Математика для заочников и не только

Высшая математика – просто и доступно!

Если сайт упал, используйте ЗЕРКАЛО: mathprofi.net

Наш форум и библиотека: + подписка на новости проекта!

Высшая математика:

Математика для заочников
Математические формулы,
таблицы и справочные
материалы

Математические сайты
>>> Удобный калькулятор

Не нашлось нужной задачи?
Сборники готовых решений!

Не получается пример?
Задайте вопрос на форуме!
>>> mathprofi.com   

Учимся решать:

Лекции-уроки по высшей математике для первого курса

Высшая математика для чайников, или с чего начать?

Аналитическая геометрия:

Векторы для чайников
Скалярное произведение
векторов

Линейная (не) зависимость
векторов. Базис векторов

Переход к новому базису
Векторное и смешанное
произведение векторов

Формулы деления отрезка
в данном отношении

Прямая на плоскости
Простейшие задачи
с прямой на плоскости

Линейные неравенства
Как научиться решать задачи
по аналитической геометрии?

Линии второго порядка. Эллипс
Гипербола и парабола
Задачи с линиями 2-го порядка
Как привести уравнение л. 2 п.
к каноническому виду?

Полярные координаты
Как построить линию
в полярной системе координат?

Уравнение плоскости
Прямая в пространстве
Задачи с прямой в пространстве
Основные задачи
на прямую и плоскость

Треугольная пирамида

Элементы высшей алгебры:

Множества и действия над ними
Основы математической логики
Формулы и законы логики
Уравнения высшей математики
Комплексные числа
Выражения, уравнения и с-мы
с комплексными числами

Действия с матрицами
Как вычислить определитель?
Свойства определителя
и понижение его порядка

Как найти обратную матрицу?
Свойства матричных операций.
Матричные выражения

Матричные уравнения
Как решить систему линейных уравнений?
Правило Крамера. Матричный метод решения системы
Метод Гаусса для чайников
Несовместные системы
и системы с общим решением

Как найти ранг матрицы?
Однородные системы
линейных уравнений

Метод Гаусса-Жордана
Решение системы уравнений
в различных базисах

Линейные преобразования
Собственные значения
и собственные векторы

Пределы:

Пределы. Примеры решений
Замечательные пределы
Методы решения пределов
Бесконечно малые функции.
Эквивалентности

Правила Лопиталя
Сложные пределы
Пределы последовательностей
Пределы по Коши. Теория

Производные функций:

Как найти производную?
Производная сложной функции. Примеры решений
Логарифмическая производная
Производные неявной, параметрической функций
Простейшие задачи
с производной

Производные высших порядков
Что такое производная?
Производная по определению
Как найти уравнение нормали?
Приближенные вычисления
с помощью дифференциала

Метод касательных

Функции и графики:

Графики и свойства
элементарных функций

Как построить график функции
с помощью преобразований?

Непрерывность, точки разрыва
Область определения функции
Асимптоты графика функции
Интервалы знакопостоянства
Возрастание, убывание
и экстремумы функции

Выпуклость, вогнутость
и точки перегиба графика

Полное исследование функции
и построение графика

Наибольшее и наименьшее
значения функции на отрезке

Экстремальные задачи

ФНП:

Область определения функции
двух переменных. Линии уровня

Основные поверхности
Предел функции 2 переменных
Повторные пределы
Непрерывность функции 2п
Частные производные
Частные производные
функции трёх переменных

Производные сложных функций
нескольких переменных

Как проверить, удовлетворяет
ли функция уравнению?

Частные производные
неявно заданной функции

Производная по направлению
и градиент функции

Касательная плоскость и
нормаль к поверхности в точке

Экстремумы функций
двух и трёх переменных

Условные экстремумы
Наибольшее и наименьшее
значения функции в области

Метод наименьших квадратов

Интегралы:

Неопределенный интеграл.
Примеры решений

Метод замены переменной
в неопределенном интеграле

Интегрирование по частям
Интегралы от тригонометрических функций
Интегрирование дробей
Интегралы от дробно-рациональных функций
Интегрирование иррациональных функций
Сложные интегралы
Определенный интеграл
Как вычислить площадь
с помощью определенного интеграла?

