Математика для заочников и не только

Высшая математика – просто и доступно!

Если сайт упал, используйте ЗЕРКАЛО: mathprofi.net

Наш форум, библиотека и блог mathprofi>>>

Высшая математика:

Математика для заочников
Математические формулы,
таблицы и справочные
материалы

Математические сайты
>>> Удобный калькулятор

Не нашлось нужной задачи?
Сборники готовых решений!

Не получается пример?
Задайте вопрос на форуме!
>>> mathprofi.com   

Учимся решать:

Лекции-уроки по высшей математике для первого курса

Высшая математика для чайников, или с чего начать?

Аналитическая геометрия:

Векторы для чайников
Скалярное произведение
векторов

Линейная (не) зависимость
векторов. Базис векторов

Переход к новому базису
Векторное и смешанное
произведение векторов

Формулы деления отрезка
в данном отношении

Прямая на плоскости
Простейшие задачи
с прямой на плоскости

Линейные неравенства
Как научиться решать задачи
по аналитической геометрии?

Линии второго порядка. Эллипс
Гипербола и парабола
Задачи с линиями 2-го порядка
Как привести уравнение л. 2 п.
к каноническому виду?

Полярные координаты
Как построить линию
в полярной системе координат?

Уравнение плоскости
Прямая в пространстве
Задачи с прямой в пространстве
Основные задачи
на прямую и плоскость

Треугольная пирамида

Элементы высшей алгебры:

Множества и действия над ними
Основы математической логики
Формулы и законы логики
Уравнения высшей математики
Комплексные числа
Выражения, уравнения и с-мы
с комплексными числами

Действия с матрицами
Как вычислить определитель?
Свойства определителя
и понижение его порядка

Как найти обратную матрицу?
Свойства матричных операций.
Матричные выражения

Матричные уравнения
Как решить систему линейных уравнений?
Правило Крамера. Матричный метод решения системы
Метод Гаусса для чайников
Несовместные системы
и системы с общим решением

Как найти ранг матрицы?
Однородные системы
линейных уравнений

Метод Гаусса-Жордана
Решение системы уравнений
в различных базисах

Линейные преобразования
Собственные значения
и собственные векторы

Квадратичные формы
Как привести квадратичную
форму к каноническому виду?

Ортогональное преобразование
квадратичной формы

Пределы:

Пределы. Примеры решений
Замечательные пределы
Методы решения пределов
Бесконечно малые функции.
Эквивалентности

Правила Лопиталя
Сложные пределы
Пределы последовательностей
Пределы по Коши. Теория

Производные функций:

Как найти производную?
Производная сложной функции. Примеры решений
Логарифмическая производная
Производные неявной, параметрической функций
Простейшие задачи
с производной

Производные высших порядков
Что такое производная?
Производная по определению
Как найти уравнение нормали?
Приближенные вычисления
с помощью дифференциала

Метод касательных

Функции и графики:

Графики и свойства
элементарных функций

Как построить график функции
с помощью преобразований?

Непрерывность, точки разрыва
Область определения функции
Асимптоты графика функции
Интервалы знакопостоянства
Возрастание, убывание
и экстремумы функции

Выпуклость, вогнутость
и точки перегиба графика

Полное исследование функции
и построение графика

Наибольшее и наименьшее
значения функции на отрезке

Экстремальные задачи

ФНП:

Область определения функции
двух переменных. Линии уровня

Основные поверхности
Предел функции 2 переменных
Повторные пределы
Непрерывность функции 2п
Частные производные
Частные производные
функции трёх переменных

Производные сложных функций
нескольких переменных

Как проверить, удовлетворяет
ли функция уравнению?

Частные производные
неявно заданной функции

Производная по направлению
и градиент функции

Касательная плоскость и
нормаль к поверхности в точке

Экстремумы функций
двух и трёх переменных

Условные экстремумы
Наибольшее и наименьшее
значения функции в области

Метод наименьших квадратов

Интегралы:

Неопределенный интеграл.
Примеры решений

Метод замены переменной
в неопределенном интеграле

Интегрирование по частям
Интегралы от тригонометрических функций
Интегрирование дробей
Интегралы от дробно-рациональных функций
Интегрирование иррациональных функций
Сложные интегралы
Определенный интеграл
Как вычислить площадь
с помощью определенного интеграла?

