Математика для заочников и не только

Высшая математика – просто и доступно!

Если сайт упал, используйте ЗЕРКАЛО: mathprofi.net

Наш форум, библиотека и блог mathprofi>>>


Высшая математика:

Математика для заочников

Математические формулы,
таблицы и другие материалы

Книги по математике

Математические сайты

+-*/^ Удобный калькулятор

+ «Дробовик»   

Учимся решать:

Лекции-уроки по высшей математике для первого курса

Высшая математика для чайников, или с чего начать?
Повторяем школьный курс

Аналитическая геометрия:

Векторы для чайников
Скалярное произведение
векторов

Линейная (не) зависимость
векторов. Базис векторов

Переход к новому базису
Векторное и смешанное
произведение векторов

Формулы деления отрезка
в данном отношении

Прямая на плоскости
Простейшие задачи
с прямой на плоскости

Линейные неравенства
Как научиться решать задачи
по аналитической геометрии?

Линии второго порядка. Эллипс
Гипербола и парабола
Задачи с линиями 2-го порядка
Как привести уравнение л. 2 п.
к каноническому виду?

Полярные координаты
Как построить линию
в полярной системе координат?

Уравнение плоскости
Прямая в пространстве
Задачи с прямой в пространстве
Основные задачи
на прямую и плоскость

Треугольная пирамида

Элементы высшей алгебры:

Множества и действия над ними
Основы математической логики
Формулы и законы логики
Уравнения высшей математики
Как найти рациональные корни
многочлена? Схема Горнера

Комплексные числа
Выражения, уравнения и с-мы
с комплексными числами

Действия с матрицами
Как вычислить определитель?
Свойства определителя
и понижение его порядка

Как найти обратную матрицу?
Свойства матричных операций.
Матричные выражения

Матричные уравнения
Как решить систему линейных уравнений?
Правило Крамера. Матричный метод решения системы
Метод Гаусса для чайников
Несовместные системы
и системы с общим решением

Как найти ранг матрицы?
Однородные системы
линейных уравнений

Метод Гаусса-Жордана
Решение системы уравнений
в различных базисах

Линейные преобразования
Собственные значения
и собственные векторы

Квадратичные формы
Как привести квадратичную
форму к каноническому виду?

Ортогональное преобразование
квадратичной формы

Пределы:

Пределы. Примеры решений
Замечательные пределы
Методы решения пределов
Бесконечно малые функции.
Эквивалентности

Правила Лопиталя
Сложные пределы
Пределы последовательностей
Пределы по Коши. Теория

Производные функций:

Как найти производную?
Производная сложной функции. Примеры решений
Логарифмическая производная
Производные неявной, параметрической функций
Простейшие задачи
с производной

Производные высших порядков
Что такое производная?
Производная по определению
Как найти уравнение нормали?
Приближенные вычисления
с помощью дифференциала

Метод касательных

Функции и графики:

Графики и свойства
элементарных функций

Как построить график функции
с помощью преобразований?

Непрерывность, точки разрыва
Область определения функции
Асимптоты графика функции
Интервалы знакопостоянства
Возрастание, убывание
и экстремумы функции

Выпуклость, вогнутость
и точки перегиба графика

Полное исследование функции
и построение графика

Наибольшее и наименьшее
значения функции на отрезке

Экстремальные задачи

ФНП:

Область определения функции
двух переменных. Линии уровня

Основные поверхности
Предел функции 2 переменных
Повторные пределы
Непрерывность функции 2п
Частные производные
Частные производные
функции трёх переменных

Производные сложных функций
нескольких переменных

Как проверить, удовлетворяет
ли функция уравнению?

