Математика для заочников и не только

Высшая математика – просто и доступно!

Если сайт упал, используйте ЗЕРКАЛО: mathprofi.net

Высшая математика:

Математика для заочников
Математические формулы,
таблицы и справочные
материалы

Математические сайты
>>> Удобный калькулятор
Геометрия без ошибок
>>> Расчётная программа
Не нашлось нужной задачи?
Сборники готовых решений!

Учимся решать:

Лекции-уроки по высшей математике для первого курса

Высшая математика для чайников, или с чего начать?

Аналитическая геометрия:

Векторы для чайников
Скалярное произведение
векторов

Линейная (не) зависимость
векторов. Базис векторов

Векторное и смешанное
произведение векторов

Формулы деления отрезка
в данном отношении

Прямая на плоскости
Простейшие задачи
с прямой на плоскости

Линейные неравенства
Как научиться решать задачи
по аналитической геометрии?

Линии второго порядка. Эллипс
Гипербола и парабола
Задачи с линиями 2-го порядка
Как привести уравнение л. 2 п.
к каноническому виду?

Полярные координаты
Как построить линию
в полярной системе координат?

Уравнение плоскости
Прямая в пространстве
Задачи с прямой в пространстве
Основные задачи
на прямую и плоскость

Треугольная пирамида

Элементы высшей алгебры:

Действия с матрицами
Как вычислить определитель?
Свойства определителя
и понижение его порядка

Как найти обратную матрицу?
Свойства матричных операций.
Матричные выражения

Матричные уравнения
Как решить систему линейных уравнений?
Правило Крамера. Матричный метод решения системы
Метод Гаусса для чайников
Несовместные системы
и системы с общим решением

Как найти ранг матрицы?
Однородные системы
линейных уравнений

Метод Жордано-Гаусса
Решение системы уравнений
в различных базисах

Собственные значения
и собственные векторы

Комплексные числа

Пределы:

Пределы. Примеры решений
Замечательные пределы
Методы решения пределов
Бесконечно малые функции.
Эквивалентности

Правила Лопиталя
Сложные пределы
Пределы последовательностей

Производные функций:

Как найти производную?
Производная сложной функции. Примеры решений
Логарифмическая производная
Производные неявной, параметрической функций
Простейшие задачи
с производной

Производная по определению
Приближенные вычисления
с помощью дифференциала

Функции и графики:

Графики и свойства
элементарных функций

Как построить график функции
с помощью преобразований?

Непрерывность, точки разрыва
Область определения функции
Асимптоты графика функции
Интервалы знакопостоянства
Что такое производная?
Возрастание, убывание
и экстремумы функции

Выпуклость, вогнутость
и точки перегиба графика

Полное исследование функции
и построение графика

Наибольшее и наименьшее
значения функции на отрезке

ФНП:

Область определения функции
2-х переменных. Линии уровня

Основные поверхности
Частные производные
Частные производные
функции трёх переменных

Интегралы:

Неопределенный интеграл.
Примеры решений

Метод замены переменной
в неопределенном интеграле

Интегрирование по частям
Интегралы от тригонометрических функций
Интегрирование дробей
Интегралы от дробно-рациональных функций
Интегрирование иррациональных функций
Сложные интегралы
Определенный интеграл
Как вычислить площадь
с помощью определенного интеграла?

Что такое интеграл?
Теория для чайников

Объем тела вращения
Несобственные интегралы
Эффективные методы решения
определенных и несобственных
интегралов

S в полярных координатах
S и V, если линия задана
в параметрическом виде

Длина дуги кривой
S поверхности вращения
Приближенные вычисления
определенных интегралов

Лекции-уроки по высшей математике для второго курса

Дифференциальные уравнения:

Дифференциальные уравнения первого порядка
Однородные ДУ 1-го порядка
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
Уравнение Бернулли
Дифференциальные уравнения
с понижением порядка

Однородные ДУ 2-го порядка
Неоднородные ДУ 2 порядка
Метод вариации
произвольных постоянных

Как решить систему
дифференциальных уравнений

Числовые ряды:

Ряды для чайников
Как найти сумму ряда?
Признак Даламбера.
Признаки Коши

Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница
Ряды повышенной сложности

Функциональные ряды:

Степенные ряды
Разложение функций
в степенные ряды

Приближенные вычисления
с помощью рядов

Вычисление интеграла разложением функции в ряд
Как найти частное решение ДУ
приближённо с помощью ряда?