Что такое интеграл?
Теория для чайников

Объем тела вращения
Несобственные интегралы
Эффективные методы решения
определенных и несобственных
интегралов

S в полярных координатах
S и V, если линия задана
в параметрическом виде

Длина дуги кривой
S поверхности вращения
Приближенные вычисления
определенных интегралов


Метод прямоугольников

  Карта сайта

Лекции-уроки по высшей математике для второго курса

Дифференциальные уравнения:

Дифференциальные уравнения первого порядка
Однородные ДУ 1-го порядка
ДУ, сводящиеся к однородным
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
Уравнение Бернулли
Дифференциальные уравнения
с понижением порядка

Однородные ДУ 2-го порядка
Неоднородные ДУ 2-го порядка
Линейные дифференциальные
уравнения высших порядков

Метод вариации
произвольных постоянных

Как решить систему
дифференциальных уравнений

Задачи с диффурами
Методы Эйлера и Рунге-Кутты

Числовые ряды:

Ряды для чайников
Как найти сумму ряда?
Признак Даламбера.
Признаки Коши

Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница
Ряды повышенной сложности

Функциональные ряды:

Степенные ряды
Разложение функций
в степенные ряды

Сумма степенного ряда
Равномерная сходимость
Другие функциональные ряды
Приближенные вычисления
с помощью рядов

Вычисление интеграла разложением функции в ряд
Как найти частное решение ДУ
приближённо с помощью ряда?

Вычисление пределов
Ряды Фурье. Примеры решений

Кратные интегралы:

Двойные интегралы
Как вычислить двойной
интеграл? Примеры решений

Двойные интегралы
в полярных координатах

Как найти центр тяжести
плоской фигуры?

Тройные интегралы
Как вычислить произвольный
тройной интеграл?


Криволинейные интегралы
Интеграл по замкнутому контуру
Формула Грина. Работа силы

Поверхностные интегралы

Элементы векторного анализа:

Основы теории поля
Поток векторного поля
Дивергенция векторного поля
Формула Гаусса-Остроградского

Циркуляция векторного поля
и формула Стокса

Комплексный анализ:

Примеры решений типовых
задач комплексного анализа

Как найти функцию
комплексной переменной?

Решение ДУ методом
операционного исчисления

Как решить систему ДУ
операционным методом?

Теория вероятностей:

Основы теории вероятностей
Задачи по комбинаторике
Задачи на классическое
определение вероятности

Геометрическая вероятность
Задачи на теоремы сложения
и умножения вероятностей

Зависимые события
Формула полной вероятности
и формулы Байеса

Независимые испытания
и формула Бернулли

Локальная и интегральная
теоремы Лапласа

Статистическая вероятность
Случайные величины.
Математическое ожидание

Дисперсия дискретной
случайной величины

Функция распределения
Геометрическое распределение
Биномиальное распределение
Распределение Пуассона
Гипергеометрическое
распределение вероятностей

Непрерывная случайная
величина, функции F(x) и f(x)

Как вычислить математическое
ожидание и дисперсию НСВ?

Равномерное распределение
Показательное распределение
Нормальное распределение

Отблагодарить автора >>>

Если Вы заметили опечатку, пожалуйста, сообщите мне об этом

Заказать контрольную
Часто задаваемые вопросы
Гостевая книга

Поставьте нашу кнопку:

Высшая математика – просто и доступно!

Когда нет времени:

Авторские работы на заказ

По школьным предметам.
Подготовка к ЕГЭ

По высшей математике
и физике

Помогут разобраться в теме,
подготовиться к экзамену



  Карта сайта


Гипергеометрическое распределение вероятностей


Пожалуй, второе по распространённости после биномиального распределения, в котором нет ничего гиперсложного. Да и сложного тоже. С гипергеометрическим законом распределения вероятностей мы неоднократно сталкивались ранее и фактически полностью построили в Примере 12 урока о классическом определении вероятности. Сформулируем задачу в общем виде и вспомним этот пример:

Пусть в совокупности из  объектов содержатся  объектов, обладающие некоторым признаком. Из этой совокупности случайным образом и без возвращения извлекается  объектов. Тогда случайная величина  – количество «особых» объектов в выборке – распределена по гипергеометрическому закону.

