Высшая математика – просто и доступно!

Если сайт упал, используйте ЗЕРКАЛО: mathprofi.net

Наш форум, библиотека и блог: mathprofi.com

Высшая математика:

Математика для заочников

Математические формулы,
таблицы и другие материалы

Книги по математике

Математические сайты

+-*/^ Удобный калькулятор

+ «Дробовик»   

Учимся решать:

  Карта сайта

Не нашлось нужной задачи?
Сборники готовых решений!

Не получается пример?
Задайте вопрос на форуме!
>>> mathprofi

Обратная связь:

Часто задаваемые вопросы
Гостевая книга Отблагодарить автора >>>

Заметили опечатку / ошибку?
Пожалуйста, сообщите мне об этом

Карта сайта

---

Экстремумы функций двух и трёх переменных

Поздравляю всех читателей сайта с большим событием – после кропотливой и технически сложной разработки темы функций нескольких переменных, наконец-то появилась на свет эта долгожданная статья! Сегодня на уроке мы научимся находить максимумы и минимумы функций двух и трёх переменных, а также обобщим алгоритм решения данной задачи на случай бОльшего количества аргументов. С понятиями точек экстремума и экстремумов вы уже знакомы из статьи об экстремумах функции одной переменной, и для «старших сестёр» эти понятия имеют родственный смысл. Освежим в памяти элементарную терминологию:

– точки экстремума – это общее название точек минимума и максимума;
– экстремумы – это общее название минимумов и максимумов.

Начнём с функции двух переменных , применительно к которой точки экстремума – это точки плоскости , а экстремумы – соответствующие значения функции («высоты»). Также экстремумами иногда называют точки самой поверхности.

Да, и сразу важное напутствие для «чайников», нормальных студентов =) и сомневающихся – рассматриваемый материал сам по себе прост, но требует базовых знаний и навыков в нескольких разделах высшей математики. Поэтому если у вас возникнет (или уже возникло) какое-либо недопонимание по ходу изложения, то проставленные ссылки в помощь.

Итак, «действующие лица» следующие: функция , внутренняя точка  её области определения и -окрестность данной точки. Для удобства считаем, что окрестность представляет собой круг радиуса  с центром в точке  (в учебной литературе чаще встречается окрестность-квадрат).

Определение: если в некоторой -окрестности точки  выполнено неравенство , то говорят, что функция  имеет минимум в точке .

При этом точка  называется точкой минимума, а соответствующее значение функции   («высота») – минимумом. Ещё раз призываю не путаться в терминах!

Простейший пример минимума – это вершина эллиптического параболоида, чаша которого направлена вверх:

Давайте ещё раз внимательно перечитаем определение и вдумаемся в его суть. Сформулированное определение говорит нам о том, что функция   достигает минимума в точке , если существует хоть какая-то -окрестность этой точки, в которой значение высоты  меньше ВСЕХ ОСТАЛЬНЫХ значений .

Следует отметить, что в нашем примере под определение подходит вообще любая -окрестность, т. к. поверхность уходит вверх на бесконечность и никаких точек ниже – нет в принципе. Такой минимум называют глобальным.

А теперь мысленно разверните чашу параболоида вниз – чтобы красная точка стала «вершиной горы».

Определение: если в некоторой -окрестности точки  выполнено неравенство , то говорят, что функция  имеет максимум в точке .

Соответственно, точка  называется точкой максимума, а значение – максимумом функции.

В случае с нашим параболоидом максимум, естественно, тоже глобальный, но на практике гораздо чаще встречаются локальные экстремумы. Так, например, функция  на нижеследующем чертеже достигает локального максимума (слева вверху) и локального минимума (справа внизу):

Наверное, всем понятно, в чём различие, но всё-таки закомментирую: почему, например, такой максимум называют локальным? Потому что функция на своей области определения достигает и бОльших значений – по правую руку поверхность уходит «за облака», где о красной точке разве что легенды слагают. Таким образом, о «вершине горы» речь идёт лишь на локальном участке области определения. «Гора», кстати, «горЕ» рознь – бывают поверхности, у которых минимумы и максимумы если и различимы на глаз, то выглядят, как пупырышки =) Важно, чтобы существовала пусть даже очень малая -окрестность точки , где выполнено условие минимума или максимума (см. определения).