Ряды Фурье. Примеры решений

Кратные интегралы:

Двойные интегралы
Как вычислить двойной
интеграл? Примеры решений

Двойные интегралы
в полярных координатах

Как найти центр тяжести
плоской фигуры?

Тройные интегралы
Как вычислить произвольный
тройной интеграл?

Комплексный анализ:

Примеры решений типовых
задач комплексного анализа

Как найти функцию
комплексной переменной?

Решение ДУ методом
операционного исчисления

Как решить систему ДУ
операционным методом?

Теория вероятностей:

Основы теории вероятностей
Задачи по комбинаторике
Задачи на классическое
определение вероятности

Геометрическая вероятность

Отблагодарить автора >>>

Если Вы заметили опечатку, пожалуйста, сообщите мне об этом

Заказать контрольную
Часто задаваемые вопросы
Гостевая книга

Когда нет времени:

Авторские работы на заказ



Кнопка для сайта: Высшая математика – просто и доступно!

По школьным предметам.
Подготовка к ЕГЭ

По высшей математике

Помогут разобраться в теме,
подготовиться к экзамену




Линейные неравенства. Системы линейных неравенств


На уроке Уравнение прямой на плоскости мы рассмотрели общее уравнение прямой . Уравнение – хорошо, в жизни пригодится, но не менее важно  знать геометрический смысл линейных неравенств двух переменных. Принципиальное отличие от неравенств с одной переменной состоит в размерности. Если в примерах статьи Область определения функции существуют только «иксы» и только ось абсцисс, то сейчас добавляются «игреки» и поле деятельности расширяется до всей координатной плоскости. Далее по тексту словосочетание «линейное неравенство» понимаем в двумерном смысле, который прояснится через считанные секунды.

Помимо аналитической геометрии, материал актуален для ряда задач математического анализа, экономико-математического моделирования, поэтому рекомендую проштудировать данную лекцию со всей серьёзностью.


Линейные неравенства

Различают два типа линейных неравенств:

1) Строгие неравенства: .

2) Нестрогие неравенства: .

Какой геометрический смысл этих неравенств? Если линейное уравнение  задаёт прямую, то линейное неравенство определяет полуплоскость.

Для понимания нижеследующей информации нужно знать разновидности прямых на плоскости и уметь строить прямые. Если возникнут трудности в этой части, прочитайте справку Графики и свойства функций – параграф про линейную функцию. 

Начнём с простейших линейных неравенств. Голубая мечта любого двоечника – координатная плоскость, на которой нет ничегошеньки:

Неравенства, определяющие координатные полуплоскости
Как известно, ось абсцисс  задаётся уравнением  – «игрек» всегда (при любом значении «икс») равняется нулю

Рассмотрим неравенство . Как его понимать неформально? «Игрек» всегда (при любом значении «икс») положителен. Очевидно, что данное неравенство определяет верхнюю полуплоскость – ведь там и находятся все точки с положительными «игреками».

В том случае, если неравенство нестрогое , к верхней полуплоскости дополнительно добавляется сама ось .

Аналогично: неравенству  удовлетворяют все точки нижней полуплоскости, нестрогому неравенству  соответствует нижняя полуплоскость + ось .

