Высшая математика – просто и доступно!

Если сайт упал, используйте ЗЕРКАЛО: mathprofi.net

Наш форум, библиотека и блог: mathprofi.com

Высшая математика:

Математика для заочников

Математические формулы,
таблицы и другие материалы

Книги по математике

Математические сайты

+-*/^ Удобный калькулятор

+ «Дробовик»   

Учимся решать:

  Карта сайта

Не нашлось нужной задачи?
Сборники готовых решений!

Не получается пример?
Задайте вопрос на форуме!
>>> mathprofi

Обратная связь:

Часто задаваемые вопросы
Гостевая книга Отблагодарить автора >>>

Заметили опечатку / ошибку?
Пожалуйста, сообщите мне об этом

Карта сайта

---

Как привести квадратичную форму к каноническому виду?
Метод Лагранжа

Приветствую вас на втором уроке о квадратичных формах, который посвящен её каноническому виду и соответствующим методам. «Чайникам» и вновь прибывшим с поисковика рекомендую сначала ознакомиться первой частью – чтобы быстренько привести себя в форму :)

И мы сразу же продолжаем. Если в квадратичной форме отсутствуют слагаемые с парными произведениями переменных, то говорят, что она находится в каноническом виде. …Первая часть предложения была понятной? Тогда едем дальше.

Любую квадратичную форму можно привести к каноническому виду:

– форму двух переменных  – к виду  (различаем коэффициенты «а» и  «альфа»!);

– трёх переменных  – к виду ;

…

– форму  переменных «простыня» – к виду:

Чуть позже я сформулирую это утверждение более строго, расскажу о геометрическом смысле, да и просто смысле приведения – после того, как мы освоим техническую сторону вопроса.

И ключевой момент этой технической стороны состоит в линейных заменах:
 – ТАКИХ, которые как раз и приводят форму к каноническому виду.

Систему часто записывают в виде компактного матричного уравнения , где:
 – столбцы старых и новых переменных, – матрица линейного преобразования.

Внимание! Если вам не понятно, как из уравнения получить систему замен, обязательно посмотрите здесь (после Примера 3). Это важно.

Существует несколько способов приведения формы к каноническому виду, и в рамках сайта я расскажу о методе Лагранжа и методе ортогональных преобразований (уже следующий урок).

Начнём с наиболее простого метода:

Пример 6

Привести квадратичную форму к каноническому виду методом Лагранжа.  Записать матрицу соответствующего линейного преобразования.

простенько и со вкусом

Решение: здесь используются стандартные замены  с последующим применением бородатой формулы :

 – форма  в каноническом виде.

Запишем матрицу проведённого линейного преобразования:  – она состоит из «игрековых» коэффициентов замен .

Ответ: ,

Пример, конечно, прозрачный, но сразу зададимся вопросом – как выполнить проверку? Её можно выполнить матричным методом по формуле , где  – транспонированная матрица линейного преобразования,  – исходная и  – новая матрица квадратичной формы.

В нашем случае  – исходная матрица формы , и, перемножая три матрицы:

 – получаем матрицу формы , что и требовалось проверить.

Но то был лишь частный случай:

Пример 7

Привести квадратичную форму к каноническому виду методом Лагранжа.

Записать матрицу соответствующего линейного преобразования.

Решение: когда в форме присутствуют квадраты переменных (а они есть почти всегда), то используется другой приём. Идея состоит в выделении полных квадратов по формулам ,  с дальнейшей заменой переменных.

Сначала выбираем какую-нибудь переменную, которая находится в квадрате, здесь можно выбрать  или . Переменные традиционно перебирают по порядку, поэтому рассматриваем  и собираем вместе все слагаемые, где есть эта переменная:

 «двойку» удобно вынести за скобки:

очевидно, всё дело сведётся к формуле , и нам нужно искусственно организовать данную конструкцию. Для этого в скобках прибавляем  и, чтобы ничего не изменилось – за скобками проводим вычитание:

выделяем полный квадрат:
, после чего выполним проверку обратными действиями – раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:
, ОК

Теперь проведём замены :

 – форма  в каноническом виде.

