Высшая математика – просто и доступно! Если сайт упал, используйте ЗЕРКАЛО: mathprofi.net Наш форум, библиотека и блог: mathprofi.com | |||
Математические формулы,
Высшая математика для чайников, или с чего начать? Аналитическая геометрия:
Векторы для чайников
Элементы высшей алгебры:
Множества и действия над ними
Пределы:
Пределы. Примеры решений
Производные функций:
Как найти производную?
Функции и графики:
Графики и свойства ФНП:
Область определения функции Интегралы:
Неопределенный интеграл.
Дифференциальные уравнения:
Дифференциальные уравнения первого порядка
Числовые ряды:
Ряды для чайников
Функциональные ряды:
Степенные ряды
Кратные интегралы:
Двойные интегралы
Элементы векторного анализа:
Основы теории поля
Комплексный анализ:
ТФКП для начинающих
Теория вероятностей:
Основы теории вероятностей
Математическая статистика:
Математическая статистика
Не нашлось нужной задачи? Не получается пример?
Часто задаваемые вопросы Заметили опечатку / ошибку? |
Как исследовать функцию и построить её график?Похоже, я начинаю понимать одухотворённо-проникновенный лик вождя мирового пролетариата, автора собрания сочинений в 55 томах…. Нескорый путь начался элементарными сведениями о функциях и графиках, и вот сейчас работа над трудоемкой темой заканчивается закономерным результатом – статьёй о полном исследовании функции. Долгожданное задание формулируется следующим образом: Исследовать функцию методами дифференциального исчисления и на основании результатов исследования построить её график Или короче: исследовать функцию и построить график. Зачем исследовать? В простых случаях нас не затруднит разобраться с элементарными функциями, начертить график, полученный с помощью элементарных геометрических преобразований и т.п. Однако свойства и графические изображения более сложных функций далеко не очевидны, именно поэтому и необходимо целое исследование. Основные этапы решения сведены в справочном материале Схема исследования функции, это ваш путеводитель по разделу. Чайникам требуется пошаговое объяснение темы, некоторые читатели не знают с чего начать и как организовать исследование, а продвинутым студентам, возможно, будут интересны лишь некоторые моменты. Но кем бы вы ни были, уважаемый посетитель, предложенный конспект с указателями на различные уроки в кратчайший срок сориентирует и направит Вас в интересующем направлении. Роботы прослезились =) Руководство свёрстано в виде pdf-файла и заняло заслуженное место на странице Математические формулы и таблицы. Исследование функции я привык разбивать на 5-6 пунктов: 1) Область определения, непрерывность, четность/нечётность, периодичность функции. 2) Асимптоты графика функции. 3) Нули функции, интервалы знакопостоянства. 4) Возрастание, убывание и экстремумы функции. 5) Выпуклость, вогнутость и перегибы графика. 6) Дополнительные точки и график по результатам исследования. На счёт заключительного действия, думаю, всем всё понятно – будет очень обидно, если в считанные секунды его перечеркнут и вернут задание на доработку. ПРАВИЛЬНЫЙ И АККУРАТНЫЙ ЧЕРТЁЖ – это основной результат решения! Он с большой вероятностью «прикроет» аналитические оплошности, в то время как некорректный и/или небрежный график доставит проблемы даже при идеально проведённом исследовании. Следует отметить, что в других источниках количество пунктов исследования, порядок их выполнения и стиль оформления могут существенно отличаться от предложенной мной схемы, но в большинстве случаев её вполне достаточно. Простейшая версия задачи состоит всего из 2-3 этапов и формулируется примерно так: «исследовать функцию с помощью производной и построить график» либо «исследовать функцию с помощью 1-й и 2-й производной, построить график». Естественно – если в вашей методичке подробно разобран другой алгоритм или ваш преподаватель строго требует придерживаться его лекций, то придётся внести некоторые коррективы в решение. Не сложнее, чем заменить вилку Итак, вооружившись общей схемой исследования, где рассмотрена структура и техника выполнения задачи, переходим к изучению стратегии и тактики действий. Успешно прошедшим курс обучения откроется тайна числа 69 ;-) С нетерпением скрипим колёсиком мыши =) Пример 1 Исследовать функцию и по результатам исследования построить график. Решение: Проверим функцию на чётность/нечётность: После чего следует шаблонная отписка: Очевидно, что функция непериодическая. 2) Асимптоты, поведение функции на бесконечности. Так как функция непрерывна на , то вертикальные асимптоты отсутствуют.
