Высшая математика – просто и доступно! Если сайт упал, используйте ЗЕРКАЛО: mathprofi.net Наш форум, библиотека и блог: mathprofi.com | |||
Математические формулы,
Высшая математика для чайников, или с чего начать? Аналитическая геометрия:
Векторы для чайников
Элементы высшей алгебры:
Множества и действия над ними
Пределы:
Пределы. Примеры решений
Производные функций:
Как найти производную?
Функции и графики:
Графики и свойства ФНП:
Область определения функции Интегралы:
Неопределенный интеграл.
Дифференциальные уравнения:
Дифференциальные уравнения первого порядка
Числовые ряды:
Ряды для чайников
Функциональные ряды:
Степенные ряды
Кратные интегралы:
Двойные интегралы
Элементы векторного анализа:
Основы теории поля
Комплексный анализ:
ТФКП для начинающих
Теория вероятностей:
Основы теории вероятностей
Математическая статистика:
Математическая статистика
Не нашлось нужной задачи? Не получается пример?
Часто задаваемые вопросы Заметили опечатку / ошибку? |
Линейные преобразования для «чайников»На двух ближайших уроках я вкратце расскажу вам ещё об одном разделе высшей алгебры, который касается линейных преобразований… и тут сразу, заметьте, напрашивается добавить «преобразований чего-то». Тема обширная, тема интересная, и моя скромная задача состоит в том, чтобы в доступной форме донести до читателя её основы. В этой связи статья будет посвящена не только абстрактным алгебраическим вопросам, но и наполнена богатым геометрическим содержанием. Кроме того, сегодня мы обобщим такое важное понятие как вектор, имеющий к сему содержанию лишь частное отношение. Есть ли среди вас начинающие изучать высшую математику? …хотя, чего тут спрашивать, конечно же, есть… – не смогли ведь пройти мимо заголовка! …Ну вот вы мне и попались, голубчики =) Для эффективного изучения материала нужно знать основы алгебры, аналитической геометрии, а также уметь выполнять действия с матрицами. На самом деле всё довольно просто, но если у вас возникнут вопросы (или уже встретился какой-то непонятный термин), то, пожалуйста, воспользуйтесь ссылками. Обобщение понятия вектора. Векторное пространствоОжидание казни хуже самой казни и поэтому лучше сразу почувствовать леденящий холодок настоящей алгебры =) Начнём с обещанного разбора полётов, а именно с понятия вектора. Давайте вспомним, что мы о нём знаем. Палочка со стрелочкой, знакомая ещё из школы. В высшей математике эта палочка «поднялась» до свободного вектора плоскости и пространства. Хорошо…. Далее слово «вектор» встретилось нам в ходе изучения матриц. Так, например, матрицу «один на два» мы называем вектором-строкой, а матрицу «три на один» – вектором-столбцом. Это векторы? Да, это векторы! Причём эти векторы сами по себе не имеют никакого отношения к геометрии. В своих статьях по алгебре я неоднократно оговаривался, что «данный вектор нужно понимать в алгебраическом смысле» и на уроке о ранге матрицы привёл краткую теоретическую справку по этому поводу: вектор – это упорядоченный набор чисел (обычно действительных)… и далее по тексту. А вот это уже более близко к истине: здесь, скажем, двумерный вектор понимается именно как упорядоченная пара чисел, которую, в частности можно интерпретировать, как координаты геометрического вектора. Или как решение системы линейных уравнений (см., например, статью об однородных системах). Или ещё как-нибудь. Но и это частность! На самом деле в определённом контексте векторами являются матрицы, многочлены, функции и т.д. …и даже наши «обычные» действительные числа! А почему нет? Пожалуйста: множество векторов (никаких геометрических ассоциаций!), имеющих в наборе одно действительное число . Так что же такое вектор? Что объединяет все эти случаи? Предположим, что для всех элементов некоторого множества определены операции их сложения и умножения на скаляр , причём результаты этих операций (полученные элементы) тоже принадлежат данному множеству. Если при этом выполнены следующие восемь аксиом (см. по ссылке), то рассматриваемые элементы называются векторами (никаких ассоциаций!!), а всё их множество – векторным или линейным пространством Обратите внимание на обозначения: абстрактный вектор чаще всего записывают жирной буквой – чтобы не возникало путаницы с различными «конкретными» векторами. Для векторного пространства стандартно используется буква . Итак, какие бы «частные семейства» векторов мы ни взяли (геометрические, матричные, строковые и т.