Высшая математика – просто и доступно!

Если сайт упал, используйте ЗЕРКАЛО: mathprofi.net

Наш форум, библиотека и блог: mathprofi.com

Высшая математика:

Математика для заочников

Математические формулы,
таблицы и другие материалы

Книги по математике

Математические сайты

+-*/^ Удобный калькулятор

+ «Дробовик»   

Учимся решать:

  Карта сайта

Не нашлось нужной задачи?
Сборники готовых решений!

Не получается пример?
Задайте вопрос на форуме!
>>> mathprofi

Обратная связь:

Часто задаваемые вопросы
Гостевая книга Отблагодарить автора >>>

Заметили опечатку / ошибку?
Пожалуйста, сообщите мне об этом

Карта сайта

---

Ряды Фурье. Примеры решений

До сих пор мы раскладывали различные функции в степенные ряды, которые уже порядком поднадоели. И я чувствую, что настал момент, когда из стратегических запасов теории пора извлечь новые консервы. Нельзя ли разложить функцию в ряд как-нибудь по-другому? Например, выразить отрезок прямой линии через синусы и косинусы? Кажется невероятным, но такие, казалось бы, далекие друг от друга функции поддаются
«воссоединению». Помимо примелькавшихся степеней в теории и практике существуют и другие подходы к разложению функции в ряд.

На данном уроке мы познакомимся с тригонометрическим рядом Фурье, коснёмся вопроса его сходимости и суммы и, конечно же, разберём многочисленные примеры на разложение функций в ряд Фурье. Искренне хотелось назвать статью «Ряды Фурье для чайников», но это было бы лукавством, поскольку для решения задач потребуются знания других разделов математического анализа и некоторый практический опыт. Поэтому преамбула будет напоминать подготовку космонавтов =)

Во-первых, к изучению материалов страницы следует подойти в отличной форме. Выспавшимися, отдохнувшими и трезвыми. Без сильных эмоций по поводу сломанной лапы хомячка и навязчивых мыслей о тяготах жизни аквариумных рыбок. Ряд Фурье не сложен с точки зрения понимания, однако практические задания требуют просто повышенной концентрации внимания – в идеале следует полностью отрешиться от внешних раздражителей. Ситуация усугубляется тем, что не существует лёгкого способа проверки решения и ответа. Таким образом, если ваше самочувствие ниже среднего, то лучше заняться чем-нибудь попроще. Правда.

Во-вторых, перед полётом в космос необходимо изучить приборную панель космического корабля. Начнём со значений функций, которые должны щёлкаться на автомате:

При любом натуральном значении :

1) . И в самом деле, синусоида «прошивает» ось абсцисс через каждое «пи»:
. В случае отрицательных значений аргумента результат, само собой, будет таким же: .

2) . А вот это знали не все. Косинус «пи эн» представляет собой эквивалент «мигалки»:

Отрицательный аргумент дела не меняет: .

Пожалуй, достаточно.

И, в-третьих, уважаемый отряд космонавтов, необходимо уметь… интегрировать.
В частности, уверенно подводить функцию под знак дифференциала, интегрировать по частям и быть в ладах с формулой Ньютона-Лейбница. Начнём важные предполётные упражнения. Категорически не рекомендую пропускать, чтобы потом не плющило в невесомости:

Пример 1

Вычислить определённые интегралы

где  принимает натуральные значения.

Решение: интегрирование проводится по переменной «икс» и на данном этапе дискретная переменная «эн» считается константой. Во всех интегралах подводим функцию под знак дифференциала:

а)

Перед применением формулы Ньютона-Лейбница полезно мысленно либо на черновике выполнить проверку. Используя правило дифференцирования сложной функции и не забывая, что  – это константа, находим производную от первообразной:
 – получена исходная подынтегральная функция, как оно и должно быть.

После интегрирования константа  сразу выносится за скобки, и стандартная подстановка проходит без её участия: сначала в  вместо «икс» подставляем верхний предел (ноль), затем нижний предел («минус пи»). Синус нуля равен нулю, и как только что отмечалось,  при любом натуральном «эн».

Кстати, результат тут виден сразу – интеграл от нечётной функции по симметричному относительно нуля отрезку равен нулю.

Не забываем о промежуточной проверке первообразной:

И на завершающем этапе даже лучше не проводить замены ,
а воспользоваться чётностью косинуса:

Крайне желательно научиться выполнять некоторые действия в уме и записывать решение сокращённо:

Желательно потому, что в рядах Фурье и без этого гелевый стержень опустеет.

