![]() ![]() ![]()
| |||
Математические формулы,
Высшая математика для чайников, или с чего начать? Аналитическая геометрия:
Векторы для чайников
Элементы высшей алгебры:
Множества и действия над ними
Пределы:
Пределы. Примеры решений
Производные функций:
Как найти производную?
Функции и графики:
Графики и свойства ФНП:
Область определения функции Интегралы:
Неопределенный интеграл.
Дифференциальные уравнения:
Дифференциальные уравнения первого порядка
Числовые ряды:
Ряды для чайников
Функциональные ряды:
Степенные ряды
Кратные интегралы:
Двойные интегралы
Элементы векторного анализа:
Основы теории поля
Комплексный анализ:
ТФКП для начинающих
Теория вероятностей:
Основы теории вероятностей
Математическая статистика:
Математическая статистика
Не нашлось нужной задачи? Не получается пример?
Часто задаваемые вопросы Заметили опечатку / ошибку? |
![]()
Линейные неравенства. Системы линейных неравенствНа уроке Уравнение прямой на плоскости мы рассмотрели общее уравнение прямой Помимо аналитической геометрии, материал актуален для ряда задач математического анализа, экономико-математического моделирования, поэтому рекомендую проштудировать данную лекцию со всей серьёзностью. Линейные неравенстваРазличают два типа линейных неравенств: 1) Строгие неравенства: 2) Нестрогие неравенства: Какой геометрический смысл этих неравенств? Если линейное уравнение Для понимания нижеследующей информации нужно знать разновидности прямых на плоскости и уметь строить прямые. Если возникнут трудности в этой части, прочитайте справку Графики и свойства функций – параграф про линейную функцию. Начнём с простейших линейных неравенств. Голубая мечта любого двоечника – координатная плоскость, на которой нет ничегошеньки:
Рассмотрим неравенство В том случае, если неравенство нестрогое Аналогично: неравенству С осью ординат – неравенство На втором шаге рассмотрим неравенства, в которых отсутствует одна из переменных. Отсутствует «игрек»: Или отсутствует «икс»: С такими неравенствами можно разобраться двумя способами, пожалуйста, рассмотрите оба подхода. Попутно вспомним-закрепим школьные действия с неравенствами, уже разобранные на уроке Область определения функции. Пример 1 Решить линейные неравенства: Что значит решить линейное неравенство?Решить линейное неравенство – это значит найти полуплоскость, точки которой удовлетворяют данному неравенству (плюс саму прямую, если неравенство нестрогое). Решение, как правило, графическое. Удобнее сразу выполнить чертёж, а потом всё закомментировать: а) Решим неравенство Способ первый Способ весьма напоминает историю с координатными осями, которую мы рассмотрели выше. Идея состоит в преобразовании неравенства – чтобы в левой части оставить одну переменную без всяких констант, в данном случае – переменную «икс». Правило: В неравенстве слагаемые переносятся из части в часть со сменой знака, при этом знак САМОГО неравенства не меняется (например, если был знак «меньше», то так и останется «меньше»). Переносим «пятёрку» в правую часть со сменой знака: Правило: Обе части неравенства можно умножить (разделить) на ПОЛОЖИТЕЛЬНОЕ число, при этом знак неравенства не меняется. Умножаем обе части неравенства на Теперь чертим прямую Каков смысл неравенства Способ второй Это универсальный способ. ЧИТАЕМ ОЧЕНЬ ВНИМАТЕЛЬНО! Сначала чертим прямую Теперь выбираем любую точку плоскости, не принадлежащую прямой. В большинстве случаев, самая лакомая точка, конечно Получено неверное неравенство (простыми словами, неправда), значит, точка Ключевое правило нашей задачи: Можете протестировать: любая точка справа от прямой Какой вывод из проведённого опыта с точкой б) Решим неравенство Способ первый Преобразуем неравенство: Правило: Обе части неравенства можно умножить (разделить) на ОТРИЦАТЕЛЬНОЕ число, при этом знак неравенства МЕНЯЕТСЯ на противоположный (например, если был знак «больше либо равно», то станет «меньше либо равно»). Умножаем обе части неравенства на Начертим прямую Проанализировав полученное неравенство Подходящую полуплоскость штрихуем либо помечаем стрелочками. Способ второй Начертим прямую Получено верное неравенство, значит, точка Здесь подопытной точкой мы «попали» в нужную полуплоскость. Решение задачи обозначено красной прямой и красными стрелочками. Лично мне больше нравится первый способ решения, поскольку второй таки более формален. Пример 2 Решить линейные неравенства: Это пример для самостоятельного решения. Постарайтесь решить задачу двумя способами (к слову, это хороший способ проверки решения). В ответе в конце урока будет только итоговый чертёж. Думаю, после всех проделанных в примерах действий вам Переходим к рассмотрению третьего, общего случая, когда в неравенстве присутствуют обе переменные: Как вариант, свободный член «цэ» может быть нулевым. Пример 3 Найти полуплоскости, соответствующие следующим неравенствам: Решение: Здесь используется универсальный метод решения с подстановкой точки. а) Построим уравнение прямой Выбираем подопытную точку плоскости, которая не принадлежит данной прямой, например, Получено неверное неравенство, значит, точка б) Решим неравенство Выберем произвольную точку