д.) – для каждой из этих алгебраических структур справедливо следующее: – все элементы рассматриваемого множества можно складывать и умножать на скаляр (далее работаем с действительными числами), причём результаты этих операций тоже принадлежат данному множеству. – для операций сложения и умножения выполнены аксиомы векторного пространства. И здесь следует отметить, что термины «сложение» и «умножение» тоже носят общий символический смысл – в зависимости от природы того или иного векторного пространства эти операции определяются по-разному. В курсе линейной алгебры проводится скрупулезная проверка различных множеств на предмет того, образуют ли они линейное пространство. И если удастся определить сложение и умножение на скаляр медведей на велосипеде и доказать для данных операций выполнение указанных 8 аксиом, то векторами будут и эти объекты =) А теперь к основной теме урока: Что такое линейное преобразование?Если в линейном пространстве каждому вектору по некоторому правилу поставлен в соответствие вектор этого же пространства, то говорят, что в данном пространстве задана векторная функция векторного аргумента: (во избежание разночтений с другими математическими записями скобки нередко опускают: ). Данная функция называется линейным преобразованием, если для неё выполнены пресловутые свойства линейности, с которыми вы ещё не раз столкнётесь в ходе изучения высшей математики: , Линейное преобразование также называют линейным оператором. Следующий пример оброс не только бородой, но и волосами на спине: рассмотрим линейное пространство векторов-строк вида , в котором определены операция сложения и умножения вектора на число . Никакой геометрии!!! – то, что я сформулировал в статье о ранге матрицы, называется Докажем, что функция векторного аргумента является линейным преобразованием. Доказательство состоит в проверке свойств линейности:
Читателям, которым предстоит изучать теорию высшей алгебры, следует привыкнуть к таким доказательствам. Беспощадно формально, но, как сказали бы древние римляне, Dura algebra sed algebra =) Таким образом, – это линейное преобразование. Разумеется, далеко не всякий оператор является линейным, и в других источниках информации можно найти массу примеров, как на удачную, так и неудачную проверку различных преобразований на линейность. И со строгостью доказательств на практике обычно всё попроще, …хотя, тут от преподавателя зависит – и по-хорошему, в математике ещё нужно обосновать, почему «ноль не равен единице». Ну а сейчас мы спускаемся на землю грешную и переходим к геометрическому смыслу линейных преобразований. Пусть – это множество геометрических векторов плоскости. Для простоты рассмотрим привычный ортонормированный базис и прямоугольную систему координат . Если задан какой-либо базис, то линейное преобразование удобнее представить в матричном виде. Как записать оператор в виде матрицы? На этот счёт существует общее правило: чтобы записать матрицу линейного преобразования в -мерном базисе нужно последовательно и строго по порядку применять данный оператор к базисным векторам, а результаты заносить в столбцы матрицы (слева направо). Наш случай элементарен: сначала применим линейное преобразование к первому базисному вектору: и запишем результат в 1-й столбец: . Затем «обрабатываем» 2-й орт: и заносим полученные координаты во 2-й столбец: – матрица линейного преобразования в базисе . Протестируем построенную матрицу с помощью вектора . Для этого «уложим» его координаты в вектор-столбец и выполним следующее матричное умножение: Поскольку любая точка плоскости однозначно определяется её радиус-вектором ( – начало координат), то матрица преобразования, по существу, применима и к координатам точек. И далее для простоты я буду говорить, что, например, точка : Наверное, все уже поняли, что делает этот оператор. Мысленно представьте произвольный треугольник на плоскости. После применения рассматриваемого линейного преобразования данный треугольник увеличится в два раза. Такие треугольники (имеющие равные соответствующие углы), как многие помнят из школы, называются подобными. Да и сам оператор носит такое же название: Линейное преобразование называется преобразованием подобия или гомотетией, причём: – если , то речь идёт об однородном растяжении (увеличении) объектов плоскости в раз; При имеет место так называемое нулевое преобразование. Следует отметить, что на прикладном и «любительском» уровне линейные преобразования чаще всего