знакомым с понятиями возрастания, убывания и экстремума функции. Таким образом, начинающим рекомендую начать с вышеуказанных статей, чтобы не словить здесь реальный экстрим =) А уже заматеревшие студенты не должны испытать особых трудностей. Разминочная алгебраическая задача и новый материал по ходу решения:

Задача 1

Известно, что сумма двух положительных чисел равна 12. Какими должны быть эти числа, чтобы произведение их квадратов было максимальным?

Решение: прежде всего, хорошо осознаем, что от нас требуется: в условии фигурируют два положительных числа, причём ни то, ни другое мы не знаем. Но вот их сумма равна 12.

Если это, например, 2 и 10, то произведение квадратов ;
если 7 и 5, то  и т.д.

И нам нужно отыскать такую пару, для которой данное произведение будет наибольшим. Понятно, что с методом подбора тут замучаешься, к тому же искомые числа ведь могут оказаться и дробными. Поэтому привлечём на помощь могучий аппарат математического анализа.

Но сначала вспомним школу и вспомним, как, наивно хлопая ресницами, мы что-то обозначали за «икс»…. Обозначим за  одно из чисел. Тогда второе число будет равно:

Проверим, что их сумма действительно равна 12:
 –  а ведь и правду говорят, что всё гениальное просто =)

Теперь составим функцию произведения их квадратов:

Многие читатели уже понимают последующие шаги: далее нужно найти производную, критические точки и обнаружить точку (и), в которой функция  достигает максимума (если таковые, конечно, вообще существуют).

И небольшой вопрос техники: производную здесь можно найти несколькими способами. На мой взгляд, удобен следующий вариант: загоняем множители под единую степень и раскрываем там скобки: , после чего дифференцируем сложную функцию:

Итак,  – критические точки.

По условию оба числа положительны, поэтому значения  сразу исключаем из рассмотрения. Осталось проверить достаточное условие экстремума для точки  и выяснить, достигает ли там функция  минимума либо максимума. А может статься, и ничего не достигает.

Проверка вам хорошо знакома: чертим числовую ось, выясняем знаки производной слева и справа от точки  и выносим вердикт. Так решать можно, и это будет правильным решением, но есть и другой путь!

Второе достаточное условие экстремума

Пусть производная функции  равна нулю в критической точке :
 и пусть там существует вторая ненулевая производная: . Тогда:

если , то функция  достигает минимума в точке ;
если , то – максимума.

В нашем случае нужно найти вторую производную и вычислить  – если окажется, что , то  является точкой минимума; если же  – то точкой максимума.

Для удобства дифференцирования утрамбуем предшественницу:
 и незамедлительно оценим это удобство:

Подставим критическое значение :
, значит, функция  достигает максимума в данной точке:

Ответ: искомые числа: 6 и 6, при этом максимальное произведение квадратов:

Вообще говоря, по условию не требовалось находить само произведение, но по правилам хорошо тона его лучше рассчитать и указать в ответе. К тому же это весьма любопытно.

На практике в подавляющем большинстве случаев встречаются задачи с геометрическим смыслом, и поэтому основная часть урока будет посвящена именно им. Начнём с несложного типового примера, который почему-то довольно часто вызывает проблемы:

Задача 2

Найти наименьшее расстояние между параболой  и прямой

Решение: вот, пожалуйста, самый что ни на есть практический смысл – представьте, что вам нужно пройти от дороги к дороге. Совершенно понятно, что в отсутствии препятствий это наиболее выгодно осуществить по кратчайшему пути.

Поскольку условие запрашивает наименьшее расстояние, то, очевидно, нам нужно составить функцию  расстояния между параболой  и прямой  . За аргумент этой функции принимаем абсциссу точки , которая принадлежит параболе и «свободно перемещается по ней»:

Используем формулу расстояния от точки  до прямой :
 

В нашем случае  (т.е. );
.

Таким образом:
 – функция расстояния между параболой и прямой, зависящая от абсциссы точки параболы.