плоскости, не принадлежащую прямой Получено верное неравенство, значит, точка Пример 4 Найти полуплоскости, соответствующие неравенствам: Это пример для самостоятельного решения. Полное решение, примерный образец чистового оформления и ответ в конце урока. Разберём обратную задачу: Пример 5 а) Дана прямая б) Дана прямая Решение: здесь нет необходимости в чертеже, и решение будет аналитическим. Ничего трудного: а) Составим вспомогательный многочлен б) Составим многочлен Ответ: Творческий пример для самостоятельного изучения: Пример 6 Даны точки Небольшая подсказка: сначала нужно составить неравенство, определяющее полуплоскость, в которой находится начало координат. Аналитическое решение и ответ в конце урока. Системы линейных неравенствСистема линейных неравенств – это система, составленная из линейных неравенств. …Обожаю такие определения, прямо в стиле известного политика и боксёра :).Вот уж действительно просто и доступно! А если серьёзно, то не хочется приводить громоздкое определение и систему в общем виде, лучше сразу перейдём к насущным вопросам: Что значит решить систему линейных неравенств?Решить систему линейных неравенств – это значит найти множество точек плоскости, которые удовлетворяют каждому неравенству системы. В качестве простейших примеров рассмотрим системы неравенств, определяющих координатные четверти прямоугольной системы координат («рисунок двоечников» находится в самом начале урока): Система неравенств Аналогично: Система линейных неравенств может не иметь решений, то есть, быть несовместной. Снова простейший пример: Решением системы неравенств может являться прямая, например: Но самый распространённый случай, когда решением системы является некоторая область плоскости. Область решений может быть не ограниченной (например, координатные четверти) либо ограниченной. Ограниченная область решений называется многоугольником решений системы. Пример 7 Решить систему линейных неравенств На практике в большинстве случаев приходится иметь дело с нестрогими неравенствами, поэтому оставшуюся часть урока водить хороводы будут именно они. Решение: то, что неравенств многовато, пугать не должно. Сколько может быть неравенств в системе? Да сколько угодно. Главное, придерживаться рационального алгоритма построения области решений: 1) Сначала разбираемся с простейшими неравенствами. Неравенства 2) Второе по простоте неравенство 3) На последнем шаге решаем неравенства «с полной амуницией»: Встаньте, дети, встаньте в круг: Любая точка данного многоугольника удовлетворяет КАЖДОМУ неравенству системы (для интереса можете проверить). Ответ: решением системы является многоугольник При оформлении на чистовик неплохо бы подробно расписать, по каким точкам вы строили прямые (см. урок Графики и свойства функций), и как определяли полуплоскости (см. первый параграф данного урока). Однако на практике в большинстве случаев вам зачтут и просто правильный чертёж. Сами же расчёты можно проводить на черновике или даже устно. Помимо многоугольника решений системы, на практике, пусть и реже, встречается открытая область. Попытайтесь разобрать следующий пример самостоятельно. Хотя, точности ради, пыток тут никаких – алгоритм построения такой же, просто область получится не ограниченной. Пример 8 Решить систему Решение и ответ в конце урока. У вас, скорее всего, будут другие буквенные обозначения вершин полученной области. Это не принципиально, главное, правильно найти вершины и правильно построить область. Не редкость, когда в задачах требуется не только построить область решений системы, но и найти координаты вершин области. В двух предыдущих примерах координаты данных точек были очевидны, но на практике всё бывает далеко не айс: Пример 9 Решить систему и найти координаты вершин полученной области Решение: изобразим на чертеже область решений данной системы. Неравенство Область решений представляет собой многоугольник Нетрудно заметить, что вершины Найдём координаты вершины Найдём координаты точки Для красоты координаты точек Ответ: область решений системы представляет собой многоугольник с вершинами в точках Кто из вас попадёт в «десятку»? Заключительный пример урока для самостоятельного решения: Пример 10 Найти область решений системы и координаты вершин полученной области И опять же, буквенные обозначения вершин многоугольника у нас могут отличаться. У меня будет точка «цэ», а у вас эта же вершина может быть обозначена через «дэ». Мы рассмотрели примеры средней степени сложности, чего вполне достаточно. В ряде задач, например, в задаче линейного программирования коэффициенты неравенств обычно велики, и приходится возиться (иногда долго) с подбором масштаба и построением самих прямых. Желаю успехов! Решения и ответы: Пример 2: Ответ: Пример 4: Решение: Пример 6: Решение: Составим многочлен Пример 8: Решение: изобразим на чертеже область решений, соответствующую заданной системе линейных неравенств: Пример 10: Решение: изобразим на чертеже область решений данной системы неравенств: Автор: Емелин Александр Высшая математика для заочников и не только >>> (Переход на главную страницу) Как можно отблагодарить автора? ![]() |
|