Примечание: напоминаю, что более высокого порядка роста, чем , поэтому итоговый предел равен именно «плюс бесконечности». Выясним, как ведёт себя функция на бесконечности: ПОЛЕЗНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ ПРИЁМ Каждый этап задания приносит новую информацию о графике функции, поэтому в ходе решения удобно использовать своеобразный МАКЕТ. Изобразим на черновике декартову систему координат. Что уже точно известно? Во-первых, у графика нет асимптот, следовательно, прямые чертить не нужно. Во-вторых, мы знаем, как функция ведёт себя на бесконечности. Согласно проведённому анализу, нарисуем первое приближение: 3) Нули функции и интервалы знакопостоянства. Сначала найдём точку пересечения графика с осью ординат. Это просто. Необходимо вычислить значение функции при : Чтобы найти точки пересечения с осью (нули функции) требуется решить уравнение , и тут нас поджидает неприятный сюрприз: В конце притаился свободный член, который существенно затрудняет задачу. Такое уравнение имеет, как минимум, один действительный корень, и чаще всего этот корень иррационален. В худшей же сказке нас поджидают три поросёнка. Уравнение разрешимо с помощью так называемых формул Кардано, но порча бумаги сопоставима чуть ли не со всем исследованием. В этой связи разумнее устно либо на черновике попытаться подобрать хотя бы один целый корень. Проверим, не являются ли оными числа : Здесь повезло. В случае неудачи можно протестировать ещё и , а если и эти числа не подошли, то шансов на выгодное решение уравнения, боюсь, очень мало. Тогда пункт исследования лучше полностью пропустить – авось станет что-нибудь понятнее на завершающем шаге, когда будут пробиваться дополнительные точки. И если таки корень (корни) явно «нехорошие», то об интервалах знакопостоянства лучше вообще скромно умолчать да поаккуратнее выполнить чертёж. Однако у нас есть красивый корень , поэтому делим многочлен на без остатка: Алгоритм деления многочлена на многочлен детально разобран в первом примере урока Сложные пределы. В итоге левая часть исходного уравнения раскладывается в произведение: А теперь немного о здоровом образе жизни. Я, конечно же, понимаю, что квадратные уравнения нужно решать каждый день, но сегодня сделаем исключение: уравнение имеет два действительных корня . На числовой прямой отложим найденные значения и методом интервалов определим знаки функции: Полученные выводы позволяют детализировать наш макет, и второе приближение графика выглядит следующим образом: 4) Возрастание, убывание и экстремумы функции. Найдём критические точки: Данное уравнение имеет два действительных корня . Отложим их на числовой прямой и определим знаки производной: Установленные факты загоняют наш шаблон в довольно жёсткие рамки: 5) Выпуклость, вогнутость и точки перегиба. Найдём критические точки второй производной: Определим знаки : Практически всё прояснилось. 6) Осталось найти дополнительные точки, которые помогут точнее построить график и выполнить самопроверку. В данном случае их мало, но пренебрегать не будем: Выполним чертёж: По ходу выполнения задания я привёл три гипотетических промежуточных чертежа. На практике же достаточно нарисовать систему координат, отмечать найденные точки и после каждого пункта исследования мысленно прикидывать, как может выглядеть график функции. Студентам с хорошим уровнем подготовки не составит труда провести такой анализ исключительно в уме без привлечения черновика. Для самостоятельного решения: Пример 2 Исследовать функцию и построить график. Тут всё быстрее и веселее, примерный образец чистового оформления в конце урока. Немало секретов раскрывает исследование дробно-рациональных функций: Пример 3 Методами дифференциального исчисления исследовать функцию и на основании результатов исследования построить её график. Решение: первый этап исследования не отличается чем-то примечательным, за исключением дырки в области определения: 1) Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой кроме точки , область определения: .