Следующие два пункта отличаются усложнённой константой:

Проверка:

Подстановку распишу очень подробно:

Здесь на последнем этапе внесли «минус» в скобку и сделали ответ более компактным, возьмите на заметку этот приём. Также обратите внимание, что в результате применения формулы Ньютона-Лейбница, получено не число, а числовая последовательность.

Короткая версия решения, к которой хорошо бы пристреляться, выглядит так:

Привыкаем:

Четыре оставшихся пункта самостоятельно. Постарайтесь добросовестно отнестись к заданию и оформить интегралы коротким способом. Образцы решений в конце урока.

После КАЧЕСТВЕННОГО выполнения упражнений надеваем скафандры
и готовимся к старту!

Разложение функции в ряд Фурье на промежутке

Рассмотрим некоторую функцию , которая определена по крайне мере на промежутке  (а, возможно, и на бОльшем промежутке). Если данная функция интегрируема на отрезке , то её можно разложить в тригонометрический ряд Фурье:
, где  – так называемые коэффициенты Фурье.

При этом число  называют периодом разложения, а число  – полупериодом разложения.

Очевидно, что в общем случае ряд Фурье состоит из синусов и косинусов:

Действительно, распишем  его подробно:

Нулевой член ряда принято записывать в виде .

Коэффициенты Фурье рассчитываются по следующим формулам:

Прекрасно понимаю, что начинающим изучать тему пока малопонятны новые термины: период разложения, полупериод, коэффициенты Фурье и др. Без паники, это не сравнимо с волнением перед выходом в открытый космос. Во всём разберёмся в ближайшем примере, перед выполнением которого логично задаться насущными практическими вопросами:

Что нужно сделать в нижеследующих заданиях?

Разложить функцию  в ряд Фурье. Дополнительно нередко требуется изобразить график функции , график суммы ряда , частичной суммы и в случае изощрённых профессорский фантазий – сделать что-нибудь ещё.

Как разложить функцию в ряд Фурье?

По существу, нужно найти коэффициенты Фурье , то есть, составить и вычислить три определённых интеграла.

Пожалуйста, перепишите общий вид ряда Фурье и три рабочие формулы к себе в тетрадь. Я очень рад, что у некоторых посетителей сайта прямо на моих глазах осуществляется детская мечта стать космонавтом =)

Поехали:

Пример 2

Разложить функцию  в ряд Фурье на промежутке . Построить график , график суммы ряда  и частичной суммы .

Решение: первая часть задания состоит в разложении функции  в ряд Фурье.

Начало стандартное, обязательно записываем, что:

В данной задаче период разложения , полупериод .

Разложим функцию  в  ряд Фурье на промежутке  :

Используя соответствующие формулы, найдём коэффициенты Фурье. Теперь нужно составить и вычислить три определённых интеграла. Для удобства я буду нумеровать пункты:

1) Первый интеграл самый простой, однако и он уже требует глаз да глаз:

2) Используем вторую формулу:

Данный интеграл хорошо знаком и берётся он по частям:

При нахождении  использован метод подведения функции под знак дифференциала.

В рассматриваемом задании сподручнее сразу использовать формулу интегрирования по частям в определённом интеграле :

Пара технических замечаний. Во-первых, после применения формулы всё выражение нужно заключить в большие скобки, так как перед исходным интегралом находится константа . Не теряем её! Скобки можно раскрыть на любом дальнейшем шаге, я это сделал в самую последнюю очередь. В первом «куске»  проявляем крайнюю аккуратность в подстановке, как видите, константа  не при делах, и пределы интегрирования подставляются в произведение . Данное действие выделено квадратными скобками. Ну а интеграл  второго «куска» формулы вам хорошо знаком из тренировочного задания ;-)

И самое главное – предельная концентрация внимания!

 3) Ищем третий коэффициент Фурье:

Получен родственник предыдущего интеграла, который тоже интегрируется по частям:

Этот экземпляр чуть сложнее, закомментирую дальнейшие действия пошагово:

(1) Выражение   полностью заключаем в большие скобки. Не хотел показаться занудой, слишком уж часто теряют константу .

(2) В данном случае я немедленно раскрыл эти большие скобки. Особое внимание уделяем первому «куску»: константа  курит в сторонке и не участвует в подстановке пределов интегрирования ( и ) в произведение . Ввиду загромождённости записи это действие снова целесообразно выделить квадратными скобками. Со вторым «куском»  всё проще: здесь дробь  появилась после раскрытия больших скобок, а константа  – в результате интегрирования знакомого интеграла ;-)

(3) В квадратных скобках проводим преобразования , а в правом интеграле – подстановку пределов интегрирования.

(4) Выносим «мигалку» из квадратных скобок: , после чего раскрываем внутренние скобки: .

