Высшая математика – просто и доступно!

Если сайт упал, используйте ЗЕРКАЛО: mathprofi.net

Наш форум, библиотека и блог: mathprofi.com

Высшая математика:

Математика для заочников

Математические формулы,
таблицы и другие материалы

Книги по математике

Математические сайты

+-*/^ Удобный калькулятор

+ «Дробовик»   

Учимся решать:

  Карта сайта

Не нашлось нужной задачи?
Сборники готовых решений!

Не получается пример?
Задайте вопрос на форуме!
>>> mathprofi

Обратная связь:

Часто задаваемые вопросы
Гостевая книга Отблагодарить автора >>>

Заметили опечатку / ошибку?
Пожалуйста, сообщите мне об этом

Карта сайта

---

Как вычислить площадь фигуры и объём тела вращения,
если линия задана параметрически?

На занятиях Вычисление площади с помощью определённого интеграла и Объем тела вращения мы рассмотрели два самых важных приложения определённого интеграла, в которых демонстрационная криволинейная трапеция ограничена осью абсцисс, отрезками прямых  и графиком функции , которая непрерывна и не меняет знак на отрезке «а-бэ». Но в некоторых практических заданиях функция может быть задана в параметрическом виде , и наша сегодняшняя задача – научиться считать площадь и объем, если вышла такая незадача =) Понятие параметрической формы я достаточно подробно раскрыл в статье о производной параметрически заданной функции, и в курсе аналитической геометрии на уроках об уравнении прямой на плоскости и уравнениях прямой в пространстве.

Встречайте старую знакомую:

Криволинейную трапецию гордо венчает график , и, как вы знаете, её площадь рассчитывается с помощью определённого интеграла по элементарной формуле  или, если короче: .

Рассмотрим ситуацию, когда эта же функция задана в параметрическом виде .

Как найти площадь в этом случае?

При некотором вполне конкретном значении параметра  параметрические уравнения будут определять координаты точки , а при другом вполне конкретном значении  – координаты точки . Когда «тэ» изменяется от  до  включительно, параметрические уравнения как раз и «прорисовывают» кривую . Думаю, на счёт пределов интегрирования стало всё понятно. Теперь в интеграл  вместо «икса» и «игрека» подставляем функции  и раскрываем дифференциал:

Примечание: подразумевается, что функции  непрерывны на промежутке интегрирования и, кроме того, функция  монотонна на нём.

Формула объёма тела вращения получается так же просто:

Объём тела, получаемого вращением криволинейной трапеции вокруг оси , рассчитывается по формуле  или: . Подставляем в неё параметрические функции , а также пределы интегрирования :

Пожалуйста, занесите обе рабочие формулы в свой справочник.

По моим наблюдениям, задачи на нахождение объёма встречаются довольно редко, и поэтому значительная часть примеров данного урока будет посвящена нахождению площади. Не откладываем дело в долгий ящик:

Пример 1

Вычислить площадь криволинейной трапеции , если

Решение: используем формулу .

Сначала найдём производную. Дифференцирование осуществляется, само собой, по переменной «тэ», для краткости записи я не буду рисовать подстрочный индекс:
.

Таким образом:

Ответ:

И сразу проанализируем важный вопрос:

Нужно ли в рассматриваемом типе задач выполнять чертёж?

Отвечу так: если повезёт с заданием, то можно и не выполнять. Как, например, в только что решенном примере, где само условие «заточено» под формулу, и чертёж с фигурой, площадь которой необходимо рассчитать, по существу, и не нужен.

Однако даже в очень простых случаях нас могут поджидать неожиданные сюрпризы. Так… сейчас придумаю что-нибудь… вот: вычислить площадь криволинейной трапеции , давайте с теми же пределами изменения параметра «тэ» от 1 до 4.

Найдём производную:
Площадь:

Но площадь не может быть отрицательной! Где ошибка?

В подобной ситуации, прежде всего, нужно проверить само решение. Выполняем тщательную проверку и убеждаемся, что с техникой всё в порядке. А может быть фигура расположена под осью , и поэтому изначально следовало поставить знак «минус» перед интегралом? Анализируем функцию , «отвечающую за игреки». Нет – она вообще неотрицательна при любом допустимом значении параметра, а значит, фигура расположена выше оси абсцисс. Так почему же площадь получилась со знаком «минус»?!