Частные производные
неявно заданной функции

Производная по направлению
и градиент функции

Касательная плоскость и
нормаль к поверхности в точке

Экстремумы функций
двух и трёх переменных

Условные экстремумы
Наибольшее и наименьшее
значения функции в области

Метод наименьших квадратов

Интегралы:

Неопределенный интеграл.
Примеры решений

Метод замены переменной
в неопределенном интеграле

Интегрирование по частям
Интегралы от тригонометрических функций
Интегрирование дробей
Интегралы от дробно-рациональных функций
Интегрирование иррациональных функций
Сложные интегралы
Определенный интеграл
Как вычислить площадь
с помощью определенного интеграла?

Что такое интеграл?
Теория для чайников

Объем тела вращения
Несобственные интегралы
Эффективные методы решения
определенных и несобственных
интегралов

Как исследовать сходимость
несобственного интеграла?

Признаки сходимости несобств.
интегралов второго рода

Абсолютная и условная
сходимость несобств. интеграла

S в полярных координатах
S и V, если линия задана
в параметрическом виде

Длина дуги кривой
S поверхности вращения
Приближенные вычисления
определенных интегралов


Метод прямоугольников

  Карта сайта

Лекции-уроки по высшей математике для второго курса

Дифференциальные уравнения:

Дифференциальные уравнения первого порядка
Однородные ДУ 1-го порядка
ДУ, сводящиеся к однородным
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
Уравнение Бернулли
Дифференциальные уравнения
с понижением порядка

Однородные ДУ 2-го порядка
Неоднородные ДУ 2-го порядка
Линейные дифференциальные
уравнения высших порядков

Метод вариации
произвольных постоянных

Как решить систему
дифференциальных уравнений

Задачи с диффурами
Методы Эйлера и Рунге-Кутты

Числовые ряды:

Ряды для чайников
Как найти сумму ряда?
Признак Даламбера.
Признаки Коши

Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница
Ряды повышенной сложности

Функциональные ряды:

Степенные ряды
Разложение функций
в степенные ряды

Сумма степенного ряда
Равномерная сходимость
Другие функциональные ряды
Приближенные вычисления
с помощью рядов

Вычисление интеграла разложением функции в ряд
Как найти частное решение ДУ
приближённо с помощью ряда?

Вычисление пределов
Ряды Фурье. Примеры решений

Кратные интегралы:

Двойные интегралы
Как вычислить двойной
интеграл? Примеры решений

Двойные интегралы
в полярных координатах

Как найти центр тяжести
плоской фигуры?

Тройные интегралы
Как вычислить произвольный
тройной интеграл?


Криволинейные интегралы
Интеграл по замкнутому контуру
Формула Грина. Работа силы

Поверхностные интегралы

Элементы векторного анализа:

Основы теории поля
Поток векторного поля
Дивергенция векторного поля
Формула Гаусса-Остроградского

Циркуляция векторного поля
и формула Стокса

Комплексный анализ:

ТФКП для начинающих
Как построить область
на комплексной плоскости?

Линии на С. Параметрически
заданные линии

Отображение линий и областей
с помощью функции w=f(z)

Примеры решений типовых
задач комплексного анализа

Как найти функцию
комплексной переменной?

Решение ДУ методом
операционного исчисления

Как решить систему ДУ
операционным методом?

Теория вероятностей:

Основы теории вероятностей
Задачи по комбинаторике
Задачи на классическое
определение вероятности

Геометрическая вероятность
Задачи на теоремы сложения
и умножения вероятностей

Зависимые события
Формула полной вероятности
и формулы Байеса

Независимые испытания
и формула Бернулли

Локальная и интегральная
теоремы Лапласа

Статистическая вероятность
Случайные величины.
Математическое ожидание

Дисперсия дискретной
случайной величины

Функция распределения
Геометрическое распределение
Биномиальное распределение
Распределение Пуассона
Гипергеометрическое
распределение вероятностей

Непрерывная случайная
величина, функции F(x) и f(x)

Как вычислить математическое
ожидание и дисперсию НСВ?