В ящике находится  деталей, среди которых  бракованных. Наудачу извлекаются  детали. Найти вероятность того, что:
а) обе детали будут качественными;
б) одна деталь будет качественной, а одна – бракованной;
в) обе детали бракованны

По сути дела, здесь фигурирует случайная величина  – количество бракованных деталей в выборке. Прорешаем данную задачу под другим углом зрения, а именно, найдём закон распределения этой случайной величины, которая, очевидно, может принять одно из следующих значений: . Соответствующие вероятности  определяются правилами и формулами комбинаторики и классическим определением вероятности.

Сначала вычислим количество всех возможных наборов из 2 деталей. Две детали можно выбрать  способами. Дальнейшие действия удобно занумеровать:

0)  (в выборке нет бракованных деталей)
 способами можно извлечь 2 качественные детали.
По классическому определению:  – вероятность того, среди 2 извлечённых деталей не будет бракованных.

1)
 способами можно извлечь 1 качественную деталь и 1 бракованную.
По тому же определению:  – вероятность того, среди 2 извлечённых деталей будет 1 бракованная.

2) И, наконец,
 способами можно извлечь 2 бракованные детали.
 – вероятность того, что обе извлечённые детали будут бракованными.

Таким образом, закон распределения количества бракованных деталей в выборке:

Контроль:

Следует отметить, что «зеркальная» случайная величина  – количество качественных деталей в выборке, тоже имеет гипергеометрическое распределение. Догадайтесь с одного раза, как выглядит её закон распределения. НО, к этому вопросу нельзя подходить формально! Самостоятельно разберите такую ситуацию:

Задание

Из ящика с 19 стандартными и 1 нестандартной деталью, наудачу извлекается 2 детали. Составить закон распределения случайной величины  – количества стандартных деталей в выборке.

Решение и ответ в конце урока.

…Разминка прошла успешно? Отлично! Теперь разберём более содержательную задачу, в которой я расскажу вам об общих формулах и полезных технических приёмах решения. Как в передаче «Что? Где? Когда?» выносят чёрные ящики, так в теории вероятностей предлагают урны с шарами :)

Задача

Из урны, содержащей 6 белых и 4 черных шара, случайным образом и без возвращения извлекают 3 шара.

! Примечание: оговорка «без возвращения» является важной, но её часто опускают, подразумевая этот факт по умолчанию

Составить функцию распределения случайной величины  – числа черных шаров среди взятых. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины. Построить многоугольник и функцию распределению. Вычислить вероятность того, что в выборке будет не менее двух чёрных шаров. Вычислить .

Как говорится, весь джентльменский набор. Кстати, если не нравятся шары, можете представить, что это белые и чёрные котята или…, не знаю, например, красные и чёрные карты.

Решение: поскольку в условии речь идёт о выборке объектов из совокупности и о количестве «особенных» объектов в этой выборке, то предложенная случайная величина имеет гипергеометрическое распределение вероятностей.

Обозначим исходные данные стандартными буквами:

 – размер совокупности;
  – количество черных шаров в совокупности («особенный» признак);
 размер выборки.

Очевидно, что случайная величина  (кол-во чёрных шаров в выборке)  принимает следующие значения:

Заметьте, что этих значений может быть и меньше. В каком случае? В случае если , то есть, если во всей совокупности чёрных шаров МЕНЬШЕ, чем размер выборки. Так, например, если в урне всего 2 чёрных шара, то значение  отпадёт.

Для вычисления гипергеометрических вероятностей существует формула , но я вам крайне советую вникать в смысл выполняемых действий. Сначала вычислим знаменатель дроби:
 способами можно выбрать 3 шара из 10. Данное значение нам потребуется при вычислении каждой вероятности :

0)  (в выборке нет чёрных шаров)
 способами можно выбрать 0 чёрных и 3 белых шара.
По классическому определению:
 – вероятность того, что в выборке будет 0 черных шаров.