Дифференцируем по обычным правилам, невзирая на модуль:

 – критическая точка

Проверим выполнение достаточного условия экстремума. Оцените, насколько второе достаточное условие приятнее и удобнее 1-го:
 для всех «икс». В частности:
, следовательно, функция  достигает минимума в точке :

Искомая «дорога» изображена малиновым отрезком на чертеже.

Ответ:

Физики в лирике могут найти ординату точки , уравнение нормали  и её точку пересечения с прямой . Кстати, почему кратчайший путь проходит именно по нормали? Приложите ребро ладони к прямой  и начните плавно сдвигать его к параболе: первая точка, которой вы коснётесь – будет в точности точка , ваша рука займёт положение касательной к графику функции  в данной точке, а расстояние между двумя прямыми как раз и определится малиновым отрезком нормальной прямой.

Следующая задача для самостоятельного решения:

Задача 3

Из куска проволоки длиной 30 см требуется согнуть прямоугольник наибольшей площади. Каковы размеры этого прямоугольника?

Давайте немного проанализируем условие:

Что требуется найти? Очевидно, длину и ширину – это «традиционные» характеристики, определяющие прямоугольник.

Какую функцию нужно составить? Наверное, многие уже поняли данную закономерность:

Требуется найти минимальную/максимальную площадь? Составляем функцию площади;
Минимальную/максимальную диагональ? Составляем функцию длины диагонали;
Минимальный/максимальный периметр? Составляем функцию периметра
и т.д.

Напоминаю, что периметр – это длина границы фигуры, в данном случае – сумма длин сторон прямоугольника. Кстати, задачу легко переформулировать «чисто математически»:

«Найти  прямоугольник максимальной площади, если его  периметр равен 30 см»

Выполните схематический чертёж, подумайте, что обозначить за «икс» (впрочем, чего тут думать), составьте функцию площади  – и дальше по накатанной.

Краткое решение и ответ в конце урока.

После простых разогревающих заданий рассмотрим что-нибудь поосновательнее:

Задача 4

На странице книги печатный текст должен занимать (вместе с промежутками между строк) 192 . Верхнее и нижнее поля занимают по 4 см, левое и правое – по 3 см. Если принимать во внимание только экономию бумаги, то каковы должны быть наиболее выгодные размеры страницы?

Решение: разруливаем задачу по той же логической схеме:

Что требуется найти? Наиболее выгодные размеры страницы. А страница обычно имеет форму прямоугольника. Коль скоро речь идёт об экономии бумаги, то, очевидно, нужно найти такую ширину и высоту листа, чтобы его площадь была минимальна. Из чего следует, что нам необходимо составить функцию площади страницы. Причём условие жёстко задаёт размеры полей, а вот под область печати отведено 192  и её размеры могут быть произвольными (заштрихованный прямоугольник на схематическом чертеже):

Обозначим за  ширину области печати (малиновый отрезок) (можно обозначить высоту – получится равноценное решение). Тогда высота области печати:
 (красный отрезок).

Учитывая известные значения полей, найдём ширину всего листа:

И его высоту:

Составим функцию площади листа и сразу подготовим её для дифференцирования:

Найдём критические точки:

Точка  не удовлетворяет геометрическому смыслу задачи, а вот значение  куда более интересно.

Проверим выполнение достаточного условия экстремума:

 (считать тут совсем не обязательно), значит, функция  достигает минимума в точке .

Таким образом, размеры оптимального листа:
;
;
при этом минимальная площадь:

Ответ: ширина оптимальной страницы: , её высота: ; при этом минимальная площадь:

Как видите, основная трудность состоит в том, чтобы разобраться в условии и составить нужную функцию. И в преодолении этой трудности здОрово помогает чертёж. Поэтому всегда стараемся выполнить схематический чертёж или хотя бы рисунок. Даже в таких простых случаях, как в Задаче № 3, не говоря уже о только что разобранном примере.

Следующее задание для самостоятельного решения:

Задача 5

В полукруг радиуса  вписать прямоугольник наибольшего периметра

Просто и со вкусом. И снова несколько подсказок, которые полезно иметь в виду и при решении других задач:

! Во-первых, обратите внимание, что условие сформулировано в общем виде и величина  считается известной. Если совсем тяжко, решите задачу с каким-нибудь конкретным значением радиуса, например, с радиусом  .