как раз и ассоциируются именно с геометрическими преобразованиями. Рассмотрим ещё несколько популярных примеров по теме, и, чтобы разнообразить серые геометрические будни, мысленно нарисуем на координатной плоскости кошачью морду. Можно и не мысленно =) …Представили? Нарисовали? Отлично! Преобразование растягивает объекты плоскости по направлению вектора (горизонтали) в 2 раза, после чего кот Леопольд радует нас своей широкой-широкой улыбкой! …хотя у многих, наверное, не кот… да и не факт, что с улыбкой… – как говорится, у каждого в голове своя морда =) И в самом деле, преобразуем точку : Преобразование сожмёт кота по горизонтали в 3 раза. Желающие могут по ходу объяснений Преобразование вытянет все ненулевые объекты плоскости по направлению вектора (по вертикали) в полтора раза. Это будет очень удивлённый кот.... Дополнительные знаки «минус» приведут к зеркальному отображению объектов (относительно оси ординат либо начала координат). – образно говоря, «челюсть налево, лоб направо». Это преобразование называется перекосом или сдвигом плоскости в направлении вектора (в данном случае). – данное преобразование поворачивает векторы системы против часовой стрелки на угол . И, наконец, венчает все эти метаморфозы ещё один лохматый пример: А тут уж дело случая – может получиться, как комната смеха, так и комната страха – зависит от того или иного преобразования. Из вышесказанного нетрудно понять, что в базисе любой квадратной матрице «два на два» соответствует некоторое линейное преобразование, и наоборот любому линейному преобразованию соответствует своя матрица «два на два». И данный факт справедлив вообще для любого аффинного базиса , причём одно и то же линейное преобразование в разных базисах будет иметь в общем случае разные матрицы (что следует из самого принципа формирования этих матриц). По аналогичной схеме можно рассмотреть векторы нашего трёхмерного пространства, с тем отличием, что преобразований будет больше, преобразования будут веселее. И, разумеется, линейные преобразования «работают» в векторных пространствах бОльшей размерности, однако там они уже далеки от геометрии. Разминаемся: Пример 1 В некотором аффинном базисе задано линейное преобразование . Найти образ точки . Используя обратное преобразование, выполнить проверку. Решение: потихоньку нагружаю вас терминологией: образ – это то, что должно получиться в результате преобразования. В данном случае, очевидно, должна получиться некоторая точка . Исходная точка , соответственно, является прообразом. ! Надеюсь, все понимают, что штрихи в данном контексте не имеют никакого отношения к производным. Образы векторов и точек мы уже неоднократно находили выше: Таким образом, линейное преобразование перевело точку в точку . Теперь найдём матрицу обратного преобразования, которое превращает образы векторов и точек обратно в их прообразы. Для этого запишем простейшее матричное уравнение (где – координатный столбец прообразов, а – образов) и для его разрешения относительно умножим обе части на обратную матрицу слева: «Развернём» уравнение в привычном порядке: Обратную матрицу можно найти через алгебраические дополнения либо методом Гаусса-Жордана, но здесь я рекомендую первый способ, поскольку он позволит быстро выяснить, а существует ли матрица вообще. Заряжаем стандартный алгоритм. Сначала вычислим определитель: Здесь и далее я не буду подробно расписывать процесс нахождения обратной матрицы. Итак, в результате стандартных действий находим и выясняем, во что превратится найденная точка : – получены координаты исходной точки , что и требовалось проверить. Ответ: Следует отметить, что обратное преобразование осуществимо далеко не всегда. Так бывает, например, при проектировании векторов на координатные оси или при тривиальном нулевом преобразовании. В таких случаях определитель матрицы прямого оператора равен нулю и обратной матрицы не существует. Творческая задача для самостоятельного решения: Пример 2 В результате применения оператора в некотором базисе получены образы . Найти прообразы данных векторов. Краткое решение и ответ в конце урока. Обратите внимание, что формулировка данной задачи вовсе не утверждает, что речь идёт именно о геометрических векторах. Как оно, собственно, и бывает в большинстве типовых заданий, которые для полного комфорта оформляются малопонятной клинописью: Пример 3 Даны два линейных преобразования: Спокойно, спокойно, сейчас во всём разберёмся… Средствами матричного исчисления найти преобразование, выражающее через . Решение: и как раз первое, что здесь можно сказать – это отсутствие информации о характере векторов . Известно только, что они заданы в некотором базисе, ибо матрица линейного преобразования НЕ МОЖЕТ существовать без базиса (т.