Высшая математика – просто и доступно!

Если сайт упал, используйте ЗЕРКАЛО: mathprofi.net

Наш форум, библиотека и блог: mathprofi.com

Высшая математика:

Математика для заочников

Математические формулы,
таблицы и другие материалы

Книги по математике

Математические сайты

+-*/^ Удобный калькулятор

+ «Дробовик»   

Учимся решать:

  Карта сайта

Не нашлось нужной задачи?
Сборники готовых решений!

Не получается пример?
Задайте вопрос на форуме!
>>> mathprofi

Обратная связь:

Часто задаваемые вопросы
Гостевая книга Отблагодарить автора >>>

Заметили опечатку / ошибку?
Пожалуйста, сообщите мне об этом

Карта сайта

---

Производная функции, заданной неявно.
Производная параметрически заданной функции

В данной статье мы рассмотрим еще два типовых задания, которые часто встречаются в контрольных работах по высшей математике. Для того чтобы успешно освоить материал, необходимо уметь находить производные хотя бы на среднем уровне. Научиться находить производные практически с нуля можно на двух базовых уроках Как найти производную? Примеры решений и Производная сложной функции. Если с навыками дифференцирования всё в порядке, тогда поехали.

Производная функции, заданной неявно

Или короче – производная неявной функции. Что такое неявная функция? Давайте сначала вспомним само определение функции одной переменной:

Функция одной переменной  – это правило, по которому каждому значению независимой переменной  соответствует одно и только одно значение функции .

Переменная  называется независимой переменной или аргументом.
Переменная  называется зависимой переменной или функцией.

До сих пор мы рассматривали функции, заданные в явном виде. Что это значит? Устроим разбор полётов на конкретных примерах.

Рассмотрим функцию

Мы видим, что слева у нас одинокий «игрек», а справа – только «иксы». То есть, функция  в явном виде выражена через независимую переменную .

Рассмотрим другую функцию:  

Здесь переменные  и  расположены «вперемешку». Причем никакими способами невозможно выразить «игрек» только через «икс». Что это за способы? Перенос слагаемых из части в часть со сменой знака, вынесение за скобки, перекидывание множителей по правилу пропорции и др. Перепишите равенство  и попробуйте выразить «игрек» в явном виде: . Можно крутить-вертеть уравнение часами, но у вас этого не получится.

Разрешите познакомить:  – пример неявной функции.

В курсе математического анализа доказано, что неявная функция существует (однако не всегда), у неё есть график (точно так же, как и у «нормальной» функции). У неявной функции точно так же существует первая производная, вторая производная и т.д. Как говорится, все права секс-меньшинств соблюдены.

И на этом уроке мы научимся находить производную от функции, заданной неявно. Это не так сложно! Все правила дифференцирования, таблица производных элементарных функций остаются в силе. Разница в одном своеобразном моменте, который мы рассмотрим прямо сейчас.

Да, и сообщу хорошую новость – рассмотренные ниже задания выполняются по довольно жесткому и чёткому алгоритму без камня перед тремя дорожками.

Пример 1

Найти производную от функции, заданной неявно

1) На первом этапе навешиваем штрихи на обе части:

2) Используем правила линейности производной (первые два правила урока Как найти производную? Примеры решений):

3) Непосредственное дифференцирование.
Как дифференцировать  и  совершенно понятно. Что делать там, где под штрихами есть «игреки»?

 – просто до безобразия, производная от функции равна её производной: .

Как дифференцировать
Здесь у нас сложная функция. Почему? Вроде бы под синусом всего одна буква «игрек». Но, дело в том, что всего одна буква «игрек» – САМА ПО СЕБЕ ЯВЛЯЕТСЯ ФУНКЦИЕЙ (см. определение в начале урока). Таким образом, синус – внешняя функция,  – внутренняя функция. Используем правило дифференцирования сложной функции :

Произведение дифференцируем по обычному правилу :

Обратите внимание, что  – тоже сложная функция, любой «игрек с наворотами» – сложная функция:

Само оформление решения должно выглядеть примерно так:


Если есть скобки, то раскрываем их:

4) В левой части собираем слагаемые, в которых есть «игрек» со штрихом. В правую часть – переносим всё остальное:

5) В левой части выносим производную  за скобки:

6) И по правилу пропорции сбрасываем эти скобки в знаменатель правой части:

Производная найдена. Готово.