Из вышесказанного следует ещё одна важная вещь, которая опять же касается понятий. Пожалуйста, РАЗЛИЧАЙТЕ и будьте аккуратны в выражениях:

максимум функции – это в общем случае НЕ ТО ЖЕ САМОЕ, что максимальное значение функции;

минимум функции – это в общем случае НЕ ТО ЖЕ САМОЕ, что минимальное значение функции.

Да, в примере с эллиптическим параболоидом соответствующие понятия совпадают, но вот у только что рассмотренной поверхности «красный» максимум – это отнюдь не наибольшее, а «оранжевый» минимум – отнюдь не наименьшее значение функции. Задачу нахождения минимального и максимального значений функции мы рассмотрим в самом ближайшем будущем, а пока что вернёмся к теме сегодняшнего урока:

Как исследовать функцию  на экстремум?

Прежде всего, нужно ориентироваться на необходимое условие экстремума:

если дифференцируемая функция  имеет экстремум в точке , то обе частные производные 1-го порядка в данной точке  равны нулю:
 

Точку, удовлетворяющую этим условиям, называют критической, а чаще – стационарной точкой.

! Примечание: условие необходимо именно для дифференцируемой в точке  функции. Как мы увидим в Примере 6, экстремум может существовать и при других обстоятельствах.

Обратное утверждение справедливо далеко не всегда. Иными словами, если известно, что в некоторой точке   частные производные равны нулю, то это ЕЩЁ НЕ ЗНАЧИТ, что там есть экстремум. Его там может и не быть.

Так, например, у функции , которая как раз задаёт эллиптический параболоид, частные производные   обращаются в ноль в точке  – и в данной точке действительно существует минимум функции («дно чаши»).

Но у функции  с производными , равными нулю в этой же точке, не наблюдается ничего подобного. Это гиперболический параболоид или «седло»:

Для точки  не существует -окрестности, в которой поверхность располагалась бы только вверху  или только внизу . Грубо говоря, в любой -окрестности  точки  куски поверхности есть и сверху и снизу.

Точку такого рода так и называют – седловой, а иногда, по известной географической ассоциации – точкой перевала.

Читатели, знакомые с материалами статьи Производная по направлению и градиент, наверное, уже поняли геометрический смысл выкладок: из условий
 следует равенство нулю производной и по всем направлениям: . То есть если мы сделаем бесконечно малый «шажок» из точки   в любую сторону, то наша высота останется неизменной. И этот факт справедлив, как для точек экстремума, так и для точки перевала.

Итак, условия  необходимы для существования экстремума дифференцируемой там функции, но на основании только этой информации мы ещё не можем сделать вывода о характере точки . С достаточным условием экстремума познакомимся прямо по ходу практической задачи, а то что-то мы засиделись в теории:

Пример 1

Исследовать на экстремум функцию

Решение: на первом шаге нужно отыскать стационарные точки. Для этого найдём частные производные 1-го порядка:

Контроль:

и решим систему:

В данном случае получена система двух линейных уравнений с двумя неизвестными, которую можно решить несколькими способами. Но мудрить здесь не надо – как проще, так и решаем. Из 2-го уравнения выразим  и подставим в 1-е уравнение:

Таким образом:

 – стационарная точка. Тут, главное, не перепутать координаты.

Выполним промежуточную проверку:

Отлично. А точнее, хорошо, поскольку пройдено всего лишь пол пути. В найденной точке может быть минимум, максимум либо перевал, и выяснить, что же там на самом деле, нам поможет

достаточное условие экстремума функции двух переменных,

для применения которого нужно вычислить частные производные 2-го порядка в точке Для компактности обычно используют следующие обозначения:

Если , то функция  имеет экстремум в точке , причём, если , то это минимум, а если  – то максимум.

