Высшая математика – просто и доступно!

Если сайт упал, используйте ЗЕРКАЛО: mathprofi.net

Наш форум, библиотека и блог: mathprofi.com

Высшая математика:

Математика для заочников

Математические формулы,
таблицы и другие материалы

Книги по математике

Математические сайты

+-*/^ Удобный калькулятор

+ «Дробовик»   

Учимся решать:

  Карта сайта

Не нашлось нужной задачи?
Сборники готовых решений!

Не получается пример?
Задайте вопрос на форуме!
>>> mathprofi

Обратная связь:

Часто задаваемые вопросы
Гостевая книга Отблагодарить автора >>>

Заметили опечатку / ошибку?
Пожалуйста, сообщите мне об этом

Карта сайта

---

Интегрирование корней (иррациональных функций).
Примеры решений

Вот и пробил час интегралов, которые вас заждались!

Интегралы с корнями (радикалами) мы уже решали, и этот урок будет посвящён тем случаям, когда изученные приёмы не срабатывают. Как правило, в таких примерах корни находятся в загадочном положении, и зачастую их несколько штук. А посему интегрирование иррациональных функций лучше изучать уже при некоторых знаниях и навыках решения неопределённого интеграла, поскольку многие из них – самые настоящие крепкие орешки. Таким образом, если Вы чайник, и за плечами всего десяток прорешанных интегралов, да и с методом замены переменной в неопределенном интеграле не очень, то лучше начать со статьи Неопределенный интеграл. Примеры решений. Хотя, не пугаемся, не разбегаемся – простейшие примеры с квадратными корнями, думаю, будут понятны широкому кругу студентов. Весь материал я постараюсь изложить максимально подробно и максимально доступно.

Сначала мы разберём простые случаи, затем чуть более громоздкие (с разными корнями), и закончится повествование биномиальными интегралами, кои уже являются немного дебрями интегралов, где преподаватель-волк частенько кушает зайцев.

Итак, прошу любить и жаловать первый параграф

Интегралы от  корней. Типовые методы и приемы решения

Вспоминаем счастливые школьные годы. Пыонеры на уроках математики, приступая к изучению корней, в первую очередь знакомятся с квадратным корнем. Мы пойдем тем же путём.

Пример 1

Найти неопределенный интеграл

Анализируя подынтегральную функцию, приходишь к печальному выводу, что она совсем не напоминает табличные интегралы. Вот если бы всё это добро находилось в числителе – было бы просто. Или бы корня внизу не было. Или двучлена. Никакие методы интегрирования дробей тоже не помогают. Что делать?

Основной приём решения иррациональных интегралов – это замена переменной, которая избавит нас от ВСЕХ корней в подынтегральной функции.

В нашем примере корень всего один и напрашивается его прямая замена . Мысль верная! При этом удобно сразу возвести обе части в квадрат и использовать модифицированный вариант , где  (т. к. корень чётный). В результате подстановки  – корень пропадает (модуль не нужен, ибо «тэ» положительно).

Если бы в подынтегральной функции вместо квадратного корня у нас находился , то мы бы провели замену . Если бы там был  – то , и так далее. Обращаю внимание, что при чётном корне , а при нечётном – «тэ» в общем случае может быть любого знака, и при чистовом оформлении примеров я буду подразумевать это по умолчанию.

Хорошо,  у нас превратится в . Что произойдет с двучленом ? Сложностей нет: если , то .

Осталось выяснить, во что превратится дифференциал . Делается это так.
Берём нашу замен в виде  и навешиваем дифференциалы на обе части:

(распишу максимально подробно)

Как видите, замена получилась своеобразной, и её техническое оформление отличается от «классического» способа, который мы рассмотрели на уроке Метод замены переменной в неопределенном интеграле. 

Чистовое оформление решения должно выглядеть примерно так:

Проведём замену , следовательно:

(1) Проводим подстановку после замены (как, что и куда, уже рассмотрено).

(2) Выносим константу за пределы интеграла. Числитель и знаменатель сокращаем на .

(3) Получившийся интеграл является табличным, готовим его для интегрирования, выделяя квадрат

(4) Интегрируем по таблице, используя формулу .

(5) Проводим обратную замену. Как это делается? Вспоминаем, от чего плясали: если , то .

Внимание! Для изучения дальнейших примеров нужно владеть материалом первого параграфа урока Интегрирование некоторых дробей.

Пример 2

Найти неопределенный интеграл

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.

Как-то так получилось, что в Примерах 1, 2 «голый» числитель с одиноким дифференциалом . Что же. Исправим ситуацию.

Пример 3

Найти неопределенный интеграл

Предварительный анализ подынтегральной функции опять показывает, что лёгкого пути нет. А поэтому нужно избавляться от корня.

