![]() ![]() ![]()
| |||
Математические формулы,
Высшая математика для чайников, или с чего начать? Аналитическая геометрия:
Векторы для чайников
Элементы высшей алгебры:
Множества и действия над ними
Пределы:
Пределы. Примеры решений
Производные функций:
Как найти производную?
Функции и графики:
Графики и свойства ФНП:
Область определения функции Интегралы:
Неопределенный интеграл.
Дифференциальные уравнения:
Дифференциальные уравнения первого порядка
Числовые ряды:
Ряды для чайников
Функциональные ряды:
Степенные ряды
Кратные интегралы:
Двойные интегралы
Элементы векторного анализа:
Основы теории поля
Комплексный анализ:
ТФКП для начинающих
Теория вероятностей:
Основы теории вероятностей
Математическая статистика:
Математическая статистика
Не нашлось нужной задачи? Не получается пример?
Часто задаваемые вопросы Заметили опечатку / ошибку? |
![]()
Метод касательныхМетод касательных (метод Ньютона) предназначен для приближенного нахождения нулей функции, и сегодня мы не только узнаем его суть, но и научимся быстро решать тематическую задачу! В которой чаще всего фигурирует «обычная» функция одной переменной
Поставим задачу отыскать действительные корни данного уравнения. А таковые точно есть! – из статей о графиках функций и уравнениях высшей математики вы хорошо знаете, что график функции-многочлена нечётной степени хотя бы один раз пересекает ось Сначала напрашивается проверить, наличие рациональных корней. Согласно соответствующей теореме, на это «звание» могут претендовать лишь числа 1, –1, 3, –3, и прямой подстановкой легко убедиться, что ни одно из них «не подходит». Таким образом, остаются иррациональные значения. Иррациональный корень (корни) многочлена 3-й степени можно найти точно (выразить через радикалы) с помощью так называемых формул Кардано, однако этот метод достаточно громоздок. А для многочленов 5-й и бОльших степеней общего аналитического метода не существует вовсе, и, кроме того, на практике встречается множество других уравнений, в которых точные значения действительных корней получить невозможно (хотя они существуют). Однако в прикладных (например, инженерных) задачах более чем допустимо использовать приближённые значения, вычисленные с определённой точностью. Зададим для нашего примера точность Совершенно понятно, что решение нельзя начинать «наобум» и поэтому на первом шаге корни отделяют. Отделить корень – это значит найти достаточно малый (как правило, единичный) отрезок, которому этот корень принадлежит, и на котором нет других корней. Наиболее прост и доступен графический метод отделения корней. Построим поточечно график функции Рассмотренная схема получила естественное название – метод половинного деления. И недостаток этого метода состоит в скорости. Медленно. Очень медленно. Слишком много итераций придётся совершить, прежде чем мы достигнем требуемой точности. С развитием вычислительной техники это, конечно, не проблема, но математика – на то и математика, чтобы искать наиболее рациональные пути решения. И одним из более эффективных способов нахождения приближённого значения корня как раз и является метод касательных. Краткая геометрическая суть метода состоит в следующем: сначала с помощью специального критерия (о котором чуть позже) выбирается один из концов отрезка. Этот конец называют начальным приближением корня, в нашем примере: Поскольку касательная определяется через производную функции, то этот урок попал в раздел «Производные» в качестве одного из её приложений. И, не вдаваясь в подробное теоретическое обоснование метода, я рассмотрю техническую сторону вопроса. На практике описанная выше задача встречается примерно в такой формулировке: Пример 1 С помощью графического метода найти промежуток Перед вами «щадящая версия» задания, в которой сразу констатируется наличие единственного действительного корня. Решение: на первом шаге следует отделить корень графически. Это можно сделать путём построения графика Ну а зачем нам лишние трудности? Представим уравнение Итак, наш «клиент» На втором шаге нужно выбрать начальное приближение Найдём первую и вторую производные функции и проверим левый конец отрезка: Проверяем правый конец отрезка: На третьем шаге нас ожидает дорога к корню. Каждое последующее приближение корня Процесс завершается при выполнении условия На очереди рутинные расчёты: Поскольку полученное значение больше Вычисляем: Заходим на следующий круг: На практике результаты вычислений удобно заносить в таблицу, при этом, чтобы несколько сократить запись, дробь часто обозначают через Сами же вычисления по возможности лучше провести в Экселе – это намного удобнее и быстрее (если видео недоступно, смотрИте здесь): Ответ: Напоминаю, что эта фраза подразумевает тот факт, что мы ошиблись в оценке истинного значения корня не более чем на 0,001. Сомневающиеся могут взять в руки микрокалькулятор и ещё раз подставить приближенное значение 0,674 в левую часть уравнения А теперь «просканируем» правый столбец таблицы сверху вниз и обратим внимание, что значения Что делать в таких случаях? Проверить выполнение указанных условий (см. выше по ссылке), и при необходимости уменьшить отрезок. Так, условно говоря, если бы в разобранном примере нам не подошёл промежуток Но обычно всё работает, как часы, хотя и не без подводных камней: Пример 2 Определить графически количество действительных корней уравнения Условие задачи заметно ужесточилось: во-первых, в нём содержится толстый намёк на то, что уравнение имеет не единственный корень, во-вторых, повысилось требование к точности, и, в-третьих, с графиком функции А поэтому решение начинаем со спасительного трюка: представим уравнение в виде Алгоритм, как вы понимаете, нужно «провернуть» дважды. Но это ещё не самый тяжелый случай, бывает, исследовать приходится 3-4 корня. 1) С помощью критерия Тестируем левый конец отрезка: Таким образом, Уточнение корня проведем методом Ньютона, используя рекуррентную формулу: И здесь слово «модуль» приобретает неиллюзорную важность, поскольку значения Несмотря на достаточно высокое требование к точности, процесс опять завершился на 2-м приближении:
2) Найдем приближённое значение корня Проверяем на «вшивость» левый конец отрезка: «Прозваниваем» правый конец: Таким образом: Вычисления сведём в таблицу:
Ответ: уравнение имеет два действительных корня: Парочка примеров для самостоятельного решения. И даже не столько для решения, сколько для отработки техники вычислений – сам-то алгоритм весьма примитивен: Пример 3 Отделить действительный корень уравнения Пример 4 Определить количество действительных корней уравнения Заметьте, что в последнем задании явно не указано, каким способом мы должны изолировать корни, и, в принципе, можно попробовать обойтись чисто аналитическими выкладками, за которые по идее не должны покарать. Другое дело, что графический метод почти всегда проще. Пожалуй, основные практически важные моменты я раскрыл, а посему статья плавно перетекает в решения и ответы, где можно ознакомиться с примерными образцами чистового оформления рассмотренной задачи: Пример 3. Решение: представим уравнение в виде Пример 4. Решение: представим уравнение в виде
Автор: Емелин Александр Высшая математика для заочников и не только >>> (Переход на главную страницу) Как можно отблагодарить автора? ![]() |
|