Равномерное распределение
Показательное распределение
Нормальное распределение
Система случайных величин
Зависимые и независимые
случайные величины

Двумерная непрерывная
случайная величина

Зависимость и коэффициент
ковариации непрерывных СВ

Математическая статистика:

Математическая статистика
Дискретный вариационный ряд
Интервальный ряд
Мода, медиана, средняя
Показатели вариации
Формула дисперсии, среднее
квадратическое отклонение,
коэффициент вариации

Асимметрия и эксцесс
эмпирического распределения

Статистические оценки
и доверительные интервалы

Оценка вероятности
биномиального распределения

Оценки по повторной
и бесповторной выборке

Статистические гипотезы
Проверка гипотез. Примеры
Гипотеза о виде распределения
Критерий согласия Пирсона

Группировка данных. Виды группировок. Перегруппировка
Общая, внутригрупповая
и межгрупповая дисперсия

Аналитическая группировка
Комбинационная группировка
Эмпирические показатели
Как вычислить линейный
коэффициент корреляции?

Уравнение линейной регрессии
Проверка значимости линейной
корреляционной модели

Модель пАрной регрессии.
Индекс детерминации

Нелинейная регрессия. Виды и
примеры решений

Коэффициент ранговой
корреляции Спирмена

Коэф-т корреляции Фехнера
Уравнение множественной
линейной регрессии

Не нашлось нужной задачи?
Сборники готовых решений!

Не получается пример?
Задайте вопрос на форуме!
>>> mathprofi.com

Обратная связь:

Часто задаваемые вопросы
Гостевая книга Отблагодарить автора >>>

Заметили опечатку / ошибку?
Пожалуйста, сообщите мне об этом



  Карта сайта


24. Коэффициент ранговой корреляции Спирмена


На предыдущих уроках мы познакомились с линейным  коэффициентом корреляции Пирсона, линейной регрессией, а также потренировались в построении нелинейных моделей. Но эти методы далеко не всегда подходят для описания зависимости признака-результата  от признака-фактора . Не всегда понятна форма зависимости (Линейная? Гиперболическая? Экспоненциальная? Какая-то другая?). Эта форма бывает сложной, а то и вовсе не определИма (в принципе). И вообще, мы можем исследовать не количественный, а некоторый качественный признак.

Представьте, что в вазе лежит яблоко, киви, банан, апельсин и мандарин. Как можно проранжировать это множество? Напрашивается пронумеровать фрукты по возрастанию (либо убыванию) их массы. На первом месте самый лёгкий, на втором подобрее, на третьем – ещё добрее, … и на последнем – самый добрый:

Таким образом, каждому фрукту присвоен свой ранг (порядковый номер) по количественному критерию – массе, а именно, по возрастанию массы.

Но есть более вкусный качественный критерий. Сейчас я расположу эти фрукты в порядке моего ЛИЧНОГО вкусового предпочтения: что бы я съел в первую, вторую, третью, четвёртую и, наконец, последнюю очередь:

Таким образом, каждому фрукту тоже присвоен свой ранг.

И здесь любопытно сравнить качественный признак с количественным – выяснить, насколько я склонен считать лёгкие фрукты более вкусными. Для этого нужно сопоставить соответствующие ранги по фруктам и оценить степень их близости:

Иными словами, нужно определить, насколько теснА корреляционная зависимость моего вкуса от массы фрукта? Или она близка к нулю?

Но это, конечно, не самое интересное. Теперь ВЫ расположите те же фрукты в порядке СВОИХ вкусовых предпочтений. …Есть? Вероятнее всего, вы предпочли употребить фрукты в другой последовательности и проранжировали их иначе, например, так:

После чего появляется возможность сравнить ранги – чтобы выяснить, насколько коррелируют (совпадают) наши вкусы. Визуально можно сразу сказать, что коррелируют они слабо, т. к. читатель явно не жалует цитрусовые. Но, разумеется, есть математическая оценка этой связи, и называется она коэффициент ранговой корреляции Спирмена.