С осью ординат  та же самая прозаичная история:

– неравенство  задаёт правую полуплоскость;
– неравенство  задаёт правую полуплоскость, включая ось ординат;
– неравенство  задаёт левую полуплоскость;
– неравенство  задаёт левую полуплоскость, включая ось ординат.

На втором шаге рассмотрим неравенства, в которых отсутствует одна из переменных.

Отсутствует «игрек»:

Или отсутствует «икс»:

С такими неравенствами можно разобраться двумя способами, пожалуйста, рассмотрите оба подхода. Попутно вспомним-закрепим школьные действия с неравенствами, уже разобранные на уроке Область определения функции.

Пример 1

Решить линейные неравенства:

Что значит решить линейное неравенство?

Решить линейное неравенство – это значит найти полуплоскость, точки которой удовлетворяют данному неравенству (плюс саму прямую, если неравенство нестрогое). Решение, как правило, графическое.

Удобнее сразу выполнить чертёж, а потом всё закомментировать:
Неравенства задают левую и нижнюю полуплоскости

а) Решим неравенство

Способ первый

Способ весьма напоминает историю с координатными осями, которую мы рассмотрели выше. Идея состоит в преобразовании неравенства – чтобы в левой части оставить одну переменную без всяких констант, в данном случае – переменную «икс».

Правило: В неравенстве слагаемые переносятся из части в часть со сменой знака, при этом знак САМОГО неравенства не меняется (например, если был знак «меньше», то так и останется «меньше»).

Переносим «пятёрку» в правую часть со сменой знака:

Правило: Обе части неравенства можно умножить (разделить) на ПОЛОЖИТЕЛЬНОЕ число, при этом знак неравенства не меняется.

Умножаем обе части неравенства на :

Теперь чертим прямую  (синяя пунктирная линия). Прямая проведена пунктиром по той причине, что неравенство строгое, и точки, принадлежащие данной прямой, заведомо не будут входить в решение.

Каков смысл неравенства ? «Икс» всегда (при любом значении «игрек») меньше, чем . Очевидно, что этому утверждению удовлетворяют все точки левой полуплоскости. Данную полуплоскость, в принципе, можно заштриховать, но я ограничусь маленькими синими стрелочками, чтобы не превращать чертёж в художественную палитру.

Способ второй

Это универсальный способ. ЧИТАЕМ ОЧЕНЬ ВНИМАТЕЛЬНО!

Сначала чертим прямую . Для ясности, кстати, уравнение целесообразно представить в виде .

Теперь выбираем любую точку плоскости, не принадлежащую прямой. В большинстве случаев, самая лакомая точка, конечно . Подставим координаты данной точки в неравенство :

Получено неверное неравенство (простыми словами, так быть не может), значит, точка  не удовлетворяет неравенству .

Ключевое правило нашей задачи:
– Если какая-либо точка полуплоскости (не принадлежащая прямой) не удовлетворяет неравенству, то и ВСЕ точки данной полуплоскости не удовлетворяют данному неравенству.
– Если какая-либо точка полуплоскости (не принадлежащая прямой) удовлетворяет неравенству, то и ВСЕ точки данной полуплоскости удовлетворяют данному неравенству.

Можете протестировать: любая точка справа от прямой  не будет удовлетворять неравенству .

Какой вывод из проведённого опыта с точкой ? Деваться некуда, неравенству  удовлетворяют все точки другой – левой полуплоскости (тоже можете проверить).

б) Решим неравенство

Способ первый

Преобразуем неравенство:

Правило: Обе части неравенства можно умножить (разделить) на ОТРИЦАТЕЛЬНОЕ число, при этом знак неравенства МЕНЯЕТСЯ на противоположный (например, если был знак «больше либо равно», то станет «меньше либо равно»).

Умножаем обе части неравенства на :

Начертим прямую  (красный цвет), причём, начертим сплошной линией, так как неравенство у нас нестрогое, и прямая заведомо принадлежит решению. 

Проанализировав полученное неравенство , приходим к выводу, что его решением является нижняя полуплоскость (+ сама прямая).