И тут вроде бы можно записать матрицу линейного преобразования, но есть одна загвоздка, проведённые замены имеют вид :

но нам-то нужна другая матрица – матрица  уравнения .

Для разрешения уравнения  относительно  умножим обе его части на  слева:

Я не буду подробно расписывать процесс нахождения обратной матрицы, а сразу приведу готовый результат  – искомая матрица линейного преобразования. Напоминаю (см. начало урока), что в этой матрице находятся «игрековые» коэффициенты «прямых» замен:

Справка: возможно, ещё не все до конца понимают, как из матричного уравнения получается система замен. В правой части уравнения  выполняем матричное умножение:

Две матрицы равны, если равны их соответствующие элементы, таким образом:
 

И в самом деле, выполняя прямые замены в форме :

 – получаем её канонический вид, найденный выше.

То же самое можно установить матричным методом. Запишем матрицу  формы  и в результате перемножения трёх матриц:

 – получим «каноническую» матрицу.

Прямая подстановка, безусловно, удобнее, но особенность метода Лагранжа состоит в том, что к канонической форме мы подбираемся «с другой стороны» (за исключением немногочисленных случаев наподобие предыдущего примера).

Ответ: ,

Если условие не запрашивает линейное преобразование, то решение заметно сократится. Но мы его наоборот – ещё больше увеличим :)  В образовательных целях.

Квадратичную форму можно привести к каноническому виду не единственным способом. Это следует уже из самого алгоритма действий. Так, например, полный квадрат можно выделить без выноса «двойки» за скобку:

контроль:

и, после замен  тоже получается канонический, но уже другой вид рассматриваемой формы:

Кстати, начать можно и со 2-й переменной –

выполните это задание самостоятельно:

Привести квадратичную форму  к каноническому виду, выделив полный квадрат при переменной . Записать матрицу соответствующего линейного преобразования.

Решение и ответ в конце урока.

Повысим уровень сложности, а точнее, количество переменных:

Пример 8

Привести квадратичную форму к каноническому виду методом Лагранжа

Записать матрицу соответствующего линейного преобразования.

Решать начинаем традиционно – группируем все слагаемые, которые содержат 1-ю переменную:

и начинаем конструировать полный квадрат:

здесь чётко просматривается формула  и для её применения мы должны прибавить и вычесть :

«собираем» квадрат суммы и упрощаем «хвост», распишу это упрощение подробно:

контроль:
 – ч.т.п.

На следующем шаге обычно выделяется ещё один полный квадрат, но у нас осталось единственно слагаемое с парным произведением, и в подобной ситуации сразу же выполняются замены, в данном случае :

В результате получен неканонический вид формы и поэтому нам потребуется ещё одна замена. Используем стандартный трюк, который встретился в самом начале урока:
. Таким образом, получаем:

 – форма  в каноническом виде.

Теперь нужно записать матрицу соответствующего линейного преобразования. Ситуация осложнятся тем, что мы провели ДВА преобразования, и нам предстоит найти их композицию – результирующее преобразование, которое выражает  через сумму / разность «игреков».

Давайте разбираться, что к чему.  Запишем первую замену   в матричной форме: .
Вторая же замена  имеет несколько другой вид:

Из уравнений  следует, что:

Для разрешения полученного уравнения относительно  умножим обе его части на  слева:

Таким образом, нам нужно найти обратную матрицу  (уже не нужно:)) и выполнить матричное умножение:
 
 – получив тем самым искомое результирующее преобразование.

Но подставлять  в форму  что-то неохота, и поэтому «пропустим через мясорубку» её матрицу , благо, матричный калькулятор под рукой:
 – получена матрица приведённой формы  , в чём мы и хотели убедиться.

Обратите внимание на удобство матричной записи и матричного метода – они практически «сводят на нет» путаницу в индексах и степенях квадратичной формы.

Ответ: ,

Тренируемся:

Пример 9

Привести квадратичную форму к каноническому виду методом Лагранжа

а)

б)  – особенно часто встречающийся тип приведения.

В образцах решения использован «традиционный» путь, т.е. полные квадраты выделяются по порядку, начиная с 1-й переменной. Перед заменой переменных полезно выполнять обратный ход – раскрывать скобки и приводить подобные слагаемые, чтобы получить исходный вид. Это вполне надёжный способ проверки. Также обратите внимание, что здесь не требуется указывать линейное преобразование, однако, я коротко рассказал, как его находить (мало ли, понадобится).

