![]() ![]() ![]()
| |||
Математические формулы,
Высшая математика для чайников, или с чего начать? Аналитическая геометрия:
Векторы для чайников
Элементы высшей алгебры:
Множества и действия над ними
Пределы:
Пределы. Примеры решений
Производные функций:
Как найти производную?
Функции и графики:
Графики и свойства ФНП:
Область определения функции Интегралы:
Неопределенный интеграл.
Дифференциальные уравнения:
Дифференциальные уравнения первого порядка
Числовые ряды:
Ряды для чайников
Функциональные ряды:
Степенные ряды
Кратные интегралы:
Двойные интегралы
Элементы векторного анализа:
Основы теории поля
Комплексный анализ:
ТФКП для начинающих
Теория вероятностей:
Основы теории вероятностей
Математическая статистика:
Математическая статистика
Не нашлось нужной задачи? Не получается пример?
Часто задаваемые вопросы Заметили опечатку / ошибку? |
![]()
Задачи с дифференциальными уравнениямиНу а как иначе? Если есть дифференциальные уравнения, то должны быть и задачи с ними! Они встречаются в математике (само собой), физике, химии, других науках и, разумеется, соответствующих примеров великое множество – пятилетки не хватит, чтобы все их разобрать. Но этого и не нужно – сегодня наша цель освоить общие принципы решения таких задач, хотя,… штук 50-то всяко осилим) Начнём с самого главного: вот видим мы текст задачи. Как определить, что её нужно решать с помощью ИМЕННО дифференциального уравнения? Очень просто. Поскольку корнями диффуров являются функции, то по условию так или иначе потребуется найти: функцию / уравнение / линию / кривую / закон / зависимость и т. д. В большинстве тематических задач фигурируют дифференциальные уравнения первого порядка, с них и начнём. Как вы прекрасно знаете, в оные уравнения обязательно входит первая производная, и поэтому для освоения урока нужно понимать (очевидно-невероятно), что такое производная. Впрочем, уважаемые студенты, пощады не ждите – я вам обязательно напомню =) И моя беспощадность такова, что мы займёмся этим прямо сейчас: Задача 1 Кривая проходит через точку Пожалуйста, типичный признак – условие запрашивает у нас уравнение кривой, а значит, задача решается с помощью дифференциального уравнения. Решение: на первом шаге нужно это самое уравнение составить. Рассмотрим произвольную точку Выполним схематический чертёж, на котором изобразим некоторую кривую Или, если короче: По условию, угловой коэффициент касательной
В данной задаче
Перед нами простейшее ДУ с разделяющимися переменными: В результате мы получили целое семейство функций, удовлетворяющих критерию задачи. Но в условии есть уточнение: кривая проходит через точку Таким образом, уравнение, искомой кривой: Ответ: Выполним проверку. Она проводится стандартно + желательный анализ, связанный с содержательным смыслом задачи. Прежде всего, убедимся, что график полученной функции действительно проходит через точку Найдём производную: Подставим Но это ещё не всё – ведь мы могли неправильно составить само дифференциальное уравнение! И поэтому будет не лишним вернуться условию, согласно которому, любая точка кривой С другой стороны, утроенный квадрат «игрековой» координаты точки Желающие могут протестировать любую другую точку, принадлежащую кривой Вот теперь-то задача «закрыта наглухо». Ну а то, что схематический чертёж далёк от графика гиперболы Пара типовых задач для самостоятельного решения: Задача 2 Угловой коэффициент касательной к каждой точке кривой обратно пропорционален абсциссе точки касания с коэффициентом пропорциональности Как раз аналогичный пример, в котором вполне можно обойтись без чертежа. Напоминаю, что обратная пропорциональность устроена по принципу «чем больше – тем меньше» – это зависимость… где-то я о ней вроде упоминал…, да, нашёл – в статье о гиперболе. Впрочем, многие помнят этот материал со школы. И тут ещё хочу предупредить о возможной «накладке» с обозначениями: в «реальных» примерах коэффициент пропорциональности очень часто обозначают буквой Примерный образец чистового оформления задания в конце урока. Чуть потруднее: Задача 3 Найти кривую, для которой тангенс угла наклона ее касательной в любой её точке в 2 раза больше тангенса угла наклона прямой, проходящей через ту же точку и начало координат. А вот здесь уже чертёж не помешает – рассматриваем прямоугольный треугольник, на всякий пожарный: тангенс – это отношение противолежащего катета к прилежащему катету. Впрочем, «картинку» этой задачи опять же несложно «обработать в уме». Но в образце решения я не поленился и выполнил схематический чертёж. И таки догадайтесь, как правильно записать ответ – проанализируйте полученное решение на соответствие условию задачи ;) Как видите, задачки вроде бы элементарные, а «подводных камней» в них хватает. И перед тем как перейти от «чистой математики» к приложениям (по физике, химии и т. д.) я рассмотрю пару «настоящих» примеров. Во многих случаях вам придётся столкнуться с задачей из сборника А.