Высшая математика – просто и доступно!

Если сайт упал, используйте ЗЕРКАЛО: mathprofi.net

Наш форум, библиотека и блог: mathprofi.com

Высшая математика:

Математика для заочников

Математические формулы,
таблицы и другие материалы

Книги по математике

Математические сайты

+-*/^ Удобный калькулятор

+ «Дробовик»   

Учимся решать:

  Карта сайта

Не нашлось нужной задачи?
Сборники готовых решений!

Не получается пример?
Задайте вопрос на форуме!
>>> mathprofi

Обратная связь:

Часто задаваемые вопросы
Гостевая книга Отблагодарить автора >>>

Заметили опечатку / ошибку?
Пожалуйста, сообщите мне об этом

Карта сайта

---

Задачи с дифференциальными уравнениями

Ну а как иначе? Если есть дифференциальные уравнения, то должны быть и задачи с ними! Они встречаются в математике (само собой), физике, химии, других науках и, разумеется, соответствующих примеров великое множество – пятилетки не хватит, чтобы все их разобрать. Но этого и не нужно – сегодня наша цель освоить общие принципы решения таких задач, хотя,… штук 50-то всяко осилим)

Начнём с самого главного: вот видим мы текст задачи. Как определить, что её нужно решать с помощью ИМЕННО дифференциального уравнения? Очень просто. Поскольку корнями диффуров являются функции, то по условию так или иначе потребуется найти:

функцию / уравнение / линию / кривую / закон / зависимость и т. д.

В большинстве тематических задач фигурируют дифференциальные уравнения первого порядка, с них и начнём. Как вы прекрасно знаете, в оные уравнения обязательно входит первая производная, и поэтому для освоения урока нужно понимать (очевидно-невероятно), что такое производная. Впрочем, уважаемые студенты, пощады не ждите – я вам обязательно напомню =) И моя беспощадность такова, что мы займёмся этим прямо сейчас:

Задача 1

Кривая проходит через точку  и обладает тем свойством, что угловой коэффициент касательной в любой её точке пропорционален квадрату ординаты точки касания с коэффициентом пропорциональности . Найти уравнение этой кривой.

Пожалуйста, типичный признак – условие запрашивает у нас уравнение кривой, а значит, задача решается с помощью дифференциального уравнения.

Решение: на первом шаге нужно это самое уравнение составить. Рассмотрим произвольную точку , принадлежащую искомой кривой. Заметьте, что этой хитрой фразой мы учитываем ВСЕ точки разыскиваемой линии.

Выполним схематический чертёж, на котором изобразим некоторую кривую , произвольную точку  и касательную , проведённую к графику функции в данной точке:

Теперь вспоминаем, что угловой коэффициент  касательной равен тангенсу её  угла наклона и равен значению производной в точке :

Или, если короче:

По условию, угловой коэффициент касательной  в любой точке  кривой пропорционален квадрату ординаты («игрековой» координаты) точки касания:

, где  – коэффициент пропорциональности.
(значок «тильда» обозначает пропорциональность)

В данной задаче . Таким образом, получаем следующее дифференциальное уравнение:

, которое, понятно, нужно решить :)

Перед нами простейшее ДУ с разделяющимися переменными:

Общее решение:

В результате мы получили целое семейство функций, удовлетворяющих критерию задачи. Но в условии есть уточнение: кривая проходит через точку . Решим задачу Коши, т. е. найдём соответствующее частное решение. Здесь удобно непосредственно подставить в общее решение координаты  точки:

Таким образом, уравнение, искомой кривой:

Ответ:

Выполним проверку. Она проводится стандартно + желательный анализ, связанный с содержательным смыслом задачи.

Прежде всего, убедимся, что график полученной функции действительно проходит через точку :

 – получено верное равенство, что и требовалось проверить.

Найдём производную:

Подставим  и  в уравнение :

 – таким образом, частное решение найдено верно.