к. она порождается базисными векторами). Сам базис нам тоже не известен, но для решения задачи информация о нём и не нужна. Тем не менее, для пущего понимания предположим, что все дела происходят в обычной декартовой системе координат . И, чтобы не прослыть живодёром, я рассмотрю 3D-модель кота Леопольда =) Запишем матрицу левого преобразования: . Данное преобразование переводит векторы в образы . Систему, кстати, удобнее переписать в виде уже знакомого матричного уравнения: Данный оператор определённым образом преобразует все векторы (а значит и точки) пространства. Геометрически это означает, что кот Леопольд, оказывается, например, сплющенным (не знаю, не проверял). Теперь ВНИМАТЕЛЬНО записываем матрицу второго преобразования: (здесь существует немалый риск поставить ноль не там где нужно). Данное преобразование переводит векторы в образы , в результате чего «сплющенный кот», скажем, растягивается вдоль какой-нибудь плоскости. Аналогично – запишем преобразование в матричном виде: По условию, нужно найти результирующее (композиционное) преобразование, которое нам сразу даст «сплющенного и растянутого Леопольда». Подставим в уравнение : Всё оказалось до безобразия просто – главное, матрицы перемножить в правильном порядке. Вычислим матрицу композиционного преобразования: В результате: Осуществим матричное умножение в правой части: Две матрицы равны, если равны их соответствующие элементы. Таким образом, итоговое преобразование, выражающее координаты векторов-образов через координаты векторов-прообразов, запишется в виде следующей системы: Выполним проверку. Для этого подставим уравнения , левой системы (см. условие) в правую часть каждого уравнения 2-й системы:
Что и требовалось проверить. Этот способ, кстати, можно было бы рискнуть взять и за основной, если бы итоговое преобразование не требовалось найти средствами матричного исчисления Ответ: Как пользоваться этой системой? Очень просто – берём например, вектор и тупо подставляем его координаты: Более академичный способ – использование матричного уравнения . Энтузиасты могут смоделировать деформацию кота Леопольда с помощью специализированного программного обеспечения и отправить мне картинку, которую я обязательно опубликую. Мне и самому интересно, что же там с ним на самом деле произошло =) И такой энтузиаст нашёлся! – Леопольд,… выходи в 3d 8^)! Он и в самом деле оказался довольно сильно «сплюснутым и растянутым». Модель реализована в среде Wolfram Mathematica, вот картинка с другого ракурса, и это, к слову, уже дополнительное линейное преобразование. Выражаю особую благодарность всем, кто присылает свои решения, на сайте есть немало творческих задач и предложений, порой, даже жестоких :) В том случае, если нужно «вернуть кота к первоначальному виду», следует найти обратную матрицу результирующего преобразования и воспользоваться уравнением . «Плоский» случай для самостоятельного решения: Пример 4 Даны два линейных преобразования в некотором базисе: Найти образ вектора двумя способами: 1) путём последовательного применения преобразований и ; Был велик соблазн вас запутать, но всё же я воздержался. Однако на практике нужно иметь в виду следующее: – системы запросто могут быть переставлены местами; – условие задачи может требовать выразить через и тогда потребуется дополнительно находить обратную матрицу результирующего преобразования; В этой связи очень важно РАЗОБРАТЬСЯ в сути задания, и если что-то осталось недопонятым, обязательно перечитайте объяснения ещё раз – не лишним будет даже порисовать. А сейчас переходим к вопросу, который назревал в течение всего урока: Матрица линейного преобразования в различных базисахВ начале статьи мы выяснили происхождение матрицы линейного преобразования на примере оператора и ортонормированного базиса . Напоминаю: для того, чтобы записать матрицу линейного оператора в каком-либо базисе, нужно строго по порядку подействовать этим оператором на базисные векторы и полученные координаты занести в столбцы матрицы (слева направо). В результате «обработки» векторов нами была составлена матрица данного линейного преобразования в данном базисе. Но ведь