(5) Взаимоуничтожаем 1 и –1 в скобках и проводим окончательные упрощения.

Наконец-то найдены все три коэффициента Фурье:

Подставим их в формулу :

При этом не забываем разделить  пополам. На последнем шаге константа («минус два»), не зависящая от «эн», вынесена за пределы суммы.

Таким образом, мы получили разложение функции  в ряд Фурье на промежутке :

Изучим вопрос сходимости ряда Фурье. Я объясню теорию, в частности теорему Дирихле, буквально «на пальцах», поэтому если вам необходимы строгие формулировки, пожалуйста, обратитесь к учебнику по математическому анализу (например, 2-й том Бохана; или 3-й том Фихтенгольца, но в нём труднее).

Во второй части задачи требуется изобразить график , график суммы ряда  и график частичной суммы .

График функции  представляет собой обычную прямую на плоскости, которая проведена чёрным пунктиром:

После выполнения чертежа завершаем задание:

Ответ:

Во многих задачах функция терпит разрыв 1-го рода прямо на периоде разложения:

Пример 3

Разложить в ряд Фурье функцию , заданную на отрезке . Начертить график функции и полной суммы ряда.

Предложенная функция задана кусочным образом (причём, заметьте, только на отрезке ) и терпит разрыв 1-го рода в точке . Можно ли вычислить коэффициенты Фурье? Без проблем. И левая  и правая  части функции интегрируемы на своих промежутках, поэтому интегралы в каждой из трёх формул следует представить в виде суммы двух интегралов. Посмотрим, например, как это делается у нулевого коэффициента:

Второй интеграл оказался равным нулю, что убавило работы, но так бывает далеко не всегда.

Аналогично расписываются два других коэффициента Фурье.

Как изобразить сумму ряда? На левом интервале  чертим отрезок прямой , а на интервале  – отрезок прямой  (жирно-жирно выделяем участок оси ). То есть, на промежутке разложения  сумма ряда  совпадает с функцией  везде, кроме трёх «нехороших» точек. В точке разрыва функции  ряд Фурье сойдётся к изолированному значению, которое располагается ровно посередине «скачка» разрыва. Его нетрудно увидеть и устно: левосторонний предел: , правосторонний предел:  и, очевидно, что ордината средней точки равна 0,5.

В силу периодичности суммы , картинку необходимо «размножить» на соседние периоды, в частности изобразить то же самое на интервалах  и  . При этом, в точках   ряд Фурье сойдётся к срединным значениям.

По сути-то ничего нового здесь нет.

Постарайтесь самостоятельно справиться  с данной задачей. Примерный образец чистового оформления и чертёж в конце урока.

Далее возникает закономерный вопрос: если схема работает на отрезке , то почему бы её не применить к разложению функций в ряд Фурье на промежутках  или на каком-нибудь другом периоде?

Разложение функции в ряд Фурье на произвольном периоде

Для произвольного периода разложения , где «эль» – любое положительное число, формулы ряда Фурье и коэффициентов Фурье отличаются немного усложнённым аргументом синуса и косинуса:

Если , то получаются формулы промежутка , с которых мы начинали.

Алгоритм и принципы решения задачи полностью сохраняются, но возрастает техническая сложность вычислений:

Пример 4

Разложить функцию  в ряд Фурье и построить график суммы.

Решение: фактически аналог Примера № 3 с разрывом 1-го рода в точке . В данной задаче период разложения , полупериод . Функция определена только на полуинтервале , но это не меняет дела – важно, что оба куска функции интегрируемы.

Разложим функцию в ряд Фурье:

Поскольку функция разрывна в начале координат, то каждый коэффициент Фурье очевидным образом следует записать в виде суммы двух интегралов:

1) Первый интеграл распишу максимально подробно:

2) Тщательным образом вглядываемся в поверхность Луны:

Второй интеграл берём по частям:

На что следует обратить пристальное внимание, после того, как мы звёздочкой  открываем продолжение решения?

Во-первых, не теряем первый интеграл , где сразу же выполняем подведение под знак дифференциала. Во-вторых, не забываем злополучную константу  перед большими скобками и не путаемся в знаках при использовании формулы . Большие скобки, всё-таки удобнее раскрывать сразу же на следующем шаге.

Остальное дело техники, затруднения может вызвать только недостаточный опыт решения интегралов.