Как и в предыдущих примерах, корень здесь один, и за «тэ» мы обозначаем ВЕСЬ корень:
, возводим обе части в квадрат и навешиваем дифференциалы:

С числителем разобрались. Что делать с двучленом в знаменателе?
Берем нашу замену  и выражаем из неё:
Если , то

(1) Проводим подстановку в соответствии с выполненной заменой.

(2) Причёсываем числитель. Константу здесь я предпочел не выносить за знак интеграла (можно делать и так, ошибкой не будет)

(3) Раскладываем числитель в сумму. Ещё раз настоятельно рекомендую ознакомиться с первым параграфом урока Интегрирование некоторых дробей. Канители с разложением числителя в сумму в иррациональных интегралах будет предостаточно, очень важно отработать это прием.

(4) Почленно делим числитель на знаменатель.

(5) Используем свойстово линейности неопределенного интеграла. Во втором интеграле выделяем квадрат  для последующего интегрирования по таблице.

(6) Интегрируем по таблице. Первый интеграл совсем простой, во втором используем табличную формулу высокого логарифма .

(7) Проводим обратную замену. Если изначально , то, обратно:

Пример 4

Найти неопределенный интеграл

Это пример для самостоятельного решения, если вы невнимательно проработали предыдущие примеры, то допустите ошибку! Полное решение и ответ в конце урока.

Принципиально так же решаются интегралы с несколькими одинаковыми корнями, например ,  и т. д. А что делать, если в подынтегральной функции корни разные?

Пример 5

Найти неопределенный интеграл

Вот и пришла расплата за голые числители. Когда встречается такой интеграл, обычно становится страшно. Но страхи напрасны, после проведения подходящей замены подынтегральная функция упрощается. Задача состоит в следующем: провести удачную замену, чтобы сразу избавиться от ВСЕХ корней.

Когда даны разные корни удобно придерживаться следующей схемы решения. Сначала выписываем на черновике подынтегральную функцию, при этом все корни представляем в виде : . Нас будут интересовать знаменатели степеней:

Записываем эти знаменатели: 2, 3, 3.
Теперь нужно найти наименьшее общее кратное чисел 2, 3, 3 – такое натуральное число, чтобы оно делилось и на 2 и на 3 (в данном случае), кроме того, это число должно быть как можно меньше.

Очевидно, что наименьшим общим кратным является число 6. Оно делится и на 2 и на 3 и, кроме того, меньше шестёрки в этом смысле ничего нет.

Как многие уже догадались, замена в данном интеграле будет следующей: , при этом удобнее использовать модифицированный вариант, возведя обе части в 6-ю степень:   и имея в виду, что  (т. к. корень чётный).

Оформляем решение:

Проведем замену и соответствующую подстановку:

(1) Записываем интеграл с новой переменной, согласно замене.

(2) Избавляемся от корней. Выносим константу за знак интеграла. Сокращаем числитель и знаменатель на .

(3) Сокращаем числитель и знаменатель еще на .

(4) Раскладываем числитель в сумму (как это сделать, уже неоднократно упоминалось).

(5) Почленно делим числитель на  знаменатель.

(6) Интегрируем по таблице. При этом константу я снова «прилепил» к каждому из трех слагаемых (можно этого и не делать, момент несущественный).

(7) Проводим обратную замену. Если , то, обратно: . В ходе обратной замены некоторые корни лучше сразу сократить (обычно это делается устно). В рассмотренном примере сокращение корней встретилось в первом слагаемом:

Как видите, особых сложностей нет, несмотря на то, что сначала интеграл показался трудным и страшным.

Пример 6

Найти неопределенный интеграл

Это пример для самостоятельного решения.

Интегрирование биномиальных интегралов

Или если говорить строже, это интеграл от биномиального дифференциала:

с рациональными степенями «эм», «эн» и «пэ», и сразу исключим тривиальные случаи и иже с ними. Ну и, разумеется, действительные коэффициенты «а» и «бэ» не равны нулю.

Такой интеграл берётся в трёх случаях

1) Случай первый. Самый лёгкий. Если степень  – целое число.

Например:

Представим интеграл в стандартном виде, это можно делать как на черновике, так и на чистовике:

Мы видим, что степень  – целая, а, значит, действительно имеет место первый случай. На самом деле биномиальный интеграл первого типа решается практически так же, как интегралы в Примерах 5, 6, поэтому приводить почти такие же решения особого смысла нет – я просто покажу, какую замену здесь нужно провести.
Смотрим на знаменатели дробей:

Записываем знаменатели: 2, 5. Находим наименьшее общее кратное этих чисел. Очевидно, это 10: оно делится и на 2 и на 5, кроме того – десятка самая маленькая в этом смысле.
После замены и подстановки  все корни гарантировано пропадут. Повторюсь, примеров для первого случая не будет, так как они очень похожи на недавно разобранные интегралы.