на «школьном» базисе свет клином не сошёлся! Ничто нам не мешает перейти к произвольному базису , где это же линейное преобразование, скорее всего, выразится другой матрицей. Но сам-то оператор не изменится – он будет по-прежнему увеличивать векторы плоскости в 2 раза. Таким образом, справедливо следующее утверждение, которое по существу уже было озвучено ранее: одно и то же линейное преобразование в разных базисах в общем случае имеет РАЗНЫЕ матрицы. И следующие две задачи как раз посвящены этому вопросу: Пример 5 В базисе задано линейное преобразование . Найти матрицу данного преобразования в базисе , если Решение: в условии задачи опять ничего не сказано о характере векторов, но для наглядности предположим, что данные базисы являются аффинными базисами плоскости. Как заметили внимательные читатели, предложенное линейное преобразование вытягивает все ненулевые объекты плоскости в направлении координатного вектора в 2 раза, и наша задача состоит в том, чтобы записать матрицу этого же преобразования в новом базисе . Для решения этого вопроса существует специальная формула: , где – матрица перехода от базиса к базису . Составляется она просто: берём вектор и «укладываем» коэффициенты его разложения (внимание!) в 1-й столбец матрицы: . Затем рассматриваем вектор и заносим коэффициенты его разложения во 2-й столбец:
Внимание! Базисные векторы, в данном случае векторы , следует «перебирать» строго по порядку! Остальное дело техники. Находим обратную матрицу: Произведение: И, наконец, матрицу рассматриваемого линейного преобразования в новом базисе: Пользуясь ассоциативностью матричного умножения, можно было сначала найти , а затем , но, в общем-то, это уже несущественные детали. Ответ: Ещё раз повторим смысл задания: само линейное преобразование не поменялось – оно по-прежнему растягивает ненулевые объекты плоскости вдоль «старого» вектора в 2 раза и не деформирует их в направлении вектора , но в новом базисе матрица данного преобразования уже другая. И вы видите её в ответе. Очевидно, что найденная матрица задаёт обратное преобразование, т. е. выражает старые базисные векторы через новые. Аккуратно «транспонируем» столбцы матрицы в коэффициенты соответствующей системы: . Таким образом, при желании всегда можно вернуться к старому базису: . Обратная формула следует из простых логических соображений, но её можно вывести и формально – разрешив матричное уравнение относительно . Иногда матрицы и называют подобными. Какой базис удобнее? Ну конечно, исходный , где матрица преобразования имеет вид , и сразу виднА характерная особенность этого преобразования. А что это за такой интересный базис, и как отыскать эту матрицу, вы узнаете на уроке о собственных векторах. Трехмерный случай для самостоятельного решения: Пример 6 Найти матрицу линейного преобразования в базисе , где , , , если она задана в базисе . Пожалуйста, не путайте это задание с Примером № 3 – по первой оглядке здесь тоже какие-то похожие равенства, тоже штрихи, но смысл совершено другой. Если там шла речь о двух линейных преобразованиях и взаимосвязи координат векторов, то здесь – об одном и том же преобразовании и взаимосвязи векторов двух базисов. Краткое решение и ответ совсем рядом. И в завершении урока вернёмся к двумерному случаю и матрицам «два на два». Казалось бы, с геометрической точки зрения эти матрицы задают линейные преобразования плоскости и разговор закончен. Но на самом деле это не так – у матриц есть и другой геометрический смысл, с которым можно ознакомиться на уроке Переход к новому базису. Сначала я хотел включить пару соответствующих примеров в эту статью, но чуть позже решил, что материал будет уместнее опубликовать в разделе аналитической геометрии. Ну и конечно, не забываем, что рассматриваемый материал касается не только геометрических векторов плоскости и пространства, но и вообще любых векторов. Спасибо за внимание, жду вас на следующем, не менее увлекательном уроке о собственных числах и собственных векторах линейного преобразования. Решения и ответы: Пример 2 Решение: найдём матрицу обратного преобразования: Пример 4. Решение: запишем матрицы преобразований: Пример 6. Решение: используем формулу . Запишем матрицу перехода к новому базису: Автор: Емелин Александр Высшая математика для заочников и не только >>> (Переход на главную страницу) Как можно отблагодарить автора? |
© Copyright Александр Емелин, mathprofi.ru, 2010-2024, сделано в Блокноте |