Очевидно, что функция непериодическая. График функции представляет собой две непрерывные ветви, расположенные в левой и правой полуплоскости – это, пожалуй, самый важный вывод 1-го пункта. 2) Асимптоты, поведение функции на бесконечности. а) С помощью односторонних пределов исследуем поведение функции вблизи подозрительной точки, где явно должна быть вертикальная асимптота: Действительно, функции терпит бесконечный разрыв в точке , б) Проверим, существуют ли наклонные асимптоты: Да, прямая является наклонной асимптотой графика , если . Пределы анализировать смысла не имеет, поскольку и так понятно, что функция в обнимку со своей наклонной асимптотой не ограничена сверху и не ограничена снизу. Второй пункт исследования принёс много важной информации о функции. Выполним черновой набросок: Вывод № 1 касается интервалов знакопостоянства. На «минус бесконечности» график функции однозначно расположен ниже оси абсцисс, а на «плюс бесконечности» – выше данной оси. Кроме того, односторонние пределы сообщили нам, что и слева и справа от точки функция тоже больше нуля. Обратите внимание, что в левой полуплоскости график, по меньшей мере, один раз обязан пересечь ось абсцисс. В правой полуплоскости нулей функции может и не быть. Вывод № 2 состоит в том, что функция возрастает на и слева от точки (идёт «снизу вверх»). Справа же от данной точки – функция убывает (идёт «сверху вниз»). У правой ветви графика непременно должен быть хотя бы один минимум. Слева экстремумы не гарантированы. Вывод № 3 даёт достоверную информацию о вогнутости графика в окрестности точки . О выпуклости/вогнутости на бесконечностях мы пока ничего сказать не можем, поскольку линия может прижиматься к своей асимптоте как сверху, так и снизу. Вообще говоря, есть аналитический способ выяснить это прямо сейчас, но форма графика «даром» прояснится на более поздних этапах. Зачем столько слов? Чтобы контролировать последующие пункты исследования и не допустить ошибок! Дальнейшие выкладки не должны противоречить сделанным выводам. 3) Точки пересечения графика с координатными осями, интервалы знакопостоянства функции. График функции не пересекает ось . С осью Методом интервалов определим знаки : Результаты пункта полностью соответствуют Выводу № 1. После каждого этапа смотрите на черновик, мысленно сверяйтесь с исследованием и дорисовывайте график функции. 4) Возрастание, убывание, экстремумы функции. В рассматриваемом примере числитель почленно делится на знаменатель, что очень выгодно для дифференцирования: Определим знаки : В точке функция достигает минимума: . Разночтений с Выводом № 2 также не обнаружилось, и, вероятнее всего, мы на правильном пути. 5) Выпуклость, вогнутость, перегибы графика. , значит, график функции является вогнутым на всей области определения. Отлично – и чертить ничего не надо. Точки перегиба отсутствуют. Вогнутость согласуется с Выводом № 3, более того, указывает, что на бесконечности (и там и там) график функции расположен выше своей наклонной асимптоты. 6) Добросовестно приколотим задание дополнительными точками. Вот здесь придётся изрядно потрудиться, поскольку из исследования нам известны только две точки. И картинка, которую, наверное, многие давно представили:
Пример 4 Методами дифференциального исчисления исследовать функцию и построить её график. Это пример для самостоятельного решения. В нём самоконтроль усиливается чётностью функции – график симметричен относительно оси , и если в вашем исследовании что-то противоречит данному факту, ищите ошибку. Чётную или нечётную функцию можно исследовать только при , а потом пользоваться симметрией графика. Такое решение оптимально, однако выглядит, по моему мнению, весьма непривычно. Лично я рассматриваю всю числовую ось, но дополнительные точки нахожу всё же лишь справа: Пример 5 Провести полное исследование функции и построить её график. Решение: понеслась нелёгкая: 1) Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой: . , значит, данная функция является нечетной, её график симметричен относительно начала координат. Очевидно, что функция непериодическая. 