Оставим вкусное на десерт и начнём с более прозаичной задачи, где сопоставляются два количественных признака:

Пример 78

Имеются выборочные данные по  студентам:  – количество прогулов за некоторый период времени и  – суммарная успеваемость за этот период:

Найти коэффициент ранговой корреляции Спирмена, сделать вывод.

В Примере 67 мы вычислили линейный коэффициент корреляции , что говорит о сильной обратной корреляционной зависимости  – суммарной успеваемости от  – количества прогулов. Далее было найдено уравнение линейной регрессии  – это прямая, которая наилучшим образом (по сравнению с другими прямыми) приближает эмпирические точки :

Но у такого подхода могут быть изъяны. Во-первых, прогулы и успеваемость – это величины дискретные (прерывные), но мы приблизили их непрерывной функцией (линейной). И во-вторых, зависимость может быть гораздо более сложной. Когда прогулов немного, успеваемость, вероятно, падает несущественно; когда их количество растёт – ситуация начинает ухудшаться, и, наконец, с некоторого момента достижения стремительно падают к плинтусу. Возможно, удастся подобрать кривую, удачно приближающую точки,  но у нас мало данных (8 наблюдений всего), и по чертежу сомнительно, что удастся.

Поэтому в качестве альтернативы уместно рассмотреть ранговый подход. И я расскажу вам как о ручном решении этой задачи, так и о машинном – с помощью MS Excel.

Сначала рассмотрим признак-фактор  и для удобства упорядочим количество прогулов  по возрастанию:

Это можно сделать на черновике или в Экселе. Теперь каждому значению  легко присвоить свой ранг  и записать ранги на чистовик, для примера парочка синих линий:

Следует заметить, что записывать числа по возрастанию (справа) вовсе не обязательно, это сделано чисто для удобства. Значения  несложно проранжировать в уме (при небольшой выборке) или опять же с помощью специальной функции Экселя (кино будет ниже).

И ещё заметим такой момент, у нас есть одинаковые значения , но ранги у них разные (7 и 8) и возникает вопрос, а почему не наоборот? В подобных ситуациях обычно находят средний арифметический ранг, который присваивают каждой варианте. В нашей задаче одинаковых значений два, поэтому их средний ранг составит:  – вот теперь всё справедливо, относим дробный ранг 7,5 и к варианте  и к варианте

Аналогично ранжируем значения  признака-результата  – тоже и ОБЯЗАЛЬНО по возрастанию значений. Ранги  легко проставить устно (что я только что сделал), без фактической сортировки «игрековых» значений:

Среди значений  нет одинаковых, и поэтому ранги не нуждаются в дополнительной корректировке. После ранжирования полезно выполнить проверку. Суммы «иксовых» и «игрековых» рангов должны совпадать и равняться , в нашей задаче объём выборки составляет  и обе суммы равны .

Оценим тесноту связи между рангами. Для этого нужно вычислить коэффициент ранговой корреляции Спирмена, и это – есть в точности  линейный  коэффициент корреляции Пирсона* между рангами  и .

* а коль скоро так, то минимальный объем совокупности должен равняться 6-7.

Технически вычисления можно провести разными способами. Если вас устраивает результат «на скорую руку», то просто забиваем в Экселе:

= КОРРЕЛ(выделяем мышкой массив выделяем массив ) и жмём Enter.

Но в учебных задачах, как правило, нужны подробные расчёты. Если нет дробных рангов, то коэффициент ранговой корреляции Спирмена  удобно вычислить по упрощенной формуле:

, где  – объем совокупности, а  – квадраты разностей между соответствующими рангами.

Если же дробные ранги есть (это означает, что есть одинаковые значения  и / или ), то возможны варианты. В том случае, если точность вычислений не критична и дробных рангов не так много, можно пользоваться той же формулой, но она будет давать приближённый результат: .