Да, не зря именитые коллеги французского математика Фурье возмущались – как это тот посмел раскладывать функции в тригонометрические ряды?! =) К слову, наверное, всем интересен практический смысл  рассматриваемого задания. Сам Фурье работал над математической моделью теплопроводности, а впоследствии ряд, названный его именем стал применяться для исследования многих периодических процессов, коих в окружающем мире видимо-невидимо. Сейчас, кстати, поймал себя на мысли, что не случайно сравнил график второго примера с периодическим ритмом сердца. Желающие могут ознакомиться с практическим применением преобразования Фурье в сторонних источниках. …Хотя лучше не надо – будет вспоминаться, как Первая Любовь =)

3) Учитывая неоднократно упоминавшиеся слабые звенья, разбираемся с третьим коэффициентом:

Интегрируем по частям:

Подставим найдённые коэффициенты Фурье  в формулу , не забывая поделить нулевой коэффициент пополам:

Построим график суммы ряда. Кратко повторим порядок действий: на интервале  строим прямую , а на интервале  – прямую . При нулевом значении «икс» ставим точку посередине «скачка» разрыва  и «тиражируем» график на соседние периоды:

На «стыках» периодов  сумма  также будет равна серединам «скачка» разрыва .

Готово. Напоминаю, что сама функция по условию определена только на полуинтервале  и, очевидно, совпадает с суммой ряда на интервалах

Ответ:

Иногда кусочно-заданная функция бывает и непрерывна на периоде разложения. Простейший образец: . Решение (см. 2-й том Бохана) такое же, как и двух предыдущих примерах: несмотря на непрерывность функции в точке , каждый коэффициент Фурье выражается суммой двух интегралов.

На промежутке разложения точек разрыва 1-го рода и/или точек «стыка» графика может быть и больше (две, три и вообще любое конечное количество). Если функция интегрируема на каждой части, то она также разложима в ряд Фурье. Но из практического опыта такую жесть что-то не припоминаю. Тем не менее, встречаются более трудные задания, чем только что рассмотренное, и в конце статьи для всех желающих есть ссылки на ряды Фурье повышенной сложности.

А пока расслабимся, откинувшись в креслах и созерцая бескрайние звёздные просторы:

Пример 5

Разложить функцию  в ряд Фурье на промежутке  и построить график суммы ряда.

В данной задаче функция непрерывна на полуинтервале разложения, что упрощает решение. Всё очень похоже на Пример № 2. С космического корабля никуда не деться – придётся решать =) Примерный образец оформления в конце урока, график прилагается.

Разложение в ряд Фурье чётных и нечётных функций

С чётными и нечётными функциями процесс решения задачи заметно упрощается. И вот почему. Вернёмся к разложению функции в ряд Фурье на периоде «два пи»  и произвольном периоде «два эль» .

Предположим, что наша функция  чётна. Общий же член ряда, как вы видите, содержит чётные косинусы и нечётные синусы. А если мы раскладываем ЧЁТНУЮ функцию, то зачем нам нечётные синусы?! Давайте обнулим ненужный коэффициент: .

Таким образом, чётная функция раскладывается в ряд Фурье только по косинусам:

Поскольку интегралы от чётных функций по симметричному относительно нуля отрезку интегрирования можно удваивать, то упрощаются и остальные коэффициенты Фурье.

Для промежутка :

Для произвольного промежутка:

К хрестоматийным примерам, которые есть практически в любом учебнике по матанализу, относятся разложения чётных функций . Кроме того, они неоднократно встречались и в моей личной практике:

Пример 6

Дана функция . Требуется:

1) разложить функцию в ряд Фурье с периодом , где  – произвольное положительное число;

2) записать разложение на промежутке , построить функцию  и график полной суммы ряда .

Решение:  в первом пункте предлагается решить задачу в общем виде, и это очень удобно! Появится надобность – просто подставьте своё значение.

1) В данной задаче период разложения , полупериод . В ходе дальнейших действий, в частности при интегрировании, «эль» считается константой

Функция  является чётной, а значит, раскладывается в ряд Фурье только по косинусам: .

Коэффициенты Фурье ищем по формулам . Обратите внимание на их безусловные преимущества. Во-первых, интегрирование проводится по положительному отрезку разложения, а значит, мы благополучно избавляемся от модуля , рассматривая из двух кусков только «икс». И, во-вторых, заметно упрощается интегрирование.

Раз:

Два:

Интегрируем по частям:

Таким образом:
, при этом константу , которая не зависит от «эн», выносим за пределы суммы.

Ответ:

2) Запишем  разложение  на промежутке , для этого в общую формулу подставляем нужное значение полупериода :

В данном случае сумма ряда непрерывна, и, разумеется, чётна. Построение графика  вряд ли нуждается в комментариях:

Хотел ещё построить частичную сумму , но её график практически совпал с «красной пилой» – настолько хорошо уже такое малое количество слагаемых приближает полную сумму.