2) Асимптоты, поведение функции на бесконечности. Так как функция непрерывна на , то вертикальные асимптоты отсутствуют Для функции, содержащей экспоненту, типично раздельное исследование «плюс» и «минус бесконечности», однако нашу жизнь облегчает как раз симметрия графика – либо и слева и справа есть асимптота, либо её нет. Поэтому оба бесконечных предела можно оформить под единой записью. В ходе решения используем правило Лопиталя: Прямая (ось ) является горизонтальной асимптотой графика при . Обратите внимание, как я хитро избежал полного алгоритма нахождения наклонной асимптоты: предел вполне легален и проясняет поведение функции на бесконечности, а горизонтальная асимптота обнаружилась «как бы заодно». Из непрерывности на и существования горизонтальной асимптоты следует тот факт, что функция ограничена сверху и ограничена снизу. 3) Точки пересечения графика с координатными осями, интервалы знакопостоянства. Здесь тоже сокращаем решение: Других точек пересечения с координатными осями нет. Более того, интервалы знакопостоянства очевидны, и ось можно не чертить: , а значит, знак функции зависит только от «икса»: ! Настоятельно рекомендую оформлять черновой шаблон графика 4) Возрастание, убывание, экстремумы функции. Точки симметричны относительно нуля, как оно и должно быть. В точке функция достигает максимума: . В силу свойства (нечётности функции) минимум можно не вычислять: Поскольку функция убывает на интервале , то, очевидно, на «минус бесконечности» график расположен под своей асимптотой. На интервале функция тоже убывает, но здесь всё наоборот – после перехода через точку максимума линия приближается к оси уже сверху. Из вышесказанного также следует, что график функции является выпуклым на «минус бесконечности» и вогнутым на «плюс бесконечности». После этого пункта исследования прорисовалась и область значений функции: Если у вас возникло недопонимание каких-либо моментов, ещё раз призываю начертить в тетради координатные оси и с карандашом в руках заново проанализировать каждый вывод задания. 5) Выпуклость, вогнутость, перегибы графика. – критические точки. Симметрия точек сохраняется, и, скорее всего, мы не ошибаемся. Определим знаки : Выпуклость/вогнутость на крайних интервалах подтвердилась. Во всех критических точках существуют перегибы графика. Найдём ординаты точек перегиба, при этом снова сократим количество вычислений, используя нечётность функции: 6) Дополнительные точки целесообразно рассчитать только для правой полуплоскости: Выполним чертёж: Изначально было запланировано 5 примеров, и если честно, я ожидал, что статья получится заметно больше по объему. Конечно, хочется исследовать ещё одну функцию, но с другой стороны – нельзя объять необъятное, поэтому сегодня воздержимся от логарифмов. Самое важное – усвоить методы, приёмы и хитрости исследования, которые мы только что разобрали. Желающие могут пройти на страницу готовых задач по высшей математике и закачать архив, который содержит 69 исследований. Выбирайте любую функцию и тренируйтесь! А кто знает…, может встретите ту единственную, которую так давно искали =) Приятного времяпровождения! Решения и ответы: Пример 2: Решение: проведём исследование функции: 2) Асимптоты графика, поведение функции на бесконечности. 3) Точки пересечения графика с координатными осями, интервалы знакопостоянства функции. 4) Возрастание, убывание, экстремумы функции. 5) Выпуклость, вогнутость, перегибы графика. 6) Найдем дополнительные точки: Пример 4: Решение: проведем исследование функции: 1) Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой, . 2) Асимптоты, поведение функции на бесконечности. 3) Точки пересечения графика с координатными осями, интервалы знакопостоянства функции. 4) Возрастание, убывание, экстремумы функции. 5) Выпуклость, вогнутость, перегибы графика. 6) Найдем дополнительные точки и выполним чертёж: Автор: Емелин Александр Высшая математика для заочников и не только >>> (Переход на главную страницу) Как можно отблагодарить автора? |
© Copyright Александр Емелин, mathprofi.ru, 2010-2024, сделано в Блокноте |