Подходящую полуплоскость штрихуем либо помечаем стрелочками.

Способ второй

Начертим прямую . Выберем произвольную точку плоскости (не принадлежащую прямой), например,  и подставим её координаты в наше неравенство :

Получено верное неравенство, значит, точка  удовлетворяет неравенству , и вообще – ВСЕ точки нижней полуплоскости удовлетворяют данному неравенству.

Здесь подопытной точкой мы «попали» в нужную полуплоскость.

Решение задачи обозначено красной прямой и красными стрелочками.

Лично мне больше нравится первый способ решения, поскольку второй таки более формален.

Пример 2

Решить линейные неравенства:

Это пример для самостоятельного решения. Постарайтесь решить задачу двумя способами (к слову, это хороший способ проверки решения). В ответе в конце урока будет только итоговый чертёж.

Думаю, после всех проделанных в примерах действий вам придётся на них жениться не составит труда решить простейшее неравенство вроде  и т.п.

Переходим к рассмотрению третьего, общего случая, когда в неравенстве присутствуют обе переменные:

Как вариант, свободный член «цэ» может быть нулевым.

Пример 3

Найти полуплоскости, соответствующие следующим неравенствам:

Решение: Здесь используется универсальный метод решения с подстановкой точки.

а) Построим уравнение прямой , при этом линию следует провести пунктиром, так как неравенство строгое и сама прямая не войдёт в решение.

Выбираем подопытную точку плоскости, которая не принадлежит данной прямой, например, , и подставим её координаты в наше неравенство:

Получено неверное неравенство, значит, точка  и ВСЕ точки данной полуплоскости не удовлетворяют неравенству . Решением неравенства будет другая полуплоскость, любуемся синими молниями:
Как определить полуплоскость?

б) Решим неравенство . Сначала построим прямую. Это сделать несложно, перед нами каноничная прямая пропорциональность . Линию проводим сплошняком, так как неравенство нестрогое.

Выберем произвольную точку плоскости, не принадлежащую прямой . Хотелось бы снова использовать начало координат, но, увы, сейчас оно не годится. Поэтому придётся работать с другой подругой. Выгоднее взять точку с небольшими значениями координат, например, . Подставим её координаты в наше неравенство:

Получено верное неравенство, значит, точка  и все точки данной полуплоскости удовлетворяют неравенству . Искомая полуплоскость помечена красными стрелочками. Кроме того, в решение входит сама прямая .

Пример 4

Найти полуплоскости, соответствующие неравенствам:

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение, примерный образец чистового оформления и ответ в конце урока.

Разберём обратную задачу:

Пример 5

а) Дана прямая . Составить уравнение полуплоскости, в которой находится точка , при этом сама прямая должна входить в решение.

б) Дана прямая . Составить уравнение полуплоскости, в которой находится точка . Сама прямая не входит в решение.

Решение: здесь нет необходимости в чертеже, и решение будет аналитическим. Ничего трудного:

а) Составим вспомогательный многочлен  и вычислим его значение в точке :
. Таким образом, искомое неравенство будет со знаком «меньше». По условию прямая  входит в решение, поэтому неравенство будет нестрогим:

б) Составим многочлен  и вычислим его значение в точке :
. Таким образом, искомое неравенство будет со знаком «больше». По условию прямая  не входит в решение, следовательно, неравенство будет строгим: .

Ответ:

Творческий пример для самостоятельного изучения:

Пример 6

Даны точки  и прямая . Среди перечисленных точек найти те, которые вместе с началом координат лежат по одну сторону от заданной прямой.

Небольшая подсказка: сначала нужно составить неравенство, определяющее полуплоскость, в которой находится начало координат. Аналитическое решение и ответ в конце урока.