Примечание: здесь также можно ориентироваться и на букву «цэ», т. к. неравенство  выполняется только в том случае, если  и  – одного знака.

Если , то в точке  нет экстремума.

Если же , то требуется дополнительное исследование, о котором загадочно умалчивают практически все источники. Впрочем, беспокоиться особо не нужно – встретите вряд ли.

В нашем примере все частные производные 2-го порядка равны константам:

а значит, соответствующим константам они равны и в частности в точке :

Таким образом: , следовательно, в точке  есть экстремум, и так как , то это – минимум. Осталось его найти. Перепишем функцию , чтобы она была перед глазами, и ОЧЕНЬ внимательно проведём вычисления:

Надо сказать, момент весьма неприятный, поскольку здесь существует ненулевая вероятность запороть всё задание. Правда, в данном случае вычисления здОрово облегчил нулевой «икс».

Ответ:

Признаюсь честно, привык я рисовать значки , что не есть хорошо, т. к. они обычно используются для обозначения минимального и максимального значений функции. От чего вас и предостерегаю.

И справка для любознательных: поверхность  представляет собой не что иное, как «подзашифорованный» эллиптический параболоид – весьма похожий на тот, который мы видели на 1-й картинке урока.

Пара разминочных примеров для самостоятельного решения:

Пример 2

Исследовать на экстремум функцию двух переменных

Пример 3

Исследовать на экстремум функцию двух переменных

Решение 3-го примера осложняется тем, что получается система нелинейных уравнений. Подумайте, что и откуда выгоднее выразить. Примерный образец чистового оформления задач в конце урока.

Когда я подбирал материалы к этой статье, то обнаружил у себя целую тьму подобных примеров (даже сам удивился) и поэтому рекомендую со всей ответственностью отнестись к предлагаемым заданиям.

Нередко приходится разбираться с двумя или даже бОльшим количествам стационарных точек. Типовая задача с экспонентой:

Пример 4

Исследовать функцию на экстремум

Решение: чтобы определить стационарные точки, найдем частные производные 1-го порядка и приравняем их к нулю. Техническая сложность дифференцирования состоит в применении правила ,  после чего, руководствуясь здравой логикой, нужно «загонять» слагаемые в одну скобку и по надобности их причёсывать:

На всякий пожарный проверим, что  (тем более, находить всё равно придётся):

ОК

Составляем систему:
 

Поскольку экспоненты не могут равняться нулю, то их можно с чистой совестью убрать:

В подобных системах нужно проявить смекалку: где-то удаётся удачно выразить одну переменную через другую, где-то можно выделить полный квадрат, ну а у нас решение лежит на поверхности:

 (к такому же результату приводит вычитание одного уравнения из другого)

Теперь подставляем соотношение  в любое, например, во 2-е уравнение системы:

В результате получены 2 стационарные точки:

Не упущу возможности позанудствовать и напомнить о проверке – координаты найденных точек должны удовлетворять каждому уравнению системы.

Достаточное условие экстремума, как вы понимаете, нужно проверить для каждой точки отдельно. И в том, и в другом случае нам потребуются частные производные 2-го порядка:

Смешанная производная уже найдена:

И, наконец, «двойная игрековая»:

...Это ещё не самый страх – пример я подобрал довольно гуманный =)

На очереди кропотливые вычисления:

1) Проверим выполнение достаточного условия экстремума для точки :

, значит, в точке  нет экстремума.

2) Проверим выполнение достаточного условия экстремума для точки :

, значит, в точке  существует экстремум, и поскольку , то это – максимум. Вспоминаем про функцию  и НЕ ОШИБАЕМСЯ:

Ответ:

О точке перевала  в ответе не упоминаем. Зачем? Нас же просили провести исследование на экстремум.