Но это ещё не всё – ведь мы могли неправильно составить само дифференциальное уравнение! И поэтому будет не лишним вернуться условию, согласно которому, любая точка кривой  должна обладать следующим свойством: производная функции в точке (угловой коэффициент касательной) равна утроенному квадрату «игрековой» координаты данной точки. Рассмотрим ту же точку  и вычислим:

С другой стороны, утроенный квадрат «игрековой» координаты точки :
, отлично.

Желающие могут протестировать любую другую точку, принадлежащую кривой , например точку , и убедиться в справедливости только что проверенного критерия. Это, кстати, легко сделать устно.

Вот теперь-то задача «закрыта наглухо».  Ну а то, что схематический чертёж далёк от графика гиперболы  – совершенно не страшно, чертёж лишь помогает разобраться в условии. И строить его, к слову, в простых случаях совсем не обязательно ;) И в самом деле – этого же не требовалось….

Пара типовых задач для самостоятельного решения:

Задача 2

Угловой коэффициент касательной к каждой точке кривой обратно пропорционален абсциссе точки касания с коэффициентом пропорциональности . Составить уравнение данной кривой, если известно, что она проходит через точку

Как раз аналогичный пример, в котором вполне можно обойтись без чертежа. Напоминаю, что обратная пропорциональность устроена по принципу «чем больше – тем меньше» – это зависимость… где-то я о ней вроде упоминал…, да, нашёл – в статье о гиперболе. Впрочем, многие помнят этот материал со школы.

И тут ещё хочу предупредить о возможной «накладке» с обозначениями: в «реальных» примерах коэффициент пропорциональности очень часто обозначают буквой , что, конечно, не есть хорошо.

Примерный образец чистового оформления задания в конце урока.

Чуть потруднее:

Задача 3

Найти кривую, для которой тангенс угла наклона ее касательной в любой её точке в 2 раза больше тангенса угла наклона прямой, проходящей через ту же точку и начало координат.

А вот здесь уже чертёж не помешает – рассматриваем прямоугольный треугольник, на всякий пожарный: тангенс – это отношение противолежащего катета к прилежащему катету. Впрочем, «картинку» этой задачи опять же несложно «обработать в уме». Но в образце решения я не поленился и выполнил схематический чертёж. И таки догадайтесь, как правильно записать ответ – проанализируйте полученное решение на соответствие условию задачи ;)

Как видите, задачки вроде бы элементарные, а «подводных камней» в них хватает. И перед тем как перейти от «чистой математики» к приложениям (по физике, химии и т. д.) я рассмотрю пару «настоящих» примеров.

Во многих случаях вам придётся столкнуться с задачей из сборника А.П. Рябушко (Часть 2, ИДЗ 11.4, Задача № 4) или из сборника Кузнецова. Или же с какой-то похожей задачей.

Первый источник отличается меньшей сложностью, и что особо приятно, каждая из 30 задач снабжена правильным ответом. Однако здесь нужно помнить, что решение диффура обычно можно записать несколькими способами, и формально результаты могут не совпасть.

Примеры из задачника Л.А. Кузнецова (Раздел V Дифференциальные уравнения, Задача 9) более трудны, но зато по Интернету давным-давно «гуляют» готовые решения всех вариантов. Может быть, найдёте и свою задачу! Однако не спешите радоваться «халяве» и бездумно переписывать материалы – неточностей там хватает.

Гораздо выгоднее ОДИН РАЗ РАЗОБРАТЬСЯ в технике решения таких задач!

Я подробно остановлюсь на заданиях из вариантов 11-20 сборника Кузнецова, которые, как  показывает практика, вызывают наибольшие затруднения у студентов, и разберу пример 12-го варианта, который, кстати, в указанном выше источнике вообще решён неправильно:

Задача 4

Найти линию, проходящую через точку , если отрезок любой ее касательной между точкой касания и осью  делится в точке пересечения с осью абсцисс в отношении  (считая от оси ).

Прежде всего, снова обратим внимание на то, что по условию требуется найти линию, следовательно, участь наша – дифференциальное уравнение. И, кроме того, речь идёт о касательной, которая, как вы уже вспомнили, определяется через производную.