Что такое интеграл?
Теория для чайников

Объем тела вращения
Несобственные интегралы
Эффективные методы решения
определенных и несобственных
интегралов

S в полярных координатах
S и V, если линия задана
в параметрическом виде

Длина дуги кривой
S поверхности вращения
Приближенные вычисления
определенных интегралов


Метод прямоугольников

  Карта сайта

Лекции-уроки по высшей математике для второго курса

Дифференциальные уравнения:

Дифференциальные уравнения первого порядка
Однородные ДУ 1-го порядка
ДУ, сводящиеся к однородным
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
Уравнение Бернулли
Дифференциальные уравнения
с понижением порядка

Однородные ДУ 2-го порядка
Неоднородные ДУ 2-го порядка
Линейные дифференциальные
уравнения высших порядков

Метод вариации
произвольных постоянных

Как решить систему
дифференциальных уравнений

Задачи с диффурами
Методы Эйлера и Рунге-Кутты

Числовые ряды:

Ряды для чайников
Как найти сумму ряда?
Признак Даламбера.
Признаки Коши

Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница
Ряды повышенной сложности

Функциональные ряды:

Степенные ряды
Разложение функций
в степенные ряды

Сумма степенного ряда
Равномерная сходимость
Другие функциональные ряды
Приближенные вычисления
с помощью рядов

Вычисление интеграла разложением функции в ряд
Как найти частное решение ДУ
приближённо с помощью ряда?

Вычисление пределов
Ряды Фурье. Примеры решений

Кратные интегралы:

Двойные интегралы
Как вычислить двойной
интеграл? Примеры решений

Двойные интегралы
в полярных координатах

Как найти центр тяжести
плоской фигуры?

Тройные интегралы
Как вычислить произвольный
тройной интеграл?


Криволинейные интегралы
Интеграл по замкнутому контуру
Формула Грина. Работа силы

Поверхностные интегралы

Элементы векторного анализа:

Основы теории поля
Поток векторного поля
Дивергенция векторного поля
Формула Гаусса-Остроградского

Циркуляция векторного поля
и формула Стокса

Комплексный анализ:

Примеры решений типовых
задач комплексного анализа

Как найти функцию
комплексной переменной?

Решение ДУ методом
операционного исчисления

Как решить систему ДУ
операционным методом?

Теория вероятностей:

Основы теории вероятностей
Задачи по комбинаторике
Задачи на классическое
определение вероятности

Геометрическая вероятность
Задачи на теоремы сложения
и умножения вероятностей

Зависимые события
Формула полной вероятности
и формулы Байеса

Независимые испытания
и формула Бернулли

Локальная и интегральная
теоремы Лапласа

Статистическая вероятность
Случайные величины.
Математическое ожидание

Дисперсия дискретной
случайной величины

Функция распределения
Геометрическое распределение
Биномиальное распределение
Распределение Пуассона
Гипергеометрическое
распределение вероятностей

Отблагодарить автора >>>

Если Вы заметили опечатку, пожалуйста, сообщите мне об этом

Заказать контрольную
Часто задаваемые вопросы
Гостевая книга

Кнопка для сайта: Высшая математика – просто и доступно!

Когда нет времени:

Авторские работы на заказ

По школьным предметам.
Подготовка к ЕГЭ

По высшей математике
и физике

Помогут разобраться в теме,
подготовиться к экзамену



  Карта сайта


Метод прямоугольников


Метод прямоугольников – это, пожалуй, самый простой метод приближённого вычисления определённого интеграла. И парадокс состоит в том, что по этой причине (видимо) он довольно редко встречается на практике. Неудивительно, что данная статья появилась на свет через несколько лет после того, как я рассказал о более распространённых методах трапеции и Симпсона, где упомянул о прямоугольниках лишь вскользь. Однако на сегодняшний день раздел об интегралах практически завершён и поэтому настало время закрыть этот маленький пробел. Читаем, вникаем и смотрим видео! ….о чём? Об интегралах, конечно =)

Постановка задачи уже была озвучена на указанном выше уроке, и сейчас мы быстренько актуализируем материал:

Рассмотрим интеграл . Он неберущийся. Но с другой стороны, подынтегральная функция  непрерывна на отрезке , а значит, конечная площадь существует. Как её вычислить? Приближённо. И сегодня, как вы догадываетесь – методом прямоугольников.

Разбиваем промежуток интегрирования на 5, 10, 20 или бОльшее количество равных (хотя это не обязательно) отрезков, чем больше – тем точнее будет приближение. На каждом отрезке строим прямоугольник, одна из сторон которого лежит на оси , а противоположная – пересекает график подынтегральной функции. Вычисляем площадь полученной ступенчатой фигуры, которая и будет приближённой оценкой площади  криволинейной трапеции (заштрихована на 1-м рисунке).