От следующего задания тоже трудно отказаться – почти баян:

Пример 5

Исследовать функцию на экстремум

Краткое решение и ответ в конце урока

Время от времени посетители сайта просят меня включать в уроки задания и посложнее… ну что же, нашёлся тут интересный экземпляр: . Здесь придётся разрулить не самую простую систему и проверить на экстремум несколько стационарных точек. Чтобы не убивать интригу, в конце урока не будет ни решения, ни ответа =)

И специально для всех читателей mathprofi.ru, можно сказать, эксклюзивная задача:

Пример 6

Исследовать функцию на экстремум

Решение начинается как обычно:

Но вот следующий шаг, казалось бы, сразу приводит к ответу об отсутствии экстремумов:

Система не имеет решений, поскольку единственная «подозрительная» точка  обращает знаменатели в ноль, то есть функция  – не дифференцируема в данной точке. Но неужели всё так просто? И действительно – ведь САМА-ТО функция там определена:

И более того, поверхность  непрерывна в точке  (да и вообще в любой точке плоскости ). Так почему же тут не может существовать минимум или максимум? 

Сомнения не напрасны! По аналогии с похожим «плоским» случаем (см. Пример 8 урока Возрастание, убывание и экстремумы функции) такая точка тоже считается стационарной и в ней тоже может быть экстремум!

Но здесь возникает второй камень преткновения. В знаменателях частных производных 2-го порядка (проверьте самостоятельно) находятся корни , что делает невозможным вычисление значений .

Как быть? В трудной ситуации всегда есть смысл проанализировать самое простое решение. А самое элементарное в экстремумах – это непосредственно их определения!

Рассмотрим достаточно малую -окрестность точки . Любую точку данной окрестности, отличную от , можно представить в виде , где значения не равны нулю одновременно и достаточно малы для того чтобы точка  входила в эту окрестность.

Примечание: оба числа могут быть положительны , отрицательны , разных знаков:  либо ; и, кроме того, одно из них может равняться нулю (ещё 4 случая). Таким образом, обозначение действительно пригодно.

Вычислим значение функции в этой произвольной точке окрестности:

Так как не равны нулю одновременно, то корень  будет хоть чуть-чуть, но больше нуля, а значит, . И вспоминая, что , записываем очевидный факт: . Грубо говоря, в рассматриваемой окрестности значение  «самое низкое».

Вывод: для точки  нашлась -окрестность, в которой выполнено неравенство , таким образом,  – минимум по определению.

Нетрудно понять, что минимум глобальный. Геометрически поверхность представляет собой своеобразное пространственное остриё, а точнее – «шип».

Ответ:

Представленное решение полностью корректно и полноценно! Более того, данный способ можно попытаться применить и в ситуации, когда достаточное условие экстремума не даёт ответа . Однако дело осложняется тем, что неравенство  либо  нужно обосновать для каждого из восьми случаев (см. Примечание), что практически бывает затруднительно. Зависит от функции. И в следующем параграфе я подробно рассмотрел этот алгоритм для функции трёх переменных (Пример 9).

Резюмируя задачу, возьмём на заметку следующее: экстремум может существовать и в тех точках, где функция не дифференцируема, однако определена. И это имеет место быть и для функций бОльшего количества переменных.

Продолжаем:

Экстремумы функции трёх переменных

Плюс одно измерение. Рассмотрим функцию трёх переменных , внутреннюю точку  её области определения и -окрестность данной точки, которая представляет собой шар с центром в точке  радиуса .

Определение: если в некоторой -окрестности точки  выполнено неравенство  ( – точка -шара, отличная от ), то функция  имеет минимум в точке ; если же  – то максимум.

Вполне, кстати, понятное и не такое уж абстрактное определение.

Всё очень похоже. Если дифференцируемая функция  имеет экстремум в точке , то обязательно выполняются условия . Но с другой стороны, если в какой-либо точке производные 1-го порядка равны нулю, то это ещё не значит, что там есть экстремум.