Решение: должен предупредить, что здесь опять возникают «накладки» с обозначениями, и я буду придерживаться собственной версии оформления, которая показалась мне наиболее удобной. Сначала рассмотрим некоторую конкретную точку , принадлежащую искомой линии, и соответствующую касательную. Выполним схематический чертёж. Из условия задачи следует,  что точка  пересечения касательной с осью  лежит строго между точек  и . Это принципиальный момент! – так бывает далеко не всегда. И, конечно, нужно постараться, чтобы отрезок  был примерно в 2 раза длиннее отрезка :

Как я отмечал выше, задачу можно разрулить и через «очевидное» отношение  , но вычисления получатся просто хардкорными, а результат тот же самый – короткое равенство с двумя модулями.

Желающие могут выполнить чертёж в масштабе 1ед.  = 2 тетрадные клетки – изобразить кубическую параболу, удобную касательную и всё измерить линеечкой =)  Улыбка улыбкой, но это, кстати, может пригодиться, если вы запутаетесь в модулях и будете сомневаться, какой диффур выбрать. Так или иначе, чертёж довольно прост:

И в самом деле: . Аналогичное соотношение справедливо для любой касательной за исключением касательной в точке  (оси абсцисс).

Примечание: здесь не возникает противоречия с условием задачи, в котором предполагается, что касательная пересекает координатные оси в разных точках.

А теперь разберём побочный диффур, который нарисовался в ходе решения:

Общее решение:
Решим задачу Коши для точки :

Таким образом, получаем гиперболу . Следует заметить, что здесь тоже выполнено соотношение , нарисую «на скорую руку» одну ветку:

Однако геометрическая ситуация совершенно другая – касательная пересекает координатные оси по разные стороны от точки касания.

Для этого случая условие можно сформулировать несколько по-другому: Найти линию, проходящую через точку , если отрезок любой ее касательной, заключенный между осями координат, делится в точке касания в отношении . И такому расположению касательной посвящены задачи 16-20 сборника Кузнецова.

Энтузиасты могут прорешать эту, более простую задачу по трафарету. И, конечно, в ней тоже не надо находить длины отрезков  и  – намного выгоднее снова рассмотреть подобные треугольники (которые расположены один над другим и так оказалось, что вообще равны). Интересно, что в ходе решения опять появятся два диффура, из которых потребуется выбрать «правильный».

Для самостоятельного решения также предлагаю ещё одно задание:

Задача 5

Найти линию, проходящую через точку  и обладающую тем свойством, что в любой её точке  нормальный вектор  с концом на оси  имеет длину, равную , и отрезок  образует острый угол с положительным направлением оси .

Систематизируем схему решения:

1) Во избежание неразберихи с «иксом» и «игреком» рассматриваем некоторую конкретную точку , принадлежащую искомой прямой. Вообще говоря, можно сразу работать с произвольной точкой , но тогда «глобальные» переменные придётся обозначить как-нибудь по-другому, например, через .

2) Составляем уравнение нормали, проходящей через точку .

3) Находим координаты точки  пересечения нормали с осью ординат.

4) Находим длину вектора . А вот здесь уже без корня обойтись трудно.

5) Теперь переходим к рассмотрению произвольной точки , т. е. выполняем замены . Этот шаг можно выполнить и чуть раньше (до нахождения длины вектора).

6) Составляем и решаем дифференциальное уравнение. В ходе решения используем информацию о том,  что отрезок  образует острый угол с положительным направлением оси .

Однако здесь существует и более короткое решение, которым поделилась одна из читательниц сайта. В своё время (когда создавалась статья) из моего поле зрения выпала эта элементарная возможность, и поэтому в конце урока я, конечно же, добавил 2-й способ. Постарайтесь его увидеть! И спасибо за ваши письма – они действительно помогают улучшить учебные материалы.