Результаты лучше записывать в трёх видах: несокращённой обыкновенной дробью, сокращённой обыкновенной дробью и десятичной дробью (с 3-4-5 знаками после запятой). Это упростит решение, и скоро будет понятно, как.

Кроме того, вероятности выгодно знать заранее. Для этого можно использовать экселевскую функцию =ГИПЕРГЕОМЕТ(x; n; M; N) или сразу воспользоваться готовым расчётным макетом (Пункт 8).

Едем дальше:

1)
 способами можно выбрать 1 чёрный и 2 белых шара.
 – вероятность того, что в выборке окажется 1 чёрный шар.

2)
 способами можно выбрать 2 чёрных и 1 белый шар.
 – вероятность того, что в выборке окажется 2 чёрных шара.

3)
 способами можно выбрать 3 чёрных и 0 белых шаров.
 – вероятность того, что в выборке будет 3 чёрных шара.

Таким образом, количество чёрных шаров в выборке распределено по следующему закону:

Вероятности по возможности записываем обыкновенными дробями!

=

Контроль: , ч.т.п.

В крайнем случае можно использовать десятичные дроби (когда обыкновенные сильно наворочены), единственное, нужно следить, чтобы сумма округлённых значений равнялась единице и при необходимости «подгонять» некоторые вероятности. Однако помните, что это уже будет не точным ответом!

Но десятичные значения, безусловно, удобны для построения многоугольника распределения:

Математическое ожидание и дисперсию гипергеометрического распределения можно вычислить в обход общего алгоритма – по специальным формулам:

 – среднее количество чёрных шаров в выборке (при многократном повторении таких выборок).

 – мера рассеяния количества чёрных шаров относительно матожидания.

Составим функцию распределения вероятностей. И здесь как раз пригодятся несокращённые обыкновенные дроби. Вычислим накопленные частоты:

 – десятичные значения нужны для ручного построения графика.

Таким образом, искомая функция:

– её значения тоже записываем обыкновенными дробями! Дабы соблюсти точность.

Строим график:

Выходим на финишную прямую. Вычислим  – вероятность того, что в выборке будет не менее двух чёрных шаров. Это можно сделать не единственным способом. Прямым суммированием вероятностей несовместных исходов:

или с помощью функции распределения и штатной формулы :


Напомню, что здесь существуют критично важные тонкости (см. по ссылке выше).

И, наконец, рассчитываем стандартную вероятность  того, что значение случайной величины  отклонится от математического ожидания не более чем на одно среднее квадратическое отклонение:


Готово.

Основная трудность гг-распределений состоит в технике вычислений – в них нужно грамотно управляться с дробями, которые частенько получаются страшноватыми. Ну, и конечно, не забываем о том, КАКАЯ ИМЕННО дана случайная величина. Так, в разобранном задании может быть предложено  – количество белых шаров в выборке, и тогда решение примет «зеркальный» характер.

Дополнительные примеры по теме можно найти в pdf-сборнике, и я поздравляют вас с освоением основных дискретных распределений. Но, само собой, существуют и другие их виды, которые не вошли в этот курс.

Далее по фарватеру непрерывная случайная величина.

Нескучного чтения!

Решение и ответ на задание:

 способами можно извлечь две детали.
Случайная величина  может принять одно из следующих значений: .
Примечание: значение  невозможно, т.к. в ящике только 1 нестандартная деталь.
Составим закон распределения этой случайной величины:
1)
 способами можно извлечь 1 стандартную и 1 нестандартную деталь.
По классическому определению:
2)
 способами можно извлечь 2 стандартные детали.

Контроль:

Ответ: закон распределения количества стандартных деталей в данной выборке:

Автор: Емелин Александр


 Блог Емелина Александра

Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу)

Как можно отблагодарить автора?

Качественные работы без плагиата – Zaochnik.com


© Copyright mathprofi.ru, Александр Емелин, 2010-2017. Копирование материалов сайта запрещено