Ответ:

Думаю, все представили, как «водят хороводы» параболы при разложении функции . И, чтобы никому не было обидно, я прикреплю этот пример к дополнительным материалам.

Если  – нечётная функция, то в разложениях Фурье  ,  оказываются лишними  чётные косинусы, из чего следует равенство . Более того, коэффициент  тоже равен нулю, в чём легко убедиться аналитически: интеграл от нечётной функции по симметричному относительно нуля отрезку равен нулю: .

Таким образом, нечётная функция раскладывается в ряд Фурье только по синусам:
 на промежутке  или  на произвольном периоде.

При этом необходимо вычислить единственный коэффициент Фурье:
 или  соответственно.

Небольшая миниатюра для самостоятельного решения:

Пример 7

Разложить функцию в ряд Фурье и построить график суммы  ряда не менее чем на трёх периодах

Решение и ответ в конце урока.

Разложение чётной функции часто маскируют типовой формулировкой, пример:

Разложить функцию  в ряд Фурье по косинусам на промежутке .

Если по условию не нужно чертежа, тихой сапой применяем формулы  и даём ответ в виде . Про чётность можно скромно умолчать ;-)

Но если дополнительно требуется построить график суммы, то необходимо понимать следующее: разложение по косинусам отобразит отрезок прямой  (чёрная линия) чётным образом (симметрично относительно оси ) на интервал  (зелёная линия), и, очевидно, функция  будет иметь непрерывный пилообразный график:

В ряде случаев симметричное продолжение функции надо записать аналитически. Начинающим рекомендую графический метод: сначала на промежутке  чертим отрезок прямой , затем, симметрично относительно оси ординат – его «зелёного» коллегу. Находим уравнение прямой , которая содержит зелёный отрезок (устно, или, например, по двум точкам).

Таким образом, эта же задача может быть сформулирована по-другому:
Разложить функцию  в ряд Фурье.

Кстати, эта интерпретация вообще коварно умалчивает о чётности функции и может наказать двойным объёмом работы по общим формулам ;-) Поэтому в случае подозрительной похожести кусков функции (а чайникам – в любом случае!) имеет смысл сразу же изобразить её на чертеже.

Условие чётности  нетрудно проверить и аналитически. В левую часть функции подставляем «минус икс»:  – в результате чего «на выходе» получаем правую часть.

Решение данного примера есть в соответствующем архиве (Папка Ряды_7), который можно бесплатно закачать на странице Готовые задачи по высшей математике.

Аналогично вуалируется нечётность:

Разложить функцию  в ряд Фурье по синусам на промежутке .

Если чертёж не нужен, ищем коэффициент  и записываем ответ в виде . О нечётности снова молчок ;-)  Однако в любом случае полезно знать следующее: разложение по синусам отобразит отрезок прямой  (чёрная линия) нечётным образом (симметрично относительно начала координат) на интервал  (зелёная линия). И внимательный читатель статьи без труда изобразит график суммы ряда:

Составим уравнение «зелёного» продолжения (например, по предложенному в предыдущем пункте алгоритму) и перепишем задачу в эквивалентной формулировке:
Разложить функцию  в ряд Фурье.

Выглядит опять провокационно, и если вам встретилось похожее условие, то сначала постройте график функции и изучите его на предмет симметрии – чтобы не пришлось использовать общие формулы разложения.

Проверим условие нечётности  аналитически, для этого в левый кусок функции подставляем «минус икс»:  – в результате чего «на выходе» получается правый кусок с противоположным знаком.

Вот, пожалуй, и все основные сведения о рядах Фурье, которых должно хватить для решения многих практических примеров. Надо сказать, что материал был непростой, причём изложить его доступно тоже было далеко не просто. Но вроде получилось неплохо.

Наш полёт подошёл к концу, и есть такое подозрение,  что немалая часть экипажа хочет отправиться в экспедицию на Марс =) Дополнительные задачи с решениями можно закачать в Банке готовых работ, причём среди них есть и более редкие задания по теме – нахождение спектра амплитуд, суммы ряда в различных точках и т.д. Кроме того, я создал дополнительную pdf-ку, в которую включил примеры, не вошедшие в статью (всё-таки нужно соблюдать разумные рамки), а также ряды Фурье повышенной сложности, в своё время решённые на заказ студентам солидного технического ВУЗа.

Удачного путешествия – и обязательно возвращайтесь!  

Решения и ответы:

Автор: Емелин Александр

Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу)

Как можно отблагодарить автора?

© Copyright  Александр Емелин, mathprofi.ru, 2010-2025, сделано в Блокноте