Я не сторонник различного рода справочников, но для решения практических задач могут пригодиться следующие готовые формулы:

Длина отрезка касательной:
Подкасательная:
Длина отрезка нормали:
Поднормаль:

Но всё же старайтесь их выводить по ходу решения той или иной задачи.

Поскольку сайт посвящен математике, то бОльшую часть урока заняла математика =), но, разумеется, я не могу обойти стороной многочисленные прикладные задачи, которые рассматриваются даже в школе. Их часто (и может быть даже корректнее) называют задачами, которые ПРИВОДЯТ к понятию дифференциального уравнения. Отличительной особенностью этих задач (как правило) является тот факт, что условие опирается на сам СМЫСЛ производной, то есть речь в нём идёт о скорости изменения некоторого показателя.

Физика, химия,…  да чего тут занудничать – биология:

Задача 6

Требуется составить дифференциальное уравнение динамики развития некоторого биологического вида и найти решение этого уравнения.

Состояние популяции можно охарактеризовать массой  этой популяции (весом всего стада), причем масса является функцией времени . Считая, что скорость роста биомассы пропорциональна биомассе популяции с коэффициентом пропорциональности , найти массу стада в момент времени , если известно её значение  при .

…Надо сказать, автор задачи не стал мучить студентов-зоотехников и расписал всё подробнейшим образом. Давайте, тем не менее, остановимся на характерных признаках, позволяющих определить, что тут замешано дифференциальное уравнение:

– во-первых, нам явно придётся отыскать функцию  массы стада, зависящую от времени;

– и, во-вторых, в условии прямо сказано о скорости роста этой самой массы.

А за скорость роста у нас отвечает производная функция, в данном случае функция

На самом деле решение очень простое и напоминает оно 1-ю задачу урока. По условию, скорость изменения массы стада пропорциональна этой массе:

В большинстве практических задач коэффициент пропорциональности равен константе, но вот здесь он представляет собой функцию: . Впрочем, это не имеет особого значения:

Разделяем и властвуем:

Общее решение:

По условию, в момент времени  биомасса составляет . Решим задачу Коши:

Таким образом, закон изменения массы популяции:

Шустрая, однако, популяция – прямо какое-то стадо кроликов… или даже саранчи. …Хотя в задаче ничего не сказано о размерности величин. И поэтому, кстати, здесь будет корректно говорить о единицах времени и единицах массы.

Найдём то, что требовалось найти:
 – масса стада в момент времени

Ответ:

…Наверное, вы ждёте - не дождетесь задач по физике…. Спешу обнадёжить вас принципом «антиРабиновича»: Дождётесь! =) Но перед этим примем йаду таблеточку:

Задача 7

Таблетка массой 0,5 г брошена в стакан воды. Скорость растворения таблетки пропорциональна массе таблетки. Через какое время растворится 99% вещества, если известно, что через 10 минут растворилось 80%?

Это очень простая… и не простая задача ;) Постарайтесь самым тщательным образом разобраться в решении, задач в подобном техническом исполнении намного больше стакана – их пруд пруди. И кто позабыл – свойства степеней и логарифмов в помощь.

К сожалению, нельзя объять необъятное, и около 10 готовых задач по физике я загрузил в библиотеку, в основном, там задачи по механике. Физика не является моим профильным предметом, но вроде получилось неплохо….

Что касается дифуров 2-го и более высоких порядков, то на практике они встречаются намного реже. Здесь можно отметить задачи на 2-й закон Ньютона (простейшее ДУ, допускающее понижение порядка – см. по ссылке выше), а также задачу о свободных и вынужденных колебаниях (линейные ОДУ и НДУ 2-го порядка). Теоретический материал по последней задаче можно посмотреть здесь.

Спасибо за внимание – надеюсь, урок был полезен, и теперь вы сможете справиться с любой тематической задачей!

Решения и ответы:

Автор: Емелин Александр

Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу)

Как можно отблагодарить автора?

Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам,

cкидкa 15% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-hihi5

© Copyright  Александр Емелин, mathprofi.ru, 2010-2024, сделано в Блокноте