2) Случай второй

Если  – целое число, то нужно провести подстановку , где  – знаменатель дроби .

Спокойствие, только спокойствие, сейчас во всём разберемся.

Пример 7

Найти неопределенный интеграл

Представим интеграл в стандартном виде :
. Вообще говоря, формально правильнее было записать , но перестановка слагаемых в скобках не играет никакой роли.

Выписываем степени:
, ,
Сразу проверяем, не относится ли наш интеграл к первому случаю?
 – целое? Нет.
Проверяем второй случай:
 – целое, значит у нас второй случай
Согласно правилу для второго случая, нужно провести подстановку , где  – знаменатель дроби . В рассматриваемом примере , и знаменатель этой дроби равен «двойке». Таким образом, чтобы гарантировано избавиться от корня, используем конструкцию . Обращаю внимание, что на самом деле здесь мы меняем корень , и я рекомендую придерживаться следующего алгоритма, оформляем решение:

Проведём замену , обе части которой возведём в квадрат: ..
Теперь нужно выяснить, во что превратится оставшаяся часть подынтегрального выражения
Берём  и навешиваем дифференциалы на обе части:

Но вот, незадача, у нас , а нам нужно выразить .
Умножаем обе части на :

Таким образом: . Уже лучше, но хотелось бы выразить  только через , а в правой части  – «икс» в квадрате внизу. Что делать? Вспоминаем нашу замену в виде  и выражаем из неё нужный нам .
Окончательно: . Головоломно, но, увы, другие алгоритмы еще запутаннее.

Собственно, всё готово, продолжаем решение:

(1) Проводим подстановку согласно замене.

(2) Записываем компактно числитель.

(3) Раскладываем знаменатель в сумму.

(4) Почленно делим числитель на знаменатель.

(5) Интегрируем по таблице.

(6) Проводим обратную замену: если , то

Пример 8

Найти неопределенный интеграл

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.

3) Случай третий. Самый сложный

Если  – целое число, то нужно провести подстановку , где  – знаменатель дроби .

Пример 9

Найти неопределенный интеграл

Представим интеграл в стандартном виде :
.

Выписываем степени и не помешает, кстати, и коэффициенты:
, , , ,

1) Не относится ли наш интеграл к первому случаю?
 – целое? Нет.

2) Проверяем второй случай:
 – целое? Нет.

3)  – целое! Значит, у нас третий случай.

Согласно правилу для третьего  случая, нужно провести подстановку , где  – знаменатель дроби . В рассматриваемом примере , и знаменатель этой дроби равен опять же «двойке». Коэффициенты (будьте внимательны) ,

Таким образом, от корня гарантировано избавляет .

Оформляем решение:

Проведем замену в виде .

Разбираемся с корнем. Это труднее, чем в предыдущих случаях.
Сначала из нашей «заготовки»  нужно выразить «икс квадрат»:

Теперь подставляем  под корень:
, обращаю ваше внимание, что вверху после извлечения корня модуль при «тэ» не нужен (не останавливаясь вновь на подробностях).

На втором этапе выясняем, во что превратится оставшаяся часть подынтегрального выражения . Берем нашу «заготовку»  и навешиваем дифференциалы на обе части:

Опять проблема, в правой части у нас есть «икс», а нам нужно всё выразить через «тэ».
Берем ранее найденное выражение  и выражаем
Окончательно:

В итоге мы выразили через «тэ» и  и , и всё готово для продолжения решения:

(1) Меняем корень и оставшуюся часть подынтегрального выражения.

(2) Упрощаем потроха.

(3) Меняем знак в знаменателе и выносим минус за пределы интеграла (можно было не делать, но так удобнее).

(4) Проводим обратную замену. В третьем случае биномиального интеграла это тоже труднее. Если изначально было , то .

(5) Избавляемся от четырехэтажности в логарифме.

Пример 10

Найти неопределенный интеграл

Да что такое, опять числитель голый… Честное слово, не нарочно получилось =)

Это пример для самостоятельного решения. Подсказка: здесь
Полное решение и ответ только для выживших студентов.

Что делать, если биномиальный интеграл  не подходит ни под один из рассмотренных трех случаев? Это грустный четвертый случай. Такой интеграл является неберущимся.

Почти всё рассмотрено. Есть другие разновидности интегралов с корнями, например, когда корень является аргументом какой-либо функции. Или под корнем находится дробь. Найти такие примеры можно на странице Сложные интегралы.

Желаю успехов!

Решения и ответы:

Вы выполнили проверку, может, где ошибочка вышла ;)

Автор: Емелин Александр

Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу)

Как можно отблагодарить автора?

© Copyright  Александр Емелин, mathprofi.ru, 2010-2025, сделано в Блокноте