Алгоритм решения сохраняется прежним:

Пример 7

Найти экстремумы функции

Решение: переключаем передачу на частные производные функции трёх переменных:

Чтобы найти стационарные точки, составим и решим следующую систему:

Аккуратно расположим переменные в обычном порядке и, кроме того, разделим последнее уравнение на 2:

Систему можно решить методом Гаусса, но зачем такие сложности? Из 3-го уравнения выразим  и подставим его в первые два уравнения:

Из 1-го уравнения выразим  и подставим во 2-е уравнение:

Таким образом:

Таким образом,  – стационарная точка. Здесь, напоминаю, не помешает подставить найденное решение  в каждое уравнение исходной системы и убедиться в выполнении условий .

Проверка достаточного условия экстремума осуществляется несколько по-другому. Сначала нужно найти все частные производные 2-го порядка, вычислить их в точке  и составить так называемую матрицу Гессе:

Да не пугайтесь вы так =) Данная матрица является симметричной (или симметрической). Это значит, что её элементы симметричны относительно главной диагонали, на которой в данном случае расположены «однобуквенные» частные производные . Уловили закономерность?

Далее нужно вычислить угловые миноры. Это определители, которые «разрастаются» из левого верхнего угла:

1) Если  , то функция  достигает минимума в точке .

2) Если  (так и только так!), то функция  достигает максимума в точке .

3) Если получилось что-то другое и при этом , то  – седловая точка. Здесь это уже во многом условное название.

4) Если , то признак не даёт ответа о характере точки .

Внимательные читатели заметили, что эту схему в варианте «два на два» мы использовали и в предыдущем параграфе – только оформление «детское» было. Но не будем отвлекаться.

В нашем примере все производные 2-го порядка равны константам:

а значит, они равны константам и в точке . Составим матрицу Гессе:

и вычислим её угловые миноры:

Вывод: функция достигает максимума в точке .

Для удобства вычислений скопирую функцию:

Ответ:

Аналогичное задание для тренировки:

Пример 8

Исследовать функцию на экстремум

Краткое решение и ответ в конце урока.

И в заключение рассмотрим ситуацию, когда функция трёх переменных не дифференцируема в стационарной точке, однако определена в ней. Этого примера не было в статье изначально, но один из читателей-таки столкнулся с ним в методичке своего ВУЗа. Кроме того, вам предоставляется отличная возможность закрепить технику решения, поскольку стационарных точек тут будет несколько:

Пример 9

Исследовать функцию на экстремум

Решение начинается как обычно, берём частные производные 1-го порядка:

Составим стандартную систему:

и решим её самостоятельно – начнИте со второго уравнения. В результате получатся две стационарные точки , для которых нужно проверить достаточное условие экстремумам и сделать выводы. Свериться можно в конце урока, ну а я пройду дальше и познакомлю вас с более редким, даже авторским исследованием. Хотя, скорее всего, этот путь не нов.

Вспоминаем тот факт, что экстремум может существовать и в тех точках, где функция не дифференцируема, но определена. А посему смотрим на систему выше и выявляем «нехорошие» значения, их три: ,  и . Теперь смотрим на саму функцию  и понимаем, что она не определена в последних двух случаях, но вот значение  вполне себе может быть легальным, и нам нужно прояснить две оставшиеся координаты точки  (точка, к слову, может оказаться и не единственной).

Вновь смотрим на систему выше и подставляем  в последние два уравнения:

Из 1-го уравнения выразим  – подставим во 2-е уравнение:

Корень  не годится, а вот  – вполне себе, подставляем в  (1-е уравнение):
, надеюсь, все совладали с многоэтажностью дробей.
После чего не помешает выполнить промежуточную проверку – устно подставляем полученные значения ,  в оба уравнения системы (см. выше).