! Во-вторых, выполните схематический чертёж, который здесь очень прост: одна из сторон прямоугольника лежит на диаметре полукруга, а вершины противоположной стороны – на полуокружности. Очевидно, что в полукруг можно вписать бесконечно много прямоугольников и ваша задача найти такой, периметр которого максимален. Какую функцию нужно составлять, надеюсь, всем понятно. Подумайте, что удобнее обозначить за «икс» и, кроме того, освежите в памяти теорему Пифагора.

! В-третьих, задачу можно решить в разных стилях. Образец решения оформлен «исключительно геометрически», однако есть и такой вариант: начертить полукруг в декартовой системе координат – в верхней полуплоскости центром в точке . Далее составить уравнение окружности, выразить функцию верхней полуокружности и рассмотреть переменные координаты вершины прямоугольника, которая на этой полуокружности лежит. Более того, ввиду симметрии фигур относительно оси  задачу можно решить в 1-й координатной четверти, т.е. изобразить лишь четвертинку круга (но затем не забыть удвоить одну из сторон прямоугольника). Кому как удобнее.

! И, в-четвёртых, эта задача о том, что иногда совсем не обязательно «разбивать лоб» о новый материал ;-) Если вам показался слишком сложным 2-й достаточный признак экстремума, то никто ведь не запрещает использовать 1-й достаточный признак – определите знаки первой производной слева и справа от критической точки  на промежутке  и сделайте вывод.

Приятного решения!

Наш урок в самом разгаре и настало время разобрать задачи, которые встречались в моей практике без преувеличения десятки раз:

Задача 6

Определите размеры открытого бассейна объемом  , имеющего форму прямоугольного параллелепипеда с квадратным дном, на облицовку стен и дна которого уйдет наименьшее количество материала.

Решение: представили бассейн. Квадратное дно. Стены. Размеры бассейна однозначно определяются его длиной и шириной, которые в данном случае совпадают (по условию дно квадратное) и глубиной (высотой стенки). Требуется найти такие размеры бассейна, чтобы на облицовку его поверхности ушло наименьшее количество материала (например, плитки). Из чего следует, что нам нужно составить функцию суммарной площади дна и 4 стен. Изобразим на чертеже развёртку бассейна – его дно и 4 стенки, которые аккуратно лежат рядышком:

За «икс» здесь, конечно же, напрашивается обозначить сторону квадрата. Тогда площадь дна равна . Осталось выразить  – высоту стены и найти её площадь .

По условию, объём бассейна равняется 32 кубическим метрам. Даже не вспоминая и не разыскивая соответствующую формулу, нетрудно сообразить, что объём прямоугольного параллелепипеда – это произведение площади его «дна» на высоту:

В нашем случае: .

Составим функцию суммарной площади дна и четырёх одинаковых стен бассейна:

Найдем критические точки:

 – критическая точка.

Проверим выполнение достаточного условия экстремума:

, значит, функция  достигает минимума в точке .

Таким образом:
сторона оптимального бассейна ;
глубина ;
при этом минимальная площадь облицовки:
.

Ответ: сторона оптимального бассейна: 4 м, глубина: 2 м; при этом минимальная площадь облицовки .

Кстати, это решение совсем не очевидно – так, например, на оптимальный вариант с успехом претендует «лягушатник» размером  глубиной 1 метр, и «на глазок» очень трудно определить, что выгоднее – ведь площадь облицовки последнего лишь ненамного больше: . И да – надо отдать должное авторам задач за реалистичность, а то не так уж и редко получаются забавные результаты а-ля бассейн  глубиной 32 метра, что называется, купайтесь и не квакайте =)

Аналогичная задача про суровые челябинские шпроты:

Задача 7

Каковы должны быть размеры консервной банки цилиндрической формы, чтобы на её изготовление пошло наименьшее количество материала, если объем банки 0,5 литра?