Системы линейных неравенств

Система линейных неравенств – это, как вы понимаете, система, составленная из нескольких неравенств. Лол, ну и определение выдал =) Ёжик – это ёжик, ножик – это ножик. А ведь правда – получилось просто и доступно! Нет, если серьёзно, не хочется приводить каких-то примеров в общем виде, поэтому сразу перейдём к насущным вопросам:

Что значит решить систему линейных неравенств?

Решить систему линейных неравенств – это значит найти множество точек плоскости, которые удовлетворяют каждому неравенству системы.

В качестве простейших примеров рассмотрим системы неравенств, определяющих координатные четверти прямоугольной системы координат («рисунок двоечников» находится в самом начале урока):

Система неравенств  задаёт первую координатную четверть (правая верхняя). Координаты любой точки первой четверти, например,  и т.д. удовлетворяют каждому неравенству данной системы.

Аналогично:
– система неравенств  задаёт вторую координатную четверть (левая верхняя);
– система неравенств  задаёт третью координатную четверть (левая нижняя);
– система неравенств  задаёт четвёртую координатную четверть (правая нижняя).

Система линейных неравенств может не иметь решений, то есть, быть несовместной. Снова простейший пример: . Совершенно очевидно, что «икс» не может одновременно быть больше трёх и меньше двух.

Решением системы неравенств может являться прямая, например: . Лебедь, рак, без щуки, тянут воз в две разные стороны. Да воз и ныне там – решением данной системы является прямая  .

Но самый распространённый случай, когда решением системы является некоторая область плоскости. Область решений может быть не ограниченной (например, координатные четверти) либо ограниченной. Ограниченная область решений называется многоугольником решений системы.

Пример 7

Решить систему линейных неравенств

На практике в большинстве случаев приходится иметь дело с нестрогими неравенствами, поэтому оставшуюся часть урока водить хороводы будут именно они.

Решение: то, что неравенств многовато, пугать не должно. Сколько может быть неравенств в системе? Да сколько угодно. Главное, придерживаться рационального алгоритма построения области решений:

1) Сначала разбираемся с простейшими неравенствами. Неравенства  определяют первую координатную четверть, включая границу из координатных осей. Уже значительно легче, так как область поиска значительно сузилась. На чертеже сразу отмечаем стрелочками соответствующие полуплоскости (красные и синие стрелки)

2) Второе по простоте неравенство  – здесь отсутствует «игрек». Во-первых, строим саму прямую , а, во-вторых, после преобразования неравенства к виду , сразу становится понятно, что все «иксы» меньше, чем 6. Отмечаем зелёными стрелками соответствующую полуплоскость. Ну что же, область поиска стала ещё меньше – такой не ограниченный сверху прямоугольник.

3) На последнем шаге решаем неравенства «с полной амуницией»: . Алгоритм решения мы подробно рассмотрели в предыдущем параграфе. Вкратце: сначала строим прямую, потом с помощью подопытной точки находим нужную нам полуплоскость.

Встаньте, дети, встаньте в круг:
Многоугольник решений системы неравенств
Область решений системы представляет собой многоугольник , на чертеже он обведён малиновой линией и заштрихован. Перестарался немного =) В тетради область решений достаточно либо заштриховать, либо  жирнее обвести простым карандашом.

Любая точка данного многоугольника удовлетворяет КАЖДОМУ неравенству системы (для интереса можете проверить).

Ответ: решением системы является многоугольник .

При оформлении на чистовик неплохо бы подробно расписать, по каким точкам вы строили прямые (см. урок Графики и свойства функций), и как определяли полуплоскости (см. первый параграф данного урока). Однако на практике в большинстве случаев вам зачтут и просто правильный чертёж. Сами же расчёты можно проводить на черновике или даже устно.

Помимо многоугольника решений системы, на практике, пусть и реже, встречается открытая область. Попытайтесь разобрать следующий пример самостоятельно. Хотя, точности ради, пыток тут никаких – алгоритм построения такой же, просто область получится не ограниченной.