Очевидно, что прямоугольники можно построить многими способами, но стандартно рассматривают 3 модификации:

1) метод левых прямоугольников;
2) метод правых прямоугольников;
3) метод средних прямоугольников.

Оформим дальнейшие выкладки в рамках «полноценного» задания:

Пример 1

Вычислить определённый интеграл  приближённо:
а) методом левых прямоугольников;
б) методом правых прямоугольников.

Промежуток интегрирования разделить на  равных отрезков, результаты вычислений округлять до 0,001

Решение: признАюсь сразу, я специально выбрал такое малое значение  – из тех соображений, чтобы всё было видно на чертеже – за что пришлось поплатиться точностью приближений.

Вычислим шаг разбиения (длину каждого промежуточного отрезка):

Метод левых прямоугольников получил своё называние из-за того,
Метод левых прямоугольников
что высОты прямоугольников на промежуточных отрезках равны значениям функции в левых концах данных отрезков:

Ни в коем случае не забываем, что округление следует проводить до трёх знаков после запятой – это существенное требование условия, и «самодеятельность» здесь чревата пометкой «оформите задачу, как следует».

Вычислим площадь ступенчатой фигуры, которая равна сумме площадей прямоугольников:

Таким образом, площадь криволинейной трапеции: . Да, приближение чудовищно грубое (завышение хорошо видно на чертеже), но и пример, повторюсь, демонстрационный. Совершенно понятно, что, рассмотрев бОльшее количество промежуточных отрезков (измельчив разбиение), ступенчатая фигура будет гораздо больше похожа на криволинейную трапецию, и мы получим лучший результат.

При использовании «правого» метода высОты прямоугольников равны значениям функции в правых концах промежуточных отрезков:
Метод правых прямоугольников
Вычислим недостающее значение  и площадь ступенчатой фигуры:

 – тут, что и следовало ожидать, приближение сильно занижено:

Запишем формулы в общем виде. Если функция  непрерывна на отрезке , и он разбит на  равных частей: , то определённый интеграл  можно вычислить приближенно по формулам:
 – левых прямоугольников;
 – правых прямоугольников;
(формула в следующей задаче) – средних прямоугольников,
где  – шаг разбиения.

В чём их формальное различие? В первой формуле нет слагаемого , а во второй -

На практике рассчитываемые значения  удобно заносить в таблицу:

а сами вычисления проводить в Экселе. И быстро, и без ошибок:

Ответ:

Наверное, вы уже поняли, в чём состоит метод средних прямоугольников:

Пример 2

Вычислить приближенно определенный интеграл  методом прямоугольников с точностью до 0,01. Разбиение промежутка интегрирования начать с  отрезков.

Решение: во-первых, обращаем внимание, что интеграл нужно вычислить с точностью до 0,01. Что подразумевает такая формулировка?

Если в предыдущей задаче требовалось прОсто округлить результаты до 3 знаков после запятой (а уж насколько они будут правдивы – не важно), то здесь найденное приближённое значение площади  должно отличаться от истины  не более чем на .

И во-вторых, в условии задачи не сказано, какую модификацию метода прямоугольников использовать для решения. И действительно, какую?

По умолчанию всегда используйте метод средних прямоугольников

Почему? А он при прочих равных условиях (том же самом разбиении) даёт гораздо более точное приближение. Это строго обосновано в теории, и это очень хорошо видно на чертеже:
Метод средних прямоугольников
В качестве высот прямоугольников здесь принимаются значения функции, вычисленные в серединах промежуточных отрезков, и в общем виде формула приближённых вычислений запишется следующим образом:
, где  – шаг стандартного «равноотрезочного» разбиения .

Следует отметить, что формулу средних прямоугольников можно записать несколькими способами, но чтобы не разводить путаницу, я остановлюсь на единственном варианте, который вы видите выше.

Вычисления, как и в предыдущем примере, удобно свести в таблицу. Длина промежуточных отрезков, понятно, та же самая:  – и очевидно, что расстояние между серединами отрезков равно этому же числу. Поскольку требуемая точность вычислений составляет , то значения  нужно округлять «с запасом» – 4-5 знаками после запятой:

Вычислим площадь ступенчатой фигуры:

Давайте посмотрим, как автоматизировать этот процесс:

Таким образом, по формуле средних прямоугольников:

Как оценить точность приближения? Иными словами, насколько далёк результат от истины (площади  криволинейно трапеции)? Для оценки погрешности существует специальная формула, однако, на практике её применение зачастую затруднено, и поэтому мы будем использовать «прикладной» способ:

Вычислим более точное приближение  – с удвоенным количеством отрезков разбиения: . Алгоритм решения точно такой же: .