Таким образом, получаем стационарную точку , в которой функция определена, однако не дифференцируема по переменной «икс». Сразу вычислим:

Но есть ли тут экстремум?  Стандартная проверка достаточного условия не проходит, по той причине, что   , и со значением  и матрицей Гессе печаль.

Поэтому опираемся на определения экстремумов. Рассмотрим -окрестность точки , которую мы можем выбрать сколь угодно малой, и произвольную точку , принадлежащую этой окрестности, где значения  не равны нулю одновременно.

Если для всех допустимых значений  выполнено неравенство , то функция имеет минимум в точке  по определению. Запишем соответствующее неравенство в виде .

Если для всех допустимых значений  выполнено неравенство , то функция имеет максимум в точке  по определению. Запишем соответствующее неравенство в виде .

Если же обнаружится, что для некоторых комбинаций  выполнено , а для других: , то экстремума нет (т. е. в сколь угодно малой - окрестности точки  есть значения   как бОльшие , так и мЕньшие). Следует добавить, что равенство  тоже опровергает наличие экстремума.

В общем случае существует 26 комбинаций , а именно:

1)  либо ,  (2 варианта);

2)  либо ,  (2 варианта);

3)  либо ,  (2 варианта);

4) ,  и здесь 4 варианта: , либо , либо , либо ;

5) , аналогично 4 варианта;

6) , аналогично 4 варианта,

и, наконец:

7)  – 8 возможных вариантов со знаками «+», «–».

Для функции же двух переменных, как я отмечал в предыдущем параграфе, подобных комбинаций всего восемь. Но пугаться не нужно и сейчас, ибо на практике то черти напьются, то гомна не завезут или функция достаточно простА или значения  могут быть далеко не всех знаков.

В нашей задаче:

и из первого слагаемого следует, что  не может быть отрицательным, таким образом, 9 вариантов сразу отпадают, и при самом плохом раскладе нам осталось проверить 17 :)

Прежде всего, анализируем, а нет ли тут «хорошего» обоснования сразу для всех допустимых значений ? (по аналогии с Примером 6). …Нет, ничего явного не просматривается, поэтому приступаем к перебору комбинаций «дельт».

Составим разность , в которой я сразу упакую логарифмы:

Надеюсь, материал был, увлекательным и полезным, осталось записать чистосердечный ответ: , в точках ,  нет экстремумов.

Рассмотренный алгоритм исследования распространяется и на функции бОльшего количества переменных. Я бы мог расписать его в общем виде, но заметная часть аудитории просто на дух не переносит общие формулы с нагромождением цифр и индексов. Поэтому разберём ещё случай функции 4 переменных, а дальше – будет понятно.

Чтобы исследовать на экстремум дифференцируемую функцию  четырёх аргументов, нужно найти частные производные 1-го порядка и решить систему:

Предположим, что в результате решения найдена стационарная точка . Далее нужно найти частные производные 2-го порядка, вычислить их в точке  и  составить матрицу Гессе:

после чего вычислить её угловые миноры .

Если все миноры положительны, то в точке  – минимум, если знакочередуются в следующем порядке:  (и именно в таком!), то в точке   – максимум. Если имеет место другой случай, но , то  – седловая точка; если же , то признак не даёт ответа о характере точки .

Ну и для совсем продвинутых читателей сообщу, что это есть не что иное, как проверка квадратичной формы полного дифференциала 2-го порядка на знакоопределённость методом Сильвестра (для функций 2, 3, 4  и бОльшего количества переменных).

Удачных вам исследований!

На следующих уроках мы познакомимся с условными экстремумами, задачей нахождения минимального и максимального значений функции, а также известнейшим приложением темы – Методом наименьших квадратов.

Как наберётесь сил – приходите ещё! =)

Решения и ответы:

Автор: Емелин Александр

Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу)

Как можно отблагодарить автора?

© Copyright  Александр Емелин, mathprofi.ru, 2010-2025, сделано в Блокноте