…У всех всё получилось? Тогда продолжаем – начинается самое интересное! Наверное, все понимают, что подавляющее большинство линейных преобразований не приводят нас к желаемому результату. Вернёмся к подопытной форме  Примера 7 и проведём, например, такую замену: .
Запишем матрицу формы , матрицу преобразования  и воспользуемся знакомой формулой:

Таким образом, форма  приняла другой, тоже неканонический вид .

И тут я хочу отметить ещё одно преимущество матричного решения, о котором не говорил. В результате умножения  ДОЛЖНА получиться симметрическая и только такая матрица, и этот факт значительно снижает риск пропустить ошибку. Но, разумеется, можно выполнить и прямую подстановку  в :

Правда, запутаться тут легче и гарантий никаких.

Далее. Все преобразования, которые нам встретились выше, не вырождены. Что это означает? Это означает, что для них существует обратное преобразование – образно говоря, «путь назад». Теперь не образно:) определитель матрицы невырожденного линейного преобразования непременно отличен от нуля , что гарантирует существование обратной матрицы  и «зеркальной» формулы  , с помощью которой мы можем однозначно восстановить исходную матрицу .

Чего не скажешь о преобразовании вырожденном – это «билет в один конец». Одним из таких преобразований является тривиальное нулевое преобразование. Так, например, если , то форма  вырождается в нулевую форму   с матрицей . Обратного пути нет, то есть, если нам изначально дана вырожденная «игрековая» форма с матрицей , то невозможно выяснить, от какой формы она произошла.

Существуют и другие типы «вырождения», но всех их объединяет тот факт, что определитель матрицы такого преобразования равен нулю: , из чего следует, что обратной матрицы не существует, а значит, не существует и возврата.

А теперь заметим, что нулевое преобразование привело нас… к каноническому виду ! И в самом деле – это же канонический вид по определению. И поэтому сейчас мы усилим утверждение, сформулированное в начале урока: любую квадратичную форму можно привести к каноническому виду с помощью невырожденного линейного преобразования. Существование такого преобразования, в частности, гарантирует метод Лагранжа.

И сейчас я озвучу кульминационный и ОЧЕНЬ важный момент: невырожденное линейное преобразование не меняет СУЩНОСТИ квадратичной формы. Здесь можно привести такой ассоциативный пример: рассмотрим произвольную ненулевую форму  и представим, что это квадратный лист бумаги, на котором записано некое слово. Если форма находится в неканоническом виде, то лист занимает такое положение, в котором мы слова не видим, или же только догадываемся, что это за слово.

1) Невырожденное преобразование, которое приводит форму к каноническому виду, поворачивает листок бумаги к нам «лицом» – чтобы слово было отчётливо видно. Поскольку таких преобразований на самом деле много, то лист бумаги в общем случае будет менять свой размер и местоположение, и размер шрифта тоже будет меняться. Но что не изменится – так это слово.

2) Невырожденное преобразование, которое НЕ приводит форму к каноническому виду, делает то же самое с большим и толстым нюансом: слова мы по-прежнему не видим.

3) Вырожденное линейное преобразование либо полностью стирает с листа слово (нулевое преобразование), либо стирает отдельные буквы – так, чтобы нельзя было однозначно сказать, от какого слова они остались; причём, мы можем не увидеть даже и этих букв (если форма осталась в неканоническом виде).

И, завершая ассоциацию, отметим наиболее интересный случай – когда невырожденное преобразование не только приводит форму к каноническому виду, но ещё и сохраняет размер листа, т.е. поворачивает его к нам в неизменном виде. Жду вас на третьем уроке о методе ортогонального преобразования, где мы продолжим увлекательную беседу и вложим в сущность формы конкретный геометрический смысл.

Решения и ответы:

Автор: Емелин Александр

Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу)

Как можно отблагодарить автора?

Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам,

cкидкa 15% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-hihi5

© Copyright  Александр Емелин, mathprofi.ru, 2010-2024, сделано в Блокноте