Найдём середину первого промежуточного отрезка  и далее приплюсовываем к полученному значению по 0,3. Таблицу можно оформить «эконом-классом», но комментарий о том, что  изменяется от 0 до 10 – всё же лучше не пропускать:

В Экселе вычисления проводятся «в один ряд» (кстати, потренируйтесь), а вот в тетради таблицу, скорее всего, придётся сделать двухэтажной (если у вас, конечно, не сверхмелкий почерк).

Вычислим суммарную площадь десяти прямоугольников:

Таким образом, более точное приближение:

Теперь находим модуль разности между двумя приближениями:

Как я уже отмечал в статье Приближённое вычисление определенных интегралов, на практике довольно часто встречается упрощённый подход: поскольку разность  больше требуемой точности , то снова удваиваем количество отрезков, находим  и разность , которая, очевидно, уже «уложится» в нашу точность: .

Однако существует более эффективный путь решения, основанный на применении правила Рунге, которое утверждает, что при использовании метода средних прямоугольников мы ошибаемся в оценке определённого интеграла менее чем на   (! для методов правых и левых прямоугольников правило использовать нельзя!).

В нашем случае: , то есть требуемая точность на самом деле достигнута, и необходимость в вычислении  отпадает.

Округляем наиболее точное приближение  до двух знаков после запятой и записываем ответ:  с точностью до 0,01

Ещё раз – что это значит? Это значит, что площадь  криволинейной трапеции гарантированно отличается от найденного приближённого значения 2,59 не более чем на 0,01.

В Примере 2 урока метод трапеций и метод Симпсона я вычислил приближённое значение этого же интеграла методом трапеций. Любознательные читатели могут сравнить полученные здесь и там результаты.

Вернемся ещё к одному маленькому нюансу, который выпал из поля зрения в самом начале урока: обязательно ли в рассматриваемом задании интеграл должен быть неберущимся? Конечно, нет. Приближённые методы вычисления прекрасно работают и для берущихся определённых интегралов. Заключительный школьный, а точнее, техникумовский пример для самостоятельного решения:

Пример 3

Вычислить интеграл  приближённо на  отрезках разбиения:

1) методом левых прямоугольников;
2) методом правых прямоугольников;
3) методом средних прямоугольников.

Вычислить более точное значение интеграла с помощью формулы Ньютона-Лейбница. Для каждого из трёх случаев найти абсолютную погрешность. Вычисления округлять до 4 знаков после запятой.

Не нужно пугаться такого развёрнутого условия – всё элементарно «перещёлкивается» в Экселе. Напоминаю, что абсолютная погрешность – это модуль разности между точным и приближённым значением. Кстати, обратите внимание на принципиальную разницу: если в предыдущих примерах речь шла лишь об оценке погрешности, то здесь нам будут известны конкретные значения этих погрешностей (т.к. интеграл берётся, и мы достоверно знаем 4 верных цифры после запятой).

Краткое решение и ответ уже, наверное, показались на вашем экране.

И, завершая эту небольшую статьи, хочу отметить, что иногда метод прямоугольников ошибочно называют «плохим», «неточным» и т.п. Ничего подобного! Если уж на то пошло, его корректнее назвать «медленным» методом. Иными словами, чтобы достигнуть определённой точности – нужно рассмотреть бОльшее количество отрезков разбиения по сравнению с более эффективными методом трапеций и ещё более «быстрым» методом Симпсона.

Которые я и предлагаю вам изучить!

Пример 3: Решение: вычислим шаг разбиения:
Заполним расчётную таблицу:

Вычислим интеграл приближённо методом:
1) левых прямоугольников:
;
2) правых прямоугольников:
;
3) средних прямоугольников:
.

Вычислим интеграл более точно по формуле Ньютона-Лейбница:

и соответствующие абсолютные погрешности вычислений:

Ответ:

Автор: Емелин Александр


Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу)

Как можно отблагодарить автора?

Качественные работы без плагиата – Zaochnik.com


© Copyright mathprofi.ru, Александр Емелин, 2010-2017. Копирование материалов сайта запрещено