Разгадка в следующем: параметр «тэ» изменяется в пределах , но при его увеличении функция  убывает. Что это значит геометрически? Это значит, что мы двигаемся по оси  влево, и соответственно, параметрические уравнения  «прочерчивают» линию справа налево. Но площадь криволинейной трапеции традиционно рассчитывается слева направо! Отсюда и «минус».

В этой связи корректное решение оформляется примерно так: «нижнему пределу интегрирования соответствует значение , а верхнему пределу интегрирования – значение , таким образом: ». Здесь мы «заставили убывать сам параметр», чтобы интегрирование проходило в «правильном» направлении.

Но на практике распространён и другой вариант: перед исходным интегралом изначально ставится «минус»:  с предварительным комментарием, что функция  убывает на промежутке  (а то и без всяких пояснений ;-)).

Как видите, даже в таком простом примере волей-неволей пришлось прибегнуть к анализу (пусть и устному) геометрической информации, а во многих случаях без чертежа и вовсе обойтись очень трудно. Но беда в том, что изобразить график функции, заданной параметрически, не так-то просто и не так-то быстро, поэтому я рекомендую пользоваться программными средствами, например, моим графопостроителем.

Классическая задача по теме, которая разбирается всегда и везде:

Пример 2

Вычислить площадь эллипса

Решение: для определённости полагаем, что параметрические уравнения задают канонический эллипс с центром в начале координат, большой полуосью «а» и малой полуосью «бэ». То есть, по условию нам предложено не что иное, как

найти площадь эллипса

Очевидно, что параметрические функции периодичны, и . Казалось бы, можно заряжать формулу, однако не всё так прозрачно. Выясним направление, в котором параметрические уравнения «вычерчивают» эллипс. В качестве ориентира найдём несколько точек, которые соответствуют наиболее простым значениям параметра:

Легко уловить, что при изменении параметра «тэ» от нуля до «двух пи» параметрические уравнения «вычерчивают» эллипс против часовой стрелки:

В силу симметричности фигуры, вычислим часть площади в 1-й координатной четверти, а результат умножим на 4. Здесь мы наблюдаем принципиально такую же картину, которую я комментировал чуть выше: параметрические уравнения «прорисовывают» дугу эллипса «в противоход» оси , но площадь фигуры считается слева направо! Поэтому  нижнему пределу интегрирования соответствует значение , а верхнему пределу – значение .

Как я уже советовал на уроке Площадь в полярных координатах, учетверить результат лучше сразу же:

Интеграл  (если у кого-то вдруг обнаружился такой невероятный пробел) разобран на уроке Интегралы от тригонометрических функций.

Ответ:

По сути, мы вывели формулу для нахождения площади эллипса. И если на практике вам встретится задача с конкретными значениями «а» и «бэ», то вы легко сможете выполнить сверку/проверку, поскольку задача решена в общем виде.

Площадь эллипса рассчитывается и в прямоугольных координатах, для этого из уравнения  необходимо выразить «игрек» и решить задачу точь-в-точь по образцу Примера №4 статьи Эффективные методы решения определённых интегралов. Обязательно посмотрите на этот пример и сравните, насколько проще вычислить площадь эллипса, если он задан параметрически.

И, конечно же, чуть не забыл, параметрические уравнения  могут задавать окружность либо эллипс в неканоническом положении.

Пример 3

Вычислить площадь одной арки циклоиды

Чтобы решить задачу, нужно знать, что такое циклоида или хотя бы чисто формально выполнить чертеж. Примерный образец оформления в конце урока. Впрочем, не буду вас отправлять за тридевять земель, на график этой линии можно посмотреть в следующей задаче:

Пример 4

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями

Решение: параметрические уравнения  задают циклоиду, и ограничение  указывает на тот факт, что речь идёт о её первой арке, которая «прорисовывается», когда значение параметра изменяется в пределах . Заметьте, что здесь «правильное» направление этой «прорисовки» (слева направо), а значит, не возникнет заморочек с пределами интегрирования. Но зато появится куча других прикольных вещей =) Уравнение  задаёт прямую, параллельную оси абсцисс и дополнительное условие  (см. линейные неравенства) сообщает нам о том, что нужно вычислить площадь следующей фигуры:

Следующая задача для самостоятельного решения:

Пример 5

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями

Кратко систематизируем алгоритм решения:

– В большинстве случаев придётся выполнить чертёж и определить фигуру, площадь которой требуется найти.