П. Рябушко (Часть 2, ИДЗ 11.4, Задача № 4) или из сборника Кузнецова. Или же с какой-то похожей задачей. Первый источник отличается меньшей сложностью, и что особо приятно, каждая из 30 задач снабжена правильным ответом. Однако здесь нужно помнить, что решение диффура обычно можно записать несколькими способами, и формально результаты могут не совпасть. Примеры из задачника Л.А. Кузнецова (Раздел V Дифференциальные уравнения, Задача 9) более трудны, но зато по Интернету давным-давно «гуляют» готовые решения всех вариантов. Может быть, найдёте и свою задачу! Однако не спешите радоваться «халяве» и бездумно переписывать материалы – неточностей там хватает. Гораздо выгоднее ОДИН РАЗ РАЗОБРАТЬСЯ в технике решения таких задач! Я подробно остановлюсь на заданиях из вариантов 11-20 сборника Кузнецова, которые, как показывает практика, вызывают наибольшие затруднения у студентов, и разберу пример 12-го варианта, который, кстати, в указанном выше источнике вообще решён неправильно: Задача 4 Найти линию, проходящую через точку Прежде всего, снова обратим внимание на то, что по условию требуется найти линию, следовательно, участь наша – дифференциальное уравнение. И, кроме того, речь идёт о касательной, которая, как вы уже вспомнили, определяется через производную. Решение: должен предупредить, что здесь опять возникают «накладки» с обозначениями, и я буду придерживаться собственной версии оформления, которая показалась мне наиболее удобной. Сначала рассмотрим некоторую конкретную точку Первое, что приходит в голову – это найти длины отрезков В чём фишка? Фишка состоит в том, что длины отрезков Уравнение касательной к графику функции в точке Таким образом: Для удобства запишу рабочие точки по порядку: Теперь вернёмся к следующему моменту: изначально мы рассматривали некоторую конкретную точку ! Примечание: этим приёмом я избежал технической «накладки» с буквами: сначала переменные Длины отрезков Длину второго отрезка найдём как разность «иксовых» координат точек В соответствии с обоснованной выше пропорцией Сначала раскроем левый модуль: При избавлении от правого модуля дробь может получиться как положительной, так и отрицательной, и поэтому всё так и останется: В результате у нас получилось два дифференциальных уравнения: Условию задачи удовлетворяет первое уравнение. Почему? Давайте посмотрим на чертёж: на нём координаты точек Вообще, при оформлении практической задачи обо всех этих тонкостях лучше аккуратно умолчать =) и сразу приступить к решению нужного уравнения: Общее решение: По условию, линия должна проходить через точку Ответ: Как я отмечал выше, задачу можно разрулить и через «очевидное» отношение Желающие могут выполнить чертёж в масштабе 1ед. = 2 тетрадные клетки – изобразить кубическую параболу, удобную касательную и всё измерить линеечкой =) Улыбка улыбкой, но это, кстати, может пригодиться, если вы запутаетесь в модулях и будете сомневаться, какой диффур выбрать. Так или иначе, чертёж довольно прост: Примечание: здесь не возникает противоречия с условием задачи, в котором предполагается, что касательная пересекает координатные оси в разных точках. А теперь разберём побочный диффур, который нарисовался в ходе решения: Таким образом, получаем гиперболу Для этого случая условие можно сформулировать несколько по-другому: Найти линию, проходящую через точку Энтузиасты могут прорешать эту, более простую задачу по трафарету. И, конечно, в ней тоже не надо находить длины отрезков Задача 5 Найти линию, проходящую через точку Систематизируем схему решения: 1) Во избежание неразберихи с «иксом» и «игреком» рассматриваем некоторую конкретную точку 2) Составляем уравнение нормали, проходящей через точку 3) Находим координаты точки 4) Находим длину вектора 5) Теперь переходим к рассмотрению произвольной точки 6) Составляем и решаем дифференциальное уравнение. В ходе решения используем информацию о том, что отрезок Однако здесь существует и более короткое решение, которым поделилась