Но перед тем как решать, пожалуйста, ознакомьтесь с парой полезных замечаний:

Во-первых, литр – это единица объёма. Я специально заострил внимание на физике, поскольку на обывательском уровне литр очень часто неверно отождествляют с килограммом (единицей массы). Ощутите разницу – пол-литровая банка кильки и та же банка, наполненная гвоздями. Один литр равен одному кубическому дециметру или тысяче кубических сантиметров:

А теперь очень важный момент: так как размеры банки, очевидно, выразятся в сантиметрах, то 0,5 литра следует сразу перевести в кубические сантиметры!

К слову, что это за размеры? Цилиндр стандартно определяется радиусом основания  и высотой . Во-вторых. Освежим в памяти формулы:

площадь круга:
площадь боковой поверхности цилиндра:
объём цилиндра:

И в который раз остановлюсь на важном принципе эффективного изучения математики: не зубрите формулы (без крайней необходимости, конечно). В частности, позабытую площадь боковой поверхности цилиндра несложно вывести даже в уме: представьте стенку консервной банки без дна и крышки. Сделайте вертикальный разрез и расправьте боковину на столе. В результате получился прямоугольник, одна из сторон которого, понятно, равна высоте банки , а другая – длине окружности . Площадь же прямоугольника рассчитывается элементарно:

Решение проводится по аналогии с Задачей 6, примерный образец в конце урока.

Закрепим типовик своего рода обратными задачами:

Задача 8

Определить наибольшую вместимость цилиндрического бака, если его площадь поверхности (без крышки) должна равняться

Решение: в данном случае всё наоборот – известна площадь поверхности  (если трудно, замените  конкретным числом) и требуется определить максимальный объём  бака.

За «икс» обозначим… а зачем, собственно, лишние буквы? Ещё с первых уроков о производной многие поняли, что дифференцировать можно по любой переменной, и сейчас мы окончательно избавимся ото всех комплексов.

От какой переменной искать функцию объёма? В соответствующей формуле наиболее «наворочен» радиус, поэтому логично попытаться составить функцию , зависящую именно от него. Нужно только выразить высоту .

Сумма площадей дна (не забываем, что крышка отсутствует!) и боковой поверхности в точности равна известному значению: , откуда находим:

Таким образом:

Найдём критические точки:

Геометрическому смыслу задачи, разумеется, удовлетворяет положительный корень . Проверим выполнение достаточного условия экстремума:

, значит, функция  достигает максимума в точке .

При этом высота бака:

максимальный объём:

Ответ: радиус основания оптимального бака: , высота: , при этом максимальный объём:

Решение в общем виде, бывает, кажется непривычным, однако оцените его универсальность – теперь достаточно лишь подставить конкретное значение площади и сразу рассчитать размеры оптимального цилиндра.

Успокоительное задание для самостоятельного решения:

Задача 9

Прямоугольный лист картона имеет размеры . Требуется вырезать по его углам такие квадраты, чтобы после загибания оставшихся кромок получилась коробка наибольшей вместимости.

Краткое решение и ответ в конце урока.

Помимо рассмотренных выше геометрических объектов, на практике также можно встретить треугольники, трапеции, шары, конусы и т.д., но это более редкие гости (что касаемо забытых формул – справочники в помощь). К сожалению, нельзя объять необяътное, и поэтому в рамках этой статьи я ограничился самыми распространёнными примерами. И действительно, задач ведь придумать можно очень много – и всех их не перерешаешь, главное, чтобы вы хорошо поняли принципы и методы решения, которые я постарался изложить максимально пОлно и качественно.

Кроме того, существуют экстремальные задачи физического, химического, экономического и др. содержания, однако по причине отсутствия таковых в моей коллекции кот даже и не плакал. Но, понимая, что такое производная и обладая элементарной техникой дифференцирования, вы не должны испытать серьёзных затруднений с этими задачами, хотя для их решения, конечно, нужно разобраться и в самой физике/химии/экономике или иной предметной области.

Желаю успехов!

Решения и ответы:

Автор: Емелин Александр

Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу)

Как можно отблагодарить автора?

Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам,

cкидкa 15% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-hihi5

© Copyright  Александр Емелин, mathprofi.ru, 2010-2024, сделано в Блокноте