– На втором шаге следует понять, каким образом рассчитывается искомая площадь: это может быть одиночная криволинейная трапеция, может быть разность площадей, может быть сумма площадей – короче говоря, все те фишки, которые мы рассматривали на уроке Вычисление площади с помощью определённого интеграла.

– На третьем шаге надо проанализировать, целесообразно ли пользоваться симметрией фигуры (если она симметрична), после чего узнать пределы интегрирования (начальное и конечное значение параметра). Обычно для этого необходимо решить простейшее тригонометрическое уравнение – здесь можно использовать аналитический метод, графический метод или бесхитростный подбор нужных корней по тригонометрической таблице.

! Не забываем, что параметрические уравнения могут «прорисовывать» линию и справа налево, в этом случае делаем соответствующую оговорку и поправку в рабочей формуле.

– И на завершающем этапе проводятся технические вычисления. Правдоподобность полученного ответа всегда приятно оценить по чертежу.

А сейчас долгожданная встреча со звёздой:

Пример 6

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями

Решение: кривая, заданная уравнениями  является астроидой, и линейное неравенство  однозначно определяет заштрихованную на чертеже фигуру:

Да, тяжеловато приходится со звёздами =)

Следующее задание для продвинутых студентов:

Пример 7

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями

Для его решения будет достаточно материалов, которые мы уже рассмотрели, но привычный путь весьма долог, и сейчас я расскажу ещё об одном эффективном методе. Идея на самом деле знакома из урока Вычисление площади с помощью определённого интеграла – это интегрирование по переменной «игрек» и использование формулы . Подставляя в неё параметрические функции , получаем зеркальную рабочую формулу:

Действительно, ну а чем она хуже «стандартной»? В этом состоит ещё одно преимущество параметрической формы – уравнения  способны исполнять роль не только «обычной» , но одновременно и обратной функции .

В данном случае предполагается, что функции  непрерывны на промежутке интегрирования и функция  монотонна на нём. Причём, если  убывает на промежутке интегрирования (параметрические уравнения «прорисовывают» график «в противоход» (внимание!!) оси ), то следует по уже рассмотренной технологии переставить пределы интегрирования либо изначально поставить «минус» перед интегралом.

Решение и ответ Примера №7 в конце урока.

Заключительный мини-раздел посвящен более редкой задаче:

Как найти объем тела вращения,
если фигура ограничена параметрически заданной линией?

Актуализируем формулу, выведенную в начале урока: . Общая методика решения точно такая же, как и при нахождении площади. Выдерну немногочисленные задачи из своей копилки:

Пример 8

Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси   криволинейной трапеции, ограниченной линией , если .

Решение: всё подано в лучшем виде, осталось не оплошать в вычислениях:

Ответ:

Теперь ваш черёд:

Пример 9

Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси   эллипса

Данная поверхность вращения называется эллипсоидом вращения или сфероидом.
А в случае равенства  получится в точности сфера и, соответственно, объём ограниченного ей шара. Кстати, объём данного тела вращения довольно легко вычислить и в декартовых координатах, поскольку подынтегральная функция в формуле  ликвидирует квадратный корень. Желающие могут выразить «игрек» из уравнения  и решить задание вторым способом.

Помимо простейших примеров вполне могут встретиться задачи, где придётся выполнить чертёж и находить объём тела вращения как разность объемов тел вращения (или наоборот, сумму), то есть использовать уже знакомые из статьи Объем тела вращения приёмы. Кроме того, по аналогии с предыдущим параграфом, легко вывести вторую формулу: , с помощью которой рассчитывается объём тела вращения вокруг оси ординат. Но вероятность встретить такие вещи крайне мала, по крайне мере, лично я не припоминаю, что решал такие задания – вся надежда на вас =)

Желаю успехов!

Решения и ответы:

Автор: Емелин Александр

Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу)

Как можно отблагодарить автора?

Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам,

cкидкa 15% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-hihi5

© Copyright  Александр Емелин, mathprofi.ru, 2010-2024, сделано в Блокноте