Интересно отметить, что в неявном виде можно переписать любую функцию. Например, функцию   можно переписать так: . И дифференцировать её по только что рассмотренному алгоритму. На самом деле фразы «функция, заданная в неявном виде» и «неявная функция» отличаются одним смысловым нюансом. Фраза «функция, заданная в неявном виде» более общая и корректная,   – эта функция задана в неявном виде, но здесь можно выразить «игрек» и представить функцию в явном виде. Под словами же «неявная функция» чаще понимают «классическую» неявную функцию, когда «игрек» выразить нельзя.

Следует также отметить, что «неявное уравнение»  может неявно задавать сразу две или даже бОльшее количество функций, так, например, уравнение окружности неявно задаёт функции , , которые определяют полуокружности. Но, в рамках данной статьи, мы не будем делать особого различия между терминами и нюансами, это была просто информация для общего развития.

Второй способ решения

Внимание! Со вторым способом можно ознакомиться только в том случае, если Вы умеете уверенно находить частные производные. Начинающие изучать математический анализ и чайники, пожалуйста, не читайте и пропустите этот пункт, иначе в голове будет полная каша.

Найдем производную неявной функции  вторым способом.

Переносим все слагаемые в левую часть:

И рассматриваем функцию двух переменных:

Тогда нашу производную можно найти по формуле
Найдем частные производные:

Таким образом:

Второй способ решения позволяет выполнить проверку. Но оформлять им чистовой вариант задания нежелательно, поскольку частные производные осваивают позже, и студент, изучающий тему «Производная функции одной переменной», знать частные производные как бы еще не должен.

Рассмотрим еще несколько примеров.

О том, как найти производную 2-го, 3-го и более высоких порядков от неявно заданной функции, читайте в статье Производные высших порядков.

Производная параметрически заданной функции

Не напрягаемся, в этом параграфе тоже всё достаточно просто. Можно записать общую формулу параметрически заданной функции, но, для того, чтобы было понятно, я сразу запишу конкретный пример. В параметрической форме функция задается двумя уравнениями: . Частенько уравнения записывают не под фигурными скобками, а последовательно: , .

Переменная  называется параметром и может принимать значения от «минус бесконечности» до «плюс бесконечности». Рассмотрим, например, значение  и подставим его в оба уравнения: . Или по человечески: «если икс равен четырем, то игрек равно единице». На координатной плоскости можно отметить точку , и эта точка будет соответствовать значению параметра . Аналогично можно найти точку для любого значения параметра «тэ». Как и для «обычной» функции, для американских индейцев параметрически заданной функции все права тоже соблюдены: можно построить график, найти производные и т.д. Кстати, если есть надобность построить график параметрически заданной функции, можете воспользоваться моей программой.

В простейших случаях есть возможность представить функцию в явном виде. Выразим из первого уравнения параметр:  – и подставим его во второе уравнение: . В результате получена обыкновенная кубическая функция.

В более «тяжелых» случаях такой фокус не прокатывает. Но это не беда, потому что для нахождения производной параметрической функции существует формула:

Находим производную от «игрека по переменной тэ»:

Все правила дифференцирования и таблица производных справедливы, естественно, и для буквы , таким образом, какой-то новизны в самом процессе нахождения производных нет. Просто мысленно замените в таблице все «иксы» на букву «тэ».

Находим производную от «икса по переменной тэ»:

Теперь только осталось подставить найденные производные в нашу формулу:

Готово. Производная, как и сама функция, тоже зависит от параметра .

Что касается обозначений, то в формуле вместо записи  можно было просто записать  без подстрочного индекса, поскольку это «обычная» производная «по икс». Но в литературе всегда встречается вариант , поэтому я не буду отклоняться от стандарта.

Надеюсь, это занятие было полезным, и Вы теперь с лёгкость сможете находить производные от функций, заданных неявно и от параметрических функций.

Желаю успехов!

Решения и ответы:

Автор: Емелин Александр

Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу)

Как можно отблагодарить автора?

Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам,

cкидкa 15% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-hihi5

© Copyright  Александр Емелин, mathprofi.ru, 2010-2024, сделано в Блокноте