Но если вам необходимы абсолютно точные и подробные расчёты, то лучше расписать нахождение линейного коэффициента корреляции подробно – по образцу, только не между значениями  и , а между их рангами . Кроме того, существуют специальные модификации вышеприведённой формулы – с поправкой на повторяющиеся значения , но лишь для некоторых частных случаев. И да, должен предупредить, что формулы, приведённые во многих источниках Интернета, некорректны. Поэтому лучше потратить время и получить стопудовый результат.

В нашей задаче дробные ранги есть, и мы выберем упрощенный вариант. Для этого вычислим разности соответствующих рангов , их квадраты  и сумму . Заполним расчётную таблицу:

Так как среди рангов есть дробные, то формула даёт лишь приближенный результат:

Более точное значение, вычисленное с помощью функции =КОРРЕЛ() приложения MS Excel: . И, как видите, погрешность вполне приемлемая, одна сотая всего.

Поскольку  – это линейный коэффициент корреляции между рангами, то его интерпретация будет такой же.  Коэффициент ранговой корреляции изменяется в пределах  и чем он ближе по модулю к единице, тем теснее ранговая корреляционная зависимость. Для оценки тесноты связи используем ту же шкалу Чеддока:

при этом если , то корреляционная связь обратная, а если , то прямая

Теперь смотрим кино, как это всё быстро подсчитать в Экселе:

и записываем ответ:  , таким образом, существует сильная обратная корреляционная зависимость  – суммарной успеваемости от  – количества прогулов.

Напомню значение линейного коэффициента корреляции , и сейчас мы получили примерно такой же, даже более убедительный результат.

По аналогии с линейным коэффициентом, можно проверить статистическую значимость рангового коэффициента корреляции и построить соответствующие доверительные интервалы. Но это уже немного дебри статистики, с которыми можно ознакомиться, например, в учебном пособии Гмурмана (поздние издания) и других источниках. …Ловко я модернизировал метод Ивана Сусанина :)

К недостатку рангового коэффициента корреляции Спирмена можно отнести тот факт, что он практически ничего не говорит о форме зависимости.  Но повторюсь, эта форма может быть трудноопределима или не определИма вовсе. Как, например, при сопоставлении качественных признаков. По этой причине ранговый подход нашёл широчайшее применение в психологии, социологии и других гуманитарных направлениях. К слову, Чарльз Спирмен был именно психологом, и в его честь мы рассмотрим как раз простенькую задачу по психологии. На совместимость двух людей:

Пример 79

Коле и Оле было предложено проранжировать свои увлечения – от самого любимого до самого скучного / неприятного. В результате были получены следующие результаты:

! В подобных задачах объекты принято ранжировать по убыванию их «качества»  – от самого «хорошего» до самого «плохого».

С помощью коэффициента корреляции Спирмена определить совместимость Коли и Оли в плане увлечений.

Это задача для самостоятельного решения! – все числа уже в Экселе. Образец для сверки внизу.

В наиболее благоприятном случае все ранги по увлечениям совпадают, их разности равны нулю  и посему , это говорит о практически идеальной совместимости. По мере убывания   совместимость будет падать до нейтрального околонулевого значения, где нельзя сказать, что увлечения как-то сильно совпадают или наоборот, разнятся. И в отрицательной зоне начинает нарастать негатив – вплоть до значения , при котором Коля и Оля – совершенно разные люди.

Помимо подхода Спирмена, существует и другой принцип ранжированию объектов, который выражается ранговым коэффициентом корреляции Кендалла. Но он не слишком распространен в массовой практике (по крайне мере, технической), поэтому едем дальше:

Коэффициент корреляции Фехнера

Решения и ответы:

Пример 79. Решение: вычислим разности соответствующих рангов , их квадраты  и сумму :

Так как среди рангов нет дробных, то:
 

Ответ: , таким образом, Коля и Оля имеют слабо-умеренно-негативную совместимость по интересам.

Автор: Емелин Александр


 Блог Емелина Александра

Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу)

Как можно отблагодарить автора?




© Copyright mathprofi.ru, Александр Емелин, 2010-2024. Копирование материалов сайта запрещено