Пример 8

Решить систему

Решение и ответ в конце урока. У вас, скорее всего, будут другие буквенные обозначения вершин полученной области. Это не принципиально,  главное, правильно найти вершины и правильно построить область.

Не редкость, когда в задачах требуется не только построить область решений системы, но и найти координаты вершин области. В двух предыдущих примерах координаты данных точек были очевидны, но на практике всё бывает далеко не айс:

Пример 9

Решить систему и найти координаты вершин полученной области

Решение: изобразим на чертеже область решений данной системы. Неравенство  задаёт левую полуплоскость с осью ординат, и халявы тут больше нет. После расчётов на чистовике/черновике или глубоких мыслительных процессов, получаем следующую область решений:
Область решений системы и координаты вершин области

Область решений представляет собой многоугольник . Теперь нужно найти координаты вершин полученной области. Здесь ясно прорисовались координаты только двух точек: . Остаётся решить вопрос с точками .

Нетрудно заметить, что вершины  являются точками пересечением прямых. Как найти точку пересечения двух прямых, мы рассмотрели на уроке Задачи с прямой на плоскости.

Найдём координаты вершины :

Примечание: из второго уравнения системы почленно вычтено первое уравнение. Более подробно о методе можно прочитать в статье Как решить систему уравнений?

Найдём координаты точки :

Примечание: второе уравнение системы умножено на 3, затем уравнения сложены почленно.

Для красоты координаты точек  тоже можно найти аналитическим методом:

Ответ: область решений системы представляет собой многоугольник с вершинами в точках .

Кто из вас попадёт в «десятку»? Заключительный пример урока для самостоятельного решения:

Пример 10

Найти область решений системы и координаты вершин полученной области

И опять же, буквенные обозначения вершин многоугольника у нас могут отличаться. У меня будет точка «цэ», а у вас эта же вершина может быть обозначена через «дэ».

Мы рассмотрели примеры средней степени сложности, чего вполне достаточно. В ряде задач, например, в задаче линейного программирования коэффициенты неравенств обычно велики, и приходиться возиться (иногда долго) с подбором масштаба и построением самих прямых.

Желаю успехов!

Решения и ответы:

Пример 2: Ответ:
Неравенства задают верхнюю и правую полуплоскости

Пример 4: Решение:
а) Построим прямую . Выберем произвольную точку плоскости, не принадлежащую данной прямой, например,  и подставим её координаты в неравенство:

Получено неверное неравенство, значит, неравенство  задаёт полуплоскость, которой не принадлежит точка , при этом прямая  не входит в решение.
б) Построим прямую . Выберем произвольную точку плоскости, не принадлежащую данной прямой, например,  и подставим её координаты в неравенство:

Получено верное неравенство, значит, неравенство  задаёт полуплоскость, в которой находится точка , при этом прямая  входит в решение.
Ответ:
Неравенства определяют полуплоскости

Пример 6: Решение: Составим многочлен  и вычислим его значение в точке :
, следовательно, искомые точки должны удовлетворять неравенству  (а значит, и условию ).
Вычислим значения многочлена в каждой из пяти  точек:

Условию  удовлетворяют точки .
Ответ: в одной полуплоскости с началом координат лежат точки .

Пример 8: Решение: изобразим на чертеже область решений, соответствующую заданной системе линейных неравенств:
Область решений системы не ограничена
Ответ: область решений системы ограничена ломаной  и лучами .

Пример 10: Решение: изобразим на чертеже область решений данной системы неравенств:
Нахождение многоугольника решений и координат его вершин
Область решений представляет собой многоугольник . Найдём координаты вершин полученной области:

Ответ: область решений системы представляет собой многоугольник с вершинами в точках .

Автор: Емелин Александр


Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу)

Как можно отблагодарить автора?







© Copyright mathprofi.ru, Александр Емелин, 2010-2014. Копирование материалов сайта запрещено