одна из читательниц сайта. В своё время (когда создавалась статья) из моего поле зрения выпала эта элементарная возможность, и поэтому в конце урока я, конечно же, добавил 2-й способ. Постарайтесь его увидеть! И спасибо за ваши письма – они действительно помогают улучшить учебные материалы. Я не сторонник различного рода справочников, но для решения практических задач могут пригодиться следующие готовые формулы: Но всё же старайтесь их выводить по ходу решения той или иной задачи. Поскольку сайт посвящен математике, то бОльшую часть урока заняла математика =), но, разумеется, я не могу обойти стороной многочисленные прикладные задачи, которые рассматриваются даже в школе. Их часто (и может быть даже корректнее) называют задачами, которые ПРИВОДЯТ к понятию дифференциального уравнения. Отличительной особенностью этих задач (как правило) является тот факт, что условие опирается на сам СМЫСЛ производной, то есть речь в нём идёт о скорости изменения некоторого показателя. Физика, химия,… да чего тут занудничать – биология: Задача 6 Требуется составить дифференциальное уравнение динамики развития некоторого биологического вида и найти решение этого уравнения. Состояние популяции можно охарактеризовать массой …Надо сказать, автор задачи не стал мучить студентов-зоотехников и расписал всё подробнейшим образом. Давайте, тем не менее, остановимся на характерных признаках, позволяющих определить, что тут замешано дифференциальное уравнение: – во-первых, нам явно придётся отыскать функцию – и, во-вторых, в условии прямо сказано о скорости роста этой самой массы. А за скорость роста у нас отвечает производная функция, в данном случае функция На самом деле решение очень простое и напоминает оно 1-ю задачу урока. По условию, скорость изменения массы стада пропорциональна этой массе: В большинстве практических задач коэффициент пропорциональности равен константе, но вот здесь он представляет собой функцию: Разделяем и властвуем: Общее решение: По условию, в момент времени Таким образом, закон изменения массы популяции: Шустрая, однако, популяция – прямо какое-то стадо кроликов… или даже саранчи. …Хотя в задаче ничего не сказано о размерности величин. И поэтому, кстати, здесь будет корректно говорить о единицах времени и единицах массы. Найдём то, что требовалось найти: Ответ: …Наверное, вы ждёте - не дождетесь задач по физике…. Спешу обнадёжить вас принципом «антиРабиновича»: Дождётесь! =) Но перед этим примем Задача 7 Таблетка массой 0,5 г брошена в стакан воды. Скорость растворения таблетки пропорциональна массе таблетки. Через какое время растворится 99% вещества, если известно, что через 10 минут растворилось 80%? Это очень простая… и не простая задача ;) Постарайтесь самым тщательным образом разобраться в решении, задач в подобном техническом исполнении намного больше стакана – их пруд пруди. И кто позабыл – свойства степеней и логарифмов в помощь. К сожалению, нельзя объять необъятное, и около 10 готовых задач по физике я загрузил в библиотеку, в основном, там задачи по механике. Физика не является моим профильным предметом, но вроде получилось неплохо…. Что касается дифуров 2-го и более высоких порядков, то на практике они встречаются намного реже. Здесь можно отметить задачи на 2-й закон Ньютона (простейшее ДУ, допускающее понижение порядка – см. по ссылке выше), а также задачу о свободных и вынужденных колебаниях (линейные ОДУ и НДУ 2-го порядка). Теоретический материал по последней задаче можно посмотреть здесь. Спасибо за внимание – надеюсь, урок был полезен, и теперь вы сможете справиться с любой тематической задачей! Решения и ответы: Задача 2. Решение: рассмотрим произвольную точку Задача 3. Решение: рассмотрим произвольную точку Задача 5. Решение: рассмотрим некоторую точку Второй способ решения: пусть точка Задача 7. Решение: рассмотрим функцию И в этой задаче один из читателей предположил, что полученное ДУ не учитывает полную растворимость таблетки. На самом деле учитывает. Случаю полной растворимости соответствует масса одной молекулы (если это однородное вещество), но такая точность нужна разве что в квантовой лаборатории :) В большинстве прикладных задач за полную растворимость достаточно принять, например, 99,9% растворённого вещества. Спасибо за вашу любознательность и за ваши письма! Автор: Емелин Александр Высшая математика для заочников и не только >>> (Переход на главную страницу) Как можно отблагодарить автора? ![]() |
|